西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换

一次因式方幂的乘积， 并分别写出这些方幂
(相同的按出现的次数计数)，称之为A的初等因子，
本题中A的初等因子为
2 和 ( 2)2 第三步：对每个初等因子( i )ri 作出 ri 阶
Jordan块
i
1
i
1
i
ri
ri
所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵 J
即是A的Jordan标准形。本题中A的Jordan标准形为
解 可求得
f () (5 54 93 132 18 23)g() 322 107 70
故以 g ()除 f () 所得的商式为 q() (5 54 93 132 18 23)
余式为
r() 322 107 70
例 求下列矩阵的Jordan标准形：
1)
3 A 1
1 1
0 0
2
1 1 0
3
A100 (PP1)100 (PP1)(PP1)(PP1)
P100 P 1
1 0
1 1
11100 1
2100
1 1 0 1 1 1
1 1 0
3100 1 0 1
1 2100 3100 2100 3100
1 2100
1 2100 2100
1 2100
写成分量形式为
d dt
y1
y1，
d dt
y2
2 y2，
d dt
y3
3 y3
解之得 y1 c1 et , y2 c2 e2t , y3 c3 e3t
故得
x1 x2
P
y1 y2
c1 et
c2 e2t c2 e2t
c3 c3
e3t e3t
x3
y3
c1 et c2 e2t
1 1 1 0
同解方程组为 x1 x4, x2 x4, x3 x4
基础解系为
(1, 1, 1, 1)T
对应 1 2 的全部特征向量为
k1(1, 1, 1, 1)T (k1 0)
对于 2 3 4 2，求解 (2I A)x 0, 由于
1 1 1 1 1 1 1 1
2I
A
1 1
；
1 1 2
解 第一步：对 I A 用初等变换化为Smith
标准形：
3
I A 1
1
3
1
1
1
0
c2 ( 1) c1
1 0
1 2 2 4 4
0
r1( 3) r2
r3 r2
0
0
2
2
0 ( 2)2
0
c2 c3 r1(1)
1
0
0
0
2
2
0 ( 2)2 0
01，
p2
11，
p3
1 1
1
1
0
故相似变换阵
P
1 0
1 1
11，使得
1 1 0
P 1AP
1
2
3
2)
3 A 1
1
解 可求得
1 1
0 0
；
1 2
det(I A) ( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2
对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量
(1, 1, 0)T， (0, 0, 1)T
从而A的不变因子为
d1() D1() 1，
d2
()
D2 ( ) D1( )
1 1
10
1 0 0，
1 0
3 0 ( 3)( 2)， 1 2
3
1
1 2，
1
1 1
0 ( 2)， 2
1 1 ( 2)， 1 0 2，
11
1 2
1 0 ( 1)( 2)
1 2
所以
D2() 2
又 det(I A) ( 2)3，故
D3() ( 2)3
A的特征值为
1 2 3 2
求解 (2I A)x 0，由于
1 1 0 1 1 0 2I A 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
同解方程组为
x1 x2 0x3
基础解系为 (1, 1, 0)T, (0, 0, 1)T
对应 2 的所有特征向量为
k1(1, 1, 0)T k2(0, 0, 1)T (k1, k2 不全为0)
1 1
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
同解方程组为
x1 x2 x3 x4
即对应 2 有3个线性无关的特征向量
(1, 1, 0, 0)T, (1, 0, 1, 0)T, (1, 0, 0, 1)T
全部特征向量为
k2(1, 1, 0, 0)T k3(1, 0, 1, 0)T k4(1, 0, 0, 1)T (k2, k3, k4 不全为0)
故A的Jordan标准形为
2 J
2
1
(或
J
2
1 2
)
2
2
2 1 1 1
2)
A
2 1
2 2
1 1 1 2
0 0 0 3
解 可求得 det(I A) ( 1)3( 3)
所以A的特征值为 1 2 3 1, 4 3
又对应 1只有一个线性无关的特征向量
(0, 1, 1, 0)T
故A可对角化。
又对应 4 2 的特征向量为 (1, 1, 1, 1)T，
故相似变换阵
使得
1 1 1 1
P
1 0
0 1
0 0
1 1
0 0 1 1
2
P
1AP
2 2
2
例
已知
2 A 1
1 2
11， 试求 A100。
1 1 2
解 可求得 P1AP ，其中
于是
1 P 0
1 1
11，
1
故对应 1 1 的所有特征向量为
k1(1, 0, 1)T (k1 0)
对于 2 2，求解 (2I A)x 0，由于
0 1 1 1 0 1 2I A 1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 0
同解方程组为
x1 x 2
x
x
3
3，特征向量为
(1, 1, 1)T；
对于 3 3，求解 (3I A)x 0，由于
1 0
0
2 2
0
2
r2 2 r3
r2 (1)
0
0
1 0
0
( 2)
0 0
r2 r3
c3c3
0
0
1 0
0
0 0
0 0 ( 2)
A的不变因子为 d1() 1, d2() , d3() ( 2)
A的初等因子为 , , 2
A的Jordan标准形为
0 J 0
1
11
1
2
J
11 1
2
3i 1
3i
3i
1 3i
例 求下列矩阵的Jordan标准形：
1)
3 A 1
1 1
0 0
；
1 1 2
解
3 1 0 I A 1 1 0
1
1 2
一阶子式共有9个， 显然 D1() 1；
二阶子式共有 C32 C32 9 个：
3 1 ( 2)2， 3 0 0，
§2 相似对角化
例 下列矩阵是否可对角化？若可以，试求出
相似变换矩阵和相应的对角矩阵：
1)
2 A 1
1 2
11；
1 1 2
解 可求得 det(I A) ( 1)( 2)( 3)
A的特征值为 1 1, 2 2, 3 3
因为A的特征值互异，所以A可对角化。
又对应的特征向量分别为
p1
注 可求得 det(I A) ( 1)5且 rank(I A) 2，
此时A对应5重特征值1有3个线性无关的特征向量，
直接按特征向量法无法确定A的Jordan标准形。
解设
1 A1 0
0
0 1 0
2 0 1
，A2
1 2
0，则 A A1
1
O
O 。 A2
可求得 det(I A1) ( 1)3且 rank( I A1) 1， det(I A2) ( 1)2且 rank(I A2) 1，
1
2 0 0 0 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 1 1 1
( 2)2 1 3 1 1
( 2)( 2)3
A的特征值为
1 2, 2 3 4 2
对于 1 2，求解 (2I A)x 0，由于
3
2I
A
1 1
1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
( 1)( 2)( 3)
A的特征值为
1 1, 2 2, 3 3
对于1 1，求解 (I A)x 0，由于
1 1 I A 1 1
1 0 1 1
0 1
0 1 1 0
0 1
1 0
1 1 1 0 2 0 0 0 0
同解方程组为
x1 x2
x3，基础解系为 0
(1, 0, 1)T
1 0
0
0
0
2
1 0
0
( 2)2
0 0
0
0
2
r1 r2
r2 r3
c2 c3
1 0
0 2
0 0
0
0
( 2)2
从而A的不变因子为
d1() 1, d2() 2, d3() ( 2)2
第二步： 再把A的每个次数大于零的不变因子
(此处是 d2() 和 d3()) 分解成关于 的不同的
(c1,c2,c3 任意)
§3 Jordan 标准形介绍
例 求下列矩阵的Jordan标准形：
1)
3 A 1
1
解 可求得
1 1
0 0
；
1 2
det(I A) ( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2 又对应 2 有2个线性无关的特征向量
(1, 1, 0)T, (0, 0, 1)T
2
J 2 1
2
2)
1 A 3
1 3
2 6
。
2 2 4
1 1
解 I A 3 3
2 6
c1( 1) c2
c3 2c2
2 2 4
0
( 2)
1
3
0
2
r2 ( 3) r1
r3 2 r
c1c2
2
2
1
0
0
0
( 2)
2
c2 2c3
0 2
故A的Jordan标准形为
1
J
1 1
1 1
3
3
(或
J
1
1 1
1
)
1
上述方法的缺点是，当A的某个特征值的重数为 4或大于4时，其对应的Jordan块可能无法确定。
1 0 2 0 0 0 1 0 0 0
例 求 A 0 0 1 0 0 的Jordan标准形。
0 0 0 1 0
0 0 0 2 1
2100 3100 2100 3100
2100
例 求解一阶线性常系数微分方程组
ddt x1 2x1 x2 x3
ddt x2 x1 2x2 x3
d dt
x3
x1
x2
2 x3
解令
x
x1 x2 x3
，
dx dt
d dt
d dt
d dt
x1 x2 x3
， A
2 1 1
1 1 1 1
3)
A
1 1
1 1
1 1
11。
1 1 1 1
1 1 1 1
解 det(I A) 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
r2 r4 0 2 0 2
r3 r4 0
1
0 2 2 1 1 1
1 1 1 3
c4 c2 0 c4 c3 0
第一章 矩阵的相似变换
§1 基本概念
例 求下列矩阵的特征值与特征向量：
1)
2 A 1
1 2
11；
1 1 2
2 1 1 解 det(I A) 1 2 1 r1 ( 2) r3
1 1 2 r2 r3
0 3 ( 2)2 1
0 3 1
1 1
2
( 3) 1 2 4 3 1 1
1 2 1
1 1 2
则微分方程组可写成矩阵形式
d x Ax dt
可求得
P
1 0
1 1
11，使得
1 1 0
P 1AP
1
2
3
令 x Py，其中 y ( y1, y2, y3)T。
注意到 d(Py) P d y，代人前一式得
dt
dt
P d y APy， 即 d y y，
dt
dt
故A不可对角化。
1 1 1 1
3)
A
1 1
1 1
1 1
11。
1 1 1 1
解 可求得 det(I A) ( 2)( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2， 4 2
对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量
(1, 1, 0, 0)T，(1, 0, 1, 0)T， (1, 0, 0, 1)T
所以A1和A2的Jordan标准形分别为
1
J1
1 1，
1
J2 1
1 1
故A的Jordan标准形为
J J1
1
11
J2
1
1 1
1
例 已知多项式
f () 8 96 4 33 42 1 g() 3 52 7 3 求用 g()除 f () 所得的商式和余式。
1 1 1 1 1 0 3I A 1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0
同解方程组为
x x
1 3
x 0
2，
特征向量为
(1, 1,
0)T。
2)
A
3 1
1 1
0 0
；
1 1 2
3 1 0
解 det(I A) 1 1 0
1 1 2
3 1 ( 2)
1 1
( 2)3
2
例 已知一个12阶矩阵的不变因子是
1,1,, 1，( 1)2，( 1)2( 2)，
9
( 1)2( 2)(2 3)2
求A的Jordan标准形。 解 A的初等因子为
( 1)2，( 1)2，( 2)，( 1)2，( 2) ( 3i)2，( 3i)2
故A的Jordan标准形为：
1 1