自动控制原理 第二章 自动控制系统的数学模型【精选】
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• 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实验法
北京航空航天大学
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数
北京航空航天大学
叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。
例： 设线性微分方程式为
d 2c(t) dc(t) c(t) r(t) dt dt
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t) ，而 r(t) r2 (t)时，
方程有解 c，2 (分t) 别代入上式且将两式相加，则显
第二章 自动控制系统的数学模型
基本要求
2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数 (transfer function)
2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数
2-6 典型反馈系统传递函数
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基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
d 2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
(2 4)
将式(2-4)的微分方程标准化
m K
d 2 y(t) dt 2
f K
dy(t) dtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y(t)
1 K
F (t)
北京航空航天大学
令 T m / K ，2 T f / K 即 f / 2 mK
k 1/ K ， 则式 (2 4) 可写成
T
2
d
2 y(t) dt 2
2
T
dy(t) dt
y(t)
kF (t)
(2 5)
T称为时间常数， 为阻尼比。显然，
上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
北京航空航天大学
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
北京航空航天大学
据处理而辨识出系统的数学模型。
北京航空航天大学
总结： 解析方法适用于简单、典型、常 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。
北京航空航天大学
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
强若干倍，这就是叠加原理。
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线性定常微分方程。
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2－2 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程 度的非线性，如下图所示。
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于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
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6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
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• 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是 建立系统的数学模型。
然有，当
r(t) ＋r1(t) 时r2 (，t) 必存在解
为 c(t) c1(t) c2 (t) ，即为可叠加性。
北京航空航天大学
若 r(t) ar1(t) 时，a 为实数，则方程解
为 c(t) ac1(t) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增
可得
df y dx |x0
xk
x ，简记为 y=kx。
若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
f
f
z xv |(x0 , y0 ) x y |(x0 , y0 ) y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
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列写微分方程的一般方法
• 例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。 R
i
ur
C
uc
北京航空航天大学
解：由基尔霍夫定律得:
ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变
量i,可得:
RC
duc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
北京航空航天大学
• 例2. 设有一弹簧质 量 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
k
惯性力 md 2 y / dt 2
由于m受力平衡，所以
M y(t)
Fi 0
f
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性 力。
北京将航空各航天力大学代入上等式，则得
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解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数
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叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。
例： 设线性微分方程式为
d 2c(t) dc(t) c(t) r(t) dt dt
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t) ，而 r(t) r2 (t)时，
方程有解 c，2 (分t) 别代入上式且将两式相加，则显
第二章 自动控制系统的数学模型
基本要求
2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数 (transfer function)
2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数
2-6 典型反馈系统传递函数
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基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
d 2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
(2 4)
将式(2-4)的微分方程标准化
m K
d 2 y(t) dt 2
f K
dy(t) dtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y(t)
1 K
F (t)
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令 T m / K ，2 T f / K 即 f / 2 mK
k 1/ K ， 则式 (2 4) 可写成
T
2
d
2 y(t) dt 2
2
T
dy(t) dt
y(t)
kF (t)
(2 5)
T称为时间常数， 为阻尼比。显然，
上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
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在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
北京航空航天大学
据处理而辨识出系统的数学模型。
北京航空航天大学
总结： 解析方法适用于简单、典型、常 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。
北京航空航天大学
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
强若干倍，这就是叠加原理。
北京航空航天大学
线性定常微分方程。
北京航空航天大学
2－2 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程 度的非线性，如下图所示。
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于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
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6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
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• 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是 建立系统的数学模型。
然有，当
r(t) ＋r1(t) 时r2 (，t) 必存在解
为 c(t) c1(t) c2 (t) ，即为可叠加性。
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若 r(t) ar1(t) 时，a 为实数，则方程解
为 c(t) ac1(t) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增
可得
df y dx |x0
xk
x ，简记为 y=kx。
若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
f
f
z xv |(x0 , y0 ) x y |(x0 , y0 ) y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
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列写微分方程的一般方法
• 例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。 R
i
ur
C
uc
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解：由基尔霍夫定律得:
ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变
量i,可得:
RC
duc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
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• 例2. 设有一弹簧质 量 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
k
惯性力 md 2 y / dt 2
由于m受力平衡，所以
M y(t)
Fi 0
f
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性 力。
北京将航空各航天力大学代入上等式，则得