2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 必做题之算法
2020年高考江苏版高考数学 一、光速解题——学会9种快速解题技法
- 2, 2,
{ 即
f(x)=
������2 + x ������2 -
+ 2
2,x < - x, -
- 1或x > 2,作出图象如下(加粗部分),由图象可知 1 ≤ x ≤ 2,
f(x)的值域是
[ ]9 - 4,0 ∪(2,+∞).
高考加油，高考加油，高考加油
高考复习参考资料
{ log2(x + 1),x ∈ [0,1),
典例 1 (平面向量问题)设 a,b,c 是单位向量,且 a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值 为 .
答案 1- 2 高考加油，高考加油，高考加油
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解析 由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此求(a-c)·(b-c)的最小值等价于求(a+b)·c 的 最大值,这个最大值只有当向量 a+b 与向量 c 同向共线时取得.由于 a·b=0,故 a⊥b,如图所 示,|a+b|= 2,|c|=1,当 θ=0 时,(a+b)·c 取得最大值 2,故所求的最小值为 1- 2.
1 cos������ + cos������ 4
解析 不妨令△ABC 为等边三角形,则 cos A=cos C=2,则1 + cos������cos������=5.
技法 2 换元法 换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出 来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元, 理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标 准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求 解等.
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 复数、算法、推理与证明之第1讲 数系的扩充与复数的引入
[基础题组练]1．(2019·长春监测)设i 为虚数单位，则(－1＋i)(1＋i)＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2D ．－2解析：选D.(－1＋i)(1＋i)＝－1－i ＋i ＋i 2＝－1－1＝－2.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选 C.由题意，得z －＝－3－2i ，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.3．(2019·福州模拟)若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a2＋1＝0且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.4．(2019·南昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：选B.法一：因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋i)(a ＋b i)＝a －b ＋(a ＋b )i ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得a＝1，b ＝－1，所以复数z 的虚部为－1.故选B.5．(2019·石家庄质量检测)若复数z 满足z 1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则共轭复数z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选B.由题意，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故选B.6．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析：选A.因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.7．(2019·合肥质量检测)已知i 为虚数单位，则（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A.法一：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝10－5i2－i＝5，故选A.法二：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝（2＋i ）2（3－4i ）（2＋i ）（2－i ）＝（3＋4i ）（3－4i ）5＝5，故选A.8．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选C.因为z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选C.9．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：选A.法一：由题意可知z －＝a －3i ，所以z ·z －＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.法二：z ·z －＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 10．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选C.因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C. 11．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45解析：选D.因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45. 12．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i解析：选B.因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）25＝35＋45i ，故选B.13．设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 解析：复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i. 答案：2－i14．设z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：2215．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－516．当复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )的模最小时，4iz ＝________．解析：|z |＝（m ＋3）2＋（m －1）2 ＝2m 2＋4m ＋10＝2（m ＋1）2＋8， 所以当m ＝－1时，|z |min ＝22， 所以4i z ＝4i2－2i ＝4i （2＋2i ）8＝－1＋i.答案：－1＋i[综合题组练]1．(综合型)若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩∁R B 为( )A ．∅B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：选 D.由于只有实数之间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩∁R B ＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．2．(综合型)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数， 所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.因为yx 是复数x ＋y i 对应点与原点连线的斜率，所以⎝⎛⎭⎫y x max＝tan ∠AOB ＝3，所以yx的最大值为 3.3．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，则p ＋q ＝________．解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0， 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0， 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.答案：384．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2， 所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，对应的点为(0，1)． 答案：(0，1)5．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13（a ＋5）（a －1）＋(a 2＋2a －15)i.因为z －1＋z 2是实数， 所以a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3. 因为a ＋5≠0， 所以a ≠－5，故a ＝3.6．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5ba 2＋b 2i.因为z ＋5z 是实数，所以b －5ba 2＋b2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.① 又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
2020年高考数学答题实用技巧大汇总
2020年高考数学答题实用技巧大汇总1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：高中数学21种解题方法与技巧4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0 两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
2020年 名师讲解高考数学总复习 第7章 7.7 数学归纳法
§7.7数学归纳法考情考向分析高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3. 2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(4)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )题组二 教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证_____．答案 1＋12＋13<2解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.3．[P103T13]在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为________．答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析 当n ＝2时，13＋a 2＝2×3×a 2，∴a 2＝13×5；当n ＝3时，13＋115＋a 3＝3×5×a 3，∴a 3＝15×7；当n ＝4时，13＋115＋135＋a 4＝4×7×a 4，∴a 4＝17×9；故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).4．[P105T13]已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________．由此猜想a n＝________.答案 37，38，13，310 3n ＋5解析 a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，又a 1＝31＋5＝12，符合以上规律．故猜想a n ＝3n ＋5.题组三 易错自纠 5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是________． 答案 1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，n ＋1＝2， ∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________． 答案 2k解析 运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N *)，左边表示的为2k 项的和． 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．题型一 用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，右边＝14×(1＋1)＝18，左边＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14(k ＋1＋1). 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，等式对任何n ∈N *均成立． 思维升华 用数学归纳法证明等式时应注意： (1)明确初始值n 0的取值；(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标； (3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题型二 证明不等式例1 若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))(n ∈N *)的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. 证明 ①当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)． 所以直线PQ 1的方程为y ＝4x －11， 令y ＝0，得x 2＝114，因此2≤x 1<x 2<3，即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立， 即2≤x k <x k ＋1<3.当n ＝k ＋1时，直线PQ k ＋1的方程为 y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4·(x －4)．又f (x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3， 代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1，由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2， 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2>1(n ∈N *且n >1)．证明 ①当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立．②设n ＝k (k ∈N *，k >1)时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k2>1成立．由于当k >1时，k 2－k －1>0，即k (2k ＋1)>k 2＋2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k>1＋1k (2k ＋1)＋1k (2k ＋1)＋…＋1k (2k ＋1)－1k＝1＋2k ＋1k (2k ＋1)－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n ∈N *且n >1恒成立．题型三 数学归纳法的综合应用 命题点1 整除问题例2 (2018·苏北四市期中)设n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2. (1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)求证：对任意的正整数n ，f (n )是8的倍数． (1)解 ∵n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2， ∴f (1)＝3＋7－2＝8， f (2)＝32＋72－2＝56， f (3)＝33＋73－2＝368.(2)证明 用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，f (1)＝3＋7－2＝8，成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时成立，即f (k )＝3k ＋7k －2能被8整除， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2 ＝3×3k ＋7×7k －2 ＝3(3k ＋7k －2)＋4×7k ＋4 ＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)，∵3k ＋7k －2能被8整除，7k ＋1是偶数， ∴3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)一定能被8整除， 即n ＝k ＋1时也成立．由①②得对任意正整数n ，f (n )是8的倍数． 命题点2 和二项式系数有关的问题例3 (2018·江苏扬州中学期中)已知F n (x )＝∑k ＝0n[(－1)k ·C k n f k (x )](n ∈N *)．(1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值；(2)若f k (x )＝x x ＋k (x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ).(1)解 F n (x )＝∑k ＝0n[(－1)kC k n f k (x )]＝∑k ＝0n[(－x )k C k n ]＝∑k ＝0n[C k n (－x )k ·1n －k]＝(1－x )n ， ∴F 2 015(2)＝－1.(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝1－x x ＋1＝1x ＋1＝右边．②设n ＝m (m ∈N *)时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )，有∑k ＝0m ⎣⎡⎦⎤(－1)k C k mx x ＋k ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )，那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))， 有∑k ＝0m ＋1 ⎣⎡⎦⎤(－1)k C k m＋1x x ＋k＝1＋∑k＝1m ⎣⎡⎦⎤(－1)k (C k m ＋C k －1m )x x ＋k ＋(－1)m ＋1x x ＋m ＋1 ＝∑k ＝0m⎣⎡⎦⎤(－1)k C k m x x ＋k ＋∑k ＝1m ＋1⎣⎡⎦⎤(－1)k C k －1m x x ＋k ＝∑k ＝0m⎣⎡⎦⎤(－1)k C k m x x ＋k －∑k ＝0m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C k mx ＋1x ＋1＋k ·x x ＋1 ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )－m ！(x ＋2)(x ＋3)…(x ＋1＋m )·xx ＋1＝m ！[(x ＋m ＋1)－x ](x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )(x ＋m ＋1)＝(m ＋1)！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m ＋1)，即n ＝m ＋1时，等式成立．故对一切正整数n 及一切实数x (x ≠0，－1，…，－n )，有 ∑k ＝0n⎣⎡⎦⎤(－1)k C k n x x ＋k ＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ). 命题点3 和数列集合等有关的交汇问题例4 设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n . (1)分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2)猜想T nS n关于n 的表达式，并加以证明．解 (1)当n ＝3时，M ＝{1,2,3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2；当n ＝4时，M ＝{1,2,3,4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(2)猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝3时，由(1)知猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k. 则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1， 而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12C 3k＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝(k ＋1)＋12S k ＋1， 即T k ＋1S k ＋1＝(k ＋1)＋12.所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立．思维升华 利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．跟踪训练2 (1)求证：对一切正整数n,42n ＋1＋3n ＋2都能被13整除．证明 ①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时也成立，由①②可知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n＋2能被13整除．(2)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12·a n ·(4－a n )，n ∈N .①求a 1，a 2；②证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N . ①解 a 0＝1，a 1＝12a 0·(4－a 0)＝32，a 2＝12·a 1(4－a 1)＝158.②证明 用数学归纳法证明： (ⅰ)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝32，∴a 0<a 1<2，命题成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时有a k －1<a k <2. 则n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k )＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )·(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0， ∴a k －a k ＋1<0，即a k <a k ＋1.又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2.∴n ＝k ＋1时命题成立．由(ⅰ)(ⅱ)知，对一切n∈N都有a n<a n＋1<2.1．(2019·江苏省扬州市仪征中学考试)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1＋a n1＋a n(n∈N*)．用数学归纳法证明：a n<a n＋1(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，a2＝1＋a11＋a1＝32，a1<a2，所以当n＝1时，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k<a k＋1成立，则当n＝k＋1时，a k＋2－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－⎝⎛⎭⎫1＋a k1＋a k＝11＋a k－11＋a k＋1＝a k＋1－a k(1＋a k)(1＋a k＋1)>0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n<a n＋1(n∈N*)成立．2．用数学归纳法证明a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1，可被a2＋a＋1整除；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋1＋1＋(a＋1)2(k＋1)－1＝a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·a k＋1＋a(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，又(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，所以a k＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对一切n∈N*命题都成立．3．(2018·江苏省常州市田家炳高级中学考试)已知正项数列{a n}中，a1＝2－1且1a n＋1－a n＋1＝1a n＋a n，n∈N*.(1)分别计算出a2，a3，a4的值，然后猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解令n＝1，得1a2－a2＝1a1＋a1＝22，化简得(a2＋2)2＝3，解得a2＝3－2或a2＝－3－ 2.∵a2>0，∴a2＝3－ 2.令n＝2，得1a3－a3＝1a2＋a2＝23，化简得(a3＋3)2＝4，解得a3＝2－3或a3＝－2－ 3.∵a3>0，∴a3＝2－ 3.令n ＝3，得1a 4－a 4＝1a 3＋a 3＝4，化简得(a 4＋2)2＝5，解得a 4＝5－2或a 4＝－5－2. ∵a 4>0，∴a 4＝5－2. 猜想a n ＝n ＋1－n .(*)(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝2－1＝2－1，(*)式成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)式成立， 即a k ＝k ＋1－k ，那么当n ＝k ＋1时，1a k ＋1－a k ＋1＝1a k ＋a k ＝k ＋1＋k ＋k ＋1－k ＝2k ＋1.化简得(a k ＋1＋k ＋1)2＝k ＋2， ∵a k ＋1>0，∴a k ＋1＝k ＋2－k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，(*)式也成立．综上，由①②得当n ∈N *时，a n ＝n ＋1－n .4．设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解 (1)方法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝(a k －1)2＋1＋1＝(k －1)＋1＋1 ＝(k ＋1)－1＋1.所以当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)方法一 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题： a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1. 因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 即当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.方法二 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．①当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1，即0≤a k ＋1<1. 即当n ＝k ＋1时结论成立． 故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (a 1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1.由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1. 即当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n<14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数， 得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1. 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知存在c ＝14使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．5．已知函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数，所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )， 同理，f 2(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x .(2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2， f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 猜测f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2.(*)下面用数学归纳法证明上述等式． ①当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ②假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k ′(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2成立．6．已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＋1＝2a n －3a 2n . (1)求证：对任意的n ∈N *，都有0<a n <13；(2)求证：31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n ≥4n ＋1－4.证明 (1)①当n ＝1时，a 1＝14，有0<a 1<13，所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k <13.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k －3a 2k ＝－3⎝⎛⎭⎫a 2k －23a k ＝－3⎝⎛⎭⎫a k －132＋13， 于是13－a k ＋1＝3⎝⎛⎭⎫13－a k 2. 因为0<a k <13，所以0<3⎝⎛⎭⎫13－a k 2<13， 即0<13－a k ＋1<13，可得0<a k ＋1<13，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，对任意的正整数n ，都有0<a n <13.(2)由(1)可得13－a n ＋1＝3⎝⎛⎭⎫13－a n 2， 两边同时取以3为底的对数，可得 log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＋1＝1＋2log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ， 化简为1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＋1＝2⎣⎡⎦⎤1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n 是以log 314为首项，2为公比的等比数列， 所以1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＝2n －1log 314， 化简求得13－a n ＝13·⎝⎛⎭⎫142n －1，所以113－a n＝3·124n -.因为当n ≥2时，2n －1＝C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1≥1＋n －1＝n ，当n ＝1时，2n －1＝1，所以当n∈N*时，2n－1≥n，所以113－a n≥3·4n，1 13－a1＋113－a2＋…＋113－a n≥3(41＋42＋…＋4n)＝4n＋1－4，所以31－3a1＋31－3a2＋…＋31－3a n≥4n＋1－4.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第11课__指数与指数运算含解析
2. 化简[(－2)6]2－(－1)0 的值为__7__．
1
解析：原式＝(26)2－(－1)0＝23－1＝7.
( ) ( ) 7 0.5
10
2 －
37
3. 2 ＋0.1－2＋ 2 3－3π0＋ ＝__100__．
9
27
48
( ) ( ) [( ) ] 25 1
64
2 －
37 5
4
3
2 －
37
解析：原式＝ 2＋102＋ 3－3＋ ＝ ＋100＋
解析：因为 α，β 为方程 2x2＋3x＋1＝0 的两个根，
3 所以 α＋β＝－ ，
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 α＋β
1
3 －
12×
3 －
1 －3
1 α＋β
所以 ＝ 2＝
2 ＝ ＝8，故 的值为 8.
4
42
2
4
考向❸ 有理数指数幂与基本对称式的简单综合
3
3
1
1
x2＋x－ ＋2 2
a
解析：原式＝
1 1＝a2＋6－1＋3·b1＋3－2－3＝ab－1＝b.
ab2·a－ b3
3
考向❷ 有理数指数幂与方程的简单综合
例 2 已知 a，b 是方程 9x2－82x＋9＝0 的两个根，且 a<b，求下列式子的值：
a－1＋b－1
(1)
； （ab）Байду номын сангаас1
7
(2) 3 a2 a－3÷ 3 a－8·3 a15.
例 3
若 x2＋x－ ＝3，求 2
x＋x－1＋3
的值．
1
1
1
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2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招(全国通用版)-第11招
2020年高考数学压轴题专题之解题秘籍13招（全国通用版）第11招 不等式法全分类基本不等式是江苏高考C 级要求，是高中数学的重要知识，高考和模拟考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查，一般放在9~14题．等价代换或转换是解题方法,也是解题难点．群里有很多伙伴和学生问及这类题目，就简单做个整理.一、构造齐次法例1.已知，且，求的最小值______. 【答案】9【解析】因为，当且仅当即时取等号.变式1.已知，且，求的最小值______. 【答案】9【解析】 当且仅当即时取等号.变式2.（2011重庆理数7）已知，则的最小值是_________.0,>b a 12=+b a ba 21+12=+b a 922254221)2()21(1)21(21=+≥+++=+⨯+=⨯+=+ba ab b a a b b a b a b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==+b a a b b a 1231==b a 0,>b a 121=+ba b a 2+922254221)21()2(1)2(2=∙+≥+++=+⨯+=⨯+=+b aa b b a a b b a b a b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==+b a a b b a 1231==b a 0,0,2a b a b >>+=14y a b=+【答案】【解析】当且仅当即时取等号.变式3. 设，，若，则的最小值为 . 【答案】【解析】.后面就一样的了变式4.设，，则的最小值为 . 【答案】4【解析】将等式变形为，则 （等号成立的条件）变式5.（2015通泰淮扬）已知正实数满足则的取值范围为 . 【答案】【解析】29.29425214521)(41212124141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b b a a b b a b a b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧==+b a a b b a 423432==b a ，1a >0b >2a b +=121a b+-223+2a b +=11=+-⇒b a 0,0>>y x xy y x 22=+y x 2+221=+x y 4)21)(2(212≥++=+xy y x y x y x ,,10432=+++yy x x xy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡381，.3883103434344343434322243210.1110111111432101010≤⇒≥+++++++++=+++=≥⇒≥+++++++++=+++=xy xy y y y y y y y x x x y y x x xy xyy y y y y y y x x x y y x x二、消元法解题例2.设，，则的最小值为 . 【答案】4【解析】将等式变形为当且仅当时取等号.变式1.若实数,，则的最大值是 . 【答案】【解析】令，变式2.（08江苏11）设是 .【答案】3 【解析】试题分析：由, 原式 变式3.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数c 的值为 ．0,0>>y x xy y x 22=+y x 2+.411)1(22111211111112,)1(2=-∙-+≥-+-+=-++=-+-+=-+=+⇒-=x x x x x x x x x x x x y x x x y 1,2==y x 0,0x y >>1110x y x y+++=x y +215+x t y t y x -=⇒=+1110x y x y+++=.21521500)10()10(10)(10102+≤≤-⇒≥∆=+---⇒-=-⇒=+⇒=+++⇒t t tx t x t t x t x txy t t xy y x y x 2,,,230,y x y z x y z xz-+=为正实数满足则的最小值23032zx y z y x +=⇒=+-34664694)3(222=+≥++=+=xzxzxz xz xz z x xz z x 2()()f x x ax b a b =++∈R ，[0)+∞，x ()f x c <(6)m m +，【答案】9【解析】函数的值域为,可以直接让,的解集为,解集关与原点对称，所以m=-3,这样就轻松得到c=9.三、分母整体换元分母比较复杂时，都是一次的，可以把他换元，简化一下. 例3.已知为正数，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 令检验等号成立的条件变式.设a ，b ，c 为正实数，求的最小值。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 必做题之排列与组合
第2讲排列与组合一、填空题1．(2016·四川卷改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________(用数字作答)．解析由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72.答案722．(2017·南京质检)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种(用数字作答)．解析法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60(种)方法．法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种)．答案603．(2017·南昌一模)甲、乙两人从4门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________种(用数字作答)．解析甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：当甲、乙所选的课程中2门均不相同时，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C24C22＝6种方法；当甲、乙所选的课程中有且只有1门相同时，分为2步：①从4门中选1门作为相同的课程，有C14＝4种选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门有C13C12＝6种选法，由分步乘法计数原理此时共有C14C13C12＝24种方法．综上，共有6＋24＝30种方法．答案304．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种(用数字作答)．解析分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42种编排方案．答案425．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法(用数字作答)．解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C36＝20(种)．答案206．(2017·南通测试)从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有________种(用数字作答)．解析甲型2台乙型1台或甲型1台乙型2台，故共有C25C14＋C15C24＝70种方法．答案707．(2017·南京师大附中检测)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数为________(用数字作答)．解析法一先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品中2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”．有A22A34＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．法二先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A34＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A33·A22·A22＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．答案1208．(2017·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有________种(用数字作答)．解析一个路口有3人的分配方法有C13C22A33(种)；两个路口各有2人的分配方法有C23C22A33(种)．∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C22A33＋C23C22A33＝36(种)．答案36二、解答题9．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法有多少种？解分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端．解(1)∵两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看做一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有A66A22＝1 440种站法．(2)∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有A33A44＝144种站法．(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列共有A66＝720种站法，当老师不站在左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列共有A55×5×5＝3 000种站法．根据分类计数原理知共有720＋3 000＝3 720种站法．11．(2017·镇江调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数为________．解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有C13A22＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有C12A22C12＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A33＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种．答案28812．(2017·黄冈模拟)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答)．解析若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C12C13A33＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C12A22A23＝24种．故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60.答案6013．(1)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？(2)已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解(1)法一每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C27×2＝42(种)；若分配到3所学校有C37＝35(种)．∴共有7＋42＋35＝84(种)方法.法二10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C69＝84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．(2)①从集合B中取元素2时，确定C13A33个点．②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13.③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33个．∴由分类加法计数原理，共确定C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)不同点．14．(2017·苏州调研)设集合M＝{－1,0,1}，集合A n＝{(x1，x2，x3，…，x n)|x i∈M，i＝1,2，…，n}，集合A n中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋…＋|x n|≤m”的元素个数记为S n m.(1)求S22和S42的值；(2)当m<n时，求证：S n m<3n＋1＋2m＋1－2n＋1.(1)解S22＝8，S42＝32.(2)证明设集合P＝{0}，Q＝{－1,1}．若|x1|＋|x2|＋…＋|x n|＝1，即x1，x2，x3，…，x n中有(n－1)个取自集合P,1个取自集合Q，故共有C n－121种可能，即为C1n21，n同理，|x1|＋|x2|＋…＋|x n|＝2，即x1，x2，x3，…，x n中有(n－2)个取自集合P,2个取自集合Q，故共有C n－222种可能，即为C2n22，n……若|x1|＋|x2|＋…＋|x n|＝m，即x1，x2，x3，…，x n中有(n－m)个取自集合P，m 个取自集合Q，故共有C n－m2m种可能，即为C m n2m，n所以S n m＝C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m，因为当0≤k≤n时，C k n≥1，故C k n－1≥0，所以S n m＝C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m<C0n20＋(C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m)＋(C m＋1－1)2m＋1＋…＋(C n n－1)2nn2m＋1＋…＋C n n2n)－(2m＋1＋2m＋2＋…＋＝(C0n20＋C1n21＋C2n22＋…＋C m n2m＋C m＋1n2n)＝(1＋2)n－(2n＋1－2m＋1)＝3n－2n＋1＋2m＋1.。
15种策略速解2020年高考数学客观题
Җ㊀北京㊀肖志军１(特级教师)㊀张㊀浩２㊀㊀数学客观题(选择题和填空题)在高考试题中占有较大的分值,能够快速准确地解答好这类试题,是考生取得优异成绩的关键因素．有些考生解答这类题时,一味地用常规方法埋头推算,往往是小题大作,既容易出错,又浪费时间．若能根据这类题的特点实施速解,可以达到事半功倍的效果．现结合２０２０年的高考试题阐述速解的１５种策略．１㊀巧取特殊,速选答案根据特殊与一般的辩证关系,命题在一般情况下成立,则在特殊情况下必成立,在某些特殊情况下不成立,则在一般情况下也不成立．有些数学客观题,用常规方法直接求解比较困难,但通过对满足条件的特殊情况进行分析,往往可以发现共性,速选答案．例１㊀(２０２０年浙江卷１０)设集合S ,T ,S ⊆N ∗,T ⊆N ∗,S ,T 中至少有２个元素,且S ,T 满足:①对于任意x ,y ɪS ,若x ʂy ,都有x y ɪT ;②对于任意x ,y ɪT ,若x ＜y ,则y xɪS ．下列命题正确的是(㊀㊀)．A ．若S 有４个元素,则S ɣT 有７个元素B ．若S 有４个元素,则S ɣT 有６个元素C ．若S 有３个元素,则S ɣT 有５个元素D ．若S 有３个元素,则S ɣT 有４个元素分别给出具体的集合S 和集合T ,利用排除法排除错误选项,即可得到正确答案．若取S ＝{１,２,４},则T ＝{２,４,８},此时S ɣT ＝{１,２,４,８},包含４个元素,排除选项C ．若取S ＝{２,４,８},则T ＝{８,１６,３２},此时S ɣT ＝{２,４,８,１６,３２},包含５个元素,排除选项D ．若取S ＝{２,４,８,１６},则T ＝{８,１６,３２,６４,１２８},此时S ɣT ＝{２,４,８,１６,３２,６４,１２８},包含７个元素,排除选项B．故A 正确．例２㊀(２０２０年浙江卷４)函数y ＝x c o s x ＋s i n x 在区间[－π,π]的图象大致为(㊀㊀)．取x 为一小正数,可知函数值为正,故选项B ,D 错误．取x 为一小负数,可知函数值为负,可知选项C 错误．故选A．例３㊀(２０２０年北京卷１０)２０２０年３月１４日是全球首个国际圆周率日(πD a y )．历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的 割圆术 相似,数学家阿尔 卡西的方法是:当正整数n 充分大时,计算单位圆的内接正６n 边形的周长和外切正６n 边形(各边均与圆相切的正６n 边形)的周长,将它们的算术平均数作为２π的近似值．按照阿尔 卡西的方法,π的近似值的表达式是(㊀㊀)．A．３n (s i n ３０ʎn ＋t a n３０ʎn)B ．６n (s i n ３０ʎn ＋t a n３０ʎn )C ．３n (s i n ６０ʎn ＋t a n６０ʎn)D．６n (s i n ６０ʎn ＋t a n６０ʎn)取n ＝１,选项B ,πʈ６(１２＋３３)＞６(１２＋１２)＝６;选项C ,πʈ３(３２＋３)＝９２３;选项D ,πʈ６(３２＋３)＝９３．三个答案都与π的真实近似值有较大差距,是不可能的,故选A ．２㊀回归定义,重视本源例４㊀(２０２０年山东卷７)已知P 是边长为２的正六边形A B C D E F 内的一点,则A P ң A Bң的取值范围是(㊀㊀)．A．(－２,６)㊀㊀B ．(－６,２)C ．(－２,４)㊀㊀D．(－４,６)０２㊀㊀图１A Bң的模为２,根据正六边形的特征,可得A Pң在A Bң方向上的投影的取值范围是(－１,３),结合向量数量积的定义,可知A Pң A Bң等于A Bң的模与A Pң在A Bң方向上的投影的乘积,所以A Pң A Bң的取值范围是(－２,６),故选A．例５㊀(２０２０年全国卷Ⅲ理３)在一组样本数据中,１,２,３,４出现的频率分别为p１,p２,p３,p４,且ð４i＝１p i＝１,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(㊀㊀)．A．p１＝p４＝０ １,p２＝p３＝０ ４B．p１＝p４＝０ ４,p２＝p３＝０ １C．p１＝p４＝０ ２,p２＝p３＝０ ３D．p１＝p４＝０ ３,p２＝p３＝０ ２标准差是刻画一组数据离散程度的一个量,四个选项中p１＝p４,p２＝p３,两边的数１,４出现频率大的样本的离散程度大,标准差就大,故选B．３㊀抓住关键,化难为易在所解问题中,常会有一些起关键作用的量,即题眼 ,若能抓住关键,就相当于抓住了解题的金钥匙,常可化难为易．㊀㊀图２例６㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理７)设函数f(x)＝c o s(ωx＋π６)在[－π,π]的图象如图２所示,则f(x)的最小正周期为(㊀㊀)．A．１０π９㊀㊀B．７π６㊀㊀C．４π３㊀㊀D．３π２由图可得函数图象过点(－４π９,０),将它代入函数f(x),可得c o s(－４π９ω＋π６)＝０,又因为(－４π９,０)是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点,所以－４π９ω＋π６＝－π２,解得ω＝３２,所以函数f(x)的最小正周期为T＝２πω＝２π３２＝４π３,故选C．４㊀利用结论,快速决断要注意掌握课本㊁其他资料上,或老师讲过的㊁自己总结的相关结论,直接应用这些结论,有时能大大简化解题过程,确有一步到位之感．例７㊀(２０２０年全国卷Ⅲ文３)设一组样本数据x１,x２, ,x n的方差为０ ０１,则数据１０x１,１０x２, ,１０x n的方差为(㊀㊀)．A．０ ０１㊀㊀B．０ １㊀㊀C．１㊀㊀D．１０一组数据变为原来的a倍,方差变为原来的a２倍,所以所求数据方差为１０２ˑ０ ０１＝１,故选C．㊀㊀图３例８㊀(２０２０年江苏卷１３)在әA B C中,A B＝４,A C＝３,øB A C＝９０ʎ,D在边B C上,延长A D到P,使得A P＝９,若P Aң＝m P Bң＋(３２－m)P Cң(m为常数),则C D的长度是．P,D,A三点共线,B,D,C三点共线,则有P Dң＝２３[mP Bң＋(３２－m)P Cң]＝２３mP Bң＋(１－２３m)P Cң．P Dң用P Bң,P Cң线性表示,且前面的系数之和等于１,这一结论在向量中经常用．即有P Dң＝２３P Aң,从而P D＝６,D A＝３,又A B＝４,A C＝３,øB A C＝９０ʎ．设øA D C＝øA C D＝θ,C D＝x(xʂ０),在әA D C和R tәA B C中c o sθ＝３２＋x２－３２２ˑ３ˑx＝３５,解得x＝１８５．当x＝０时,点D与点C重合,满足题意．综上,C D的长度是１８５或０．５㊀分类讨论,化整为零根据实际情况,把所要研究的对象分成几类来讨论,使每一类变得较为简单和具体,便于操作．分类时要注意避免重复和遗漏．例９㊀(２０２０年浙江卷９)已知a,bɪR且a bʂ０,对于任意xȡ０均有(x－a)(x－b)(x－２a－b)ȡ０,则(㊀㊀)．A．a＜０㊀㊀B．a＞０㊀㊀C．b＜０㊀㊀D．b＞０对a分a＞０与a＜０两种情况讨论,结合三次函数的性质分析即可得到答案．１２因为且ʂ０,设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －２a －b ),则f (x )的零点为x １＝a ,x ２＝b ,x ３＝２a ＋b ．当a ＞０时,则x ２＜x ３,x １＞０,要使f (x )ȡ０,必有２a ＋b ＝a ,且b ＜０,即b ＝－a 且b ＜０．当a ＜０时,则x ２＞x ３,x １＜０,要使f (x )ȡ０,必有b ＜０．综上,一定有b ＜０．故选C ．６㊀数形结合,以图助算 数缺形时少直观,形少数时难入微． 对于一些具有几何背景的数学题,若能构造出与之相应的图形进行分析,则能在数形结合㊁以图助算中获得形象直观的解法．例１０㊀(２０２０年北京卷６)已知函数f (x )＝２x－x －１,则不等式f (x )＞０的解集是(㊀㊀)．A．(－１,１)㊀㊀B ．(－ɕ,－１)ɣ(１,＋ɕ)C ．(０,１)㊀D．(,)(,)㊀㊀图４f (x )＞０等价于２x ＞x ＋１,在同一平面直角坐标系中作出y ＝２x和y ＝x ＋１的图象,如图４所示．两函数图象的交点坐标为(０,１),(１,２),不等式２x ＞x ＋１的解为x ＜０或x ＞１．故不等式f (x )＞０的解集为(－ɕ,０)ɣ(１,＋ɕ),故选D ．例１１㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理１４)设a ,b 为单位向量,且|a ＋b |＝１,则|a －b |＝．㊀㊀图５如图５所示,构造几何图形,O A ң＝a ,O B ң＝b ,以O A ,O B 为邻边作平行四边形O A P B ,O P ң＝a ＋b ,B A ң＝a －b ,依题意|O A ң|＝|O B ң|＝|O P ң|＝１,平行四边形O A P B 是两个等边三角形构成的菱形,易知|a －b |＝|B A ң|＝３．７㊀特征分析,以点带面通过分析具体问题的局部特征,如位置特征㊁符号特征㊁范围特征,常可达到以点带面,速得答案的目的．例１２㊀(２０２０年北京卷８)在等差数列{a n }中,a １＝－９,a ５＝－１．记T n ＝a １a ２ a n (n ＝１,２, ),则数列{T n }(㊀㊀)．A．有最大项,有最小项B ．有最大项,无最小项C ．无最大项,有最小项D．无最大项,无最小项首先求得数列{a n }的通项公式,通过分析数列{a n }的符号特征和数值大小,得到数列{T n }的符号特征及最值情况．由题意可知,等差数列的公差d ＝a ５－a １５－１＝－１＋９５－１＝２,则其通项公式为a n ＝－９＋(n －１)ˑ２＝２n －１１．注意到a １＜a ２＜a ３＜a ４＜a ５＜０＜a ６＝１＜a ７＜ ,得T １＜０,T ２＞０,T ３＜０,T４＞０,T ５＜０且T i ＜０(i ȡ６,i ɪN ),当n ȡ６时T n 单调递减,无最小值,{T n }中存在最大项．故选B ．８㊀未知代换,直达彼岸例１３㊀(２０２０年江苏卷１２)已知５x ２y ２＋y ４＝１(x ,y ɪR ),则x ２＋y ２的最小值是．令x ２＋y ２＝t (t ＞０),则x ２＝t －y ２,代入已知得５(t －y ２)y ２＋y ４＝１,整理得４(y ２)２－５t y ２＋１＝０,将其看成关于y ２的一元二次方程,由t ＞０及方程的特点可知此方程有两个正数解,则Δ＝２５t２－１６ȡ０,又因为t ＞０,则t ȡ４５,即x ２＋y ２的最小值是４５．９㊀合理转化,简捷判断例１４㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理１１)已知☉M :x ２＋y ２－２x －２y －２＝０,直线l :２x ＋y ＋２＝０,P 为l 上的动点．过点P 作☉M 的切线P A ,P B ,切点分别为A ,B ,当|P M | |A B |最小时,直线A B 的方程为(㊀㊀)．㊀㊀图６A ．２x －y －１＝０B ．２x ＋y －１＝０C ．２x －y ＋１＝０D ．２x ＋y ＋１＝０圆的方程可化为(x －１)２＋(y －１)２＝４,点M 到直线l 的距离为d ＝|２ˑ１＋１＋２|２２＋１２＝５＞２,所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知,A ,P ,B ,M四点共圆,且A B ʅMP ,所以把|P M | |A B |转化为２２４S әP A M ,进一步转化为４|MP |２－４,|P M | |A B |最小即|MP |最小,当直线MP ʅl 时,|MP |最小,又MP ʅA B ,故l ʊA B ,直线A B 与直线l 斜率相同,结合图形A B 在y 轴上的截距是负数,故选D ．１０㊀建系设点,巧渡难关有些数学试题,看似复杂,甚至感到无从下手,但只要建立恰当的平面直角坐标系,把问题转化为坐标运算,便可很快突破难点,巧渡难关．例１５㊀(２０２０年天津卷１５)如图７所示,在四边形A B C D 中,øB ＝６０ʎ,A B ＝３,B C ＝６,且A D ң＝λB C ң,A D ң A B ң＝－３２,则实数λ的值为;若M ,N 是线段B C 上的动点,且|MN ң|＝１,则DM ң DN ң的最小值为．图７因为A D ң＝λB C ң,所以A D ңʊB C ң,øB A D ＝１８０ʎ－øB ＝１２０ʎ,AB ң A D ң＝λBC ң A B ң＝λ|B C ң| |A B ң|c o s １２０ʎ＝－９λ＝－３２,解得λ＝１６．以点B 为坐标原点,B C 所在直线为x 轴建立图８所示的平面直角坐标系x B y ．因为B C ＝６,所以C (６,０),因为|A B |＝３,øA B C ＝６０ʎ,所以A 的坐标为A (３２,３３２)．图８又因为A D ң＝１６B C ң,则D (５２,３３２),设M (x ,０),则N (x ＋１,０)(其中０ɤx ɤ５),故DM ң＝(x －５２,－３３２),DN ң＝(x －３２,－３３２),DM ң DN ң＝(x －５２)(x －３２)＋(３３２)２＝x ２－４x ＋２１２＝(x －２)２＋１３２．综上,当x ＝２时,DM ң DN ң取得最小值１３２．１１㊀构造函数,技高一筹有些题目中的数量关系繁杂㊁抽象,使学生不易入手,但若学生能根据实际情况构造出与题目相关的函数,就可以使数量关系变得清晰明了,确有技高一筹之感．例１６㊀(２０２０年全国卷Ⅱ理１１)若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A ．l n (y －x ＋１)＞０㊀㊀B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０㊀D．l n |x －y|＜０由２x －２y ＜３－x －３－y ,可得２x －３－x ＜２y－３－y ,令f (t )＝２t －３－t ,因为y ＝２x为R 上的增函数,y ＝３－x为R 上的减函数,所以f (t )为R 上的增函数,所以x ＜y ．因为y －x ＞０,所以y －x ＋１＞１,所以l n (y －x ＋１)＞０,因为|x －y |与１的大小不确定,故C 与D 无法确定．故选A．例１７㊀(２０２０年全国卷Ⅰ理１２)若２a＋l o g ２a ＝４b＋２l o g ４b ,则(㊀㊀)．A ．a ＞２b ㊀㊀B ．a ＜２bC ．a ＞b ２㊀D ．a ＜b２设f (x )＝２x＋l o g ２x ,则f (x )为增函数,因为２a ＋l o g ２a ＝４b ＋２l o g ４b ＝２２b＋l o g ２b ＜２２b＋l o g ２２b ,所以f (a )＜f (２b ),则a ＜２b ．故选B ．１２㊀大胆估算,合理猜选有些以计算题形式出现的选择题,不必经过繁杂而精确的计算,只需大体估算一下,便可快速得到答案．例１８㊀(２０２０年全国卷Ⅱ理６)数列{a n }中,a １＝２,a m ＋n ＝a m a n ．若a k ＋１＋a k ＋２＋ ＋a k ＋１０＝２１５－２５,则k ＝(㊀㊀)．A．２㊀㊀B ．３㊀㊀C ．４㊀㊀D．５在a m ＋n ＝a m a n 中,令m ＝１,可得a n ＋１＝a n a １＝２a n ,a n ＋１a n＝２,所以数列{a n }是以２为首项,２为公比的等比数列,则a n ＝２ˑ２n －１＝２n,a k ＋１＋a k ＋２＋ ＋a k ＋１０＝２１５－２５,估算可知最后一项一定比２１５小,又不可能小于等于２１３,所以a k ＋１０＝２１４,从而a k ＝２４,k ＝４,故选C ．１３㊀函数思想,心中常想例１９㊀(２０２０年江苏卷１４)在平面直角坐标系x O y 中,已知P (３２,０),A ,B 是圆C :x ２＋(y －３２１２)２＝３６上的两个动点,满足P A ＝P B ,则әPA B 面积的最大值是．设圆心C (０,１２)到直线A B 距离为x ,则|A B |＝２３６－x ２,|P C |＝１,所以S әP A B ＝１２ˑ２３６－x ２(x ＋１)＝(３６－x ２)(x ＋１)２,把S әP A B 看成以x 为自变量的函数,令y ＝(３６－x ２)(x ＋１)２(０ɤx ＜６),yᶄ＝２(x ＋１)(－２x ２－x ＋３６)＝０,解得x ＝４(负值舍去)．当０ɤx ＜４时,y ᶄ＞０;当４ɤx ＜６时,yᶄɤ０,因此当x ＝４时,y 取最大值,即S әP A B 取最大值为１０５．１４㊀直觉思维,一步到位例２０㊀(２０２０年全国卷Ⅱ理５)若过点(２,１)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线２x －y －３＝０的距离为(㊀㊀)．A．５５㊀B ．２５５㊀C ．３５５㊀D．４５５过点(２,１)与两坐标轴都相切的圆,很容易直觉想到以(１,１)为圆心,以１为半径的圆,如图９,易知(１,１)到直线２x －y －３＝０的距离为|２－１－３|５＝２５５．故选B．图９１５㊀多招并用,联合作战例２１㊀(２０２０年天津卷９)已知函数f (x )＝x ３,x ȡ０,－x ,x ＜０．{若函数g (x )＝f (x )－|k x ２－２x |(k ɪR )恰有４个零点,则k 的取值范围是(㊀㊀)．A．(－ɕ,－１２)ɣ(２２,＋ɕ)B ．(－ɕ,－１２)ɣ(０,２２)C ．(－ɕ,０)ɣ(０,２２)D．(－ɕ,０)ɣ(２２,＋ɕ)注意到g (０)＝０,所以要使g (x )恰有４个零点,则方程|k x －２|＝f (x )|x |恰有３个实根,令h (x )＝f (x )|x |,即y ＝|k x －２|与h (x )＝f (x )|x |的图象有３个不同交点．因为h (x )＝f (x )|x |＝x ２,x ＞０,１,x ＜０．{当k ＝０时,y ＝２,如图１０,y＝２与h (x )＝f (x )|x |有１个交点,不满足题意．当k ＜０时,如图１１,此时y ＝|k x －２|与h (x )＝f (x )|x |恒有３个交点,满足题意．当k ＞０时,如图１２,当y ＝k x －２与y ＝x ２相切时,联立方程得x ２－k x ＋２＝０,令Δ＝０得k ２－８＝０,解得k ＝２２(负值舍去),所以k ＞２２．综上,k 的取值范围为(－ɕ,０)ɣ(２２,＋ɕ)．故选图１０㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１１图１２此题是倒数第２题,有较大难度,解答此题既用到了转化与化归思想,又用到了数形结合和分类讨论思想,属于多种策略联合使用解题．数学客观题的解法较多,因题而异,各有千秋,各种解法不是孤立的,而是相互渗透㊁相互补充的．解题时要根据题型采取 多兵种联合作战 的策略,这必将大大提高解答此类题的速度,真正达到准㊁巧㊁快的目的．(作者单位:１．北京工业大学附属中学２．北京市朝阳区教育研究中心)４２。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 三角函数、解三角形之第4讲 三角函数的图象与性质
[基础题组练]1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．[－π2，π2]B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π 解析：选C.函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)对称，故选C.3．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A.由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .所以φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6)的值为( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：选B.因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.5．(2019·山西晋城一模)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π3)的图象的一个对称中心为(π3，0)，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2 C ．2D ．π解析：选B.因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋π3)的图象的一个对称中心为(π3，0)，所以π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1，3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.6．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是奇函数，且在⎣⎡⎦⎤－π4，π3上单调递减，则ω的最大值是( )A.12B.23C.32D ．2 解析：选C.因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，0≤φ≤π，所以φ＝π2，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－sin ωx ，因为f (x )在 ⎣⎡⎦⎤－π4，π3上单调递减，所以－π4×ω≥－π2且π3×ω ≤π2，解得ω≤32，又ω>0，故ω的最大值为32.7．(2019·高考北京卷)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________． 解析：因为f (x )＝sin 22x ＝1－cos 4x 2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.答案：π28．(2019·昆明调研)已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点(2π3，0)对称，且f (x )在[0，π4]上为增函数，则ω＝________.解析：将点(2π3，0)代入f (x )＝sin ωx ，得sin 2π3ω＝0，所以2π3ω＝n π，n ∈Z ，得ω＝32n ，n ∈Z .设函数f (x )的最小正周期为T ，因为f (x )在[0，π4]上为增函数，所以ω>0，T 4≥π4，所以T ≥π，即2πω≥π，所以ω≤2.所以n ＝1，ω＝32.答案：329．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π510．(2019·成都模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)．若x 1x 2<0，且f (x 1)－f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为________．解析：如图，画出f (x )＝sin(2x ＋π3)的大致图象，记M (0，32)，N (π6，32)，则|MN |＝π6.设点A ，A ′是平行于x 轴的直线l 与函数f (x )图象的两个交点(A ，A ′位于y 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x 1，x 2，结合图形可知，|x 2－x 1|＝|AA ′|∈(|MN |，＋∞)，即|x 2－x 1|∈(π6，＋∞)． 答案：(π6，＋∞)11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，所以3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤ 22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12．(2019·安徽池州一模)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )>22，求x 的取值集合． 解：(1)f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx －32＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx －32＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＝sin(2ωx ＋π3)．因为周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，故f (x )＝sin(2x ＋π3)．由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f (x )>22，即sin(2x ＋π3)>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋k π<x <5π24＋k π，k ∈Z ，则x 的取值集合为{x |－π24＋k π <x <5π24＋k π，k∈Z }．[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③解析：选C.通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C. 优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解析：选D.如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈(0，π10)时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在(0，π10)单调递增，所以③正确．3．(应用型)(2019·唐山模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝________.解析：因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，由π2＋2k π≤ωx ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6ω＋2k πω≤x ≤7π6ω＋2k πω，因为f (x )在区间(π6，π2)上递减，所以(π6，π2)⊆[π6ω＋2k πω，7π6ω＋2k πω]，从而有⎩⎪⎨⎪⎧π6≥π6ω＋2k πωπ2≤7π6ω＋2k πω解得12k ＋1≤ω≤7＋12k3，k ∈Z ，所以1≤ω≤73，因为f (π6)＋f (π2)＝0，所以x ＝π6＋π22＝π3为f (x )＝2sin(ωx ＋π3)的一个对称中心的横坐标，所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，ω＝3k －1，k ∈Z ，又1≤ω≤73，所以ω＝2. 答案：24．(创新型)(2019·兰州模拟)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， 所以4sin(2x ＋π6)－1>1，所以sin(2x ＋π6)>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ，单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 导数及其应用之第1讲 变化率与导数、导数的计算
[基础题组练]1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 2．(2019·福州模拟)曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2 B.32 C.12D.14解析：选D.f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D.3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D. 12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52 C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________． 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7， 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：87．(2019·广州市调研测试)若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝xe x 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．解析：设切点坐标为(x 0，x 0ex 0)，y ′＝(x ＋1)e x ，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)ex 0，所以切线方程为y －x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个不同的解，则有Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＞0或a ＜－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)8．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.[综合题组练]1．(应用型)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.故选C. 2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.答案：2 54．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得， x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4. 5．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。
2020年高考数学(理)抢分秘籍06 三角函数与解三角形(解析版)
秘籍06 三角函数与解三角形1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线4y ,(0)3x x =-<上，则sin2α= A ．2425- B ．725- C ．1625D ．85【答案】A【解析】在角终边上取一点()3,4P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 所以4324sin22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 所以选A.三角函数定义：设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． （1）利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．（2）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么()tan π-α的值等于 A ．43- B ．34-C ．34D ．43【答案】D 【解析】∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，3cos 5α∴=-， ∴4tan 3α=-，则()4tan π--tan 3αα==.故选D ．【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式，诱导公式的应用，熟练掌握基本关系及诱导公式是解题的关键，诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.由题设条件可得cos α，再根据同角三角函数关系式可得tan α，然后根据诱导公式即可得解. 3．已知sin （π4+α）=35，则sin （3π4−α）=（ ） A ．45B ．−45C ．35D ．−35【答案】C【解析】：∵已知sin （π4+α）=35，则sin （3π4−α）=sin[π﹣（π4+α）]=sin （π4+α）=35， 故选：C ．【名师点睛】该题考查的是利用和角公式并借助于三角函数值求角的大小的问题，在解题的过程中，需要利用整体思维将角进行配凑求值1．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：22sin +cos 1αα=，可以实现角α的正弦、余弦的互化； 商的关系：sin cos tan ααα=，可以实现角α的弦切互化． （2）sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解. 2．诱导公式公式一二三四五六角 2k π+α（k ∈Z ） π+α −α π−α2π−α 2π+α 正弦 sin α −sin α −sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α −cos α cos α −cos α sin α −sin α 正切 tan αtan α−tan α−tan α口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 3．三角恒等变换（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式①cos()αβ±=cos cos sin sin αβαβm ②sin()αβ±=sin cos cos sin αβαβ± ③tan()αβ±=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ±±≠+∈Z m（2）二倍角公式 ①sin2α=2sin cos αα②cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- ③tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且1．已知曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)，则下列说法正确的是（ ）A ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移π3，得到曲线C 2B ．把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2C ．把C 1向右平移π3，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2D ．把C 1向右平移π6，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线C 2【答案】B【解析】：根据曲线C 1：y =sinx ，C 2：y =cos(12x −5π6)=sin （12x ﹣π3），把C 1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin （12x ）的图象；再把得到的曲线向右平移2π3，得到曲线C 2：y=sin （12x ﹣π3） 的图象， 故选：B ．函数图象的平移变换解题策略：（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|.如下图：（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.2．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为π2，若角φ的终边经过点(3，√3)，则f(π4)的值为（ ） A ．√32B ．√3C ．2D ．2√3【答案】A【解析】：由题意相邻对称轴的距离为π2，可得周期T=π，那么ω=2， 角φ的终边经过点(3，√3)，在第一象限．即tanφ=√33，∴φ=π6故得f （x ）=sin （2x+π6）则f(π4)=sin （π2+π6）=cos π6=√32．故选：A ． 3．已知函数()1π3sin cos cos 223f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）将函数()f x 图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数为()g x .当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.【解析】（1）()1π313sin cos cos 2sin 2cos 22344f x x x x x x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令ππ2π62x k k -=+∈Z ，， 解得ππ32k x =+,k ∈Z . ∴函数()f x 图象的对称轴方程为ππ32k x =+,k ∈Z . （2）易知()12πsin 223g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∵π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2π2ππ2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， ∴2π3sin 2132x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，， ∴()12π13sin 22324g x x ⎡⎤⎛⎫=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，， 即当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x 的值域为1324⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.【名师点睛】对三角函数的考查是近几年高考考查的一大热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题时，对两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解.对于本题，（1）利用二倍角的正弦公式、诱导公式以及两角差的正弦公式将函数()f x 化为1π()=sin 226f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用ππ2π62x k k -=+∈Z ，，可解得函数()f x 图象的对称轴方程；（2）将函数()f x 图象向右平移π4个单位长度，可得()g x 的函数解析式，再利用正弦函数的性质结合正弦函数的图象可得函数()g x 的值域.（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z .（2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数． （5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π22k x k ωϕ-≤+≤+()k ∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =2，c =2√2，且C =π4，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3+1 B ．√3−1C ．4D ．2【答案】A【解析】：由正弦定理bsinB=c sinC⇒sinB =bsinC c=12，又c ＞b ，且B ∈（0，π）， 所以B =π6， 所以A =7π12，所以S =12bcsinA =12×2×2√2sin 7π12=12×2×2√2×√6+√24=√3+1．故选：A ．【名师点睛】解三角形问题，主要是确定选用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，一般可根据已知条件和要求的问题确定.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ． （1）求角C 的大小；（2）若c=2，△ABC 的面积为√3，求该三角形的周长． 【解析】：（1）在△ABC 中，由正弦定理知asinA =bsinB =csinC=2R ，又因为（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ， 所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC ， 即2sinAcosC=sinA ； ∵0＜A ＜π，∴sinA ＞0； ∴cosC=12；又0＜C ＜π，∴C=π3；（2）∵S △ABC =12absinC=√34ab=√3，∴ab=4又c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a+b ）2﹣3ab=4， ∴（a+b ）2=16， ∴a+b=4； ∴周长为6【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的时候，必须将角的范围写上.1．正弦定理：sin sin sin a b c ==A B C. 常见变形：（1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C +++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C =（4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 2．余弦定理：2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，常见变形：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．三角形的面积公式：111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===. 4．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．6．已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos 2x2+12． （1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f(A)=12，a =√3，sinB=2sinC ，求c ．【解析】：（1）f(x)=√32sinx −12cosx =sin(x −π6)， 由π2+2kπ≤x −π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得2π3+2kπ≤x ≤5π3+2kπ，k ∈Z ；∴函数f（x）的单调递减区间为[2π3+2kπ，5π3+2kπ]，k∈Z；（2）∵f(A)=sin(A−π6)=12，A∈（0，π），∴A=π3；∵sinB=2sinC，∴由正弦定理bsinB =csinC，得b=2c；又由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，a=√3，得3=4c2+c2−4c2×12，解得c=1．三角恒等变换与三角函数的图象及性质、解三角形、向量相结合的综合问题比较常见，首先利用向量的坐标运算将其转化为三角函数问题，再利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=A sin(ωx ＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的形式，然后利用其性质进行解题，涉及的解三角形问题常需利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解.1．在直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin2π3，cos2π3)，则sin（π﹣α）=（）A．12B．√32C．−12D．−√322．已知α为第二象限的角，且tanα=﹣34，则sinα+cosα=（）A．﹣75B．﹣34C．﹣15D．153．已知tanα=3，则sin2α1+cos2α=（）A．﹣3 B．−1 3C ．13D ．34．设函数()11πsin 3cos ()222f x x x θθθ⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于原点对称，则θ的值为A ．π6- B ．π6 C ．π3-D ．π35．已知cos （π4−θ2）=23，则sinθ=（ ）A ．79B ．19C ．﹣19D ．﹣796．为了得到函数y =2cos2x 的图象，可以将函数y =cos2x −√3sin2x 的图象 A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 7.函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)，若f(0)=−√3，且函数f （x ）的图象关于直线x =−π12对称，则以下结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为π3B ．函数f （x ）的图象关于点(7π9，0)对称C ．函数f （x ）在区间(π4，11π24)上是增函数D ．由y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f （x ）的图象8．函数f (x )=A cos(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<0)的部分图象如图所示，则关于函数g (x )=A sin(ωx −φ)的下列说法正确的是A ．图象关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，成中心对称 B ．图象关于直线π6x =对称 C ．图象可由2cos 2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．在区间5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 9．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f （x 1）=2，f （x 2）=0，若|x 1﹣x 2|的最小值为12，且f(12)=1， 则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．[−16+2k ，56+2k]，k ∈Z B ．[−56+2k ，16+2k]，k ∈ZC ．[−56+2kπ，16+2kπ]，k ∈ZD ．[16+2k ，76+2k]，k ∈Z10．将函数f （x ）=2√3cos2x ﹣2sinxcosx ﹣√3的图象向左平移t （t ＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）A ．2π3B ．π3C ．π2D ．π611．若将函数y =sin2x +√3cos2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ） A ．x =kπ2−π12(k ∈Z) B ．x =kπ2+π2(k ∈Z)C ．x =kπ2(k ∈Z) D ．x =kπ2+π12(k ∈Z)12．已知sinα−cosα=43，则cos 2(π4−α)=（ ） A ．19B ．29C ．49D ．5913．已知cos （π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则sin （α+β）的值为（ ）A ．4√2+√59B ．4√2−√59 C ．−4√2+√59D ．−4√2−√5914．设α∈(0，π2)，β∈(0，π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（ ）A ．2α﹣β=π4 B ．2α+β=π4 C ．α﹣β=π4 D ．α+β=π415.已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形16.已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b+cosC c=sinA√3sinC，则b 的值为（ ）A ．√3B ．2√3C ．√32D ．√617.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若(a −b)(sinA +sinB)=c(sinC +√3sinB)，则角A 等于（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π618.在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，且直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形19.若△ABC 的角A ，B ，C 对边分别为a 、b 、c ，且a=1，∠B=45°，S △ABC =2，则b=（ ）A ．5B ．25C ．√41D ．5√220.在△ABC 中，已知a=14，b=16，A=45°，则此三角形（ ）A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定21．ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中b =c ，若m =(a 2,2b 2)，n =(1,sinA −1)，0⋅=m n ，则A 等于____________．22．在ΔABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，ΔABC 的面积S 满足4√3S =b 2+c 2−a 2，若a =2，则ΔABC 外接圆的面积为___________.23．在△ABC 中，a ：b ：c=4：5：6，则tanA= ．24.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为 ．25.将函数y=5sin （2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则φ= ．26．已知函数f （x ）=2sinx （sinx+cosx ）﹣a 的图象经过点（π2，1），a ∈R ． （1）求a 的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若当x ∈[0，π2]时，不等式f （x ）≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．27．已知函数f （x ）=2√2sinxcos （x+π4）．（△）若在△ABC 中，BC=2，AB=√2，求使f （A ﹣π4）=0的角B ．（△）求f （x ）在区间[π2，17π24]上的取值范围．28．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ． （1）求角C 的大小；（2）若c=2，△ABC 的面积为√3，求该三角形的周长．29.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinB +√3bcosA =0． （1）求A ；（2）若a=√3，求△ABC 面积S 的最大值．30．已知A ，B ，C 为锐角ABC △的三个内角，向量m =(2−2sinA,cosA +sinA)，n =(1+sinA,cosA −sinA)，且⊥m n . （1）求A 的大小； （2）求y =2sin 2B +cos(2π3−2B)取最大值时角B 的大小.31．已知函数()π4sin cos 6g x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y g x =的图象向左平移π6个单位长度得到()y f x =的图象.（1）求函数()g x 的最小正周期；（2）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3b =，且()3f B =-，求ABC △面积的最大值.32．已知向量()2sin2,2cos2x x =a ，()πcos ,sin ()2ϕϕϕ=<b ，若()f x =⋅a b ，且函数()f x 的图象关于直线π6x =对称.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2f A =，且5b =，23c =，求ABC △外接圆的面积.1.【答案】C【解答】：∵角α的终边经过点P(sin 2π3，cos2π3)，可得cosα=sin2π3=√32，sinα=cos2π3=﹣12，∴sin （π﹣α）=sinα=﹣12， 故选：C ． 2.【答案】C 【解答】：tanα=sinαcosα=﹣34，①，sin2α+cos2α=1，②，又α为第二象限的角， ∴sinα＞0，cosα＜0，联立①②，解得sinα=35，cosα=−45， 则sinα+cosα=−15． 故选：C ． 3.【答案】D【解答】：∵tan α=3，则sin2α1+cos2α=2sinαcosα1+2cos 2α−1=tan α=3，故选：D ．4．【答案】D【解析】因为()111πsin 3cos 2sin 2223f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 的图象关于原点对称，所以()ππ3k k θ-=∈Z ，即()ππ3k k θ=+∈Z ， 因为π2θ<，所以π3θ=. 故选D. 5.【答案】C【解答】：∵cos （π4−θ2）=23，∴cos （π2﹣θ）=2cos 2(π4−θ2)﹣1=﹣19=sinθ， 即sinθ=﹣19， 故选：C ． 6．【答案】B【解析】πcos23sin22cos 23y x x x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， 为了得到函数2cos2y x =的图象，可以将函数π2cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度. 故选B ． 7.【答案】D【解答】：函数f(x)=2sin(ωx +φ)(0＜ω＜12，|φ|＜π2)， ∵f(0)=−√3，即2sin φ=−√3， ∵−π2＜φ＜π2∴φ=−π3又∵函数f （x ）的图象关于直线x =−π12对称， ∴−ω×π12−π3=π2+k π，k ∈Z ．可得ω=12k ﹣10， ∵0＜ω＜12．∴ω=2．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=2sin （2x ﹣π3）．最小正周期T=2π2=π，∴A 不对．当x=7π9时，可得y ≠0，∴B 不对．令﹣π2≤2x ﹣π3≤π2，可得−π12≤x ≤5π12，∴C 不对．函数y=2cos2x 的图象向右平移5π12个单位，可得2cos2（x ﹣5π12）=2cos （2x ﹣5π6）=2sin （2x ﹣5π6+π2）=2sin（2x ﹣π3）．∴D 项正确． 故选：D ． 8．【答案】D【解析】由图象可知π2,,22T A ==故=2ω， 又过点π,23⎛⎫⎪⎝⎭，所以2πcos 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且π0ϕ-<<，所以2π=3ϕ-， 因此函数为()2π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 显然当5π012x ≤≤时，2π2π3π2332x ≤+≤，所以函数()g x 是减函数. 故选D ． 9.【答案】B【解答】：由f （x 1）=2，f （x 2）=0，且|x 1﹣x 2|的最小值为12可知：T 4=12，∴T=2⇒ω=π，又f(12)=1，则φ=±π3+2kπ，k ∈Z ，∵0＜φ＜π2，∴φ=π3，f （x ）=2sin （πx+π3），2k π−π2≤πx+π3≤2k π+π2，k ∈Z ，故可求得f （x ）的单调递增区间为：[﹣56+2k ，16+2k]，k ∈Z ， 故选：B ． 10.【答案】D【解答】：将函数f （x ）=2√3cos2x ﹣2sinxcosx ﹣√3=√3cos2x ﹣sin2x=2cos （2x+π6）的图象向左平移t （t ＞0）个单位，可得y=2cos （2x+2t+π6）的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t+π6=kπ+π2，k ∈Z ，则t 的最小为π6，故选：D ． 11.【答案】A【解答】：将函数y =sin2x +√3cos2x =2sin （2x+π3）的图象向左平移π6个单位长度，可得y=2sin （2x+π3+π3）=2sin （2x+2π3）的图象，令2x+2π3=kπ+π2，可得x=kπ2﹣π12，k ∈Z ，则平移后图象的对称轴方程为x=kπ2﹣π12，k ∈Z ，故选：A ． 12.【答案】A【解答】：由sinα−cosα=43，得sin 2α−2sinαcosα+cos 2α=169，∴sin2α=−79，∴cos 2(π4−α)=1+cos(π2−2α)2=1+sin2α2=1−792=19．故选：A ． 13.【答案】B【解答】：由cos （π﹣α）=13，sin(π2+β)=23，得cosα=﹣13，cosβ=23， ∵α，β∈（0，π），∴sinα=2√23，sinβ=√53． ∴sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=2√23×23−13×√53=4√2−√59． 故选：B ． 14.【答案】C 【解答】：tanα=1+sin2βcos2β=(sinβ+cosβ)2cos 2β−sin 2β=sinβ+cosβcosβ−sinβ=1+tanβ1−tanβ=tan(β+π4)．因为α∈(0，π2)，β+π4∈（π4，π2），所以α=β+π4． 故选：C ． 15.【答案】C【解答】：∵△ABC 中，AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →， ∴AB →2=AB →⋅AC →−AB →⋅BC →+CA →⋅CB →=AB →（AC →﹣BC →）+CA →•CB →=AB →•AB →+CA →•CB →即AB →2=AB →2+CA →•CB →，得CA →•CB →=0∴CA →⊥CB →即CA ⊥CB ，可得△ABC 是直角三角形 故选：C ． 16.【答案】A 【解答】：△cosB b+cosC c=sinA√3sinC ，△ccosB+bcosC=a√3cbc=ab√3，△由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=bsinA √3，可得：sinA=bsinA √3，△A 为锐角，sinA≠0，解得：b=√3． 故选：A ． 17.【答案】D【解答】：∵(a −b)(sinA +sinB)=c(sinC +√3sinB)， ∴（a ﹣b ）（a+b ）=c （c+√3b ）， ∴a 2﹣c 2﹣b 2=√3bc ， 由余弦定理可得cosA=b 2+c 2−a 22bc =﹣√32，∵A 是三角形内角，∴A=5π6．故选：D ． 18.【答案】C【解答】：∵直线bx+ycosA+cosB=0与ax+ycosB+cosA=0平行， ∴ba =cosA cosB，解得bcosB=acosA ，∴利用余弦定理可得：b ×a 2+c 2−b 22ac=a ×b 2+c 2−a 22bc，整理可得：c 2（b 2﹣a 2）=（b 2+a 2）（b 2﹣a 2），∴解得：c 2=a 2+b 2或b=a ，而当a=b 时，两直线重合，不满足题意； 则△ABC 是直角三角形． 故选：C ． 19.【答案】A【解答】：S △ABC =12acsinB=12c ⋅√22=2，c=4√2 ∴b=√a 2+c 2−2accosB =√1+32−2×4√2×√22=5 故选：A ． 20.【答案】C【解答】：△ABC 中，a=14，b=16，A=45°， 由正弦定理得，14sin45°=16sinB ，sinB=4√27＜1，且b ＞a ，∴B 可以有两个值，此三角形有两解． 故选：C ．21．【答案】π4【解析】在ΔABC 中，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，因为b =c ，所以a 2=2b 2−2b 2cosA =2b 2(1−cosA)，又由()222sin 10a b A ⋅=+-=m n ，解得a 2=2b 2(1−sinA)， 所以1−sinA =1−cosA ，则tanA =1，由0<A <π，得A =π4.22．【答案】4π 【解析】由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc ⇒b 2+c 2−a 2=2bc ⋅cosA ， 由面积公式得S =12bc ⋅sinA ，又ΔABC 的面积S 满足4√3S =b 2+c 2−a 2，可得tanA =√33 ，A =π6，即sinA =12， 再由正弦定理得a sinA =2R ⇒R =2，所以外接圆面积S =πR 2=4π.23.【解答】：△ABC 中，a ：b ：c=4：5：6，设a=4k ，b=5k ，c=6k ，k ＞0，则cosA=b 2+c 2−a 22bc =25k 2+36k 2−16k 22×5k×6k=34， ∴sinA=√1−cos 2A =√1−(34)2=√74；∴tanA=sinA cosA =√73．故答案为：√73．24.【答案】2【解答】：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知，3T 4=11﹣2=9，解得T=12，ω=2πT=π6； 又f （0）=Asin φ=1，∴sin φ=1A ；f （2）=Asin （π6×2+φ）=A ，∴φ=π6，∴1A =sin π6=12，∴A=2，∴f （2018）=f （168×12+2）=f （2）=A=2．故答案为：2．25.【答案】π8【解答】：△y=5sin （2x+π4）的图象向左平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得： g （x ）=f （x+φ）=2sin （2x+2φ+π4），△g （x ）=2sin （2x+2φ+π4）的图象关于y 轴对称，△g （x ）=2sin （2x+2φ+π4）为偶函数，△2φ+π4=kπ+π2，k△Z ，△φ=12kπ+π8，k△Z ． △0＜φ＜π2，△φ=π8．故答案为：π8．26【解答】：（1）函数f （x ）=2sinx （sinx+cosx ）﹣a 的图象经过点（π2，1）， ∴2sin π2（sin π2+cos π2）﹣a=1，即2﹣a=1，解得a=1；∴函数f （x ）=2sinx （sinx+cosx ）﹣1=2sin2x+2sinxcosx ﹣1=2×1−cos2x 2+sin2x ﹣1=sin2x ﹣cos2x =√2sin （2x ﹣π4）；令﹣π2+2kπ≤2x ﹣π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得﹣π8+kπ≤x ≤3π8+kπ，k ∈Z ；∴f （x ）的单调递增区间为[﹣π8+kπ，3π8+kπ]，k ∈Z ；（2）当x ∈[0，π2]时，2x ﹣π4∈[﹣π4，3π4]，∴√2sin （2x ﹣π4）≥√2×（﹣√22）=﹣1；又不等式f （x ）≥m 恒成立，∴实数m 的取值范围是m ≤﹣1．27.【解答】：（I ）∵f(A −π4)=2√2sin(A −π4)cosA =0，∴sin(A −π4)=0或cosA =0，∴在三角形中，得A =π4或π2． ∵△ABC 中，BC=2，AB=√2，∴当A=π2时，△ABC 为等腰直角三角形，B=π4； 当A=π4时，由正弦定理可得2sin π4=√2sinC ， 求得sinC=12，∴C=π6 或C=5π6（舍去），∴B=π﹣A ﹣C=7π12．综上可得，B=π4 或B=7π12．（II ）f(x)=2√2sinx(√22cosx −√22sinx)=2sinxcosx −2sin 2x =sin2x +cos2x −1=√2(√22sin2x +√22cos2x)−1=√2sin(2x +π4)−1，∵π2≤x ≤17π24，∴5π4≤2x +π4≤5π3，∴−√2≤√2sin(2x +π4)≤−1，∴﹣√2﹣1≤sin （2x ﹣π4）≤﹣2． 由正弦函数的性质可知，当2x +π4=3π2，即x =5π8时，f(x)取最小值−√2−1；当2x +π4=5π4，即x =π2时，f(x)取最大值−2．所以，f （x ）在区间[π2，17π24]上的取值范围是[−√2−1，−2]．28【解答】：（1）在△ABC 中，由正弦定理知a sinA =b sinB =c sinC =2R ，又因为（2a ﹣b ）•cosC=c•cosB ，所以2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC ，即2sinAcosC=sinA ；∵0＜A ＜π，∴sinA ＞0；∴cosC=12；又0＜C ＜π，∴C=π3；（2）∵S △ABC =12absinC=√34ab=√3，∴ab=4，又c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=（a+b ）2﹣3ab=4， ∴（a+b ）2=16，∴a+b=4；∴周长为629.【解答】：（1）在△ABC 中，由正弦定理得sinAsinB +√3sinBcosA =0，即sinA +√3cosA =0，故tanA =−√3，又A ∈（0，π）故A =23π（2）在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，又a=√3，所以3=b 2+c 2+bc ≥2bc+bc=3bc ，即bc ≤1，当且仅当b=c=1时，等号成立则S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√34， 所以△ABC 面积S 的最大值为√3430．【解析】（1）∵ m n ，∴(2−2sinA)(1+sinA)+(cosA +sinA)(cosA −sinA)=0，即2(1−sin 2A)=sin 2A −cos 2A ，即2cos 2A =1−2cos 2A ，即cos 2A =14，∵△ABC 是锐角三角形，∴cosA =12，即A =π3.（2）∵△ABC 是锐角三角形，且A =π3，∴π6<B <π2， ∴y =2sin 2B +cos(2π3−2B) =1−cos2B −12cos2B +√32sin2B =√32sin2B −32cos2B +1 =√3sin(2B −π3)+1， 当y 取最大值时，2B −π3=π2，即B =512π.31．【解析】（1）∵()π4sin cos 6g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()223sin cos 2cos g x x x x =-，∴()π3sin 2cos 212sin 216g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ∴()g x 的最小正周期为2ππ2T ==. （2）∵()πππ2sin 212sin 21666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴()π2sin 2136f B B ⎛⎫=+-=-⇒ ⎪⎝⎭πsin 216B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∵ππ13π2,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴π3π262B +=⇒2π3B =. 由余弦定理得2222π32cos3a c ac =+-⇒229a c ac ++=， 22923a c ac ac ac ac =++≥+=，即3ac ≤，当且仅当a c =时取等号.∴ABC △的面积12π33sin 234ABC S ac =≤△， ∴ABC △面积的最大值为334. 【名师点睛】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数图象变换，正弦定理，余弦定理以及基本不等式等知识，属于中档题．对于本题，（1）利用二倍角的正弦、余弦公式，两角差的正弦公式化简解析式，得到函数()π2sin 216g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由周期公式求出f （x ）的最小正周期.（2）由题意得()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据()3f B =-可得πsin 216B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而可得2π3B =.然后由余弦定理得229a c ac ++=，结合基本不等式得到3ac ≤，即可求出ABC △面积的最大值.32．【解析】（1）()2sin2cos f x x ϕ=⋅=a b ()2cos2sin 2sin 2x x ϕϕ+=+，∵函数()f x 的图象关于直线π6x =对称，∴ππ2π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴ππ6k ϕ=+，k ∈Z ， 又2πϕ<，∴π6ϕ=.∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由ππ3π2π22π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，得π2πππ,63k x k k +≤≤+∈Z ． ∴()f x 的单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （2）∵()π2sin 226f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴πsin 216A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵()0,πA ∈，∴ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴ππ262A +=，∴π6A =. 在ABC △中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-π25122523cos 76=+-⨯⨯=，∴7a =. 由正弦定理得2sin a R A =72712==，∴7R =， ∴ABC △外接圆的面积2π7πS R ==．。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.4 算法及框图(解析版)
11.4 算法与框图1．算法算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法．2．流程图流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．3．三种基本逻辑结构(1)依次进行多个处理的结构称为顺序结构，是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)选择结构是先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构．其结构形式为(3)循环结构是指需要重复执行同一操作的结构，需要重复执行的同一操作称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．其结构形式为【套路秘籍】---千里之行始于足下4．算法语句(1)赋值语句用符号“←”表示，“x←y”表示将y的值赋给x，其中x是一个变量，y是一个与x 同类型的变量或表达式．一般格式为：变量名←表达式．(2)输入、输出语句用输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b，用输出语句“Print x”表示输出运算结果x.(3)条件语句条件语句的一般形式是If A ThenBElseCEnd If(4)循环语句①当型循环a．While循环当循环次数不能确定时，可用“While”语句来实现循环．“While”语句的一般形式为While p循环体End Whileb．For循环当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示，“For”语句的一般形式为For I From“初值”To“终值”Step“步长”循环体End For②直到型循环直到型循环的一般形式为Do循环体Until pEnd Do【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一 程序框图例1 (1)如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，则输出的y 的值为________．（2）如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋196的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是________．【答案】（1）－15 （2）i >48【解析】（1）由题意，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x <0，5－4x ，x ≥0，当x ＝5时，y ＝5－4×5＝－15，所以输出的y 的值为－15.（2）程序运行过程中，各变量值如下： 第1次循环：S ＝0＋12＝12，n ＝4，i ＝2，第2次循环：S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，第3次循环：S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4，依次类推，第48次循环：S ＝12＋14＋16＋18＋…＋196，n ＝98，i ＝49，退出循环体．所以判断框内应填入的条件是i >48. 【举一反三】1.执行如图所示的流程图，输出的s 值为________．【答案】 56【解析】 初始化数值k ＝1，s ＝1， 循环结果执行如下：第一次：s ＝1＋(－1)1·12＝12，k ＝2，k ＝2≥3不成立；第二次：s ＝12＋(－1)2·13＝56，k ＝3，k ＝3≥3成立，循环结束，输出s ＝56.2．执行如图所示的流程图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝________.【答案】 37【解析】 第一步运算：S ＝11×3＝13，i ＝2； 第二步运算：S ＝13＋13×5＝25，i ＝3；第三步运算：S ＝25＋15×7＝37，i ＝4>3.故S ＝37.考向二 算法案例【例2】（1）．用辗转相除法求510和357的最大公约数（ ） A ．51B ．27C ．8D ．3（2）下列各数转化成十进制后最小的数是 ( ) A ．111111(2)B ．210(6)C ．1000(4)D ．81(9)（3）用秦九韶算法计算函数7542()75422f x x x x x x =+++++，当1x =时的值，则3V =__________．【答案】（1）A （2）A （3）16【解析】（1）由辗转相除法得51035711533571532511535130=⨯+⎧⎪=⨯+⎨⎪=⨯+⎩，故51为510和357的最大公约数.选A.（2）111111(2)= 1×25+1×24+1×23+1×22+1×2+1=63； 210(6)=2×62+1×6+0=78； 1000(4)=1×43=64； 81(9)=8×9+1=73故选A.（3）由秦九韶算法可得：f （x ）=7x 7+5x 5+4x 4+2x 2+x+2=（（（（（（7x ）x+5）x+4）x ）x+2）x+1）x+2． 当x=1时的值，则V 0=7，V 1=7×1=7，V 2=7×1+5=12，V 3=12×1+4=16． 故答案为：16． 【举一反三】1．用秦九韶算法求多项式()5424231f x x x x =+-+，当3=x 时，3=v __________.【答案】123.【解析】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：()()()()()420301f x x x x x x =++-++40=v ，143214v =⨯+=，2143042v =⨯+=，34233123v =⨯-=，3123v ∴=.故答案为：123.2．十进制数2015等值于八进制数为（ ） A ．3737（8） B ．737（8）C ．03737（8）D ．7373（8）【答案】A【解析】因为2015=3×83+7×82+3×81+7×80 所以十进制数2015等值于八进制数为：3737.故选：A3．用更相减损术求117和182的最大公约数时，需做减法的次数是( ) A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】∵182−117=65，117−65=52，65−52=13，52−13=39，39−13=26，26−13=13，∴13是117和182的最大公约数，需做减法的次数是6.故答案为：C.1．阅读流程图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为________．【答案】 9【解析】 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.2．()21001101 与下列哪个值相等( )． A ．()8115 B ．()8113 C ．()8114 D ．()8116【答案】A 【解析】【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行6543210(2)10011011202021212021277=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．210(8)11518185877=⨯+⨯+⨯=．210(8)11318183875=⨯+⨯+⨯=．210(8)11418184876=⨯+⨯+⨯=．210(8)11618186878=⨯+⨯+⨯=．故选：A ．3．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A F ~共16个计数符合，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9A B C D E F十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例如用十六进制表示：1B+F =A ，则用十六进制表示B D ⨯=（ ） A ．3E B ．3E C ．8F D ．8F【答案】D【解析】B D ⨯用十进制表示为1113143⨯=，而14381615=⨯+，所以用十六进制表示为8F .选D.4．下列各数中最小的是（ ） A ．(2)10101 B ．(8)221 C ．(6)1011D ．81【答案】A【解析】由题意知4321(2)10101120212021221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；210(8)221282818145=⨯+⨯+⨯=；3210(6)101116061616223=⨯+⨯+⨯+⨯=.故选A.5．将八位数(8)135化为二进制数为（ ）A ．()21110101B ．()21010101C ．()21011101D ．()21111001【答案】C【解析】135（8）=1×82+3×81+5×80=93（10）． 利用“除2取余法”可得 93（10）=1011101（2）． 故选：C ．6．一个k 进制的三位数与某六进制的二位数等值，则k 不可能是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．7【答案】D【解析】3进制最小的三位数：()()3610013=；4进制最小的三位数：()()4610024=；5进制最小的三位数：()()5610041=；7进制最小的三位数：()()76100121=∴一个7进制的三位数不可能与某6进制的二位数等值本题正确选项：77．用秦九韶算法求多项式234()1232f x x x x x =++-+在1x =-时的值，2v 的结果是（ ）A ．–4B ．–1C ．5D ．6【答案】D【解析】()(((23)1)2)1f x x x x x =-+++，02v =,10032(1)35v v x =-=⨯--=-，∴ 21015(1)16v v x =+=-⨯-+=，故选D ．8．将十进制数47化为二进制数，根据二进制数“满二进一”的原则，采用“除二取余法”，得如下过程：472231=⨯+，232111=⨯+，11251=⨯+，5221=⨯+，2210=⨯+，1201=⨯+，把以上各步所得余数从后面到前面依次排列，从而得到47的二进制数为101111，记作:(2)47101111=.类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则(3)47=（ ）A ．202B ．1202C ．1021D ．2021【答案】B 【解析】注意到：473152,15350,5312=⨯+=⨯+=⨯+，1301=⨯+，结合题意可得：3(47)1202=.故选：B .9．观察：472231=⨯+，232111=⨯+，11251=⨯+，5221=⨯+，2210=⨯+ ，1201=⨯+，从而得到47的二进制数为101111，记作：()247101111=，类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则()347=（ ） A ．202 B ．1202C ．021D ．2021【答案】B【解析】因为473152,1535,5312,2302=⨯+=⨯=⨯+=⨯+， 所以4712729032=⨯+⨯+⨯+，故()3471202=，故选B.10．计算机常用的十六进制是逢十六进一，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，E +D =1B ，则A ×B = ( ) A ．6E B ．72C ．5FD ．5B【答案】A【解析】由十进制表示A ×B =10×11=110，而110=6×16+14=6E (16)． 故答案为：A.11．关于进位制的说法错误的是 ( )A ．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统B ．二进制就是满二进一,十进制就是满十进一C ．满几进一,就是几进制,几进制的基数就是几D ．为了区分不同的进位制,必须在数的右下角标注基数 【答案】D【解析】一般情况下,不同的进位制须在数的右下角标注基数,但十进制可以不用标注,故D 错误.故选D.12．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节（Byte ）”是更大的存储单位，18Byte bit =，因此1字节可存放从()200000000至()211111111共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ）A．254 B．381 C．510 D．765【答案】B【解析】恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为11000000，1100000，110000，11000，1100，110，11，共7个.转化为十进制并相加得()()()()()()() 76655443322110+++++++++++++381 22222222222222=，故选B. 13．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的v值为（）A．9×210−2B．9×210+2C．9×211+2D．9×211−2【答案】C【解析】根据题意，初始值v=10,x=2，程序运行如下：k=9,v=10×2+9k=8,v=10×22+9×2+8k=7,v=10×23+9×22+8×2+7...k =0,v =10×210+9×29+...+1×21+0×20 =9×211+2 故选C 项.14．执行下面的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．8B ．18C ．26D ．80【答案】C 【解析】从算法流程图中提供的算法程序可得10213233333327126S =-+-+-=-=，此时314n =+=，运行程序结束，由题设输出26S =，应选答案C 。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 必做题之矩阵与变换
第1讲 矩阵与变换1．(2017·苏北四市调研)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a021的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程． 解 由题意得矩阵M 的特征多项式f (λ)＝(λ－a )(λ－1)， 因为矩阵M 有一个特征值为2，f (2)＝0，所以a ＝2. 所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2x ＋y ， 代入方程x 2＋y 2＝1，得(2x )2＋(2x ＋y )2＝1， 即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.2．(2014·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤－11 2x ，B ＝⎣⎡⎦⎤12 1－1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解 由已知，得Aα＝⎣⎡⎦⎤－11 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎡⎦⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎡⎦⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ， 故⎩⎨⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.3．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 21的一个特征值λ＝3所对应的一个特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 由题意得Ae ＝λe ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴a ＋1＝3， ∴a ＝2， ∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，∴|A |＝－3≠0，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－3－2－3－2－31－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13.4．(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ， 则⎣⎡⎦⎤－10 02·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12， 从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－100 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－100 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎡⎦⎤－10－2 3. 5．(2017·扬州质检)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l ′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程． 解 因为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201， 所以B －1＝⎣⎡⎦⎤10 －2 1， 所以AB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎡⎦⎤10 －2 1＝⎣⎡⎦⎤10 －2 2. 设直线l 上任意一点(x ，y )在矩阵AB －1对应的变换下为点(x ′，y ′)， 则⎣⎡⎦⎤10 －2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝x －2y ，y ′＝2y ，代入l ′，得(x －2y )＋2y －2＝0，化简后得x ＝2.故直线l 的方程为x ＝2.6．(2017·盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β.解 设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎨⎧Mα1＝λ1α1Mα2＝λ2α2可解得m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 7．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎨⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组，解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4－36. 8．(2017·南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成点(3,4)． (1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，即6＋3a ＝3,2b －6＝4，所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3，所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－5 4.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第75课基本算法语句 Word版含解析
第75课基本算法语句(1)1. 了解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输出语句、条件语句、循环语句.2. 能用自然语言、流程图和伪代码表示算法，会用“While循环”“For循环”或“Do循环”语句实施循环.1. 阅读：必修3第17～21页.2. 解悟：①伪代码的含义；②赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句的一般形式；③“If-Then-Else”语句嵌套及实现功能；④三种循环语句的区别.3. 践习：重解第20～21页例2和例3.在教材空白处，完成第21页练习第2、3题.基础诊断1. 下列语句：①m←x3－x2；②T←T×I；③32←A；④A←A＋2；⑤p←[(7x＋3)x－5]x ＋1.其中为赋值语句的是①②④⑤.(填序号)解析：因为③中左边为数字，故不是赋值语句，①②④⑤均为赋值语句.2. 执行如图所示的程序，则输出的结果为26.解析：由题意得S＝1＋1＋3＋5＋7＋9＝26，故输出的结果为26.3. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为11.解析：由题意可得I＝1满足条件I<7，S＝3；I＝3满足条件I<7，S＝7；I＝5满足条件I<7，S＝11；I＝7，不满足条件I<7，退出循环，故输出的结果为11.4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为21.解析：P＝1＋2×(1＋4＋7＋10)－6×4＝21.范例导航考向❶ 区别赋值语句与输入、输出语句例1 读如下两段伪代码，完成下面题目：运行如图1和图2所示的程序，若输出的结果相同，则图乙中输入的x 的值为 0 . 解析：由图1知运算后输出的x 的值为6，所以图2中输入的x ＝0.执行如图所示的伪代码，当输入a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2分别为1，1，35，2，4，94时，输出的x ＝ 23 ，y ＝ 12 Ｗ.解析：x ＝4×35－1×941×4－2×1＝23，y ＝1×94－2×351×4－2×1＝12. 考向❷ 区别While 、Do 、For 三种循环语句例2 用伪代码设计计算1×3×5×7×…×99，分别用While 语句、Do 语句和For 语句写出伪代码.解析：While 语句如图1，Do 语句如图2，For 语句如图3.1. 执行如图所示算法的伪代码，则输出x的值为16.解析：共进行四次循环，第一次S＝1；第二次S＝1＋3＝4；第三次S＝4＋5＝9；第四次S＝9＋7＝16，所以输出的S的值为16.2. 执行如图所示的算法，则输出的i的值是7.解析：该伪代码运行三次循环，第一次i＝3，S＝2×3＝6；第二次i＝5，S＝6×5＝30；第三次i＝7，S＝30×7＝210，退出循环，所以输出的i的值为7.自测反馈1. 执行下面的伪代码，输出的结果是25.解析：第一次循环x＝1；第二次循环x＝4；第三次循环x＝25，退出循环，故输出的结果为25.2. 阅读如图所示的伪代码，若使这个算法执行的是－1＋3－5＋7－9的计算结果，则a 的初始值x＝1.3. 执行如图所示的伪代码后，输出的结果是28.解析：该伪代码运行三次：第一次x ＝6，i ＝4；第二次x ＝14，i ＝7；第三次x ＝28，i ＝10.退出循环，故输出的结果是28.4. 根据如图所示的伪代码，输出的结果为 100 .解析：由题意得T ＝1＋3＋5＋…＋19＝10×（1＋19）2＝100，故输出的结果为100. 5. 根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 145 .解析：该伪代码的算法功能就是求等差数列1，4，7，…，28的和，故输出的结果是145.1. 了解顺序结构、选择结构和循环结构这三种结构的特点及实现功能.2. While 、Do 、For 三种循环语句，在启动循环与中止循环时，是如何实现的？结合例2理解体悟.3. 你还有哪些体悟，请写下来：。
2020年高考数学(理)抢分秘籍02 函数的概念与基本初等函数I附解析
秘籍02 函数的概念与基本初等函数I1．已知函数f(x)={(1−2a)x +3a ，x ＜1lnx ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是（ ）A ．[−1，12) B ．(−1，12) C ．（﹣∞，﹣1] D ．(−∞，12)【答案】A【解答】解：∵f （x ）={(1−2a)x +3a ，x ＜1lnx ，x ≥1，∴x ≥1，lnx ≥0， ∵值域为R ，∴（1﹣2a ）x+3a 必须取到所有的负数，即满足：{1−2a ＞01−2a +3a ≥0，即为﹣1≤a ＜12，即﹣1≤a ＜12， 故选：A ．解决分段函数问题的注意事项分段函数易被误认为是多个函数，其实质是一个函数，其定义域为各段的并集，其最值是各段函数最值中的最大者与最小者，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数是毫无意义的.2．函数y=xln|x|的大致图象是（ ）A．B．C． D．【答案】C【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．函数图象的识别与判断技巧1．方法1：性质检验法已知函数解析式，判断其图象的关键：由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题就不攻自破．2．方法2：导数法判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数和原函数的定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．3．方法3：图象变换法有关函数y ＝f (x )与函数y ＝af (bx ＋c )＋h 的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可顺利破解此类问题．3．已知a=0.40.3，b=0.30.4，c=0.3﹣0.2，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c【答案】A【解答】解：∵1＞a=0.40.3＞0.30.3＞b=0.30.4， c=0.3﹣0.2＞1，∴b ＜a ＜c ， 故选：A ．4．已知2log 6a =，3log 2b =，3log 6c =，则( ) A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】B【解答】解：22log 6log 42>=Q ，330log 2log 31<<=，3331log 3log 6log 92=<<=； b c a ∴<<．故选：B ．利用指数函数与对数函数的性质比较大小（1）底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．（2）底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．5．函数f （x ）=ln （x+1）﹣2x 的零点所在的大致区间是（ ）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）【答案】【解答】解：∵f(x)=ln(x+1)−2在（0，+∞）单调递增x∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函数的零点在（1，2）之间，故选：C．确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x轴的交点来确定.6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对于定义域内任意的x均满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2e x（e为自然对数的底数），则f（ln e4）=（）4A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【答案】A【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x），∴4是f（x）的周期；又x∈（0，2）时，f（x）=2e x，∴f（ln e4）=f（lne4﹣ln4）=f（4﹣ln4）=f（﹣ln4）=﹣f（ln4）=﹣2eln4=﹣2×4=﹣8．4故选：A．7．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（4）=0，若f（x﹣3）≤0，则x的取值范围为．【答案】[﹣1，3）∪[7，+∞）【解答】解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上单调递减；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；又f（4）=0；∴f（﹣4）=0；∵f（x﹣3）≤0；∴①x﹣3＞0，即x＞3时：f（x﹣3）≤f（4）；∵f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴x﹣3≥4；∴x≥7；②x﹣3＜0，即x＜3时：f（x﹣3）≤f（﹣4）；∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；∴x﹣3≥﹣4；∴﹣1≤x＜3；综上得，x的取值范围为[﹣1，3）∪[7，+∞）．故答案为：[﹣1，3）∪[7，+∞）．将函数的周期性与奇偶性、单调性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点，解决此类问题需掌握：1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)若函数f(x)满足1()()axf xf=+(a＞0)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (2−x )=f (2+x )，且当x ∈[−2,0]时，f (x )=(12)x−1，若关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0(a >1)在区间(−2,6]内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 A ．(√34,√84) B ．(√43,2) C ．(√34,2]D ．(√43,2]【答案】B【解析】因为f (x )为偶函数，所以f (2−x )=f (x −2)，所以f (x +2)=f (x −2)， 故函数f (x )的周期为4，当x ∈[−2,0]时，f (x )=(12)x−1， 故f (x )在(−2,6]上的图像如图所示：因为f (x )−log a (x +2)=0在区间(−2,6]内恰有三个不同实根，即在区间(−2,6]内有3个不同的解，所以f (x )的图像与y =log (x +2)a 的图像有3个不同的交点，故{f (2)>log a (2+2)f (6)<log a (6+2)，即{3>log a 43<log a 8，解得413<a <2.故选B ．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．函数f（x）=x3−xe x+e−x的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：f（﹣x）=−x3+xe−x+e x=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B；令f（x）=0得x3﹣x=0，解得x=0或x=±1，排除C.故选：D．用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断．3．已知a=2−13,b=log213,c=log1213,则A．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a 【答案】B【解析】1>a =2−13>0>b =log 213,即1>a >b .又c =log 1213=log 23>1,所以c >a >b .选B ．比较幂值大小的常见类型及解决方法：（1）同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较. （2）同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较.（3）既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值的大小来判断.4．已知函数262,0()1,0x x x f x x x ⎧-⎪=⎨<⎪⎩…，若函数()()3g x f x x m =-+有3个零点，则实数m 的取值范围为()A ．9(,0]8-B ．9[0,)8C ．9[0,)4D ．9(,0]4-【答案】A【解答】解：函数()()3g x f x x m =-+有3个零点，即函数()y f x =的图象与3y x m =-的图象有3个交点． 如图，由图可知，当直线3y x m =-过原点O 时，满足题意； 联立2362y x m y x x =-⎧⎨=-⎩，得2230x x m --=．由△980m =+=，得98m =-．∴若函数()()3g x f x x m =-+有3个零点，则实数m 的取值范围为9(8-，0]．故选：A ．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在性定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．1．若函数()f x 的定义域为[0，4]，则函数()1g x x=-的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0,1)D ．[0，1)(1⋃，4]2．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么f （2）等于( ) A ．26-B ．18-C ．10-D ．103．已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ） A ．﹣50B ．0C ．2D ．504．若函数244y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为[8-，4]-，则m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(2，4]C ．[2，4]D ．(0,4)5．若函数()log 42(0a y x a =++>且1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin2θ=A ．513-B ．513C ．1213-D ．12136．如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．y=2x ﹣x 2﹣1B ．y=2x sinx 4x+1C ．y=（x 2﹣2x ）e xD ．y=xlnx7．设a =log 212，b =log √2√3，c =(14)23，则A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．c <b <a8．已知函数23,0()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1]3B ．1(0,)3C ．(0，1]3D ．[0，1)39．若函数()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，且(1)(31)f a f a +<+，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．[1-，0)C ．(0，1]3D ．(0,)+∞10．下列函数中既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．y=2x −2−xx 2B ．y=x+2xC ．y=12x −1+12D ．y=sin2（x ﹣π4）﹣1211．已知点（m ，8）在幂函数f （x ）=（m ﹣1）x n 的图象上，设a =f(√33)，b =f(lnπ)，c =f(√22)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如： [−2.1]=−3， [3.1]=3，已知函数()1212x xf x +=+，则函数y =[f(x)]的值域是 A ．{0,1} B ．(0，2) C ．(0，1)D ．{−1,0,1}13．已知f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，则不等式f （lnx ）＞f （1）的解集为（ ） A ．（e ﹣1，1）B ．（e ﹣1，e ）C ．（0，1）∪（e ，+∞）D ．（0，e ﹣1）∪（1，+∞）14．函数f(x)=(e x −e −x )cosxx 2的部分图象大致是A ．B ．C ．D ．15．设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，且y=f （x+1）是偶函数，当x ≥1时，f （x ）=2x ﹣1，则f （23），f （32），f （13）的大小关系是（ ） A ．f （23）＜f （32）＜f （13） B ．f （13）＜f （23）＜f （32）C ．f （13）＜f （32）＜f （23）D ．f （32）＜f （13）＜f （23）16．若函数f （x ）=a x ﹣k ﹣1（a ＞0，a ≠1）过定点（2，0），且f （x ）在定义域R 上是减函数，则g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．17．函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f(x +4)=1f(x)，且当x ∈[2，10）时，f （x ）=log2（x ﹣1），则f （2010）+f （2011）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．218．函数f （x ）=|x ﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．319．若函数f （x ）=2x ﹣a 2﹣a 在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．[0，1]C ．（0，2]D ．[0，2]20．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2x ﹣1，则满足不等式（x ﹣l ）f （x ）＜0的实数x 的取值范围是 ．21．已知函数()()122,2log 12,2x x f x x x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，且()4f a =，则()f a -=___．22．．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x ）＞1，则x 的取值范围是 ．23．已知函数f(x)=log a x 2+a |x |（a >0，且a ≠1），若f(−3)<f(4)，则不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为__________．24．若4x =9y =6，则1x+1y = ．25．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，在()0,+∞上单调递减，且()40f =，若()30f x -≤，则x 的取值范围为__________．26．．函数f(x)=(12)−x2+4x的单调增区间为 ．27．已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3）（0＜a ＜1）. （1）求函数f （x ）的定义域； （2）求函数f （x ）的零点；（3）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．1.【答案】B【解答】解：()f x Q 的定义域为[0，4]；()g x ∴满足：02410x x ⎧⎨->⎩剟；解得01x <…；()g x ∴的定义域为[0，1)．故选：B ． 2.【答案】A【解答】解：令53()g x x ax bx =++，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则()()8f x g x =- 所以(2)(2)810f g -=--= 得(2)18g -=又因为()g x 是奇函数，即g （2）(2)g =-- 所以g （2）18=-则f （2）g =（2）818826-=--=- 故选：A ．3.【答案】C【解答】解：∵f （x ）是奇函数，且f （1﹣x ）=f （1+x ）， ∴f （1﹣x ）=f （1+x ）=﹣f （x ﹣1），f （0）=0， 则f （x+2）=﹣f （x ），则f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）， 即函数f （x ）是周期为4的周期函数， ∵f （1）=2，∴f （2）=f （0）=0，f （3）=f （1﹣2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2， f （4）=f （0）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0﹣2+0=0，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=12[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]+f （49）+f （50） =f （1）+f （2）=2+0=2， 故选：C ． 4.【答案】C【解答】解：函数2()44f x x x =--的图象是开口向上，且以直线2x =为对称轴的抛物线(0)f f ∴=（4）4=-，f （2）8=-Q 函数2()44f x x x =--的定义域为[0，]m ，值域为[8-，4]-，24m ∴剟即m 的取值范围是[2，4] 故选：C ． 5．【答案】C【解析】对于函数()log 42(0a y x a =++>且1)a ≠，令41x +=，求得3x =-，此时2y =，可得函数的图象恒过点()3,2A -，且点A 在角θ的终边上，2tan 3y x θ∴==-，则2222sin cos 2tan 12sin2sin cos tan 113θθθθθθθ===-++. 故选C ． 6.【答案】C【解答】解：A 中，∵y=2x ﹣x 2﹣1，当x 趋向于﹣∞时，函数y=2x 的值趋向于0，y=x 2+1的值趋向+∞， ∴函数y=2x ﹣x 2﹣1的值小于0，∴A 中的函数不满足条件； B 中，∵y=sinx 是周期函数，∴函数y=2x sinx 4x+1的图象是以x 轴为中心的波浪线，∴B 中的函数不满足条件；C 中，∵函数y=x 2﹣2x=（x ﹣1）2﹣1，当x ＜0或x ＞2时，y ＞0，当0＜x ＜2时，y ＜0； 且y=e x ＞0恒成立，∴y=（x 2﹣2x ）e x 的图象在x 趋向于﹣∞时，y ＞0，0＜x ＜2时，y ＜0，在x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞； ∴C 中的函数满足条件；D 中，y=xlnx 的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x ∈（0，1）时，lnx ＜0， ∴y=xlnx ＜0，∴D 中函数不满足条件． 故选：C ． 7．【答案】C【解析】由题意，根据对数的运算，可得a =log 212 <log 21=0，b =log √2√32log 21>=，根据指数幂的运算，可得0<c =(14)23<(14)0=1，则a <c <b .故选C ． 8. 【答案】A【解答】解：由题意，()f x Q 在R 上是减函数，0x ∴<时2()1f x x ax =-+，其过定点(0,1)，且0x <时是减函数，∴对称轴02a x =…，① 又0x Q …时，()3f x x a =--，是减函数，函数23,0()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，31a ∴„，②又①②得103a 剟． 故选：A ． 9. 【答案】B【解答】解：根据题意，函数()f x 是定义在[2-，2]上的减函数，若(1)(31)f a f a +<+，则有23112a a -+<+剟， 解可得：10a -<…，即a 的取值范围为[1-，0)； 故选：B ． 10. 【答案】D 【解答】解：A.y =2x −2−xx 2满足，x ≠0；∴2x ﹣2﹣x ≠0；∴y ≠0；即该函数不存在零点；B.y =x +2x 的值域为(−∞，−2√2]∪[2√2，+∞)； ∴该函数不存在零点； C.y =12x −1+12的值域为(−∞，−12)∪(12，+∞)； ∴该函数不存在零点；D.y =sin 2(x −π4)−12=1−cos(2x−π2)2−12=−sin2x ；∴该函数为奇函数，且存在零点x=0． 故选：D ． 11. 【答案】A【解答】解：点（m ，8）在幂函数f （x ）=（m ﹣1）x n 的图象上， 可得m ﹣1=1，即m=2， 2n =8，可得n=3，则f （x ）=x 3，且f （x ）在R 上递增，由a=f （√33），b=f （ln π），c=f （√22），0＜√33＜√22＜1，ln π＞1，可得a ＜c ＜b ，故选：A ． 12．【答案】A【解析】()()1122222202121212x x x x xf x +++-===-∈+++，． ∴当f (x )∈(0，1)时，y =[f (x )]=0； 当f (x )∈[1，2)时，y =[f (x )]=1， ∴函数y =[f(x)]的值域是{0,1}． 故选A ． 13.【答案】B【解答】解：∵f （x ）是R 上的偶函数，且在[0，+∞）单调递减， ∴不等式f （lnx ）＞f （1）等价为f （|lnx|）＞f （1）， 即|lnx|＜1， 即﹣1＜lnx ＜1， 得e ﹣1＜x ＜e ，即不等式的解集为（e ﹣1，e ） 故选：B ． 14．【答案】A【解析】由题知，f (x )的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)， 且f (−x )=(e −x −e x )cos (−x )(−x)2=−(e x −e −x )cosxx 2,∴f(−x)=−f (x )，所以f (x )是奇函数，排除C 和D ， 将x =π代入f (x )得f (π)=(e π−e −π)cosππ2=−(e π−e −π)π2<0，排除B ，故选A ． 15.【答案】A【解答】解：∵y=f （x+1）是偶函数， ∴f （﹣x+1）=f （x+1）， 即函数f （x ）关于x=1对称．∵当x ≥1时，f （x ）=2x ﹣1为增函数， ∴当x ≤1时函数f （x ）为减函数．∵f （32）=f （12+1）=f （﹣12+1）=f （12），且13＜12＜23，∴f （13）＞f （32）＞f （23）， 故选：A ． 16.【答案】A【解答】解：由题意可知f （2）=0，解得k=2， 所以f （x ）=a x ﹣2﹣1， 又因为是减函数， 所以0＜a ＜1．此时g （x ）=log a （x+2）也是单调递减的，且过点（﹣1，0）．故选A 符合题意． 故选：A ． 17.【答案】C【解答】解：由f （x+4）=1f(x)得f[（x+8）]=1f(x+4)=f （x ），T=8 ∵x ∈[2，10），f （x ）=log 2（x ﹣1） ∴f （2010）+f （2011）=f （2）+f （3） =log 21+log 2（3﹣1）=1． 故选：C ． 18.【答案】C【解答】解：由题意，函数f （x ）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f （x ）在（0，+∞）内的零点即是方程|x ﹣2|﹣lnx=0的根． 令y 1=|x ﹣2|，y 2=lnx （x ＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故选：C ．19.【答案】A【解答】解：在（﹣∞，1]上2x ∈（0，2]． 函数f （x ）=2x ﹣a 2﹣a 在（﹣∞，1]上存在零点，可得0＜a 2+a ≤2，解得a ∈（0，1]． 故选：A ．20.【答案】（﹣2，0）∪（1，2） 【解答】解：∵f （x ）是奇函数，∴当x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）=log 2（﹣x ）﹣1=﹣f （x ）， 即f （x ）=1﹣log 2（﹣x ），x ＜0，当x ＞0时，由f （x ）=log 2x ﹣1=0，得log 2x=1，得x=2， 作出函数f （x ）的图象如图：则不等式（x ﹣l ）f （x ）＜0等价为{x −1＞0f(x)＜0或{x −1＜0f(x)＞0，即{x ＞1x ＜−2或0＜x ＜2或{x ＜1x ＞2或−2＜x ＜0， 得1＜x ＜2或﹣2＜x ＜0，即不等式的解集为（﹣2，0）∪（1，2）， 故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．21．【答案】16【解析】Q 函数()()122,2log 12,2x x f x x x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，且()4f a =，∴当2a <-时，()f a 24a -==，解得2a =-，不成立；当2a -…时，()f a ()12log 124a =-+=，解得4a =．()()44216f a f ∴-=-==．故答案为16．22.【答案】（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：①当x ≤0时，可得2﹣x ﹣1＞1，即2﹣x ＞2，所以﹣x ＞1，得x ＜﹣1； ②当x ＞0时，可得x ＞1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 23．【答案】(−1,0)∪(0,3)∪(3,4)【解析】∵函数f(x)=log a x 2+a |x |，∴f (−x )=f(x). 故函数()f x 为偶函数， 当x >0时，f(x)=log a x 2+a x∵f (−3)=f(3)<f(4)，故a >1，函数()f x 在(0，+∞)上为增函数， 由偶函数的性质可知f(x)在(−∞，0)上为减函数∵f(x 2−3x)<f(4)，则−4<x 2−3x <0或0<x 2−3x <4 解得−1<x <4，且x ≠0，x ≠3则不等式f(x 2−3x)<f(4)的解集为(−1，0)∪(0，3)∪(3，4). 24.【答案】2【解答】解：∵4x =9y =6，∴x=lg6lg4，y=lg6lg9．则1x +1y =lg4lg6+lg9lg6=lg62lg6=2．故答案为：2．25．【答案】13x -≤<或7x ≥【解析】由于奇函数()f x 在()0,+∞上单调递减，且()40f =，所以函数()f x 在(),0-∞上是减函数，()40.f -=所以不等式()0f x ≤的解为440,x x ≥-≤<或所以由(3)0f x -≤知-34430.x x ≥-≤-<或所以71 3.x x ≥-≤<或故填13x -≤<或7x ≥.26.【答案】[2，+∞）【解答】解：令t=﹣x 2+4x=﹣（x 2﹣4x ）=﹣（x ﹣2）2+4，则f （x ）=(12)t ，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数t 的减区间．再利用二次函数的性质可得t=﹣（x ﹣2）2+4 的减区间为[2，+∞）， 故答案为[2，+∞）．27.【解答】解：（1）要使函数有意义：则有{1−x ＞0x +3＞0，解之得：﹣3＜x ＜1，则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，x=−1±√3∵−1±√3∈(−3，1)，∴函数f（x）的零点是−1±√3（3）函数可化为：f（x）=log a（1﹣x）（x+3）=log a（﹣x2﹣2x+3）=log a[﹣（x+1）2+4] ∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴a=4−14=√22.。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 复数、算法、推理与证明之第2讲 算法与程序框图
[基础题组练]1．(2019·辽宁五校协作体联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝－10，则输出的y ＝( )A ．0B ．1C ．8D ．27解析：选C.开始x ＝－10，满足条件x ≤0，x ＝－7；满足条件x ≤0，x ＝－4；满足条件x ≤0，x ＝－1；满足条件x ≤0，x ＝2，不满足条件x ≤0，不满足条件x >3，y ＝23＝8.故输出的y ＝8.故选C.2．(2019·南宁模拟)执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是( )A ．－1B ．2 C.12D ．1解析：选B.运行框图，首先给变量S ，k 赋值，S ＝2，k ＝2 015.判断2 015<2 018，S ＝11－2＝－1，k ＝2 015＋1＝2 016，判断2 016<2 018，S ＝11－（－1）＝12，k ＝2 016＋1＝2 017，判断2 017<2 018，S ＝11－12＝2，k ＝2 017＋1＝2 018，判断2 018<2 018不成立，输出S ，此时S ＝2.故选B.3．(2019·洛阳模拟)执行如图程序框图，若输入的n 为2 018，则输出的是( )A ．前 1 008 个正偶数的和B ．前 1 009 个正偶数的和C ．前 2 016 个正整数的和D ．前 2 018 个正整数的和解析：选B.模拟程序的运行过程知，该程序运行后计算并输出S ＝2＋4＋6＋…＋2 018 的值．故选B.4．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选 D.执行该程序可知⎩⎨⎧x2－1>3，12⎝⎛⎭⎫x 2－1－2≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8，x ≤22，即8<x ≤22，所以输入x的最大值是22.5．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，条件框内应填写( )A ．i >3?B ．i <5?C ．i >4?D ．i <4?解析：选 D.由程序框图可知，S ＝10，i ＝1；S ＝8，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝－4，i ＝4.由于输出的S ＝－4.故应跳出循环，故选D.6．(2019·湖南湘东五校联考)若[x ]表示不超过x 的最大整数，则如图中的程序框图运行之后输出的结果为( )A ．600B ．400C ．15D ．10解析：选B.根据题意，得[19940]＝[4.975]＝4，所以该程序框图运行后输出的结果是40个0，40个1，40个2，40个3，40个4的和，所以输出的结果为S ＝40＋40×2＋40×3＋40×4＝400.故选B.7．执行如图的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B.由程序框图可得S＝0，a＝－1，K＝1≤6；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2≤6；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3≤6；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4≤6；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5≤6；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6≤6；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7>6，退出循环，输出S＝3.故选B.8．(2019·开封模拟)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675，125，则输出的a＝()A．0 B．25C．50 D．75解析：选 B.初始值：a＝675，b＝125，第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a的值为25，故选B.9．执行如图的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：选C.x ＝0，y ＝1，n ＝1，x ＝0，y ＝1，n ＝2；x ＝12，y ＝2，n ＝3；x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2>36，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x .故选C.10．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14解析：选B.开始：a ＝14，b ＝18，第一次循环：a ＝14，b ＝4；第二次循环：a ＝10，b ＝4； 第三次循环：a ＝6，b ＝4；第四次循环：a ＝2，b ＝4； 第五次循环：a ＝2，b ＝2. 此时，a ＝b ，退出循环，输出a ＝2.11．(2019·安徽五校联盟第二次质检)中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入( ) A.a －221∈Z B.a －215∈Z C.a －27∈ZD.a －23∈Z解析：选A.根据题意可知，此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a ：a ＝3k ＋2，a ＝5n ＋3，a ＝7m ＋2，k ，n ，m ∈Z ，根据程序框图可知，数a 已经满足a ＝5n ＋3，n ∈Z ，所以还要满足a ＝3k ＋2，k ∈Z 和a ＝7m ＋2，m ∈Z 并且还要用一个条件给出，即a －2既能被3整除又能被7整除，所以a －2能被21整除，故在“”处应填入a －221∈Z ，选A.12．(2019·郑州第一次质量预测)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)解析：选A.k ＝1，S ＝2，k ＝2，S ＝2＋4＝6，k ＝3，S ＝6＋6＝12，k ＝4，S ＝12＋8＝20，k ＝5，S ＝20＋10＝30，k ＝6，S ＝30＋12＝42，k ＝7，此时不满足S ＝42<m 退出循环，所以30<m ≤42，故选A.13．程序框图如图，若输入的S ＝1，k ＝1，则输出的S 为________．解析：第一次循环，k ＝2，S ＝4；第二次循环，k ＝3，S ＝11；第三次循环，k ＝4，S ＝26；第四次循环，k ＝5，S ＝57.此时，终止循环，输出的S ＝57.答案：5714．执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为________．解析：依题意，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sinn π3的项以6为周期重复出现，且前6项和等于0，因为2 017＝6×336＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sinn π3的前2 017项和等于336×0＋sin π3＝32，执行题中的程序框图，输出s 的值等于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫sinn π3的前2 017项和，等于32.答案：3215．执行如图所示的程序框图，输出的结果为________．解析：第一步：s ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2，x ＝0，y ＝2，k ＝1＜3； 第二步：s ＝－2，t ＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2＜3；第三步：s ＝－4，t ＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3，结束循环．故输出的结果为(－4，0)． 答案：(－4，0)16．(2019·陕西教学质量检测(一))执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数y ＝x a ，x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为________．解析：执行程序框图，x ＝－3，y ＝3；x ＝－2，y ＝0；x ＝－1，y ＝－1；x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝3；x ＝2，y ＝8；x ＝3，y ＝15；x ＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1，0，3，8，15，共5个，若函数y ＝x a ，x ∈[0，＋∞)为增函数，则a >0，所以所求的概率为35.答案：35[综合题组练]1．《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a的值为()A．4 B．5C．7 D．11解析：选A.起始阶段有m＝2a－3，i＝1，第一次循环，m＝2(2a－3)－3＝4a－9，i＝2；第二次循环，m＝2(4a－9)－3＝8a－21，i＝3；第三次循环，m＝2(8a－21)－3＝16a－45，i＝4；接着计算m＝2(16a－45)－3＝32a－93，跳出循环，输出m＝32a－93，令32a－93＝35，得a＝4.2．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0，0 B．1，1C．0，1 D．1，0解析：选D.当输入x＝7时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x成立，故a＝1，输出a的值为1.当输入x＝9时，b＝2，因为b2＞x不成立且x不能被b整除，故b＝3，这时b2＞x不成立且x能被b整除，故a＝0，输出a的值为0.3．(2019·山西八校第一次联考)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1，如图所示的程序框图是求f(x0)的值，在“”中应填的语句是()A．n＝i B．n＝i＋1C．n＝2 018－i D．n＝2 017－i解析：选C.由秦九韶算法得f(x)＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1＝(…((2 018x＋2 017)x＋2 016)x＋…＋2)x＋1，所以程序框图的执行框内应填写的语句是n＝2 018－i，故选C.4．(综合型)(2019·福州模拟)如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子定理”．图中的Mod(N，m)＝n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod(10，3)＝1.执行该程序框图，则输出的i等于()A．23 B．38C．44 D．58解析：选A.执行程序框图，i＝2，Mod(2，3)＝2，Mod(2，5)＝2≠3，i＝3，Mod(3，3)＝0≠2，i＝4，Mod(4，3)＝1≠2，i＝5，Mod(5，3)＝2，Mod(5，5)＝0≠3，i＝6，Mod(6，3)＝0≠2，i＝7，Mod(7，3)＝1≠2，i＝8，Mod(8，3)＝2，Mod(8，5)＝3，Mod(8，7)＝1≠2，i＝9，Mod(9，3)＝0≠2，i＝10，Mod(10，3)＝1≠2，i＝11，Mod(11，3)＝2，Mod(11，5)＝1≠3，i＝12，Mod(12，3)＝0≠2，i＝13，Mod(13，3)＝1≠2，i＝14，Mod(14，3)＝2，Mod(14，5)＝4≠3，i＝15，Mod(15，3)＝0≠2，i＝16，Mod(16，3)＝1≠2，i＝17，Mod(17，3)＝2，Mod(17，5)＝2≠3，i＝18，Mod(18，3)＝0≠2，i＝19，Mod(19，3)＝1≠2，i＝20，Mod(20，3)＝2，Mod(20，5)＝0≠3，i＝21，Mod(21，3)＝0≠2，i＝22，Mod(22，3)＝1≠2，i＝23，Mod(23，3)＝2，Mod(23，5)＝3，Mod(23，7)＝2，结束循环，所以输出的i＝23.故选A.11。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 三角函数、解三角形之第3讲 2 简单的三角恒等变换
[基础题组练]1．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( ) A ．－35B.335C.319D.37解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan （α＋80°）－tan 60°1＋tan （α＋80°）tan 60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.2．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.16 B.13 C.12D.23解析：选A.cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，又sin 2α＝23，所以原式＝1－232＝16，故选A.3．(2019·郑州模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32B. 3C.12D.33 解析：选D.cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6cosπ6＝33，故选D. 4．(2019·临川模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为( )A.13 B ．－13C.23D ．－23解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6－α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫332－1＝－13.故选B. 5．(2019·安徽淮南一模)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且tan α＝1＋sin 2βcos 2β，则下列结论中正确的是( )A ．α－β＝π4B ．α＋β＝π4C ．2α－β＝π4D ．2α＋β＝π4解析：选 A.tan α＝1＋sin 2βcos 2β＝（sin β＋cos β）2cos 2β－sin 2β＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫β＋π4.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以α＝β＋π4，即α－β＝π4.6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118B.118 C ．－1718D.1718解析：选C.由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin α·cos α＝118，故sin 2α＝－1718.故选C. 7．(2019·平顶山模拟)已知sin α＝－45⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin （α＋β）cos β＝2，则tan(α＋β)＝( )A.613 B.136 C ．－613D ．－136解析：选A.因为sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，所以cos α＝35.由sin （α＋β）cos β＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]，即65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，故tan(α＋β)＝613.8.cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°的值为________．解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 29．设α是第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．解析：sin 3αsin α＝sin （α＋2α）sin α＝sin αcos 2α＋cos αsin 2αsin α＝cos 2α＋2cos 2α＝4cos 2α－1＝135，解得cos 2α＝910.因为α是第四象限角，所以cos α＝31010，sin α＝－1010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－35，cos 2α＝2cos 2α－1＝45，所以tan 2α＝－34.答案：－3410．若sin αcos β＝34，则cos αsin β的取值范围为________．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝34＋cos αsin β∈[－1，1]，所以－74≤cos αsin β≤14. 同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝34－cos αsin β∈[－1，1]，所以－14≤cos αsin β≤74.综上可得，－14≤cos αsin β≤14.答案：⎣⎡⎦⎤－14，14 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求：(1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，即sin αcos π4＋cos αsin π4＝210，化简得sin α＋cos α＝15，①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②解得cos α＝－35或cos α＝45，因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以cos α＝－35.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝45，则cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250.12．(一题多解)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)法一：因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4.所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.法二：因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.所以4α＋π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以α＝π16＋k π2，k ∈Z .又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以当k ＝1，即α＝9π16时，符合题意．故α＝9π16.[综合题组练]1．(2019·六安模拟)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析：选A.因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.又0<sin 2α＝55<12，所以2α∈⎝⎛⎭⎫5π6，π，即α∈⎝⎛⎭⎫5π12，π2，所以β－α∈⎝⎛⎭⎫π2，13π12，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－255.又sin(β－α)＝1010，所以cos(β－α)＝－1－sin 2（β－α）＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又α∈⎝⎛⎭⎫5π12，π2，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫17π12，2π， 所以α＋β＝7π4，故选A.2．(创新型)(2019·河南中原名校质检)已知a 24＋b 2＝1，则|a cos θ＋2b sin θ|的最大值为( )A ．1 B.233C ．2D ．2 3解析：选C.由a 24＋b 2＝1得a 2＋4b 2＝4.由辅助角公式可得|a cos θ＋2b sin θ|＝a 2＋4b 2|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.3．(应用型)在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为________．解析：由题意知cos A ，cos B ，cos C 均不为0，由sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，得tan A ＝tan B tan C ．又因为cos A ＝13cos B cos C ，且cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ，所以sin B sin C ＝14cos B cos C ，所以tan B tan C ＝14.又tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B tan C )＝－tan A (1－tan B tan C )，所以tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝196.答案：1964．(应用型)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域．解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)， 所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， 所以g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1，所以g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域为[－2，1]．。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 统计与统计案例之第2讲 用样本估计总体
[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.2．(2019·广东中山模拟)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为()A．10万元B．12万元C．15万元D．30万元解析：选D.9时至10时的销售额频率为0.1，因此9时至14时的销售总额为30.1＝30(万元)，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．故选A.4．(2019·甘肃天水模拟)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为x －甲，x －乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A ．x －甲<x －乙，σ甲<σ乙 B ．x －甲<x －乙，σ甲>σ乙 C ．x －甲>x －乙，σ甲<σ乙D ．x －甲>x －乙，σ甲>σ乙解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知x －甲>x －乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．5．(2019·昆明调研)如图是1951～2016年我国的年平均气温变化的折线图．根据图中信息，下列结论正确的是( )A ．1951年以来，我国的年平均气温逐年增高B ．1951年以来，我国的年平均气温在2016年再创新高C ．2000年以来，我国每年的年平均气温都高于1981～2010年的平均值D ．2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值解析：选D.由题图可知，1951年以来，我国的年平均气温变化是有起伏的，不是逐年增高的，所以选项A 错误；1951年以来，我国的年平均气温最高的不是2016年，所以选项B 错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以选项C 错误；2000年以来，我国的年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，所以选项D 正确，故选D.6．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n －m 的值是________．解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得70＋80×3＋90×3＋（8＋4＋6＋8＋2＋m ＋5）7＝88，解得m ＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n ＝9，所以n －m ＝6.答案：67．(2019·南宁模拟)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为40×50%＝20.答案：200 208．为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是________．解析：设被抽查的美术生的人数为n ，因为后2个小组的频率之和为(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n ＝5＋15＋250.75＝60.答案：609．某校1 200名高三年级学生参加了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成绩，从这1 200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：成绩分组 频数 频率 平均分 [0，20) 3 0.015 16 [20，40) a b 32.1 [40，60) 25 0.125 55 [60，80) c 0.5 74 [80，100]620.3188(1)求a ，b ，c (2)如果从这1 200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P (注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．解：(1)由题意可得，b ＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a ＝200×0.05＝10，c ＝200×0.5＝100.(2)根据已知，在抽出的200人的数学成绩中，及格的有162人．所以P ＝162200＝81100＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为x －＝16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62200＝73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．10．有A ，B ，C ，D ，E 五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A ，B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用茎叶图表示这两组数据：(1)A ，B 二人预赛成绩的中位数分别是多少？(2)现要从A ，B 中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由．(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A ，B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．解：(1)A 的中位数是83＋852＝84，B 的中位数是84＋822＝83.(2)派B 参加比较合适．理由如下：x －B ＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x －A ＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，s 2B ＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2A ＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，因为x －A ＝x －B ，但s 2B <s 2A ，说明B 稳定，派B 参加比较合适．(3)5位工人中选2人有10种：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )；A ，B 都不参加的有3种：(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，A ，B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率P ＝1－310＝710.[综合题组练]1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A 县、B 县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A 县、B 县两个地区浓度的方差较小的是( )A ．A 县B ．B 县C ．A 县、B 县两个地区相等D ．无法确定解析：选A.根据茎叶图中的数据可知，A 县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布比较稳定，而B 县的数据分布比较分散，不如A 县数据集中，所以A 县的方差较小．2．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得：x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，由(x －10)2＋(y －10)2＝8，得t 2＝4，所以|x －y |＝2|t |＝4. 3．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x 代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为________．解析：由茎叶图可知0≤x ≤9且x ∈N ，中位数是17＋10＋x 2＝27＋x2，这位运动员这8场比赛的得分平均数为18(7＋8＋7＋9＋x ＋3＋1＋10×4＋20×2)＝18(x ＋115)，由18(x ＋115)≥27＋x2，得3x ≤7，即x ＝0，1，2，所以这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为310.答案：3104．(2019·郑州质量预测)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得G ＝2，a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝(1a ＋4b )×(a 4＋b 4)＝14(1＋ba ＋4ab ＋4)≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94. 答案：945．(应用型)某销售公司为了解员工的月工资水平，从1 000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：(1)试由此图估计该公司员工的月平均工资；(2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4 500元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败；高于4 500元的员工属于成熟员工，进行营销将会成功．现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动．活动中，每位员工若营销成功，将为公司赚得3万元，否则公司将损失1万元．试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？解：(1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)．(2)抽样比为5100＝120，从工资在[1 500，4 500)内的员工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×120＝2(人)，设这两位员工分别为1，2；从工资在[4 500，7 500]内的员工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×120＝3(人)，设这三位员工分别为A ，B ，C .从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：(1，2)，(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )．两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，概率为310；其中一人营销成功，一人营销失败，公司收入2万元，有以下6种不同的等可能结果：(1，A )，(1，B )，(1，C )，(2，A )，(2，B )，(2，C )，概率为610＝35；两人营销都失败，公司收入－2万元，即损失2万元，有1种结果：(1，2)，概率为110.因为110<310<35，所以公司收入2万元的可能性最大．6．(2019·河北三市第二次联考)某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解：(1) x －甲 ＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x －乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316，X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k (1316)2－k，k ＝0，1，2， 则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2×316＝38.。
2020高考知识点16 算法—人教A版高考数学自编知识点复习讲义
知识点16、算法1、算法概念：一般地，对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施这套方法就能使该类问题得以解决，那么这套解题方法是求解该类问题的一种算法；算法是由一些操作步骤组成的有序系列，这个系列具有以下特点：① 操作步骤数必须是有限的，必须在有限步骤后获得结论；② 每一步操作都有确定的意义；③ 每一步操作都是可行的（或由基本的可行的操作组成）；④ 每个算法必须有已知信息的输入和运算结果的输出；顺序结构、条件结构和循环结构是算法中最常用的语句结构；顺序结构：算法各步骤的前后顺序一般不能交换，否则会产生不一样的效果；条件结构：如果条件成立，那么执行指令 A ，如果条件不成立，那么执行指令B ；循环结构：重复执行同样指令；其中变量i的数值决定了循环的“继续”还是“结束”，故称i 为循环变量，称重复执行的指令组为循环体；2、程序框图：为了使算法的表述更简练，结构更清晰，人们常用含有算法内容的框和箭头构成的图来表示算法，这种图叫做算法的程序框图；在程序框图中常用的框如表所示：程序框名称功能起止框表示算法的开始和结束，一个算法只有一个开始，至少有一个结束输入、输出框表示数据的输入和输出处理（执行）框表示算法中的赋值、计算等指令，一个处理框只有一个入口、一个出口判断框判断框内是一个条件，它有一个入口和两个出口（分别标“是”和“否”）顺序结构、条件结构和循环结构的程序框图：顺序结构条件结构循环结构有了顺序结构、条件结构和循环结构的程序框图，我们就可以比较完整地构建算法的程序框图，一般来说，一个完整的程序框图应该包含起始框、结束框、输入输出框；1、算法案例：（1）计算两个数的最大公约数：辗转相除法、更相减损术（2）计算多项式的值：秦九韶算法121111)...))(...((....)(axaxaxaxaaxaxaxaxfnnnnnnn+++++=++++=----其中：nav=,11-+=nnaxav,.....技巧：先从前两项提出一个一次函数，添括号，然后乘以x,再加下一项系数，反复进行，就整理成上述形式。
2020年高考数学(理)抢分秘籍11 算法初步(解析版)
秘籍11 算法初步1．某程序框图如图所示，该程序运行后输出K的值是（）A．5 B．6C．7 D．8【答案】D【解答】：当S=0时，满足执行循环的条件，执行循环体后S=1，K=2，当S=1时，满足执行循环的条件，执行循环体后S=5，K=3，当S=5时，满足执行循环的条件，执行循环体后S=13，K=4，当S=13时，满足执行循环的条件，执行循环体后S=29，K=5，当S=29时，满足执行循环的条件，执行循环体后S=61，K=6，当S=61时，满足执行循环的条件，执行循环体后S=125，K=7，当S=125时，满足执行循环的条件，执行循环体后S=253，K=8，当S=253时，不满足执行循环的条件，故输出的K值为8，故选：D．（1）在条件结构中，判断框是一个入口，两个出口，与顺序结构不同的是：它不依次操作指令，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行两个指令中的一个，这里的“判断”主要判断“是”或“否”，即判断条件是否成立．（2）判断框内的条件一定要清晰、明确，但条件的写法不唯一．有的人可能写成符合条件时执行A，不符合条件时执行B；也有的人可能写成不符合条件时执行A，符合条件时执行B，此时两个条件不一定一样．（3）构成程序框图的图形符号及其功能：图形符号名称功能终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框（执行框）赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分2．执行如图的程序框图，若输入a=5，b=2，则输出的i=（）A．3B．4C．5D．6【答案】A，b=4，满足继续循环的条件，i=1；【解答】：第一次执行循环体后，a=152第二次执行循环体后，a=45，b=8，满足继续循环的条件，i=2；4，b=16，满足继续循环的条件，i=3；第三次执行循环体后，a=1358第四次执行循环体后，a=405，b=32，不满足继续循环的条件，16故输出的i=3，故选：A．循环结构对应的程序框图：直到型循环结构可以用程序框图表示为图①，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构可以用程序框图表示为图②，这个循环结构有如下特征：在每次执行循环体前，先对控制循环的条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．1．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出的v值为A．9×210−2B．9×210+2C．9×211+2D．9×211−2【答案】C【解析】根据题意，初始值v=10,x=2，程序运行如下：k =9,v =10×2+9， k =8,v =10×22+9×2+8， k =7,v =10×23+9×22+8×2+7，...k =0,v =10×210+9×29+...+1×21+0×20 =9×211+2， 故选C.【名师点睛】本题考查框图的循环结构，根据输入值求输出值，数列的错位相减求和，属于中档题.秦九韶算法的算法步骤是：第一步：输入多项式次数n 、最高次项的系数n a 和x 的值． 第二步：将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1． 第三步：输入i 次项的系数n i a -． 第四步：,1n i v vx a i i -=+=+．第五步：判断i 是否小于或等于n ，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v ．2．若六进制数1m05(6)(m 为正整数)化为十进制数为293,则m= . 【答案】2【解析】1m05(6)=1×63+m×62+5=221+36m=293,所以m=2.1．将k 进制数转化为十进制数计算k 进制数a 的右数第i 位数字i a 与1i k -的乘积1i i a k -⋅，再将其累加，这是一个重复操作的步骤．所以，可以用循环结构来构造算法，算法步骤如下： 第一步，输入,a k 和n 的值．第二步，将b 的值初始化为0，i 的值初始化为1．第三步，1,1i i b b a k i i -=+⋅=+．第四步，判断i n >是否成立．若是，则执行第五步；否则，返回第三步． 第五步，输出b 的值． 2．将十进制数转化为k 进制数第一步，给定十进制正整数a 和转化后的数的基数k ． 第二步，求出a 除以k 所得的商q ，余数r ． 第三步，把得到的余数依次从右到左排列．第四步，若0q ≠，则a q =，返回第二步；否则，输出全部余数r 排列得到的k 进制数．3．如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m=91，n=56，则输出m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．7D ．14【答案】C【解答】：若输入m=91，n=56，第一次执行循环体后：r=35，m=56，n=35，不满足结束循环的条件； 第二次执行循环体后：r=21，m=35，n=21，不满足结束循环的条件； 第三次执行循环体后：r=14，m=21，n=14，不满足结束循环的条件； 第四次执行循环体后：r=7，m=14，n=7，不满足结束循环的条件； 第五次执行循环体后：r=0，m=7，n=0，满足结束循环的条件； 故输出的m 值为7，故选：C ．（1）直到型循环语句是先执行（循环体），后判断（条件），而当型循环语句是先判断（条件），后执行（循环体）．（2）直到型循环语句是条件不满足时执行循环体，条件满足时结束循环；而当型循环语句是当条件满足时执行循环体，不满足时结束循环．（3）直到型循环结构至少执行一次循环体，而当型循环结构可能一次也不执行循环体．（4）在设计程序时，一般说来，这两种语句用哪一种都可以，但在某种限定条件下，有时用WHILE 语句较好，有时用UNTIL语句较好．1．执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）B．﹣1 C．2018 D．2A．122．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（）A．55B．45 C．66D．403．下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入m=210，n=125，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．54．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[0，8]，则输出的y取值范围为（）A．[﹣7，1] B．[1，3] C．[0，3]D．[0，1]5．阅读如图所示的程序，若输入的数据中，m=42，n=18，则输出的值为（）A．4 B．6 C．7 D．56．中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示是a2+b2=c2，可见当时就已经知道勾股定理．如果正整数a，b，c满足a2+b2=c2，我们就把正整数a，b，c叫做勾股数，下面依次给出前3组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25．按照此规律，编写如图所示的程序框图，则输出的勾股数是（）A．11，60，61 B．13，84，85 C．17，74，75 D．21，72，757．如图，给出的是计算1+14+17+⋯+1100的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1 B．i＜34，n=n+3C．i＞34，n=n+3 D．i≥34，n=n+38.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法．已知f（x）=a10x10+a9x9+…+a1x+a0，如图程序框图设计的是求f（x0）的值，其中内应填的执行语句是（）A．S=S+n B．S=S+a nC．S=i+n D．S=S+a i9.执行如图所示程序框图，当输入1+log32时输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．410.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6 B．7 C．8 D．911.执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞12B．s＞710C．s＞35D．s＞4512.执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是（）A．[e﹣2，1] B．[1，e]C．[0，1] D．[e﹣2，e]13．将4036与10090的最大公约数化成五进制数，结果为__________．14．执行如图所示的程序框图,若输入x值满足−2<x≤4,则输出y值的取值范围是__________．15.如图所示的一个算法的程序框图，则输出d的最大值为1.B 【解答】：依题意，执行如图所示的程序框图可知： 初始S=2，当k=0时，S 0=﹣1，k=1时，S 1=12， 同理S 2=2，S 3=﹣1，S 4=12，…，可见S n 的值周期为3．∴当k=2007时，S 2007=S 0=﹣1， k=2008，退出循环．输出S=﹣1． 故选：B ．2.A 【解答】解：由程序框图运行可知S =31⋅42⋅53⋅64⋅⋯⋅97⋅108⋅119=10×111×2=55.故选：A ．3.D 【解答】：第1次执行循环体，r=75，不满足退出循环的条件，m=125，n=85； 第2次执行循环体，r=40，不满足退出循环的条件，m=85，n=40； 第3次执行循环体，r=5，不满足退出循环的条件，m=40，n=5； 第4次执行循环体，r=0，满足退出循环的条件； 故输出的n 值为5． 故选：D ．4.C 【解答】：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y={1−x ，x ＜1log 2x ，x ≥1的值．若：0≤x ＜1，则满足条件输出y=1﹣x ∈（0，1]， 若：1≤x ≤8，则不满足条件，此时y=log 2x ∈[0，3]， 则：输出y ∈[0，3]， 故选：C ．5.B 【解答】：根据题中程序语言知，该程序是计算并输出两个数m 、n 的最大公约数， 当m=42，n=18时，它们的最大公约数是6． 故选：B ．6.B 【解答】：当a=1时，执行循环体后，a=3，b=4．不满足退出循环的条件； 当a=3时，执行循环体后，a=5，b=12．不满足退出循环的条件；当a=5时，执行循环体后，a=7，b=24．不满足退出循环的条件； 当a=7时，执行循环体后，a=9，b=40．不满足退出循环的条件； 当a=9时，执行循环体后，a=11，b=60．不满足退出循环的条件； 当a=11时，执行循环体后，a=13，b=84．满足退出循环的条件，c=85； 故输出的a ，b ，c 值为：13，84，85， 故选：B ．7.C 【解答】：∵算法的功能是计算S=1+14+17+⋯+1100的值， 由题意及等差数列的性质，可得，100=1+（i ﹣1）×3，解得i=34， ∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框的条件为i ＞34， 根据n 值的规律得：执行框②应为n=n+3， 故选：C ．8.B 【解答】：由题意，a n 的值为多项式的系数，由a 10，a 9…直到a 1， 由程序框图可知，内应该填入S=S+a n ．故选：B ．9.B 【解答】：由已知可得：程序的功能是计算分段函数y={2−log 3x ，x ≥23x+1，x ＜2的值，由1+log 32＜2，故当输入1+log 32时输出的结果y=31+log 32+1=7， 故选：B ．10.C 【解答】：模拟程序的运行，可得S=0，n=1, 第1次执行循环，S=log 212，n=2,不满足条件S ＜﹣3，第2次执行循环，S=log 212+log 223，n=3 不满足条件S ＜﹣3，第3次执行循环，S=log 212+log 223+log 234，n=4 …不满足条件S ＜﹣3，第n 次循环：S=log 212+log 223+log 234+…+log 2n n+1=log 21n+1，n=n+1；令log 21n+1≤﹣3，解得：n ≥7． ∴输出的结果是n+1=7+1=8． 故选：C ．11.B 【解答】：由程序框图知：程序运行的S=910×89×…×kk+1，∵输出的k=6，∴S=910×89×78=710．∴判断框的条件是S ＞710．故选：B ．12.C 【解答】：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s={e t−1，t ∈[−1，1)log 3t ，t ∈[1，3]的值域，当t ∈[﹣1，1）时，s=e t ﹣1∈[e ﹣2，1），当t ∈[1，3]时，s=log 3t ∈[0，1]， 故输出s 的取值范围是[0，1]，故选：C ． 13．【答案】31033（5）【解析】10090=4036×2+2018，4036=2018×2，∴4036与10090的最大公约数就是2018．又∵2018÷5=403…3，403÷5=80…3，80÷5=16…0，16÷5=3…1，3÷5=0…3，∴将十进制数2018化为五 进制数是31033（5），故答案为：31033（5）． 14．【答案】[−3,2].【解析】根据输入x 值满足﹣2＜x ≤4，故：利用函数的定义域，分成两部分：即：﹣2＜x ＜2和2≤x ≤4， 当﹣2＜x ＜2时，执行y ＝x 2﹣3的关系式，故：﹣3≤y ＜1， 当2≤x ≤4时，执行y ＝log 2x 的关系式，故：1≤y ≤2． 综上所述：y ∈[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2].15. √2+1【解答】：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是求半圆y=√1−x 2上的点到直线x ﹣y ﹣2=0的距离的最大值，如图：可得：d 的最大值为OP+r=√2+1．。
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第4讲算法
1．(2016·北京卷改编)执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
解析k＝0，S＝0，满足k≤2；S＝0，k＝1，满足k≤2；
S＝1，k＝2，满足k≤2；
S＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出S＝9.
答案9
2．(2017·南京、盐城模拟)运行如图所示的伪代码，其结果为________．S←1
For I From 1 To 7 step 2
S←S＋I
End For
Print S
解析该伪代码输出的S＝1＋1＋3＋5＋7＝17.
答案17
3．(2017·徐州测试)阅读如图所示的流程图，若输入的n是30，则输出的变量S 的值是________．
解析该流程图运行15次，故输出的S＝30＋28＋…＋4＋2＝
15×(30＋2)
2＝
15×16＝240.
答案240
4．(2016·天津卷改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，则输出S的值为________．
解析初始值S＝4，n＝1，
循环第一次：S＝8，n＝2；
循环第二次：S＝2，n＝3；
循环第三次：S＝4，n＝4，满足n>3，输出S＝4.
答案 4
5．(2017·苏北四市调研)运行如图所示的伪代码，则输出的S为________．S←1
I←1
While I<5
S←S＋2
I←I＋1
End While
Print S
解析第一次运行，S＝3，I＝2；第二次运行，S＝5，I＝3；第三次运行，S ＝7，I＝4；第四次运行，S＝9，I＝5，结束循环，故输出的S为9.
答案9
6．(2017·南京调研)执行如图所示的流程图，若a＝7，则输出的S＝________.
解析由流程图知，该算法为求S＝1＋
1
1×2
＋
1
2×3
＋…＋
1
k(k＋1)
＝1＋1－
1
2
＋1
2－
1
3＋…＋
1
k－
1
k＋1
＝2－
1
k＋1
.又a＝7，∴当k＝8时，退出循环，此时S
＝2－
1
7＋1
＝
15
8.
答案15 8
7．(2017·南京模拟)下图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．
解析本题实质就是求不等式2n>20的最小整数解，因此输出的n＝5.
答案 5
8．(2017·洛阳模拟)按如下流程图，若输出结果为170，则判断框内应填入的条件为________．
解析模拟流程图的运行过程，得该程序运行后是计算S＝2＋23＋25＋27＝2＋8＋32＋128＝170，满足条件i＝7＋2≥9时，终止循环，∴判断框中应填入的是i≥9.
答案i≥9
9．(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)执行如图所示的流程图，输出的x值为________．
解析该流程图运行三次，第一次，x＝4，y＝16；第二次，x＝5，y＝32；
第三次，x＝6，y＝64>10×6＋3＝63，退出循环，故输出的x值为6.
答案 6
10．(2017·扬州质检)如图所示的伪代码输出的结果是________．S←1
For I From 1 To 5 Step 2
S←S＋I
End for
Print S
解析根据所给的伪代码知S＝1＋1＋3＋5＝10.
答案10
11．(2016·全国Ⅲ卷改编)执行下面的流程图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输
出的n＝________.
解析循环1次：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
循环2次：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
循环3次：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
循环4次：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4；
此时20>16，则输出n的值为4.
答案 4
12．(2017·泰州模拟)执行如图所示的伪代码，当输入a，b值分别为1,3时，最后输出的a的值为________．
Read a，b
i←1
While i≤2
a←a＋b
b←a－b
i←i＋1
End While
Print a
解析该伪代码运行两次，第一次循环，a＝4，b＝1，i＝2；第二次循环，a ＝5，b＝4，i＝3，故输出的a的值是5.
答案 5
13．(2016·全国Ⅰ卷改编)执行右边的流程图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足的关系为________(填序号)．
①y ＝2x ；②y ＝3x ； ③y ＝4x ；④y ＝5x .
解析 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，
运行第一次，n ＝2，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第二次，n ＝3，x ＝1
2，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36； 运行第三次，x ＝3
2，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36， 输出x ＝3
2，y ＝6.
由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，6在直线y ＝4x 上，则x ，y 的值满足③.
答案 ③
14．(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)执行如图所示的流程图，则输出k 的值为________．
解析 该流程图运行三次，第一次循环，n ＝6，k ＝1；第二次循环，n ＝3，k ＝2；第三次循环，n ＝1，k ＝3，结束循环，故输出的k 的值是3. 答案 3。