{高中试卷}湖南省2020年上学期长郡中学高一数学周末练习试题
湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题 答案和解析
湖南省长郡中学2020-2021学年高一入学分班考试数学试题答案和解析湖南省长郡中学高一入学分班考试数学试题一、单选题1.已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-a \\ x-y=1+3a\end{cases}$的解x为非正数，y为非负数，则a的取值范围是（）。
A。
$-2<a\leq3$ B。
$-2\leq a<3$ C。
$-2<a<3$ D。
$a\leq-2$2.已知$a^2+b^2=6ab$，且$a>b>0$，则$\dfrac{a+b}{a-b}$的值为（）。
A。
2 B。
$\pm2$ C。
$2\sqrt{2}$ D。
$\pm2\sqrt{2}$3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（）。
A。
$\dfrac{1}{3}$ B。
$\dfrac{2}{3}$ C。
$\dfrac{1}{9}$ D。
$\dfrac{1}{6}$4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式$x-y$，因式分解的结果是$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$，若取$x=9$，$y=9$时，则各个因式的值是：$x-y=0$，$xy=81$，$x^2+y^2=162$，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式$x-xy$，取$x=20$，$y=10$时，用上述方法产生的密码不可能是（）。
A。
B。
C。
D。
5.如果四个互不相同的正整数$m,n,p,q$，满足$(5-m)(5-n)(5-p)(5-q)=4$，那么$m+n+p+q=$（）。
A。
24 B。
21 C。
20 D。
226.若$x_1,x_2$（$x_1<x_2$）是方程$(x-a)(x-b)=1$（$a<b$）的两个根，则实数$x_1,x_2,a,b$的大小关系为（）。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞4．（3分）函数332x x xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)106．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍A ．10B ．100C ．1010D ．100009．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或412．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．214．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．215．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+-=g ．17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = ．18．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= ．19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= ． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 ．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b+r r 与a b -rr 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值．23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u ur u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u rr，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ； （2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<…个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围．25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）． （1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}，则(U A =ð ) A ．{3，9}B ．{7，9}C ．{5，7，9}D ．{3，7，9}【解答】解：集合{1U =，3，4，5，7，9}，{1A =，4，5}， 所以{3U A =ð，7，9}， 故选：D ．2．（3分）函数(3)y lg x =-的定义域为( ) A ．(1,3)B ．[1，3)C ．(3,)+∞D ．[1，)+∞【解答】解：由题意可知，1030x x -⎧⎨->⎩…，解可得，13x <„，即函数的定义域为[1，3)． 故选：B ．3．（3分）若函数2()4f x x mx m =+-在区间[1-，4]上单调，则实数m 的取值范围为()A ．(-∞，8][2-U ，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，8]-D ．(-∞，2][8-U ，)+∞【解答】解：2()4f x x mx m =+-的对称轴12x m =-，2()4f x x mx m =+-Q 在区间[1-，4]上单调， ∴12m --„，或142m -…， 2m ∴…或8m -„，故选：A ．4．（3分）函数332xx xy =+的值域为( )A ．(0,)+∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【解答】解：Q 2()03x >，∴21()13x +>，∴31(0,1)2321()3x xx xy ==∈++， 故选：D ．5．（3分）已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，若f （3）1=且()(1)2f m f m <-+，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．9(,1)10D ．9(0,)10【解答】解：Q 对于任意实数x ，(0,)y ∈+∞都满足()()()f xy f x f y =+，且f （3）1=， ∴令3x y ==得：f （9）f =（3）f +（3）2=，∴原不等式()(1)2f m f m <-+可化为()(1)f m f m f <-+（9），()(99)f m f m ∴<-，又Q 函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数， ∴01099m m m m>⎧⎪->⎨⎪<-⎩，解得：9010m <<，故选：D ．6．（3分）设131log 4a =，141()4b =，131()3c =，则a ，b ．c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：1331log log 414a ==>Q ，01b <<，01c <<， a ∴最大，又1141211()()464b ==Q ，1131211()()381c ==，且幂函数112y x =在(0,)+∞上单调递增，c b ∴<， c b a ∴<< 故选：B ．7．（3分）幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<【解答】解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数），Q 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-，∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<Q ，1101a b b a∴<<<<<， 又Q 幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a >>，故选：B ．8．（3分）对于一个声强为I 为（单位：2/)W m 的声波，其声强级L （单位：)dB 可由如下公式计算：010IL lg I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的( )倍 A ．10B ．100C ．1010D ．10000【解答】解：由题意可得：12010701060I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即10276I lg I I lg I ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相减得121I lgI =，∴1210II =， 1I ∴是2I 的10倍，故选：A ．9．（3分）已知函数()3sin(2)3f x x π=-，下列结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在5(,)1212ππ-内是增函数 【解答】解：A 错，最小正周期为π，当6x π=时，()1f x ≠，B 错，2()3sin()063f ππ-=-≠，C 错，当5(,)1212x ππ∈-时，2(32x ππ-∈-，)2π，()f x 单调递增，D 成立，故选：D ．10．（3分）为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度 【解答】解：将3sin y x =的图象上的所有点的横标缩短原来的12倍， 得到3sin 2y x =的图象，再将函数的图象向上平移1个单位， 即可得到函数3sin 21y x =+的图象． 故选：B ．11．（3分）扇形周长为6cm ，面积为22cm ，则其圆心角的弧度数是( ) A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则由题意可得26122r l lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得41l r =⎧⎨=⎩，或22l r =⎧⎨=⎩，当41l r =⎧⎨=⎩，时，其中心角的弧度数4l r α==；当22l r =⎧⎨=⎩时，其中心角的弧度数1l r α==故选：D ．12．（3分）若A 、B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：ABC ∆Q 为锐角三角形，2A B π∴+>．2A B π∴>-，2B A π>-．sin cos A B ∴>，sin cos B A > cos sin 0B A ∴-<，sin cos 0B A ->P ∴在第二象限．故选：B ．13．（3分）已知函数()3sin(2)2f x x π=+，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．4B ．1C ．12D ．2【解答】解：函数()3sin(2)2f x x π=+，所以函数的周期242T ππ==． 对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x 剟成立，3()3f x -剟． 则12||x x -的最小值为22T=． 故选：D ．14．（3分）已知平面向量(1,3)a =-r ，(4,2)b =-r ，若a b λ-r r 与a r 垂直，则实数(λ= )A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：Q (1a b λλ-=r r ，3)(4--，2)(4λ-=-，32)λ-+，a b λ-r r 与a r垂直， ∴()43(32)0a b a λλλ-=---+=r r rg ，解得1λ=．故选：B ．15．（3分）如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP CQ u u u r u u u rg 的最小值为( )A ．6-B ．322--C ．32--D ．4-【解答】解以O 为坐标原点建立如图坐标系，则P ，Q 在以O 为圆心的单位圆上，设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，又(1,1)A --，(1,1)C ， ∴(cos 1,sin 1)AP αα=++u u u r ，(cos 1,sin 1)CQ ββ==-u u u r ， ∴(cos 1)(cos 1)(sin 1)(sin 1)AP CQ αβαβ=+-++-u u u r u u u rgg g cos cos cos cos 1sin sin sin sin 1αββααββα=+--++-- (cos cos sin sin )(sin cos )(sin cos )2αβαβββαα=+++-+- cos()2)2)244ππαββα=-++-，当cos()1αβ-=-，且sin()14πβ+=-，且sin()14πα+=时，则AP CQ u u u r u u u rg 有最小值，此时(21)k αβπ-=+，且524k βππ=+，且2()4k k Z παπ=+∈，∴AP CQ u u u r u u u rg 能取到最小值322--， 故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）计算：24323827()log log 9log 2125--+=g 4 ．【解答】解：原式23()351232()2423lg lg lg lg -⨯-=--g2512444=--=． 故答案为：4． 17．（3分）若()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x -=+，则1()2f = 3 ． 【解答】解：根据题意，()f x 对于任意实数x 都有12()()21f x f x x-=+， 令2x =可得：2f （2）1()22152f -=⨯+=，① 令12x =可得：12()2f f -（2）12122=⨯+=，②， 联立①②解可得：1()32f =； 故答案为：318．（3分）已知sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 22αα+= 25 ． 【解答】解：Qsin 2cos 5sin 2cos αααα+=-， ∴tan 25tan 2αα+=-，解得tan 3α=， ∴2222221sin cos 1tan 132cos sin 221315cos sin cos tan ααααααααα++++====+++． 故答案为：25． 19．（3分）已知2sin()24απ-=，则sin α= 2425 ． 【解答】解：Q 2sin()24απ-=， 22224sin cos()cos2()12sin ()12()2242425παπαπαα∴=-=-=--=-⨯=． 故答案为：2425． 20．（3分）若存在正整数ω和实数ϕ使得函数2()sin ()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则ω的值为 2 ．【解答】解：由21cos(22)()sin ()2x f x x ωϕωϕ-+=+=及图象知：函数的半周期在1(2，1)之间，即112122πω<<g ， ∴2πωπ<<，2ω∴= 或3ω=．由图象经过点(1,0)，所以f （1）1cos(22)02ωϕ-+==，知222()k k Z ωϕπ+=∈， 222k ωϕπ∴=-+， 由图象知1cos21(0)22f ϕ-=>，得cos20ω<， 又当ω为正整数2时，可得：cos2cos40ω=<，cos60>，所以可得：2ω=．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）若函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=，f （2）3<． （1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在(-∞，1]-上的增减性，并证明．【解答】解：（1）根据题意，函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，(a ，b ，)c N ∈且f （1）2=， 则(1)2f -=-，又由f （2）3<，则有12124132a b c a b ca b c +⎧=⎪+⎪+⎪=-⎨-+⎪+⎪<⎪+⎩且a 、b 、c N ∈，解可得1a =，1b =，0c =； （2）由（1）可得：211()x f x x x x+==+，函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数， 设121x x <-„，121212121212(1)()11()()()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+-+=， 又由121x x <-„，则12()0x x -<且12(1)0x x ->，则有12()()0f x f x -<，故函数()f x 在(-∞，1]-上为增函数．22．（8分）设向量(cos ,sin )a αλα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，其中0λ>，02παβ<<<，且a b +r r与a b -r r 相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若45a b =r r g ，且tan 2β=，求tan α的值． 【解答】解：（1）由a b +r r 与a b -r r 互相垂直，可得22()()0a b a b a b +-=-=r r r r r r g ，所以222cos sin 10αλα+-=，又因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)sin 0λα-=， 因为02πα<<，所以2sin 0α≠，所以210λ-=，又因为0λ>，所以1λ=．（2）由（1）知(cos ,sin )a αα=r ，由45a b =r r g ，得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，即4cos()5αβ-=， 因为02παβ<<<，所以02παβ-<-<，所以3sin()5αβ-==-， 所以sin()3tan()cos()4αβαβαβ--==--， 因此tan()tan 1tan tan()1tan()tan 2αββααββαββ-+=-+==--． 23．（8分）已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，点N 、M 满足AN AB λ=u u u r u u u r ，(1)AM AC λ=-u u u u r u u u r ，R λ∈，设AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r．（1）试用向量a r 和b r 表示BM u u u u r ，CN u u u r ；（2）若32BM CN =-u u u u r u u u r g ，求λ的值． 【解答】解：（1）(1)(1)BM AM AB AC AB a b λλ=-=--=--u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r ；CN AN AC AB AC b a λλ=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ； （2）32BM CN =-u u u u r u u u r g ，即[(1)]()a b b a λλ=---r r r r g 22213[(1)1](1)(1)2244(1)22a b b a λλλλλλλλ=-+---=-+---=-r r r r g g g g ， 化为24140λλ+-=，解得12λ=．24．（8分）将函数()4sin cos()6g x x x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()f ϕ的值；（2）若()f x 在7(,)6ππ上是单调函数，求ϕ的取值范围． 【解答】解：（1）Q 31()4sin (sin )3sin 2(1cos2)2sin(2)126g x x x x x x x π=-=--=+-， ∴函数()2sin(2)16g x x π=+-的图象向左平移(0)2πϕϕ<„个单位长度后得到()2sin(22)16f x x πϕ=++-的图象，又()f x 为偶函数，则2()62k k Z ππϕπ+=+∈， Q 02πϕ<„，∴6πϕ=，()2sin(2)12cos212f x x x π∴=+-=-，()()2cos 1063f f ππϕ==-=． （2）Q 7(,)6x ππ∈，∴22(22,22)662x πππϕπϕπϕ++∈++++， Q 02πϕ<„，∴72(,]666πππϕ+∈，32(,]222πππϕ+∈， ()f x Q 在7(,)6ππ上是单调函数． ∴262ππϕ+…，且02πϕ<„，∴[,]62ππϕ∈． 25．（8分）已知函数()||1f x x a =--，(a 为常数）．（1）若()f x 在[0x ∈，2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知()()g x x f x a m =+-g ，若存在实数(1a ∈-，2]，使得函数()g x 有三个零点，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）1,()1,x a x a f x x a x a --⎧=⎨-+-<⎩…， 当1a …时，()(0)3max f x f ==，4a ∴=；当1a <时，()max f x f =（2）3=，2a ∴=-；综上：4a =或2-．（2）()||0g x x x a x a m =--+-=有三个零点， 等价于()||h x x x a x a =--+和y m =有三个不同的交点，22,(),x ax x a x a h x x ax x a x a ⎧--+=⎨-+-+<⎩…， 当12a 剟时，()h x 在1(,)2a --∞上递增， 在1(2a -，1)2a +递减，在1(2a +，)+∞递增； 10()2a m h -∴<<，即2(1)0(14a m +<<∈，9]4， 904m ∴<<． 当11a -<<时，()h x 在1(2a -，1)2a +上递减，在(-∞，11)(22a a -+，)+∞上递增； 11(()()22a a h m h +-∴<<即22(1)(1)44a a m -+-<<， 914m ∴-<<．。
2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年长沙市长郡中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={0,1,2}，B ={x|x 2+x −2≤0}，则A ∩B =( )A. {0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.下列语句不是全称量词命题的是( )A. 任何一个实数乘以零都等于零B. 自然数都是正整数C. 高一(1)班绝大多数同学是团员D. 每一个实数都有大小3.若tanα=3，则4sin 2α−sinαcosα+cos 2α的值为( )A. −175B. 175C. 3D. −34.已知条件p:不等式的解集为R ；条件q:指数函数为增函数，则p 是q 的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件5.与函数y =x 是同一函数的函数是( )A. y =√x 2B. y =√x 33C. y =(√x)2D. y =x2x6.函数g(x)=lnx −1x 的零点所在区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.若角的终边上有一点，则的值是( )A.B.C.D.8.函数的部分图象大致是如图所示的四个图象中的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A. 12B. 32C. 2D. 49.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，要得到函数g(x)=2sin(2x +π4)的图象，只需将函数f(x)的图象( )A. 向右平移π12长度单位 B. 向左平移π24长度单位 C. 向左平移π12长度单位D. 向右平移π24长度单位10. 设，且，则= ( )A. 100B. 20C. 10D.11. 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致是( )A.B.C.D. 图象大致形状是( )12. 若x +4x−1≥m 2−2am −3对所有的x ∈[2,4]和a ∈[−1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. [−4,2]B. [−2,4]C. [−2,2]D. [−4,4]二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x,y )的轨迹方程是y =f (x )，则对函数y =f (x )的判断正确的是( )A. 函数y =f (x )是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有f (x +4)=f (x −4)C. 函数y =f (x )的值域为[0,2√2]D. 函数y =f (x )在区间[6,8]上单调递增14. 已知实数a ，b ，c 满足a >b >c 且abc <0，则下列不等关系一定正确的是( )A. ac >bcB. c a >cbC. b a +ab >2D. aln|c|>bln|c|15. 下列关于函数y =tan(−2x +π3)的说法正确的是( )A. 在区间(−π3,−π12)上单调递增 B. 最小正周期是π2C. 图象关于点(5π12,0)成中心对称D. 图象关于直线x =−π12成轴对称三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16. 计算2log 214−(827)23+lg 1100+(√2−1)lg1的值为______． 17. 周长为6的等腰△ABC 中，当顶角A =π3时，S △ABC 的最大值为√3，周长为4的扇形OAB 中，则当圆心角α，|α|=∠AOB = ______ (弧度)时，S 扇形△AOB 的最大值是1． 18. 设4a =5b =m ，且1a +2b =1，则m =______．19. 广州市出租车收费标准如下：在3km 以内路程按起步价9元收费，超过3km 以外的路程按2元/km收费，另每次收燃油附加费1元，则收费额Q 关于路程s 的函数关系是______ ．20. 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−x −1=0的两实数根，则x 12+x 22= ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. (1)1.513×(−76)0+80.25×√24+(√23×√3)6−√(23)23； (2)12lg3249−43lg8+lg √245．22. 为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．23. (本小题满分12分) 向量(1)若a 为任意实数，求g(x)的最小正周期； (2)若g(x)在[o,)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值，24. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB ⏜、CD ⏜所在圆的半径分别为f(x)、R 米，圆心角为θ(弧度)．(1)若θ=π3，r 1=3，r 2=6，求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？25.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=log2x.(1)求当x<0时函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2−1)>2．参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵集合A={0,1,2}，B={x|x2+x−2≤0}={x|−2≤x≤1}，∴A∩B={0,1}．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.答案：C解析：根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可．本题考查了全称量词命题与存在量词命题的定义，属于基础题．解：A，B，D中含有“任何一个”“都是”“每一个”，是含有全称量词的全称量词命题，而C中命题可以改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，所以C不是全称量词命题，故选：C．3.答案：B解析：先利用同角三角函数的基本关系把1换成sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2α，最后把tanα的值代入即可求得答案．本题主要考查了三角函数的化简求值．解题的关键是把原式中的弦转化成切，利用已知条件求得问题的解决．解：∵tanα=3，则4sin2α−sinαcosα+cos2α=4sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=4tan2α−tanα+1 tan2α+1=4×9−3+19+1=175故选B．4.答案：C。
湖南省长沙市长郡中学高一上学期期末考试数学试题(无答案)
长郡中学2019-2019学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A=［1,3?，集合B 亠..1,2,4,5 ?,则集合AUB 二( )A. 11,3,1,2,4,5 / B . MC. 11,2,3,4,5 / D . ：2,3,4,5 /TL2 •已知tan: - -3 , ，则sin 的值为( )2A •1B731C • ——D •732222r r r r r r3 •已知j刁=4，t)=3，且a与b不共线，若向量 a + kb与a - kb互相垂直，则k的值为( )A•a B2丽C • ±--------- D34324•如果奇函数f (x )在区间12,8 ］上是减函数且最小值为6，贝U f(x )在区间［-8,-2】上是( ) A.增函数且最小值为-6 B •增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6 D •减函数且最大值为-65•方程2x，3x-7 =0的解所在的区间为( )A. -1,0 B • 0,1 C • 1,2 D • 2,36 • =ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a, b, c，若a2- c2，b2= ab，则C =( )A. 30° B • 60° C • 120° D • 60° 或120°7 • ABC中，内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos^ ，则ABC为( ) cosB aA •等腰三角形B •等边三角形C.直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形f 8 •已知集合A= X■■■■ -x2 6Li2 :：1 ，B = ' x log 4 x a "，a的取值范围为若A I B^，则实数R 上的周期为2的偶函数，已知 x - 2,3 I 时，f x = x ，则x 1-2,0 1时，f x的解析式为( )A . x 4B C. 3 — X +1D 13.若函数 f (x )=si n 豹 x —J Jcos ^x ，⑷ >0,x ^ R ，又 f (x j = 2 , f (x 2)=0，且捲—x 2 的最小值为—，则，的值为（ 2 )1 24A . -BCD.233314.如图，正三角形 ABC 的中心位于点G 0,1 , A 0,2 ，动点P 从点A 出发沿厶ABC 的边界按逆时针uun r方向运动，设• AGP =x 0乞x 乞2二，向量OP 在a 二1,0方向上的射影为y （ O 为坐标原点），则 y 关于x 的函数y 二f x 的图象大致为（）A. BC.A . 1 ：：：a ::: 2 C..1 ：：： a 乞 2设是第二象限角， 1 P x,4为其终边上的一点，且 cos x ，则tan =（） A .4 _3 二 11 ■:sin 2二-匚 cos 「亠二 jco^ — - :- cos - 10.化简 cos 二「sin 3二…sin -二-：sin 吟 的结果为tan :- 11 .先把函数 象向右平移 3 A .ji —+CL tan :-f x =sin x i 的图象上各点的横坐标变为原来的 1“ I 6丿 个单位, （纵坐标不变），再把新得到的图得到y 二g x 的图象.当x g x 的值域为（.亠 C IL 21-4,012 .设f x 是定义在 2 -x2_x+1—1,0<x^2彳0)=廿.则关于x的方程2 f(x-2),x>26「f （x p — f （x ）—1 = 0的实数根个数为（A. 6 B . 7 C . 8 D . 9、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bsin A=乜.acosB若b 3 , sin C =2sin A，求a, c的值.Q已知函数f x「3sinxcosx-cos2x ?15.已知定义在R上的奇函数f x，当x .0时,16.lg 2 Ig5 二0戸17.18.2sin -cos:-已知tan「- 3，贝U —cosa +3sin G已知向量a, b满足b =2, a与b的夹角为60 °，则b在a上的投影是19.若函数f x =2x2-kx-3在区间〔-2,4 1上具有单调性，则实数k的取值范围是20.uuu uuu在.ABC 中，AB AC =9, si n B =cosA si nC, S ABC= 6 , P 为线段AB 上一点，且uir CP UlTCB，则—•丄的最小值为x y21.(1)(2)UlTCA=x CA y CB解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集合A x求AI B ;求$ A UB .+3)(x—2)兰0}, B={x1 兰x 兰4}.22.(1) 求角B的大小;(2)23.(1) 求f x的单调递增区间;(2) 若角:的终边不共线，且f 二f ［，求tan24.已知向量a = cos： ,sin ：, b = cos :,sin ：,2.5 5(1 )求cos - ；1 i 5(2)右0 , 0 ,且sin ，求sin、丄.2 2 1325.已知二次函数f x =x2，若不等式f -x • f x < 2 x的解集为C .(1)求集合C ；(2)若函数g x = f a x-a x 1-11( a 0且a")在集合C上存在零点，求实数a的取值范围.。
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析
湖南省长沙市长郡中学2020年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图像大致是…………………………………()参考答案：D2. 的值是 ( )A .B . C.D.参考答案：B略3. 设集合，集合,若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A. B.C． D. 参考答案：B略4. 已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：x＞﹣1，∵B={﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}．故选D5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数就是“同族函数”．下列有四个函数：①；②；③；④；可用来构造同族函数的有_ ▲参考答案：①②6. 已知，，那么的值是（）．A．B．C．D．参考答案：B 解析：7. 设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A． B． 2 C． D． 4参考答案：B考点：平面向量的综合题．专题：新定义．分析：设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．解答：解：设的夹角为θ，则cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故选B．点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．8. 用秦九韶算法计算函数当时的函数值时.的值为( )A．3 B.-7 C.34 D.-57参考答案：C略9. 函数的定义域为（★）A．R B．[1，10] C．D．（1，10）参考答案：D略10. 在△ABC中，AC=，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（）A． B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义运算min。
2020-2021长沙市长郡中学高一数学上期末一模试题含答案
2
8
是容易漏掉分界点 x 2 处的情况.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 0.7x 0.2 求
解. 【详解】
因为 1 小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL, x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL 的， 由题意知 100mL 血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，
血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到 20～79mg 的驾驶员即为
酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒
精含量上升到了 1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速
度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，
A． f (x) 在（0，2）单调递增
B． f (x) 在（0，2）单调递减
C． y = f (x) 的图像关于直线 x=1 对称
D． y = f (x) 的图像关于点（1，0）对称
3．设集合 A x | 2x1 1 ， B y | y log3 x, x A ，则 B A （ ）
A． 0,1
，则
f ( f (0)) (
)
3x , x N *
A．0
B．-1
8．若 x0＝cosx0，则（ ）
C． 1 3
D．1
A．x0∈（ ， ） B．x0∈（ ， ） C．x0∈（ ， ） D．x0∈（0， ）
32
43
64
6
9．已知函数
f
x
log
2
湖南省长郡中学2020-2021学年度上学期高一数学周末练习3
全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分)
11．下列命题正确的是( )
A．存在 x<0，x2－2x－3＝0
B．对于一切实数 x<0，都有|x|>x
C． x∈R， x2＝x
D． n∈N*，2n2＋5n＋2 能被 2 整除是假命题
12.设
t t t t t t其中 为参数.下列选项正确的是(
t
1 1 的最小值为________.
h1 h2
四、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（10分）某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用 的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成 本 (元)与月处理量 (吨)之间
时， t t t ，则当
时， 的解析式为(
)
A. t t
B. t
C. t
t
D. t
t
8.一元二次方程 ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A. a <0
B. a >0
C. a < -1
D. a >1
9.设 是奇函数，且在 ， t 内是单调递增的，又 t t
则
的解集是（
)
A.当 t 时， t 的最大值为 4
B.当 t 时， t 的最小值为 4
C.当 t 时， 的最小值为 9
D.当 t 时，
的最大值为 3 [来源:Z#xx#]
三、填空题(本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)
13.不等式
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合M ={−3,−1,0，1，2}，N ={−1,0，1，3}，则M ∩N =( )A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，3}D. {−3,−1,0，1，2}2. 命题P ：∀∈R ，x 2+1≥1，则￢P 是( )A. ∀∈R ，x 2+1<1B. ∀x ∈R ，x 2+1≥1C. ∃x 0∈R,x 02+1<1D. ∃x 0∈R,x 02+1≥13. cos(−π3)=( )A. −√32B. √32C. −12D. 124. 若a 、b 是实数，则a >b 是2a >2b 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5. 下列函数中与函数y =x 2是同一函数的是( )A. u =v 2B. y =x ⋅|x|C. y =x 3xD. y =(√x)46. 函数y =lnx +2x −6的零点所在的区间可能是( )A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)7. 如果角α的终边经过点(4,3)，则sinα−2cosα2sinα+cosα=( )A. −2B. 2C. −12D. 128. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(0,+∞)单调递增，且f(−5)=0，则满足xf(x)<0的解集是( )A. (−∞,−5)∪(5,+∞)B. (−∞,−5)∪(0,5)C. (−5,0)∪(5,+∞)D. (−5,0)∪(0,5)9. 要得到函数y =3sin2x 的图象，只要把函数y =3sin(2x +π3)图象( )A. 向右平移π3个单位 B. 向左平移π3个单位 C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位10. 下列大小关系，正确的是( )A. 0.993.3<0.994.5B. log 20.8<log 3πC. 0.535.2<0.355.2D. 1.70.3<0.93.111. 已知f(x)=|x|，g(x)=x 2，设ℎ(x)={f(x),f(x)>g(x)g(x),f(x)≤g(x)，则函数ℎ(x)大致图象是( )A.B.C.D.12. 若不等式x 2−tx +1<0对一切x ∈(1,2)恒成立，则实数t 的取值范围为( )A. t <2B. t >52C. t ≥1D. t ≥52二、多选题（本大题共3小题，共9.0分） 13. 下列函数是奇函数的有( )A. y =x 3B. y =x 2−1C. y =sinxD. y =log 2x14. 对于任意实数a ，b ，c ，d ，则下列命题正确的是( )A. 若ac 2>bc 2，则a >bB. 若a >b ，c >d ，则a +c >b +dC. 若a >b ，c >d ，则ac >bdD. 若a >b ，则1a >1b15. 已知函数f(x)=sinx +√3cosx ，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 C. 函数f(x)的图象关于直线x =−5π6对称D. 若实数m 使得方程f(x)=m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则一定有x 1+x 2+x 3=7π3三、单空题（本大题共5小题，共15.0分） 16. log 24−(√2)−2+e ln2= ______ ．17. 已知扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm ，则此扇形的面积为______ cm 2． 18. 已知2a =3b =m ，且1a +1b =2，则实数m 的值为______ ．19. 有材料可做72m 墙(不计高度和厚度)，如图所示，要做3间房，当4堵纵墙的长度相等且长度等于______ 时，3间房的总面积达到最大值．20. 记函数f(x)=x −[x]，其中[x]表示不大于x 的最大整数，g(x)={kx,x ≥0−1x ,x <0，若方程f(x)=g(x)在区间[−5,5]上有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21. 已知函数g(x)=log a x(a >0且a ≠1)的图象过点(9,2)．(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)解不等式g(3x −1)>g(−x +5)．22.已知m>0，n>0，关于x的不等式x2−mx−20<0的解集为{x|−2<x<n}．(1)求m，n的值；(2)正实数a，b满足na+mb=2，求15a +1b的最小值．23.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2．(1)求ω的值及函数f(x)的递增区间；(2)若f(α)=35，且α∈(π12,π3)求sin2α．24.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π4的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠POC=α．(1)用角α表示AB，BC的长度；(2)当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．25.已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)，且f(−2)=14．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若13≤k<1，函数f1(x)=|f(x)−1|−k的零点分别为x1，x2(x1<x2)，函数f2(x)=|f(x)−1|−k2k+1的零点分别为x3，x4(x3<x4)，求x1−x2+x3−x4的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得：M={−3,−1,0，1，2}，N={−1,0，1，3}，则M∩N={−1,0，1}，故选：A．根据集合的定义求出M，N的交集即可．本题考查了集合的运算，考查交集的定义，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：命题的否定是：∃x0∈R，x02+1<1，故选C．根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．本题考查了全称命题的否定．3.【答案】D【解析】解：cos(−π3)=cosπ3=12．故选：D．由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，因为y=2x是增函数，若a>b，必有2a>2b，反之若2a>2b，必有a>b，则a>b是2a>2b的充要条件，故选：C．根据题意，结合指数函数的性质，分析可得若a>b，必有2a>2b，反之若2a>2b，必有a>b，由充分必要条件的定义即可得答案．本题考查充分必要条件的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：A.y =x 2的定义域为R ，u =v 2的定义域为R ，定义域和对应关系都相同，是同一函数； B .y =x 2与y =x ⋅|x|的对应关系不同，不是同一函数； C .y =x 3x的定义域为{x|x ≠0}，定义域不同，不是同一函数；D .y =(√x)4的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同，不是同一函数． 故选：A ．可看出y =x 2的定义域为R ，然后判断每个选项的函数的定义域和对应关系是否和y =x 2的都相同，都相同的为同一函数，否则不是．本题考查了函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和对应关系是否都相同，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：函数f(x)=lnx +2x −6在(0,+∞)上单调递增，在定义域上其图象是一条不间断的曲线， 又f(2)=ln2−2=ln2−lne 2<0，f(3)=ln3>0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点所在区间可能为(2,3)． 故选：B ．由函数的零点存在性定理直接判断求解即可．本题主要考查函数的零点存在性定理，考查函数性质的运用，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点(4,3)，∴tanα=34， 则sinα−2cosα2sinα+cosα=tanα−22tanα+1=−12， 故选：C ．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵定义在R 上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(−5)=0， ∴函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，且f(5)=0，∴不等式xf(x)<0等价于{x >0f(x)<0=f(5)或{x <0f(x)>0=f(−5)，∴0<x <5或−5<x <0∴不等式xf(x)<0的解集(−5,0)∪(0,5)．故选：D．先确定函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，且f(5)=0，再将不等式等价变形，即可得到结论．本题考查函数单调性与奇偶性的综合，关键利用函数为奇函数得到对称区间的单调性，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：把y=3sin(2x+π3)的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得函数y=3sin[2(x−π6)+π3]=3sin2x的图象，故选：C．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：对于A：考察指数函数y=0.99x，由于0.99<1，故它在R上是减函数，∵3.3<4.5，∴0.993.3>0.994.5故A错；对于B：考察对数函数log2x，由于2>1，故它在(0,+∞)上是增函数，∴log20.8<log21=0，而log3π>log31=0，∴log20.8<log3π故B正确；对于C：考察幂函数y=x5.2，由于5.2>0，故它在(0,+∞)上是增函数，∵0.53>0.35，∴0.535.2>0.355.2故C错；对于D：考考察指数函数y=1.7x，由于1.7>1，故它在R上是增函数，∴1.70.3>1.70=1，考考察指数函数y=0.9x，由于0.9<1，故它在R上是减函数，0.93.1<0.90=1，故1.70.3>0.93.1故D错；故选B．结合函数y=0.99x，y=x5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数(对数)式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数(对数)函数的单调性，若不同底数，也不同指(真)数，一般与1(0)比较大小．11.【答案】C【解析】解：在同一坐标系中，作出函数f(x)=|x|和g(x)=x 2的图象，如图所示，因为ℎ(x)={f(x),f(x)>g(x)g(x),f(x)≤g(x)，所以ℎ(x)={|x|,−1<x <1x 2,x ≤−1或x ≥1，对应选项C 的图象．故选：C ．在同一坐标系中，作出函数f(x)=|x|和g(x)=x 2的图象，即可得解．本题考查分段函数的图象与性质，熟练掌握绝对值函数和二次函数的图象是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和作图能力，属于基础题．12.【答案】D【解析】【试题解析】 解：由题意可得：t >x 2+1x=x +1x 在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y =x +1x 在区间(1,2)上单调递增，且当x =2时，y =2+12=52， 故实数t 的取值范围是t ≥52． 故选：D ．首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t 的取值范围．本题主要考查恒成立问题的处理方法，对勾函数的性质及其应等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．13.【答案】AC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =x 3，是幂函数，是奇函数，符合题意， 对于B ，y =x 2−1，是二次函数，是偶函数，不符合题意， 对于C ，y =sinx ，是正弦函数，是奇函数，符合题意， 对于D ，y =log 2x ，是对数函数，不是奇函数，不符合题意， 故选：AC ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．14.【答案】AB【解析】解：若ac2>bc2，则a>b，A对，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，当令a=2，b=1，c=−1，d=−2，则ac=bd，C错，令a=−1，b=−2，则1a <1b，D错．故选：AB．可代入特例判断选项错，可由性质定理判断AB对．本题考查对不等式的判断，可代入特例判断选项错，属于基础题．15.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)=sinx+√3cosx，=2sin(x+π3)，故函数的最小正周期为2π.故A正确．当x=−π6时，f(−π6)≠0故B错误．当x=−5π6时，f(−5π6)=−2故C正确．当实数m=√3时，使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则一定有x1+x2+x3=7π3.故D正确．故选：ACD．首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】2【解析】解：log24−(2)−2+e ln2=2−2+2=2．故答案为：2．利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】1【解析】解：∵扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm，∴扇形的弧长l=2×1=2cm，扇形的面积为S=12lr=12×2×1=1．故答案为：1．利用扇形的弧长公式、面积公式，即可得出结论．本题考查扇形的弧长公式、面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18.【答案】√6【解析】解：∵2a=3b=m∴1a =log m2，1b=log m3，又∵1a +1b=2即log m2+log m3=log m6=2解得m=√6故答案为：√6由已知中2a=3b=m，结合指数式和对数式的互化方法和换底公式的变形，可得1a =log m2，1b=log m3，进而根据1 a +1b=2，可构造关于m的对数方程，解方程可得答案．本题考查的知识点是换底公式的应用，指数式与对数式的互化，其中根据已知条件得到1a =log m2，1b=log m3，是解答本题的关键．19.【答案】9m【解析】解：设4堵纵墙的长度为xm，则横墙的长度为12(72−4x)m，则3间房的总面积S=12x(72−4x)=2x(18−x)≤2⋅(x+18−x2)2=162，当且仅当x=18−x，即x=9m时，3间房的总面积达到最大值162m2．故答案为：9m．设4堵纵墙的长度为xm，则横墙的长度为12(72−4x)m，求出3间房的总面积，利用基本不等式求最值，即可得出结论．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】[15,14)【解析】解：在同一坐标系内作出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示：则方程f(x)=g(x)在区间[−5,0)上有3个实根，所以在区间[0,5]上有4个不同实根．当直线y =kx 经过点(4,1)时，k =14，经过点(5,1)时，k =15．若在区间[0,5]上有4个根，则k 的取值范围是[15,14).故答案为：[15,14).在同一坐标系内作出函数f(x)，g(x)的图象，利用函数图象交点的个数判断方程的根的情况，从而求出k 的取值范围．本题考查了利用函数图象交点的个数判断方程根的情况，是中档题． 21.【答案】解：(I)因为函数g(x)=log a x(a >0且a ≠1)的图象过点(9,2)∴log a 9=2，所以a =3，即g(x)=log 3x ；(II)因为g(x)单调递增，所以3x −1>−x +5>0，即不等式的解集是(32,5)．【解析】(I)把已知点的坐标代入求解即可；(Ⅱ)直接利用函数大单调性即可求出结论，注意真数大于0的这一隐含条件．本体主要考查对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键，这一类型题目的易错点在于真数大于0容易忽略．22.【答案】解：(1)根据题意，不等式x 2−mx −20<0的解集为{x|−2<x <n}，即方程x 2−mx −20=0的两根为−2和n ，则有{−2+n =m (−2)×n =−20， 解可得n =10，m =8，(2)正实数a ，b 满足na +mb =2，即10a +8b =2，变形有5a +4b =1，所以15a +1b =(15a +1b )(5a +4b)=5+4b 5a +5a b ≥5+2√4b 5a ×5ab =9，当且仅当√5a =2b 时等号成立，故15a +1b的最小值为9．【解析】(1)根据不等式的解集以及韦达定理即可求出m，n的值；(2)代入m，n的值可得5a+4b=10，利用1的代换以及基本不等式可求得15a +1b的最小值．本题考查一元二次不等式的解法，涉及基本不等式及的性质以及应用，属于基础题．23.【答案】解：(1)因为函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，所以函数f(x)的周期为π，故ω=2πT=2，所以f(x)=sin(2x+π3)，令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z，所以函数f(x)的递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ],k∈Z；(2)由题意可得，sin(2α+π3)=35，因为α∈(π12,π3)，则2α+π3∈(π2,π)，所以cos(2α+π3)=−√1−sin2(2α+π3)=−45，所以sin2α=sin[(2α+π3)−π3]=sin(2α+π3)cosπ3−cos(2α+π3)sinπ3=3+4√310．【解析】(1)利用条件先求出函数的周期，然后利用周期公式即可求出ω的值，再利用正弦函数的单调增区间进行分析求解即可；(2)利用角α的范围结合同角三角函数关系求出xos(2α+π3)，再利用角的变换将要求的角表示成已知的角，求解即可．本题考查三角函数的综合应用，涉及了三角函数的对称性、周期性、单调性的应用，同时考查了三角函数的化简求值，解题的关键是用已知的角表示要求的角，属于中档题．24.【答案】解：(1)在Rt△OBC中：OB=cosα，BC=sinα，在Rt△OAD中：ADOA =tanπ4=1，∴OA=AD=BC=sinα，AB=OB−OA=cosα−sinα；(2)矩形ABCD的面积S=AB⋅BC=(cosα−sinα)sinα=cosαsinα−sin2α=12sin2α−1−cos2α2=12(sin2α+cos2α)−12=√22(√22sin2α+√22cos2α)−12 =√22sin(2α+π4)−12， 由0<α<π4，得π4<2α+π4<3π4， 所以当2α+π4=π2，即α=π8时，S max =√22−12．【解析】(1)在Rt △OBC 中：OB =cosα，BC =sinα，利用直角三角形中的边角关系求出OA ，可得AB ；(2)矩形ABCD 的面积S =AB ⋅BC =(cosα−sinα)sinα，再利用三角恒等变换化为√22sin(2α+π4)−12，利用正弦函数的定义域和值域求得面积S 的最大值．本题主要考查三角函数的恒等变换，直角三角形中的边角关系，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 25.【答案】解：(1)因为f(−2)=14，所以f(−2)=a −2=14，解得a =2，故函数f(x)=2x ；(2)由f 1(x)=|f(x)−1|−k =0，即|f(x)−1|=k ，即f(x)=1−k 或f(x)=1+k ，则2x 1=1−k,2x 2=1+k ，由f 2(x)=|f(x)−1|−k 2k+1=0，即|f(x)−1|=k 2k+1，即f(x)=1+k 2k+1或f(x)=1−k 2k+1，则2x 3=1−k 2k+1=k+12k+1或2x 4=1+k 2k+1=3k+12k+1，则2x 2−x 1=1+k 1−k ,2x 4−x 3=3k+1k+1， 即2x 2−x 1+x 4−x 3=3k+11−k =−3+41−k ， 因为13≤k <1，所以−3+41−k ≥3，则2x 2−x 1+x 4−x 3=3k+11−k =−3+41−k ≥3， 即x 2−x 1+x 3−x 4≥log 23，则x 2−x 1+x 3−x 4=−(x 2−x 1+x 4−x 3)≤−log 23，故x1−x2+x3−x4的最大值是−log23.【解析】(1)直接利用已知的函数值求a即可；(2)将函数的零点转化为方程的根，即可得到2x1=1−k,2x2=1+k，2x3=1−k2k+1=k+12k+1或2x4=1+k2k+1=3k+12k+1，从而得到2x2−x1+x4−x3=3k+11−k =−3+41−k，求出对应的取值范围即可得到答案．本题考查了函数的零点与方程根之间的关系，涉及了函数解析式的求解，属于中档题．。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期第二次模块检测数学试题 答案和解析
6．如图所示，在平行四边形 中， 等于( )
A． B．
C． D．
7．方程 的根的个数是( )
A．7B．8C．9D．10
8．已知 的三个顶点 、 、 及平面内一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
A． 在 边上B． 在 边上或其延长线上
C． 在 外部D． 在 内部
【详解】
由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2．D
【解析】
因为 = ，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分，
所以 = ．
即 与 是相等的向量．选D．
3．C
【分析】
本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知A错，因为 是增函数，所以 ，故B错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，知C正确；取 ，满足 ， ，知D错．
则y=f（x）在区间（a，b）上至少有一个零点，
在（b，c）上至少有一个零点，而f（b）≠0，
所以y=f（x）在区间（a，c）上的零点个数为至少2个．
故选：D．
【点睛】
本题考查零点的存在性定理，正确理解零点的存在性定理的条件和结论是解决本题的关键．
（1）若函数 是“ 型函数”，且 ，求出满足条件的实数对 ；
（2）已知函数 ．函数 是“ 型函数”，对应的实数对 为 ，当 时， ．若对任意 时，都存在 ，使得 ，试求 的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
9．下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（）