第5章 最优线性滤波器
机器视觉图像预处理之线性滤波器
机器视觉图像预处理之线性滤波器图像常被强度随机信号(也称为噪声)所污染.一些常见的噪声有椒盐(Salt & Pepper) 噪声、脉冲噪声、高斯噪声等.椒盐噪声含有随机出现的黑白亮度值.而脉冲噪声则只含有随机的白强度值(正脉冲噪声)或黑强度值(负脉冲噪声).与前两者不同，高斯噪声含有亮度服从高斯或正态分布的噪声(如图5.4所示）.高斯噪声是许多传感器噪声的很好模型，例如摄像机的电子干扰噪声。
线性平滑滤波器去除高斯噪声的效果很好，且在大多数情况下，对其它类型的噪声也有很好的效果.线性滤波器使用连续窗函数内象素加权和来实现滤波.特別典型的是，同一模式的权重因子可以作用在每一个窗口内，也就意味着线性滤波器是空间不变的，这样就可以使用卷积模板来实现滤波.如果图像的不同部分使用不同的滤波权重因子，且仍然可以用滤波器完成加权运算，那么线性滤波器就是空间可变的.任何不是象素加权运算的滤波器都属于非线性滤波器.非线性滤波器也可以是空间不变的，也就是说，在图像的任何位置上可以进行相同的运算而不考虑图像位置或空间的变化.5.4节中所提出的中值滤波器就是空间不变的非线性滤波器.下面主要介绍两种线性滤波器，均值滤波器和高斯滤波器。
5.3.1均值滤波器最简单的线性滤波器是局部均值运算，即每一个象素值用其局部邻域内所有值的均值置换其中，M是邻域N内的象素点总数.例如，在象素点[i，j]处取3×3邻域，得到该方程与方程(5.6)对比，对于卷积模板中的每一点[i，j],有g [i，j]= 1/9,那么方程(5.6) 就退化成方程(5.10)所示的局部均值运算.这一结果表明，均值滤波器可以通过卷积模板的等权值卷积运算来实现（见图5.5).实际上，许多图像处理运算都可以通过卷积来实现，邻域N的大小控制着滤波程度，对应大卷积模板的大尺度邻域会加大滤波程度.作为去除大噪声的代价，大尺度滤波器也会导致图像细节的损失.不同尺度下均值滤波的结果见图5.6.在设计线性平滑滤波器时，选择滤波权值应使得滤波器只有一个峰值，称之为主瓣，并且在水平和垂直方向上是对称的.一个典型的3×3平滑滤波器的权值模板如下:线性平滑滤波器去除了高频成分和图像中的锐化细节，例如：会把阶跃变化平滑成渐近变化，从而牺牲了精确定位的能力。
线性最佳滤波Wiener滤波器研究
线性最佳滤波Wiener 滤波器研究唐建锋(衡阳师范学院物理与电子信息科学系,湖南衡阳 421008)摘 要:本文阐述了Wiener 滤波器线性最佳滤波理论,并运用白化滤波器方法,建立信号模型,给出了物理可实现性的条件下维纳 霍夫方程的Z 域解。
关键词:线性最佳滤波;Wiener 滤波器;最小均方误差;信号模型中图分类号:T N911 7文献标识码:A文章编号:1002 073X (2003)03 0034 030 引 言滤波器就是一种以物理硬件或计算机软件形式,从含噪声的观测数据中抽取信号的装置。
它可以实现滤波、平滑和预测等信息处理的基本任务。
当然,信号的抽取应该满足某种优化准则。
其中最常用的一种是使输出滤波器的均方误差的最小,这就是Wiener 滤波器。
Wiener 滤波的思想是四十年代提出来的[1],最初是对连续信号用模拟滤波器的形式出现的,而后才有离散形式。
设计最佳线性滤波Wiener 滤波器,就是寻求最小均方误差下滤波器的单位取样响应h (n )或传递函数H (Z)。
其实质是解维纳 霍夫(Wiener Hopf )方程。
在要求满足因果性即物理可实现性的条件下,求解维纳 霍夫方程是一个典型的难题。
维纳用频率处理的方法对具有有理分式表示的功率谱的广义平稳随机过程给出了滤波公式,但过程复杂,而伯特 香农(Bode shannon ),采用化滤波器方法可以使维纳 霍夫方程简化。
本文借用白化滤波器方法,研究了Wiener 滤波器信号模型,给出了因果性的条件下维纳 霍夫方程的Z 域解。
1 线性最佳滤波理论1 1 线性均方估计准则假设Wiener 滤波器的输入是一个平稳随机信号x (n),其响应是h (n),输出为y (n),则:y (n)=mh(m )x (n -m )(1)如果滤波器的期望输出为y d (n),h(n )的设计是要使得y (n )尽量接近于y d (n),因此称y (n)为y d (n)的估计值,用y ^d (n)表示,由此可得广义平稳的误差信号e(n):e(n)=y d (n )-y ^d (n )=y d (n)-x (n)*h(n )(2)显然e(n )可能是正的,也可能是负的,并且它是一个随机变量,其均方误差为:V (h)=E [e 2(n)]=E [y d (n)-x (n)*h(n )]2=E[y 2d (n)]-2 mh (m )E [y d (n )x (n -m )]+mlh(m)h(l)E[x (n -m)x (n -l)](3)令 q(m)=E[y d (n)x (n -m )]r x (m -l)=E[x(n-m)x(n -l)]为了得到最小均方误差,令V(h)的梯度 V(h)h(l)=0即:收稿日期:2002 02 24作者简介:唐建锋(1971 ),男,湖南永州人,衡阳师范学院物理与电子信息科学系讲师,国防科技大学在读硕士,主要从事信号的获取与处理研究。
第五章—同态信号处理
k 0,1,2...
• 可见一种X (z) 相应无穷多种Xˆ (z) （ln X (z) ）
• 不满足变换旳唯一性要求，阐明复对数出现了多值性问题，
处理方法是一般取主值运算，即对幅角 arg对X (z) 取模
得到主值相位。用大写：
• 于是： ARGX (z) arg X (z) Xˆ (z) ln Z(z) jARG[Z(z)]
y(•n) D•1[ yˆ1(n) yˆ2(n)] {D•1[ yˆ1(n)]} {D•1[ yˆ2(n)]}
• 与之匹配旳运算当然是指数运算。
y(n) exp[ yˆ1(n) yˆ2 (n)] {exp[ yˆ1(n)]} {exp[ yˆ2 (n)]}
y1 (n) y2 (n)
5.4.1 复对数旳多值性问题
• 时间序列x(n)旳Z变换为
Z[x(n)] X (z) X (z) e jarg X (z)
e e e • j arg X ( z) 是周期函数 j arg X (z)
j[arg X ( z)2k ]
• 所以 X (z) 旳对数是复对数
Xˆ (z) ln X (z) ln X (z) j[arg X (z) 2k ]
• 一. 卷积同态系统旳规范形式
x(n) D[] ＋ ＋ L[] ＋ ＋D1[] y(n)
xˆ(n)
yˆ(n)
• 1.卷积同态系统 D[] 将卷积 加法运算
D[x1(n) x2 (n)] D[x1(n)] D[x2 (n)]
xˆ1(n) xˆ2 (n)
• 这一功能由三步工作，用下图来完毕，即卷积特征系统为：
转换成它们旳复倒谱之和，x(n) 旳复倒谱用xˆ(n) 表达。 • 2. L[] 线性系统： • 应根据不同领域旳不同要求和复倒谱 xˆ1(n)和 xˆ2 (n)旳
(完整版)数字信号处理习题集(5-7章)
第五章 数字滤波器一、数字滤波器结构填空题:1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）.解：不一定计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式,并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e )(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj e H 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=作图题:3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：2112113699.00691.111455.11428.26949.02971.114466.02871.0)(------+-+-++--=z z z z z z z H 2112570.09972.016303.08557.1---+--+z z z请采用并联型结构实现该系统。
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
6随机信号-3(最优线性滤波)《信号分析与处理(第3版)》课件
解：第一步，建立信号模型。设重力
加速度为grav，物体运动的连续时间
方程为：
h(t
)
h0
v0t
1 2
grav
t
2
v(t) v0 grav t
离散化可得：
h(k) h(k 1) v(k 1)Ts 0.5Ts2grav
v(k) v(k 1) Ts grav
22
可得信号模型：
s(k
)
h(k )
（1）滤波增益矩阵 B(k) (k k 1)CT (k)[Vn(k) C(k) (k k 1)CT (k)]1
（2）滤波估计
sˆ(k) (k, k 1)sˆ(k 1) B(k)[ x(k) C(k) (k, k 1)sˆ(k 1)]
（3）一步预测
sˆ(k 1 k) (k 1, k)sˆ(k)
H () Ssx () Sx ()
min Rss (0) h(n)Rsx (n) n
7
（三）非因果维纳滤波器
例5-10
设一观测信号包含了功率谱为
1 12
的随机信号与功
率谱为1的白噪声，且两者相互统计独立，试设计维纳滤波
器，以得到信号的最优估计。
解：按题意有：
Ss
()
1
12
,
Sn () 1
1
A
2 w
2 n
(k
)
a(k
)
f
(k
1)
a(k
)
2 w
f
15
3、一步预测
（1）按照最小均方误差的估计准则，一步预测估计：
sˆ(k 1 k) f sˆ(k)
（2）预测的均方误差和滤波的均方误差之间的关系：
05_01(第19讲)第5章FIR滤波器线性相位
nω
⎨
n =1
⎪ ⎪⎩
c(n)
=
2 h⎜⎛ ⎝
N −1 2
+
n ⎟⎞ ⎠
数字信号处理 V. 2013 第5章
⎧
N −1
⎪ ⎪
H
(ω
)=
2
∑
c ( n ) sin
nω
⎨
n =1
0
π
2π
⎪ ⎪⎩
c(n)
=
2 h ⎜⎛ ⎝
N −1 2
+
n
⎟⎞ ⎠
由于 sinnω对ω = 0,π,2π 点呈奇对称，所以 H (ω )
器，如高通、带阻滤波器。
数字信号处理 V. 2013 第5章
b(n) = 2h⎜⎛ N −1+ n ⎟⎞
⎝2
⎠
∑ H
(ω
)
=
N /2 n =1
b(n)
cos
⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
1 2
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
数字信号处理 V. 2013 第5章
3. h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)
N −3
n=0
cos ⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
N
− 2
1
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
∑ H
(ω
)
=
N / 2−1
2h(n)
n=0
cos
⎢⎣⎡ω
⎜⎛ ⎝
n
−
N
− 2
1
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
∑ 令 n = N −1+ m ，则
2
− N +1
H (ω) =
2 m=0
2h
数字信号处理第五章-IIR数字滤波器的设计
2、由模平方函数确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示：
| H ( j) |2 H ( j)H *( j)
由于冲击响应h(t)为实函数，H ( j) H *( j)
| H ( j) |2 H ( j)H ( j) H (s)H (s) |s j
H (s)是模拟滤波器的系统函数，是s的有理分式；
分别对应：通带波纹和阻带衰减(阻带波纹)
（4种函数）
只介绍前两种
31
32
33
无论N多大，所 有特性曲线均通 过该点
特性曲线单调减小，N越大，减小越慢 阻
特性曲线单调减小，N越大，减小越快
34
20Nlog2：频率增加一倍，衰减6NdB
35
另外：
36
无论N多大，所 有特性曲线均通 过Ωc点: 衰减3dB, Ωc 为 3dB带宽
8
根据
(线性相位滤波器)
非线性相位滤波器
9
问题：
理想滤波器的幅度特性中，频带之间存 在突变，单位冲击响应是非因果的；
只能用逼近的方法来尽量接近实际的要 求。
滤波器的性能要求以频率响应的幅度特 性的允许误差来表征，如下图：
10
p
11
低通滤波器的频率响应包括：
通带：在通带内，以幅度响应的误差δp逼近 于1；
20
3、数字滤波器设计的基本方法
利用模拟理论进行设计 先按照给定的技术指标设计出模拟滤波 器的系统函数H(s)，然后经过一定的变 换得到数字滤波器的系统函数H(z),这实 际上是S平面到Z平面的映射过程： 从时域出发，脉冲响应不变法 从频域出发，双线性变换法 适合于设计幅度特性较规则的滤波器， 如低通、高通等。
由于系统稳定， H(s)的极点一定落在s的左半 平面，所以左半平面的极点一定属于H(s)，右 半平面的极点一定属于H(-s)。
信噪比最大的最佳线性滤波器
信噪比最大的最佳线性滤波器⏹最佳线性滤波器的推导⏹最佳线性滤波器的性质102030405060708090100-0.500.511.50102030405060708090100-0.500.511.5高信噪比 低信噪比How to increase SNR?信噪比：输出端信号在t=t 0时的瞬时功率与噪声的平均功率之比 s t d E n t 200020()[()]h (t ) X (t )=s (t )+n (t )Y (t )=s 0(t )+n 0(t ) 确知信号 零均值平稳随机过程信噪比最大01()()()2j t s t H S e d ∞ω-∞=ωωωπ⎰2201[()]()()2n E n t H G d ∞-∞=ωωωπ⎰输出噪声功率为: 最大)]([)(200200t n E t s d =h (t ) X (t )=s (t )+n (t )Y (t )=s 0(t )+n 0(t ) 输出信号为:分析思路：利用许瓦兹不等式 222()()|()||()|A B d A d B d ∞∞∞-∞-∞-∞≤⎰⎰⎰ωωωωωωω()*()A cB ω=ω等号成立的条件 0202()()12()()j t n S H e d d G H d ∞ω-∞∞-∞ωωω=πωωω⎰⎰022()()()()12()()j t n n n S G H e d G G H d ∞ω-∞∞-∞ωωωωω=πωωω⎰⎰0**()()()()()/()j t n n A H G e cB cS G ωω=ωω=ω=ωω0)()()(*t j n e G S c H ωωωω-⋅=00202222()()()()12()()()()()()12()()j t n n n j t n n n S G H e d G d G H d S d G H e d G G H d ∞ω-∞∞-∞∞∞ω-∞-∞∞-∞ωωωωω=πωωωωωωωωω≤πωωω⎰⎰⎰⎰⎰21()2()n S d G ∞-∞ω=ωπω⎰2()12()n S d G ∞-∞ω=ωπω⎰0max d =2()12()n S d G ∞-∞ω=ωπω⎰0max d 0)()()(*t j n e G S c H ωωωω-⋅=最佳滤波器：最大输出信噪比：最佳滤波器:()()()n S H c G ωω=⋅ω（1）幅频特性: 0arg ()arg ()H S t ω=-ω-ω（2）相频特性: 0)()()(*t j n e G S c H ωωωω-⋅=抑制噪声,增强信号0)(arg )(arg t S H ωωω--=000[arg ()arg ()]()1()()()21()()21()()2j t j S S t t j t t s t S H e d S H e d S H e d ∞ω-∞∞ω-ω-ω+ω-∞∞ω--∞=ωωωπ=ωωωπ=ωωωπ⎰⎰⎰0arg ()arg ()H S t ω=-ω-ω（2）相频特性:✓抵消输入信号相角argS(ω)的作用； ✓输出信号s 0(t)的全部频率分量的相位在t=t 0时刻相同，达到了相位相同、幅度相加的目的。
数字信号处理及应用最优等波纹线性相位FIR滤波器的设计
附录 D 最优等波纹线性相位 FIR 滤波器地设计对于线性相位 FIR滤波器地设计方法,窗函数与频率采样法是相对简单地方法,然而,它们都有存在不能精确地控制ω 与 ω 这类关键频率地问题。
p s本节描述地滤波器设计方法采用切比雪夫等波纹逼近思想,为了将理想幅度特性与实际幅度特性之间地加权逼近误差均匀地分散到滤波器地整个通带与阻带,并且最小化最大误差,则采用切比雪夫逼近方法被视为最优设计准则。
所得到地滤波器结构在通带与阻带都有等波纹。
下面以低通滤波器地设计为例来说明设计过程,考虑通带截止频率为ωp 与阻带频率为ωs 地低通滤波器地设计。
如图 D-1 所示,图给出了一般技术指标,在通带内滤波器幅度特性应满足地条件为H (ω)1+δ111-δ1过渡带通带波纹阻带∆ωδ02ωp ωsωπ图 D-1 低通滤波器地最佳逼近1-δ ≤ H (ω) ≤1+ δ , ω ≤ ωp(D-1)(D-2)1g 1类似地,在阻带内规定滤波器幅度特性落在范围 ±δ2 之间,即-δ ≤ H (ω) ≤ δ , ω > ωs2g2式,δ 表示通带波纹地峰值,δ 表示阻带波纹地峰值。
12现在集考虑四种产生线性相位 FIR 滤波器地情况,这些在前面已经讨论过,总结如（1）情况 1:当 h(n) = h(N - n -1) ,且 N = 奇数时下。
式N -1M∑Hg (ω) = a(n) cos ωn , M =(D-3)2n =0⎧⎛ N -1⎫a(0) = h ⎪ ⎪⎪⎝2⎭N -1n =1, 2,⋅⋅⋅,(D-4)⎨⎛ N -1⎫2⎪a(n) = 2h - n,⎪⎪⎩⎝2⎭（2）情况 2:当 h(n) = h(N - n -1) ,且 N = 偶数时M⎛⎝ 1 ⎫2 ⎭N ∑Hg (ω) = b(n) cos n - ω , M =(D-5)(D-6)(D-7)⎪2n =1式⎛ N ⎝ 2⎫⎭N b(n) = 2h - n , n=1, 2,⋅⋅⋅,⎪2进一步对式(D-5)进行整理与重新排列,得到⎛ ω ⎫M -1N∑ ⎪H (ω) = cos ( ω), M =b☎n✆ cos ng ⎝ 2 ⎭2n =0{}{}其,系数 b(n) 与系数 b(n) 线性有关,可以证明两者之间存在如下关系 12( ),b ☎1✆ = 2b (1)- 2b (0)b 1b(0)= N b(n) 2b n b n 1=( )- ( - ), n =1, 2,⋅⋅⋅, - 2(D-8)(D-9)2Nb( 1) 2b ⎛ N ⎫ ⎪2⎝ 2 ⎭（3）情况 3:当 h(n) = -h(N - n -1) ,且 N = 奇数时N -1M ∑Hg (ω) = c(n)sin ωn , M =2n =1式⎛ N -1⎫⎭N -1c(n) = 2h - n ,n =1,2⋅⋅⋅(D-10)(D-11) ⎪⎝22进一步对式(D-9)进行整理与重新排列,得到M -1N -1∑ω sin☎ω✆H ☎ ✆%( ω), M =c☎n✆ cos ng2n =0{ }{}其,系数 c(n) 与系数 c(n) 线性有关,从式(7-2-9)与式(7-2-11)可以推导出两者之间存在如下关系N - 3N -1c() = c()22N - 5N - 3 c() = 2c()22N - 5 -( + ) = ( ), n = 2, 3,⋅⋅⋅,c☎n 1✆ c n 1 2c n-(D-12)212 ( ) =( )c 2 c 1c(0)-（4）情况 4:当 h(n) = -h(N - n -1) , N = 偶数时M⎛⎝ 1 ⎫2 ⎭N∑Hg (ω) = d(n)sin n - ω , M =(D-13)(D-14)(D-15)⎪2n =1式⎛ N ⎝ 2⎫⎭N d(n) = 2h - n , n =1, 2,⋅⋅⋅,⎪2与前面情况一样,可以对式(D-13)进行整理与重新排列,得到⎛ ω ⎫M -1N∑ %⎪H (ω) = sin ( ω), M =d(n) cos ng ⎝ 2 ⎭2n =0{}{}其,系数 d(n) 与系数 d(n) 线性有关,可以证明两者之间存在如下关系 Nd( 1)2d ⎛ N ⎫⎝ 2 ⎭⎪2N d(n 1) d n 2d n -- ( ) = ( ), n = 2, 3,⋅⋅⋅, -1(D-16)21 %( ) = ( )d 1 d 1d(0)-2归纳这四种情况地 Hg (ω) 表达式,并列于表 D-1。
最佳线性滤波器的算法和结构
输入数据形式不同，自相关矩阵特性不同
10:11
3
线性MMSE估计器
正则方程组
⎡ r11 r12 L r1M ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎡ d1 ⎤
⎢ ⎢
r12
r22
L
r2M
⎥ ⎥
⎢ ⎢
c2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
d2
⎥ ⎥
⎢M M
M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎢⎣rM1
rM 2
L
rMM
⎥ ⎦
⎢⎣cM
⎥ ⎦
⎢⎣dM
⎤ ⎥⎦
=
⎡Im
⎢⎣0
H m
0m ⎤ 1 ⎥⎦
15
7.1.2 分块Hermit矩阵的逆
R Q m m+1 + rmbqmH = Im
rmbH Qm + ρmb qmH = 0mH
Rmqm + rmbqm = 0m
rmbHqm + ρmb qm = 1
Rmqm + rmbqm = 0m
qm = −Rm−1rmbqm
七、最佳线性滤波器的算 法和结构
林耀荣
内容
正则方程组的解-LDLH分解法 阶数递归算法的基础 最佳FIR滤波器的阶数递归算法 Levinson和Levinson-Durbin算法
10:11
2
线性MMSE估计器
输入数据（图6.1）
阵列信号处理：M个不同过程xi(n)的样本 滤波器应用：同一个离散时间随机过程的采样的连
rb⎡m⎤ m+1
≠ rmb
r b ⎣m ⎦ m+1
≠
rmb
一般不能找到bm的 Levinson递归式
第5章-滤波器结构
基本运算单元
加法器 单位延时器 常数乘法器
Z
-1 -1
Z a
a
信号流图——用节点与有向支路描述系统
节点 j a 节点 k
节点——支路的汇合点 输入节点(源节点) 、输出节点(阱节点) 分支节点、加法器 支路——由起始节点到终止节点的一条有向通道 节点值（节点变量）——节点上的物理量，等于该节点 所有输入支路之和。 输入支路的值=支路起点的节点值×支路传输系数
N2 Ak γ0 k γ1k z 1 G0 1 1 2 1 c z 1 z z k 1 k 1 k 1k 2k
G0 H k ( z )
k 1
L
画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联
一阶基本节、二阶基本节
二阶基本节 （二阶节）
γ0 k γ1k z 1 H k ( z) 1 α1k z 1 α2 k z 2
k 0 N
j H ( k ) H ( e ) 2 数字频域——系统数字频响 k
对于上面的算式，可以化成不同的计算形式，如直接计 算、分解为多个有理函数相加、分解为多个有理函数相乘 等等，不同的计算形式也就表现出不同的计算结构，而不 同的计算结构可能会带来不同的效果，或者是实现简单，
网络结构分类 FIR网络
不存在反馈支路，其单位脉冲响应有限长
y (n ) bi x(n i )
i 0
M
bn , 0 n M h(n ) 0,
IIR网络
存在反馈支路，即信号流图中存在环路，其单位 脉冲 响应无限长
y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
1
2
二阶基本节
一阶基本节、二阶基本节
线性滤波——精选推荐
线性滤波线性滤波：⽅框滤波、均值滤波、⾼斯滤波平滑处理（smoothing）也叫模糊处理（bluring），常⽤来减少图像上的噪点或者失真，还能⽤来降低图像分辨率。
1、图像滤波在尽量保持图像细节特征的前提下，对图像的噪点进⾏抑制，消除图像中的噪声成分叫做图像的平滑化或滤波操作。
信号或图像的能量⼤部分集中在中低频段，在⾼频段，有⽤的信息常被噪声淹没。
所以⼀个能降低⾼频成分幅度的滤波器就能够减弱噪声的影响。
图像滤波⽬的抽出特定频段的特征作为图像识别的依据；消除图像数字化时混⼊的噪声；滤波处理要求不能损坏图像轮廓、边缘等重要信息；使图像清晰、视觉效果好；平滑滤波有两类：（1）为了模糊；（2）为了消除噪⾳；滤波器：⼀个包含加权系数的窗⼝，将窗⼝放在图像之上，透过窗⼝看我们得到的图像。
2、线性滤波器3、滤波和模糊滤波是将信号中特定频段滤除，是抑制和防⽌⼲扰的⼀项重要措施。
滤波可分为低通滤波和⾼通滤波；低通：模糊，⾼通：锐化⽐如⾼斯滤波：⾼斯滤波就是指⾼斯函数作为滤波函数的滤波操作；⾼斯模糊就是⾼斯低通滤波；4、领域算⼦邻域算⼦：本像素周围的像素值来决定此像素的最终输出值的⼀种算⼦。
邻域算⼦作⽤：局部调⾊；图像滤波，实现平滑和锐化；去燥；边缘增强；线性邻域滤波：⼀种常⽤的邻域算⼦，像素的输出值取决于输⼊像素的加权和，⽤不同的权重去结合⼀个邻域内的像素，得到最终的像素值。
h(x,y)称为核，是滤波器的加权系数，即滤波系数。
过程=CNN⾥的卷积5、⽅框滤波boxFilter核：normalize=true，就成了均值滤波。
归⼀化：将要处理的量缩放到⼀个范围，⽅便统⼀处理；noramlize=false，计算像素邻域内的积分特性，如密集光流算法中的协⽅差矩阵。
7、均值滤波blur最简单的滤波操作。
输出图像每个像素是核窗⼝内对应范围的所有像素的均值，也就是归⼀化后的⽅框滤波。
主要⽅法：邻域平均法。
缺点：不能很好地保护图像细节，去燥的同时也破坏了图像细节，是图像变得模糊。
数字信号处理第五章习题解答
数字信号处理第五章习题解答————第五章————数字滤波网络5.1 学习要点本章主要介绍数字滤波器的系统函数()z H 与其网络结构流图之间的相互转换方法，二者之间的转换关系用Masson 公式描述。
由于信号流图的基本概念及Masson 公式已在信号与系统分析课程中讲过，所以下面归纳IIR 系统和FIR 系统的各种网络结构及其特点。
5.1.1 IIR 系统的基本网络结构1. 直接型结构如果将系统函数()z H 化为标准形式(5.1)式：()∑∑=-=--=Nk kkMk kkz az bz H 11 (5.1) 则可根据Masson 公式直接画出()z H 的直接II 型网络结构流图如图5.1所示（取N=4，M=3）。
二阶直接II 型网络结构最有用，它是级联型和并联型网络结构的基本网络单元。
优点：可直接由标准形式(5.1)或差分方程()()()∑∑==-+-=Mk kN k kk n x b k n y a n y 01画出网络结构流图，简单直观。
缺点：对于高阶系统：（1）调整零、极点困难；（2）对系数量化效应敏感度高；（3）乘法运算量化误差在系统输出端的噪声功率最大。
2. 级联型结构将(5.1)式描述的系统函数()z H 分解成多个二阶子系统函数的乘积形式()()()()z H z H z H z H m 21?= (5.2) (),1221122110------++=zzzzz H i i i i i i ααβββ m i ,,2,1 = (5.3)画出的级联型方框图如图5.2所示。
图中每一个子系统均为二阶直接型结构，根据()z H 的具体表达式确定()z H i 的系数i i i i 1210,,,αβββ和i 2α后，可画出()z H i 的网络结构流图如图5.3所示。
优点：（1）系统结构组成灵活；（2）调整零、极点容易，因为每一级二阶子系统()z H i 独立地确定一对共轭零点和一对共轭极点；（3）对系数量化效应敏感度低。
基于最优FIR滤波器的线性预测
最优线性滤波器
2、维纳滤波器 维纳（Wiener）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（ 或滤波）方法。维纳滤波器是最小均方误差准则在信号滤波、预 测中的具体应用。 维纳滤波器是一个线性时不变系统，通过该系统后，在最小 均方误差准则下给出信号s(n)的尽可能逼近。 一个线性系统，如果它的单位样本响应为h ( n ) ，当输入一个随 机信号 x ( n ) , x ( n ) s ( n ) v ( n ) v s 其中 ( n ) 表示原始信号，( n ) 表示噪声，则输出为 y ( n )
FIR维纳滤波器的Matlab仿真
仿真结果分析：
1.维纳滤波的阶数越大，滤波后的信号更接近原始信号，但随之计 算量也增大。 2.保持滤波器阶数不变改变信号样本的长度（点数）可以发现滤波 的效果虽着信号样本的长度的增加而提高。(这是因为信号样本越 长信号的统计特征就越完整。)
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=256，阶数M=8)-->mse=0. 3215
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=256，阶数M=8)-->mse=0. 3215
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=512，阶数M=8)-->mse=0.3326
仿真结果及分析 仿真结果(信号长度N=512，阶数M=8)-->mse=0.3326
FIR维纳滤波器的Matlab仿真
%***产生维纳滤波中x方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵**** rxd=xcorr(x,xd); for i=1:M mrxd(i)=rxd(N-1+i); end hopt=inv(mrxx)*mrxd';%由维纳-霍夫方程得到滤波器最优解--FIR维 纳滤波器的冲激响应 out_s=filter(hopt,1,x);%滤波后的输出信号(预测信号) %out_s=conv(x,hopt);%滤波后的输出信号(预测信号) %*********求均方误差****************** fprintf('滤波后的信号相对原信号的统计均方误差:\n'); mse=mean((out_s-s).^2) %滤波后的信号相对原信号的统计均方误差
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T T T E d w x d x w 2 T T T T T E | d | w E xd E d x w w E xx w
更简洁地表示为：
T J ( w ) J d wT rxd rxd w wT Rx w
T T J y ,opt E[| yopt |2 ] E[ wop x x wopt ] t T T T wopt Rx wopt wo r r pt xd xd wopt
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则最小均方误差也可表示为 Jmin J d J y ,opt 归一化的均方误差 J y ,opt J min 1 , 0 1 Jd Jd
最小平均错误概率准则（先验等概时即为最大似然（ML ）准则）； 最大后验概率（MAP）准则； 极小化极大准则； Neyman-Pearson（N-P）准则。
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现代信号处理
设计一个最优滤波器的步骤
设计一个最优滤波器步骤： 选择滤波器结构。 选择一个性能准则或代价函数来测定估计器的性 能。 以性能最优或代价最小为准则，求解最优估计器 的参数。 对最优参数值进行评价，确定最优估计器是否满 足设计要求。
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超量均方误差
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当估计器权系数与最优权系数之间存在偏差， 即 w wopt w ，则 J ( wopt w ) J ( wopt ) w T Rx w
超量均方误差（Excess MSE） Excess MSE J ( wopt w ) J ( wopt ) wT Rx w
k
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期望响应?
期望响应 d(n)？
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数据矢量（多传感器）
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阵列信号的数据矢量：
x ( n) x1 ( n)
x2 ( n) ...
x M ( n)
T
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数据矢量（单传感器）
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FIR滤波或预测:
xm eopt , 1 m M
如何找到wopt ？
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线性估计器的原理图
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y wk xk w T x =x T w
k 1
M
e ( n ) d ( n) y ( n )
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5.2.1 误差性能曲面
均方误差(MSE)可表示为： 2 T J (w) E | e | = E e e
x M ]T
w1 w 2 w [ w1 , w2 , ..., w M ]T wM
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均方误差
误差函数 均方误差
ed y
2 J E | e |
J 是权系数矢量 w 的函数。
建立并求解使均方误差 J 最小的权系数方程，可得 在MMSE意义下的最优权系数矢量wopt ，称之为 LMMSE（线性最小均方误差）估计器。
正则方程的矩阵形式
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线性估计器具有最小均方误差的充分必要条件是：Rx 为正定矩阵，并且 Rx w rxd （正则方程） 矩阵形式 r1 M w1 r1 r11 r12 r2 M w2 r2 r21 r22 rMM rM 1 rM 2 wM rM
当数据的自相关矩阵为负定时的误差性能面曲面和等高线图
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说明
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误差性能曲面只有在矩阵Rx是正定时才是碗状的。 只有在这种情况下，才能得到使MSE最小的权系 数，等高线也才是同心的椭圆，它们的圆心对应 于最优权系数矢量wopt。 找到“碗底”的方法是：
J ( w1 , w2 ) 0, 从而 r11 w1 r12 w2 r1 w1 Rx w rxd J ( w1 , w2 ) 0, 从而 r w r w r 12 1 22 2 2 w2 求解该线性方程组，即可得到使MSE函数取最小 值的最优权系数矢量wopt 。
超量均方误差仅取决于输入数据的自相关矩阵，而 与期望响应无关。
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5.2.3 正交原理
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用几何概念解释最优线性滤波器 把均值为零的随机变量看成是抽象空间中的矢量。 定义随机变量的相关矩为所对应矢量的内积，即 x , y =E xy 矢量的长度平方（范数）： 2 2 2 x = x, x E x x 随机变量正交：
w1 r11 w2 r 21 r12 w1 w r22 2
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说明：在信号统计特性给定的情况下，它的取值与滤波 器系数有关。
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参数1
J d 0.5, r11 r22 3, r12 r21 0.5, r1 0.5, r2 0.1 自相关矩阵为
0.5 3 Rx 0.5 3
自相关矩阵的行列式为
35 Rx 0 4
Rx 为正定的
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误差性能面曲面（碗状）和等高线图
% P5_bowl.m
19
3000 2500 2000
MSE
1500 1000 500 0 20 10 0 -10 w2 -20 -20 -10 w1 10 0 20
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例5.2.1
均方误差性能曲面可表示为 T J ( w ) J d wT rxd rxd w wT Rx w 当 M = 2时 r1 w1 J ( w1 , w2 ) J d w1 w2 r r1 r2 w 2 2 经计算得 2 2 J ( w1 , w2 )=J d 2r1w1 2r2 w2 r11w1 2r12 w1w2 r22 w2
x ( n) x1 ( n)
x2 ( n) ... x M ( n)
T
xk ( n) x( n k ), 1 k M
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误差信号和最优准则
误差信号
8
ˆ ( n) e(n) d (n) y(n) d ( n) d
最优估计器或最优信号处理器：指其输出在一定性能 准则下最接近于期望响应。 最优滤波准则： 最小均方误差准则； 最大输出信噪比准则——匹配滤波器； 统计检测准则
当数据的自相关矩阵为正定时的误差性能曲面和等高线图
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参数2：曲面中有一马鞍点
J d 0.5, r11 r22 1, r12 r21 2, r1 0.5, r2 0.1
20
|Rx|= - 3， Rx为负定矩阵。
1500 1000
MSE
500 0 -500 20 20 0 w2 -20 -20 0 w1
第5章 最优线性滤波器
尹霄丽 北京邮电大学电子工程学院 yinxl@
引言
滤波：是将信号中特定波段的频谱成分滤除的操作，是 抑制和防止干扰的一项重要措施。 分类：分经典滤波和现代滤波。 最优滤波器：统计特性已知，某一准则 维纳滤波器：20世纪40年代，最小二乘滤波器 卡尔曼滤波器：20世纪60年代 自适应滤波器：统计特性未知且随时间变化，根据某一 准则用迭代算法来逼近最优参数的滤波器。
1 ( Rx w rxd )T Rx ( Rx w rxd ) 0
当Rx w rxd 0时，均方误差取最小值J d r R r
T xd
1 x xd
线性估计器具有最小均方误差的充分必要条件是：Rx为 正定矩阵，并且 Rx w rxd （正则方程）
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参数
2 Jd E d rxd E xd 2 d T Rx E xx
期望响应的功率 数据矢量x和期望响应d的互相关矢量 数据矢量x的自相关矩阵
自相关矩阵Rx一定是厄米特（Hermitian）矩阵（也 即共轭对称矩阵），并且非负定。对于实信号，矩 阵Rx为非负定的对称矩阵。
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目录
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5.1 最优信号估计 5.2 线性均方估计 5.3 维纳滤波器 5.4 最优线性预测
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5.1 最优信号估计
4
在许多实际应用中，人们往往无法直接获得所需的 有用信号，能够得到的是退化了或失真了的有用信 号。 为了从测量信号 x(n)=s(n)+v(n) （v(n)为随机干扰信 号）中恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器， 以对x(n)进行滤波，使其输出y(n)尽可能逼近原始 信号，成为s(n) 的最佳估计。 最优信号估计： 给定一组数据 xk(n),1≤k ≤ M，用下列估计函数得 到期望响应 d(n) 的估计： ˆ ( n) y(n)=H x (n), 1 k M H x(n) d
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期望响应的估计
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一般来说，在每个时刻 n 都要计算新的最优权系数。 在固定时刻 n，为了使问题简洁，去掉时间下标 n， 则