第一节二重积分的概念及性质.ppt

分割 区域D用两组曲线任意分割成n个小块:
1, 2,, n,
2020-12-11
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其中任意两小块i和 j (i j)除边界外无公共点. 其中 i 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.
2020-12-11
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近似、求和 记 i为i的直径(即 i表示 i中任 意两点间距离的最大值)，在中i 任取一点(i ,i ), 以 f (i ,i )为高而底为i的平顶柱体体积为
D
(1) 若在D上f(x,y)≥0，则 f (x, y)d表示以区域D为底，
D
以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.
(2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下
方，二重积分 f (x, y)d 的值是负的，其绝对值
D
为该曲顶柱体的体积.
(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些
处的密度(i ,i ) 近似看作为整个小块i 的面密
度.得
mi (i ,i )i.
故所要求的质量m的近似值为
n
m (i ,i )i.
i1
取极限 记 max{1,,n}，则定义
n
lim
0
i1
(i
,i
)
i
(1)
为2020所-12-1求1 薄板D的质量m谢. 谢你的观赏
3
引例2 曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴 的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连 续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲 顶柱体的体积. 解 也分三步解决这个问题.
第一节 二重积分的概念及性质
一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质
2020-12-11
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一、引例
引例1 质量问题. 已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)
(x, y) 随点(x,y)的变化而连续变化,求D的质量.
解 分三步解决这个问题.
分割 将D用两组曲线 任意分割成n个小块:
子区域上为负的，则 f (x, y)d 表示在这些子区域
上曲顶柱体体积的代数D 和(即在Oxy平面之上的曲顶
柱2体020-体12-11积减去Oxy平面之谢谢下你的的观赏曲顶柱体的体积). 10
二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连 续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必 可积).
D
性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D) 为区域D的面积，则
mS(D) f (x, y)d MS(D).
(3)
D
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性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上
连续，则在D上存在一点( ,) ，使
f (x, y)d f ( ,)S(D).
1, 2,, n, 其中任意两小块i和 j (i j) 除边界外无公共 点.与一元函数的情况类似，我们用符号i 既表
示20第20-12i-个11 小块，也表示第谢谢i个你的小观赏块的面.(i=1,2,…,n). 2
近似、求和 若记 i为i的直径(即i表示i中任 意两点间距离的最大值)，将任意一点 (i ,i ) i
D
D
D
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，
即
kf (
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x,
y
)d
k
f (x, y)d 谢谢你的观赏
D
D
( k为常数). 12
性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外 无公共点，则
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .
D
定义1 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.
分割 用任意两组曲线分割D成n个小块
1, 2 ,, n，其中任意两小块 i和 j (i j) 除边界外无公共点，i既表示第i小
块，也表示第i小块的面积.
近似、求和 对任意点 (i ,i ) i ，作和式
n
f (i ,i )i.
i1
取极限 若i 为i的直径，记 max{1,2,,n},
若极限 2020-12-11
n
lim
0
i 1
f
(谢i ,谢你i的)观赏
i
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存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点
(i ,i )的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.
记为
n
D
f
(i ,i )d
lim
0 i1
f
(i ,i ).
(2)
称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变
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三、二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性 质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.
性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代 数和的积分等于各函数积分的代数和，即
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d .
元，d 为面积微元(或面积元素).
由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质
量等于其面密度(x, y)在D上的二重积分.因此二重积
分 f (x, y)d 的物理意义可以解释为：二重积分的值
等D于2面020-密12-1度1 为f(x,y)的平面薄谢谢板你的D观赏的质量.
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二重积分 f (x, y)d 的几何意义：
f (i ,i )i.
此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近
似值可以取为
n
f (i ,i )i.
i1
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取极限 若记 max{1,2,,n}，则定义
n
lim
0 i1
f
(i
,i
) i
为所讨论的曲顶柱体的体积.
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二、二重积分的定义
ຫໍສະໝຸດ Baidu
D1
D2
性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区
域D的面积，则
d S(D).
D
性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有
f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
推论2020-12-11 f (x, y)d 谢 谢f你(的x观, 赏y) d .
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D
(4)
D
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证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小
值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有
m
1
S
(
D)
D
f
(x,
y)d
M
成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，