2020中考数学压轴题图形的平移、翻折与旋转

图形的平移、翻折与旋转图形的平移图形的翻折图形的旋转三角形四边形圆函数的图象及性质图形的平移例1 泰安市中考第15题如图1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A 在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）．A．（4，23）B．（3，33）C．（4，33）D．（3，23）答案A．思路如下：如图2，当点B的坐标为（2, 0），点A的横坐标为1．当点A'的横坐标为3时，等边三角形A′OC的边长为6．在Rt△B′CD中，B′C＝4，所以DC＝2，B′D＝23．此时B′(4,23)．图1 图2例 2 咸宁市中考第14题如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0, 6)，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′落在直线34y x =-上，则点B 与其对应点B ′间的距离为______．图1 图2 图 1图2答案 8．思路如下：当y ＝6时，解方程364x -=，得x ＝－8.所以AA ′＝8.图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，所以BB ′＝AA ′＝8. 例 3 株洲市中考第14题已知直线y ＝2x ＋(3－a )与x 轴的交点在A (2, 0)，B (3, 0)之间（包括A 、B 两点）则a 的取值范围是_____________．答案 7≤a ≤9．思路如下：如图1，将点A (2, 0)代入y ＝2x ＋(3－a )，得4＋(3－a )＝0．解得a ＝7．如图2，将点B (3, 0)代入y ＝2x ＋(3－a )，得6＋(3－a )＝0．解得a ＝9．例 4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题如图1，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应，若以点A 、D 、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是__________．图1图 2 图 3 图4．思路如下：如图2，四边形ABED保持平行四边形，AM＝EN 答案6或256＝4，BM＝DN＝3，AD＝BE＝m．①如图3，当EA＝ED时，点E在AD的垂直平分线上，此时AD＝2ND＝6．②如图4，当AE＝AD时，根据AE2＝AD2，得m2＝42＋(m－3)2．解得25m=．6图形的翻折例5 上海市奉贤区中考模拟第18题如图1，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝2，点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C落在点E处，边AE交边BC于点F，如果DE//AB，那么CFBF的值是______．答案31+．思路如下：如图2，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∠C＝30°，AC＝2，所以AH＝1，CH＝3．在Rt△ABH中，∠B＝45°，所以BH＝AH＝1．所以BC＝31+．如图3，当DE//AB时，∠BAE＝∠AED＝∠C＝30°．此时∠AFC＝∠B＋∠BAE＝75°．在△ACF中，∠C＝30°，∠AFC＝75°，所以∠FAC＝75°．所以CF＝CA＝2．所以BF ＝BC －CF ＝312+-＝31-．所以23131CF BF ==+-．另解：也可以根据△BAF ∽△BCA 先求得BF 的长．由BA 2＝BF ·BA ，得2(2)(31)BF =⋅+．所以31BF =-．图1图2 图3例6图1例 6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，cos C ＝14，BD 是中线，将△CBD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E ，那么AE 的长为_______．答案 6．思路如下：如图2，作AM 作BC 于M ，DN ⊥BC 于N ．在Rt △ACM 中，AC ＝4，cos C ＝14，所以CM ＝1．所以BC ＝2CM ＝2已知D 是AC 的中点，所以BC ＝DC ＝2．如图3，由BE ＝BC ，BC ＝DC ，DC ＝DA ，得BE ＝DA ．由∠1＝∠2，∠1＝∠3，得∠2＝∠3．所以EB //AC ．所以四边形AEBD 是平行四边形．所以AE ＝BD ．如图2，在Rt △DCN 中，DC ＝2，CN ＝12，所以DN ＝15．在Rt △DBN 中，BN ＝32，所以BD ＝6．所以AE ＝6．图2 图3图1图2例 7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题如图1，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，tan ∠B ＝13，将△ABC 翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么BDDC的值为_________．答案135．思路如下：如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么BH ＝CH ．已知tan ∠B ＝AH BH ＝13，设AH ＝1，BH ＝3．设DC ＝DA ＝m ．在Rt △ADH 中，由勾股定理，得m 2＝12＋(3－m )2．解得53m =．所以BD ＝BC －DC ＝563-＝133．所以135BD DC =． 例 8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，DE ⊥AB ，垂足为E ，将△ADE 沿直线DE 翻折，翻折后点A 的对应点为点P ，当∠CPD 为直角时，AD 的长是_________．答案358．思路如下：如图1，作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，BC ＝15，AC ＝20，所以AB ＝25，cos B ＝35，cos A ＝45．在Rt△BCH 中，BH ＝BC ·cos B ＝3155⨯＝9．当∠CPD ＝90°时，∠CPH 与∠DPE 互余．又因为∠B 与∠A 互余，∠DPE ＝∠A ，所以∠CPH ＝∠B ．于是可得PH ＝BH ＝9．所以AP ＝25－18＝7．所以AE ＝72．所以AD ＝54AE ＝358．图1 图1 图2例9 2016年上海市普陀区中考模拟第18题如图1，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和边BC分别交于点E、F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF 称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”的面积最大时，点E的坐标是___________．答案3(,2)2．思路如下：设菱形BFGE的边长为m．如图4，当G、D重合时，在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝m，AE＝4－m．由勾股定理，得m2＝22＋(4－m)2．解得m＝52．此时AE＝4－m＝32，点E的坐标为3(,2)2．图3 图4图1图2例10 2016年张家界市中考第14题如图1，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的点E处，EQ与BC相交于F，若AD＝8cm，AB＝6cm，AE＝4cm．则△EBF的周长是cm．答案8．思路如下：设HE＝HD＝m，那么AH＝8－m．在Rt△AHE中，由HE2＝AE2＋AH2，得m2＝42＋(8－m)2．解得m＝5．所以△AHE的周长为3＋4＋5＝12．因为△AHE∽△BEF，AH∶BE＝3∶2，根据相似三角形的周长比等于对应边的比，可得△BEF的周长为8．例11 2016年常德市中考第15题如图1，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝_________．图1图2 图3答案55°．思路如下：如图2，连结FC、DD1．因为四边形AECF是菱形，根据中心对称性，∠DCA＝∠BAE．如图3，因为A与C、D与D1关于直线EF对称，所以四边形ACDD1是等腰梯形，所以对角线AD与CD1交于对称轴上的点F，根据对称性，∠D1AD＝∠DCA．例12 2016年淮安市中考第18题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF ＝3，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF折叠，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是________．答案6．思路如下：如图2，作PG⊥5AB 于G ，作FH ⊥AB 于H ．在Rt △AFH 中，FH ＝AF ·sin ∠A ＝445⨯＝165．在△PFG 中，PF ＝2为定值，PF ＋PG ＞FG ．而FG 的最小值是FH ，所以PG 的最小值是FH －PF ＝1625-＝65（如图3）． 图1图形的旋转 例 15 2016年上海三模联考第18题如图1，已知AD 是等腰三角形ABC 底边BC 上的高，AD ∶DC ＝1∶3，将△ADC 绕着点D 旋转，得△DEF ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，那么S △AOF ∶S △DOC ＝__________．图1图2答案 32∶45．思路如下：如图2，设AD ＝m ，DB ＝DC ＝3m ，那么AC ＝EF 10，cos ∠BAD 10DH ⊥AB 于H ，那么AH ＝AD ·cos ∠BAD ＝10．所以AE 10． 于是AF ＝EF －AE 410m ．由△AOF ∽△DOC ，得S △AOF ∶S △DOC ＝AF 2∶DC 2＝22410()(3)m m ÷＝32∶45． 例 16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，联结BM ，那么BM 的长是___________．图1图2 例17图1图2答案 262，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝2，高BH 2．在等边三角形AMC 中，AC ＝2MH 6． 例 17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转，旋转后的图形是△A ′B ′C ，点A 的对应点A ′落在中线AD 上，且点A ′是△ABC 的重心，A ′B ′与BC 相交于点E ，那么BE ∶CE ＝___________．答案 4∶3．思路如下：根据旋转前后的对应边相等，对应角相等，可知∠ACB ＝∠A ′CB ′，CA ＝CA ′．所以∠CAA ′＝∠CA ′A ．又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以DA ＝DC ．所以∠CAA ′＝∠ACB ．所以∠A ′CB ′＝∠CA ′A ．所以AD // B ′C ．根据重心的性质，可得1'3DA DA =．又因为12DA CB =，所以1'6DA CB =．所以'1'6DE DA CE CB ==．所以71847163BE CE +===-．例 18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题如图1，点D 在边长为6的等边三角形ABC 的边AC 上，且AD ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°，若此时点A 和点D 的对应点分别记为点E 和点F ，联结BF 交边AC 于点G ，那么tan ∠AEG ＝__________．图1 图2 图3答案33．思路如下：如图2，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°，得到菱形ABCE ．延长AE 交BF 的延长线于M ．因为12ME EF BC CF ==，所以32AG MA CG BC ==．设菱形的边长为10m ，那么AG ＝6m ．如图3，作GH ⊥AE 于H ．在Rt △AGH 中，∠GAH ＝60°，所以AH ＝12AG ＝3m ，GH ＝33m ．在Rt △EGH 中，EH ＝AE －AH ＝7m ，所以tan ∠AEG ＝333377GH m EH m ==． 例 19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题如图1，底角为α的等腰三角形ABC 绕着点B 顺时针旋转，使得点A 与BC 边上的点D 重合，点C 与点E 重合，联结AD 、CE ，已知tan α＝34，AB ＝5，则CE ＝_________．·第 11 页 共 11 页 图1图2 图3答案 8105．思路如下：如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么BH ＝CH ．在Rt △ABH 中，tan ∠B ＝34，AB ＝5，由此可得AH ＝3，BH ＝4．所以BC ＝8．在Rt △ADH 中，DH ＝BD －BH ＝5－4＝1，所以AD ＝223110+=．如图3，由△BAD ∽△BCE ，得AD BA CE BC =，即1058=．所以8105CE =．例 20 2016年邵阳市中考第13题如图1，将等边三角形CBA 绕点C 顺时针旋转∠α得到三角形CB ′A ′，使得B 、C 、A ′三点在同一条直线上，则∠α的大小是_________．图1图2答案 120°．思路如下：。