极限运算法则
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的运算法则范文
极限的运算法则范文极限是微积分中的重要概念，用于描述函数在一些点附近的行为。
计算极限的过程中，我们通常可以根据一些基本的运算法则来简化问题。
下面将介绍一些常用的极限运算法则。
1.基本运算法则a) 极限的和是两个函数极限的和，即lim(f(x) + g(x)) = limf(x) + limg(x)b) 极限的差是两个函数极限的差，即lim(f(x) - g(x)) = limf(x) - limg(x)c) 极限的积等于两个函数极限的积，即lim(f(x) * g(x)) =limf(x) * limg(x)d) 极限的商等于两个函数极限的商，即lim(f(x) / g(x)) =limf(x) / limg(x) ，其中limg(x) ≠ 02.乘法法则如果一个函数在其中一点的极限存在并且两个函数在该点的极限都存在，则乘积函数在该点的极限也存在，即lim(f(x)g(x)) = limf(x) * limg(x)3.除法法则如果一个函数在其中一点的极限存在并且两个函数在该点的极限都存在，并且limg(x) ≠ 0，则商函数在该点的极限也存在，即lim(f(x) / g(x)) = limf(x) / limg(x)4.幂函数法则a) 对于任意实数a，lim(a^x) = a^lim(x)，只要lim(x)存在b) 对于任意实数a，lim(x^a) = lim(x)^a，只要lim(x)存在5.复合函数法则如果g(x)在x = a的一些去心邻域内有定义，f(x)在x = limg(a)的一些去心邻域内有定义，并且limf(x) = limg(a)，则复合函数f(g(x))在x = a的极限存在并且lim[f(g(x))] = limf(x) = limg(a)6.幂指函数对数法则a) 如果函数f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1，则lim(f(x)) =a^lim(x) ，只要lim(x)存在b) 如果函数f(x) = log_a(x)，其中a > 0且a ≠ 1，则lim(f(x)) = log_a(lim(x)) ，只要lim(x)存在7.三角函数法则a) lim(sin(x)) = sin(lim(x))b) lim(cos(x)) = cos(lim(x))c) lim(tan(x)) = tan(lim(x))d) lim(csc(x)) = csc(lim(x))e) lim(sec(x)) = sec(lim(x))f) lim(cot(x)) = cot(lim(x))这些是常用的极限运算法则，可以帮助简化复杂的极限计算问题。
函数极限的四则运算法则公式
函数极限的四则运算法则公式
1.两个函数的和的极限等于两个函数极限之和，即
lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
2. 两个函数的差的极限等于两个函数极限之差，即
lim[f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)
3. 两个函数的积的极限等于两个函数极限之积，即
lim[f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)
4. 两个函数的商的极限等于两个函数极限之商，即
lim[f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (其中lim g(x) ≠ 0)
这些四则运算法则公式对于求解函数极限问题非常有用，可以大大简化计算过程，提高求解效率。
需要注意的是，在应用这些公式时，应先确定各个函数的极限是否存在，以及分母函数是否为零。
- 1 -。
1-5极限运算法则
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x 5
lim x 3 lim 1
P( Q(
x x
) )
,
且Q(
x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x1
x
2
4x 1 2x
3
.
解 lim( x 2 2x 3) 0, 商的法则不能用 x1
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , B B B 1 B 1 B
2
22
B(B ) 1 B2 , 故 2
又lim(4x 1) 3 0, x1
lim x2 2x 3 0 0.
x1 4x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限运算法则两个重要极限
极限运算法则两个重要极限1.极限四则运算法则：极限四则运算法则是指对任意两个函数的极限进行加、减、乘、除运算时的运算规则。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：a) 两个函数的和的极限：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 + L2b) 两个函数的差的极限：lim(x→a) [f(x) - g(x)] = L1 - L2c) 两个函数的乘积的极限：lim(x→a) [f(x) * g(x)] = L1 * L2d) 两个函数的商的极限：lim(x→a) [f(x) / g(x)] = L1 / L2 (当L2≠0时)这些极限四则运算法则可以帮助我们简化极限运算，并且可以通过已知函数的极限值来确定复合函数的极限。
2.极限复合运算法则：极限复合运算法则是指对复合函数的极限进行计算的运算规则。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，记作f(g(x))或g(f(x))。
具体而言，设有函数f(x)和g(x)，若函数f(x)在点x=a处有极限L1，g(x)在点x=a处有极限L2，则在点x=a处有以下结果：lim(x→a) [f(g(x))] = L1 (若L2 = a)lim(x→a) [g(f(x))] = L2 (若L1 = a)这意味着通过已知函数的极限值，我们可以确定复合函数在特定点的极限值。
以上是对极限四则运算法则和极限复合运算法则的详细解释。
这两个极限运算法则在微积分中具有重要的应用，能够帮助我们确定函数在特定点处的极限值，进而推导出更复杂的极限运算。
理解和掌握这两个极限运算法则对于解决微积分中的问题和应用具有重要意义。
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限的性质及运算法则
去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1
极限的运算法则与性质
解
( 型 ) x 时 , 分子 , 分母 .
3
先用 x 去除分 , 再求 .
3 5 2 3 3 2 2 x 3 x 5 2 x x . lim 3 lim 2 x 7 4 1 7 x 4 x 1 x 7 3 x x
7
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小结:当 a 0 , b 0 , m 和 n 为非 0 0
解
n 时 , 是无限 ．
先变形再求极限.
12 n 1 2 n lim ( ) lim 2 2 2 2 n nn nn n
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2 2 (x h ) x ( 5 ) lim ; h 0 h
1 1 1 ( 6 )lim . n 1 22 3 n n 1
23
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4 、 计 算 下 列 极 限
( 1 ) lim e x 1 ;
3. 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x )存在, 则极限唯一.
17
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4. 函数极限的局部保号性
x x 0
如 果 lim f( x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), 那 么 f( x ) 0 ( 或 f( x ) 0 ).
存 在 常 数 0 ,使 得 0 当 x x 时 ， 有 0
n n 1 lim f ( x ) a ( lim x ) a ( lim x ) a 0 1 n x x 0 x x 0
(完整版)极限四则运算
§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。
定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二 极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理2 如果()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →= 则()()()(),()(),0()f x f xg x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦（2） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦（3） ()()()()000lim lim(0).lim x xx x x x f x f x A B g x g x B→→→==≠ 证 1因为()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
极限运算公式总结
极限运算公式总结极限运算是数学中一项重要的运算概念，它广泛应用于微积分、数学分析及其他相关领域中。
极限运算可以帮助我们研究函数和序列的性质，以及解决各种求解问题。
在极限运算中，有一些重要的公式和定理，它们可以帮助我们更方便地计算和理解极限。
本文将总结一些常用的极限运算公式，以供参考和学习。
一、基本极限运算公式：1. 常数函数极限：lim（c）=c，其中c为常数。
2. 单变量函数极限：lim（x→a）f（x）=L，其中x为自变量，a为趋向点，f(x)为函数，L为极限。
3. 数列极限：lim（n→∞）an=L，其中an为数列的第n项，L为极限。
4. 数列极限的唯一性：如果数列an的极限存在，则极限必唯一。
二、运算法则：1. 极限的四则运算法则：（1）和差法则：lim（x→a）[f（x）±g（x）]=lim（x→a）f （x）±lim（x→a）g（x）（2）积法则：lim（x→a）[f（x）·g（x）]= [lim（x→a）f （x} ·lim（x→a）g（x）]（3）商法则：lim（x→a）[f（x）/g（x）]= [lim（x→a）f （x} /lim（x→a）g（x）]（其中lim（x→a）g（x）≠0）2. 极限的乘方法则：（1）lim（x→a）[f（x）^n]= [lim（x→a）f（x}]^n（2）lim（x→a）[^n√f（x）]= ^n√[lim（x→a）f（x})]（其中n为整数）3. 极限的复合函数法则：（1）lim（x→a）f（g（x））= f（lim（x→a）g（x））（前提是f和g各自的极限都存在）（2）lim（x→∞）f（x）= lim（t→∞）f（t）（当x→∞等价于t→∞）4. 极限的夹逼准则：设函数f（x），g（x），h（x）在区间（a，b）上有定义且满足：f（x）≤ g（x）≤ h（x），对于x在（a，b）上的所有点成立；lim（x→a）f（x）= lim（x→a）h（x）=L，则lim（x→a）g（x）=L。
2.4极限运算法则
2n = lim
n n2 1 n2 1
化成 0 或 型 0
= lim
2
n
1
1 n2
1
1 n2
=
2
1
10 10
练习
求
x2 1
lim
x1
x2
2x
3
解 x 1时,分子,分母的极限都是零.
（0 型）先约去不为零的无穷小因子 0 x 1后再求极限.
lim
h0
h
3、
1 lim( x1 1
x
3 1 x3)
4、 lim x8
1 x 3 23 x
5、 lim ( x x x x)
x
6、
2x
lim
x
4
x
1 1
7、
lim
x1
x
x
m
m
x
xn n
2
练习题答案
一、1、-5；
5、0； 二、1、2；
5、1 ； 2
2、3；
6、0； 2、2x ； 6、0；
3、2；
7、1 ； 2
3、-1；
4、1 ； 5
8、(3)30 . 2
4、-2；
7、m n . mn
lim
x
2x3 5x3
3x2 4x2
5 1
2 lim
x 5
x 4 x
x3 1
x3
2. 5
小结:当a0 0,b0 0,m和 n为非负整数时有
a0 , 当 n m,
lim
x
a0 xm b0 xn
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
极限的六个运算法则
极限的六个运算法则问题，介绍极限的六个运算法则。
一、引言极限是数学分析中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域。
在研究极限时，我们经常需要对极限进行一系列运算，比如加减乘除、求导、积分等，在这些运算过程中，我们需要遵循一些特定的规则和定理，这些规则和定理被称为极限的六个运算法则。
本文将一步一步回答问题，介绍这六个运算法则。
二、什么是极限？在介绍极限的六个运算法则之前，我们需要了解什么是极限。
极限是数列或函数在无限趋近于某个数或者无限趋近于正无穷或负无穷时的极值，通俗来讲，就是一种趋于无穷小或无穷大的状态。
因此，极限的研究是对无限趋近的一种研究。
三、极限的六个运算法则是什么？极限的六个运算法则包括加减乘除、复合、取极限、求导、积分等运算。
这些运算法则在解决极限问题中被广泛使用。
接下来，我们将逐一讲解这些运算法则。
1、加减乘除运算法则加减乘除是求极限过程中常用的运算法则，其规则如下：（1）极限的加减法法则当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B时，有:lim[a_n+b_n] = A + Blim[a_n-b_n] = A - B（2）极限的乘法法则当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B时，有：lim[a_n*b_n] = A*B（3）极限的除法法则当lim[a_n] = A ,lim[b_n] = B且B≠0时，有：lim[a_n/b_n] = A/B2、复合运算法则复合是指将一个函数代入到另一个函数中的运算，其规则如下：(1) 复合函数的极限法则设f(x)在x0处连续，g(x)在y0=f(x0)处连续，lim(x→x0)f(x)=y0，则有lim(x→x0)g[f(x)]=g[y0]3、取极限运算法则取极限是求解极限问题的重要运算法则，其规则如下：（1）夹逼准则若当n趋近于无穷大时，某一数列{un}有两个相邻的数列{vn}和{wn}夹在中间，即有vn≤un≤wn，则lim(n→∞)vn=lim(n→∞)wn=L，则有lim(n→∞)un=L。
1-5极限运算法则
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x ) g( x ) 有极限， f ( x ) 有极限，
由极限运算法则可知：
g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，
故假设错误．
x x0
lim f [ ( x )] lim f ( u) A.
u a
意义：
x x0
lim f [ ( x )]
令 u ( x)
a lim ( x )
x x0
lim f ( u)
ua
请看课本第49页的例题9、例题10.
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
x 1 例3 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2 x 0
1
左右极限存在且相等,
o
x
故 lim f ( x ) 1.
x 0
定理（复合函数的极限 运算法则）设函数u ( x ) 当 x x0 时的极限存在且等于a，即 lim ( x ) a，
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但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x ) ≠ a，又 lim f ( u) = A，
u→ a
时的极限也存在， 则复合函数 f [ϕ ( x )] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x )] = lim f ( u) = A.
u→ a
意义： 意义：
x → x0
第六节
极限运算法则
1、极限运算法则 、 2、求极限方法举例 、
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
3、复合函数的极限运算法则 、
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， Q f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
x→0
lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
2 x→0
y = 1− x
y = x2 + 1
y
x→0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
o
x
故 lim f ( x ) = 1.
x →0
定理（ 运算法则） 定理（复合函数的极限 运算法则）设函数 u = ϕ ( x ) 当 x → x0 时的极限存在且等于 a，即 lim ϕ ( x ) = a，
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
例3 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限. 先变形再求极限
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim n→ ∞ n n→ ∞ n n n2
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
l= lim ϕ( x)
x→x0
lim f ( u)
u→a →
例5
x−3 a . 求 lim 3 x→a x−a
3
解
( 3 x − 3 a )3 ( x − a )2 原式 = lim x →a x−a ( x − a )2 = lim 3 2 3 x →a x + ax + 3 a 2
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
lim P ( x )
若Q ( x 0 ) = 0, 则商的法则不能应用 .
x −1 例2 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
3
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
1 − x, 例4 设 f ( x ) = 2 x + 1,
解
x→0
x<0 , 求 lim f ( x ). x→0 x≥0
x = 0是函数的分段点 两个单侧极限为 是函数的分段点,
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则 , c ,
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 推论2
3
令u = x − a
lim u
u→0 → 3
3
2
3 a
2
= 0．
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 、极限的四则运算法则及其推论 2、极限求法; 、极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限 a.多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限