极限运算法则

2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
3
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
lim f [ϕ ( x )]
令 u = ϕ(x)
a = lim ϕ( x)
x→x0
lim f ( u)
u→a →
例5
x−3 a . 求 lim 3 x→a x−a
3
解
( 3 x − 3 a )3 ( x − a )2 原式 = lim x →a x−a ( x − a )2 = lim 3 2 3 x →a x + ax + 3 a 2
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
1 − x, 例4 设 f ( x ) = 2 x + 1,
解
x→0
x<0 , 求 lim f ( x ). x→0 x≥0
x = 0是函数的分段点 两个单侧极限为 是函数的分段点,
第六节
极限运算法则
1、极限运算法则 、 2、求极限方法举例 、
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
x → x0
但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x ) ≠ a，又 lim f ( u) = A，
u→ a
时的极限也存在， 则复合函数 f [ϕ ( x )] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x )] = lim f ( u) = A.
u→ a
意义： 意义：
x → x0
, , 如果lim f ( x)存在 而n是正整数 则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
例3 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限. 先变形再求极限
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim n→ ∞ n n→ ∞ n n n2
x→0
lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
2 x→0
y = 1− x
y = x2 + 1
y
x→0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
o
x
故 lim f ( x ) = 1.
x →0
定理（ 运算法则） 定理（复合函数的极限 运算法则）设函数 u = ϕ ( x ) 当 x → x0 时的极限存在且等于 a，即 lim ϕ ( x ) = a，
lim P ( x )
若Q ( x 0 ) = 0, 则商的法则不能应用 .
x −1 例2 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故 有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在 而 为常数 则 , c ,
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面 推论2 推论2
3、复合函数的极限运算法则 、
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， Q f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
3源自文库
令u = x − a
lim u
u→0 → 3
3
2
3 a
2
= 0．
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 、极限的四则运算法则及其推论 2、极限求法; 、极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限 a.多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限