大一高数课件第一章 1-3-1 数列的极限

1 2 n
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数
xn f (n).
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的变化趋势.
播18-28放
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
n
所以,
n
lim xn C .
说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
1
1 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, xn (a , a ), 2 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1 两个数,
不可能同时位Leabharlann 长度为1的区间内.事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
定理3
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
推论：如果一个数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么 这个数列发散。 例如
xn 1
n1
的子列 x2k 1,
x2k 1 1
xn 发散
发散的数列也可能有收敛的子列。
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:
有界性、唯一性、子数列的收敛性.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
x 问题: 当 n 无限增大时, n 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
1 有 xn 1 , 10000
给定 0,
只要 n N ( [ ])时,
1

有 xn 1 成立.
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存
在正数
N , 使 得 对 于 n N 时 的 一 切 xn , 不 等 式
x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列 x n 的极限,
第三节
• • • • •
数列的极限
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 五、小结
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
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一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积


A2
R
S
正 6 2n1 形的面积 An
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
3、子数列的收敛性
定义：在数列xn 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列xn 的子数列（或子列）．
例如， x1 , x 2 ,, x i , x n ,
这些项在原数列xn 中的先后次序，这样得 到
x n1 , x n2 ,, x nk ,
A1 , A2 , A3 ,, An ,
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x , x ,, x ,.
xn 1 ( 1) n 1 1 1 n n
1 1 1 由 , 只要 n 100时, 有 xn 1 1 , 给定 , n 100 100 100
1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
有 xn 1
1 , 1000
1 给定 , 只要 n 10000时, 10000
恒有 xn a 1,
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数n,皆有 xn M , 故xn 有界 .
推论
无界数列必定发散.
例5
证
证明数列xn ( 1)n1 是发散的.
设 lim xn a ,
n
由定义, 对于 , 则N , 2
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
x N 2 x3
a
x
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1
n ( 1)n1 证明 lim 1. n n
n ( 1) n 1 1 证 x 1 1 n n n
任给 0, 要 xn 1 ,
1 只要 , n
或n ,
1

所以,
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣” ——刘徽
0, N 0, 使n N时,恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的 : 至少有一个或存在 ; .
几何解释:
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.
a
x2 x1 x N 1
2
a
取N [ ], 则当n N时,
1

n ( 1)n1 就有 1 n
n ( 1)n1 即 lim 1. n n
例2
证
设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
n
任给 0 , 对于一切自然数n , x C C C 0 成立,
或者称数列 x n 收敛于 a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2. N与任意给定的正数
有关.
N定义 :
n
lim xn a
例如, 数列 x n
n ; 有界 n1
数列 xn 2n. 无界
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间[ M , M ] 上.
定理1 证
收敛的数列必定有界.
设 lim xn a ,
n
由定义, 取 1, 则N , 使得当n N时
即有 a 1 xn a 1.