专升本高等数学知识点汇总

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常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

y kx b

(1) 2 —般形式的定义域：x € R

y ax bx c

k

(2)y 分式形式的定义域：x丰0

x

(3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0

(4)y log a x对数形式的定义域：X>0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。

当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。

2、函数的奇偶性

定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D )

(1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。

⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。

三、基本初等函数

1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。

2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。

3、指数函数

定义：y f（x）x

a，I

（a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。

4

、

对数函数

定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5

、

三角函数

(1)正弦函数：y sin x

T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。

⑵余弦函数：y cosx.

T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。

⑶正切函数：y tan x

T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,).

⑷余切函数：y cotx

T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,).

5、反三角函数

（1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。

2 2

（2）反余弦函

数：

y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。

（3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,-

2 2

（4）反余切函

数：

y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。

极限

一、求极限的方法

1代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

x

1

x

二、函数极限的四则运算法则

设 lim u A , lim v B ，则

x

x

(1) lim (u v) lim u lim v A B

x

x

x

(2)lim (u v)

x

lim u x

lim v x

AB .

推论

(a) lim (C

x

v) C lim v ， x

(C 为常数)。

(b ) lim u n (lim u)n

x

x

三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有：当x 0时，sin x ~ x ， tan x ~ x ， arctanx ~ x ，

x

1

2

arcs in x ~ x ， ln(1 x) ~ x ， e 1 ~ x ， 1 cosx ~ x 。

对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当 □ 0时，si 门口 ~口，其余类

似。

四、两个重要极限

sin x

重要极限I lim

1。

X

x

(3)

lim - x

lim u

x

v lim v

x

0).

P(x)为多项式 P(x)

n

n 1

a o x

a i x

a

n

，则

n

p (x )

P(X 。)

(5)设P(x),Q(x)均为多项式,

且 Q(x) 0,

lim

x x)

P(x) Q(x)

P(x o ) Q(x o )

lim 1

x

1 x

它可以用下面更直观的结构式表示：

lim sin

^ 1 口 0 □

重要极限II

e

。

其结构可以表示为:

□

m 1

八、洛必达(L'Hospital)法则

0”型和“一”型不定式，存在有lim f(x)

1计丄型A (或 )。

0 x a g(x) x a g (x)

一元函数微分学

、导数的定义

设函数y f(x)在点x o的某一邻域内有定义，当自变量x在X o处取得增量x (点x0 x仍在该邻域内)时，相应地函数y取得增量y f(x0x) f (x0)。如果当

x 0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限

lim 丄=lim f(x0 x) f(x°) = f(X。)注意两个符号

x 0 x x 0 x

他的符号表示。

x和X0在题目中可能换成其、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

(1)

(C) 0 (C为常数)

1

(2)

(x ) x (为任意常数)

(3)

(a x) a x lna(a 0,a 1) 特

殊情况(e x) e x

1 1 1

(4)

(log a x) -log a e (x 0,a 0, a

1)，(ln x)-

x x l na x

(5)

(sin x) cosx

(6)

(cos x) sinx

(7)

(tan x) 2

cos x