线性代数练习题集--线性方程组

线性代数练习题 第四章 线性方程组

系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法

一．选择题：

1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解

3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：

设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x

（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题：

1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=--+=+-+=+-+122241

2w z y x w z y x w z y x

21

3122211112111121001421120011000110211110002000020121122000

.2000r r r r r r y

x x y y x

z w z z w w w --+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪-−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⎧=⎪+==-⎧⎧⎪⎪⎪

-=∴==⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎩⎩⎪

⎩

或

3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++2

321

3213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解

321

1

1

132(1)(2)

1

1

1

1111

11

1100

0111000111111212212124003λ

λ

λλλλλ

λλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝

⎭⎝⎭

当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22

当=-2时1

1

，方程组无解。10

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性

系 专业 班 姓名 学号 第四节 线 性 方 程 组 的 解

一．选择题：

1．设A 是45⨯矩阵，),,,(4321αααα=A ，已知T

),,,(40201=η，T

)4,5,2,3(2=η是0=Ax 的基础解系，则 [ D ] （A ）31αα,线性无关 （B ）42αα,线性无关 （C ）1α不能被43αα,线性表示 （D ）4α能被32αα,线性表示

2．设A 是45⨯矩阵，若b Ax =有解，21ηη,是其两个特解，导出组0=Ax 的基础解系是21αα,，

则不正确的结论是 [ B ] （A ）b Ax =的通解是12211ηαα++k k （B ）b Ax =的通解是)(212211ηηαα+++k k （C ）b Ax =的通解是22122211/)()(ηηααα++++k k

（D ）b Ax =的通解是211222112ηηαααα-+-++)()(k k

3．设321ααα,,是四元非齐次线性方程组b Ax =的三个解向量，且3=)(A R ，T

),,,(43211=α，

T ),,,(321032=+αα，C 表示任意常数，则线性方程组b Ax =的解是 [ C ]

（A ）T

T

C )1,1,1,1()4,3,2,1(+ （B ）T

T

C )3,2,1,0()4,3,2,1(+ （C ）T

T

C )5,4,3,2()4,3,2,1(+ （

D ）T

T

C )6,5,4,3()4,3,2,1(+

4．齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

00321

3213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B 使得

0=AB ，则 [ C ]

（A ）2-=λ且0=B ， （B ）2-=λ且0≠B （C ）1=λ且0=B （D ）1=λ且0≠B 二．填空题：

1． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b ，=x ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛321x x x

（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则a 31≠-， （2）非齐次线性齐次组b Ax =无解，则a = 31-或 三．计算题：

1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且

T )5,4,3,2(1=η，23(1,2,3,4)T ηη+=，求该方程的通解

1231231231231,(2)2020()431,03243(2).5465Ax b A A A b

A b b b Ax n R A Ax Ax b k k ηηηηηηηηηηηηη====--=--=--=-=-==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

解：设方程为 则那么故是的解.

又故的基础解系只有一个向量所以的通解为

2．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧-=+++-=-++=-+-6

2421635113254321

43214321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应齐次方程组的基础解系。