2017中国西部数学邀请赛试题及解析

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2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc

2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解：在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。

2．求()n n n +∞→22sin lim π解由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。

3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。

则21xx yy w w c-=_________。

解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。

所以1221=4xx yy w w f c-。

4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。

这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。

2017年全国高中数学联赛陕西赛区试题(一试)解析pdf版

abc （ a ≥1 且 a Z ） abc
f '(a )
bc(a b c) abc b 2 c bc 2 ≥0 (a b c) 2 (a b c) 2
所以 f ( a ) 在 [1, ) 上单调递增所以 f ( a ) min f (1) 令 g (b)
A、
1 2
B、
1 3
C、
2 2
D、
3 3
【解析】由 AOB 60 ， OA OB b ，得 A
3 1 2 a, 2 a , B (0, a ) ，所以直线 AB 为
y
3 xa 3
3 y xa 3 由 2 2 x y 1 a 2 b2
A
Q
D P Q1 B
C
1 1 1 AC , PP AC , QQ1 AC ， 1 2 2 2
P1 C1 B1
因为 AC PR, AC PQ, AC QR ，所以 RR1 平面
R D1 A1 R1
PQR ， PP 1 平面 PQR ， QQ1 平面 PQR ，所以三棱柱

4
)4∴Βιβλιοθήκη 4≤
4
≤
5 4
∴
2 ≤ sin( ) ≤ 1 2 4
∴ 4 5 ≤ 10 sin(

4
) 4 ≤ 4 10
∴ B y 4 5 ≤ y ≤ 4 10

∵A 中的元素是 3 的倍数的正整数，而 B 中的元素是 3 的倍数的有 3 和 6 ∴集合 A B 中元素的个数有 2 个所以选 B 8、设 x ≥ y 0，若存在实数 a, b 满足 0≤ a ≤ x ，0≤ b ≤ y ，且

2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A卷)试题及答案考点分析

2017年全国高中数学联合竞赛一试和加试(A 卷)试题及答案考点分析2017年全国高中数学联合竞赛一试卷〉参考答案及评分标准说明孑1.评阅试卷时*请依据本评分标淮.填空趣只设S 分和o 分两档1其他备题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.N 如果考生的解??方法和本解答不同+只要思路合理"步骤1E 确，在评卷时训参苇本评分标准适为划分档次评仆.解芥题中第9小题*分対--个栉次.第10. 11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次*一、填空题；本大题共*小题，每小題*分，共64分.设八龙)屣走文任H 上的噌数，对任意实^xfTf(x+3)f(x-4) = -l.又当0冬“V7时・/(x)=log 3(9-x)・则/X-100)的値为 ____________________________ ・答案；■齐比庄平面現角坐标系xQy 中.fffiEfC 的方程为芝■ +匚=1, F 为C 的上煉点，A 的右顶点.戶是(?上位丁第象限内的別点*则四边Jg OAPF 的面积的燧大值为 ”解：易知#(3,0), F(O,D.设尸的酸掠圧(3ws 罠JTB 抽叭，w九秤=孔加 V S s^r- = | ■ 3 ■sin 0 + | ■ I ■ 3 cos!〔中 y ： — arctan —.当（9 — arctanVTo 时.四边形OAPF iff | 积的fit 大備为卫■土*解：由篆件知，/U + 14） = ---------------- = f （x} t 所以./<x + 7）2.若实数工j 满足”F 4- 2 cosy = 1 .则x — cos y 的収值范围足i _______ 答案:H1,広+ 1].解：由 +.Y 1- 1 -2cos yG[-l > 故GX 时F 可以収？Th 由于扌U+1)'—1的恤域筍-h J5 + 1］，从而X-CGSJ 的耿值范围是［一匕J5 + 1］・si n （ 4 *} +4. 若一个三位数中任总两个相邻数码的差均不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是____________ ・答案：75. _解：考虑平稳数赢.若6 = 0,则。

2017～2018学年度第一学期西部片区八年级数学竞赛试题答案及评分标准

2017～2018学年度第一学期西部片区八年级数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（3′×10=30′）1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．B 7．D 8．B 9．C 10．D 二、填空题（3′×8=24′）11．70°或40°12．40°13．三角形或四边形或五边形14．3 15．4 16．10 17．3 18．400三、解答题（共5小题，满分46分）19．（本题8分）解：∵AD是BC边上的高，∠B=42°，∴∠BAD=48°，………………………………………2′∵∠DAE=18°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=30°，……………………4′∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=60°，……………………………6′∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=78°．…………………8′20．（本题8分）解：结论：BF=AE．………………………………2′证明：∵CF⊥BE，∴∠BFC=90°，……………………………………3′又∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC；………………………………4′由于以点B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BC，…………………………………………5′在△ABE与△FCB中，，∴△ABE≌△FCB（AAS），………………………7′∴BF=AE．…………………………………………8′21．（本题8分）解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；…………2′（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；…………5′（3）根据题意可得：P的对应点P2的坐标为：（﹣x，y﹣3）．………………………………8′22．（本题10分）解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，…………………………………2′∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，……3′∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；……………………………………………5′（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，…………………6′∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，……………7′∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，……8′∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，…………………………………9′∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．………10′23．（本题12分）解：（1）EF=BE+CF．……………………………………2′证明：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EDB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE，………………………………………………4′同理CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，即BE+CF=EF．…………………………………………6′（2）EF=BE﹣CF．……………………………………8′证明：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠CBO，……………………………………9′∴BE=OE，同理：CF=OF，………………………………………10′∴EF=OE﹣OF=BE﹣CF．………………………………12′。

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）

2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准（1）2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab??＝（）A.2．B.1．C.0．D.1?．【答】B.已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc，3(2)(3)72abbc，解得218ab??，318bc??，所以32bcab1.2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；（3）以||1,||1,||1abbcca为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc??，则有bca??.（1）因为bca??，所以2bcbca，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为边长的三角形一定存在；（2）以2,3,4abc为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc为边长的三角形不存在；（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac，故三条边中||1ca??大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc（）（）（）（）111||1acacca=，故以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc，所以6ab?.显然，a只能为1或2.若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；若a＝1，则2(1)bcbc，于是可得(2)(2)6bc，可求得(,,)abc ＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.109．B.87．C.65．D.43．【答】A.过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以631855ABBCEBAC.再由//BEAD，得4101895DOADOBBE.5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）A.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.如图，因为BAFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即90FAEBAC.又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC.而639DFBFBD，15312DCBCBD，所以29312ADDE，所以6AD?，4DE?.从而222264213AEADDE.6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则1232001111aaaa（）A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．【答】A.对于任意自然数k，2211()24kkk不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.易知：当1m?时，1||2mn2211()()mnm??221144mmnmm.于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm时，m是最接近n的整数，即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.注意到2213131822001414210，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）EOCBADCBFDE8个4，……，26个13，18个14.所以123200111111111191246261812313147aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．使得等式311aa成立的实数a的值为_______．【答】8.由所给等式可得32(11)aa.令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx，整理后因式分解得2(3)(1)0xxx，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.所以，8a?.2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC，AFBC?于点F，AF交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．【答】66?.取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB.设AED，则1802AME，18ABM.又ABMAMB，所以180218，解得66.3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．【答】10.由题意知，999(91)mnnmn是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt.计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位数字是01.所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.4．若实数,xy满足3331xyxy，则22xy?的最小值为．【答】12.因为333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）MEFCBDA22(1)(1)xyxyxyxy2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy，所以1xy或1xy??.若1xy，则22xy?＝2.若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy，当且仅当12xy??时等号成立.所以，22xy?的最小值为12.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数2(0)yaxbxcc的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc的图象与x轴的交点个数为（）A．0．B．1．C．2．D．不确定．【答】C.因为二次函数2yaxbxc的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac，所以240bac??.故二次函数3233yaxbxc的判别式323363623211()4(4)()1616bacbacbb61516b?0?，所以，二次函数3233yaxbxc的图象与x轴有两个交点.2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4．已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc??＝（）A.424．B.430．C.441．D.460．【答】C.由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc＝441.5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB，且3BC?，4AD?，5AC?，6AB?，则DOOB＝（）A.43．B.65．C.87．D.109．【答】D.解答过程与（A）卷第4题相同.6．题目和解答与（A）卷第5题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．题目和解答与（A）卷第1题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED，5ABCOED，则OED?＝_________.【答】10?.如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，DOC??18012BACx，10AOCx??，所以1802AODx，180(1802)ODExxx，所以1122ODOEOAOC，所以60DOC，从而可得10x??.3.题目和解答与（A）卷第3题相同.4.题目和解答与（A）卷第4题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，221112xyxy，求55xy?的值.解由221112xyxy可得2233222()xyxyxyxyxy.设xyt?，则222()292xyxyxyt，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt，代入上式可得22(392)3(93)tttt，解得1t?或3t?.……………………10分当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm的两实数根，但易知此方程没有实数根，不合题意.……………………15分当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm的两实数根，符合题意.此时552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt.……………………20分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）DEOBAC二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC，E 是BAC?的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知1AF?，5BF?，求△ABC的面积.解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点G.由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG (15)分又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD ＝5－1＝4，……………………20分△ABC的AB边上的高sin4522hAC.所以，△ABC的面积116226222SABh (25)分三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba.解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.又因为33493849385ba，所以5a?.……………………5分由34938ba可得38493ba，即22(2)(24)73baaa.……………………10分设2(2,24)aaad，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa，所以|12d，所以d＝1或3.……………………15分若d＝1，则有22 27, 243,b aaa或22 23, 247, ba aa均无正整数解.……………………20分若d＝3，则有221237,243,baaa?或12223,2437,baaa解得11a?，3b?.所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分第二试（B）一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc，22211284abcabc，求c的值.解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx，整理得21(8)(8)8xyx，所以8x?或8(8)yx??.……………………10分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）FEABCD（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.（2）若8(8)yx??，即8(8)abab，则(8)(8)0ab，所以8a?或8b?.当8a?时，结合abc??可得24abc，与16abc矛盾.当8b?时，结合abc??及16abc可得0a?，8c?.综合可知：8c?.……………………20分二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm 是完全平方数.解当m＝1时，212211mm是完全平方数.……………………5分当1m?时，设212221mmn（n为正整数）.注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm，故可得12122(21)(2)mmn，……………………10分所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn.……………………15分设121mxn，121myn，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.……………………20分又22myx被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm，解得3m?.综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB，OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC.证明由题设条件可知90AODBOC，又OADOCB，所以△AOD∽△COB，……………………5分所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分又AOCAOBBOCAOBAODDOB，所以△AOC∽△DOB，所以OACODB.……………………15分设AC和BD交于点P，则90APDAOD，所以ACDB?，……………………20分所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC .……………………25分2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）PDAO CB。

2017中国西部数学邀请赛

取ｌ：９９，２＝３＝… ＝９７ｏ２＝１，可使
；＋＋ …＋＝ｍ
整除．
ａｌ，ａ２， …，ａ，均有
①
（王广廷供题）
的整数解（，， …，）的组数能被２ ¨
８．已知整数ｎ ≥２．证明：对任意正实数
）（
） ≤
（张端阳
口・ ①
供题）
１ｋ＝ｌ
６．在锐角△ ＡＢＣ中，点Ｄ、Ｅ分别在边ＡＢ、ＡＣ上，线段ＢＥ与ＤＣ交于点日，Ｍ、 Ⅳ分别为线段ＢＤ、ＣＥ的中点．证明：日为△ ＡＭＮ的垂心的充分必要条件是、ｃ、、四点共圆且ＢＥ上ＣＤ．（石泽晖供题）
Ｉ２Ｊ１ＣＯＳ
—ＪＩ２ｃｏｓ— ￣
１
ＣＤＩ：
ｊ９９（ｎ＋９８） ≥１００ｎ
ｎ≤ ９９ ×９８＝９７０２．
ＢＤＩ１
即，２Ｉ，、ｊ在ＢＣ上的投影长度相同．
如图３，设、Ｉ，、在Ｂｃ上的投影分
此人获胜．问：谁有必胜策略？
（１）若存在ｋ（１ ≤ ≤ ｎ），使得ｐ２Ｉ（＋１），
则Ｐ ≤ｎ＋１．
于是，ｐ ≤￣／＋１＜２ｎ．
供题）（２）若对任意的ｋ（１ ≤ ≤ｎ），ｐ２１、（＋１），由条件，知存在１ ≠ ≤ ，使得
故Ⅱ ￣＜１００．

2017全国初中数学联赛初二卷及详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）. A.1023 B.1033C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c 55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得423AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()14210214233⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.答案：8 对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x ，则x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°.………5分由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC. ………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b cb c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b +-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。

第六届中国西部数学奥林匹克试题及解答

1
⎧β 2 + dβ + a = 0, b−a 其次，若（1）与（2）有公共实根 β ，则 ⎨ 2 两式相减，得 β = >0， d −c ⎩ β + cβ + b = 0,
这时， β 2 + dβ + a > 0 ，矛盾.所以，（1）与（2）没有公共实根，从而 k = 4 符合要求. 综上，问题的答案为 k = 4 . 三. （熊斌供题）如图，在△PBC 中， ∠PBC = 60° ，过点 P 作△PBC 的外接圆ω的切线，与 CB 的延长线交于点 A. 点 D 和 E 分别在线段 PA 和圆ω上，使得 ∠DBE = 90° ， PD＝PE. 连接 BE，与 PC 相交于点 F. 已知 AF，BP，CD 三线共点． (1) 求证：BF 是 ∠PBC 的角平分线； (2) 求 tan ∠PCB 的值．解（1）当 BF 平分 ∠PBC 时，由于 ∠DBE = 90° ，所以，BD 平分 ∠PBA ，于是
另一方面，设 a, b, c, d 是不小于 4 的 4 个不同实数，不妨设 4 ≤ a < b < c < d ，考察方程
x 2 + dx + a = 0,
（1）（2）
和
x 2 + cx + b = 0 .
首先， d 2 − 4a > 4(d − a) > 0, c 2 − 4b > 4(c − b) > 0 ，故（1）、（2）都有两个不同实根.
= 2
4 6 6 2
≤ 23 ⋅
2
= 23
所以
1 ( a i + 1 − a i +1 + 2 ) 6 1 ⋅ ( a i − a i + 1 + 3 ), 6

2017年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2 2 1 AM AN 3 AB AC 4 AB AC ， 8
由 3 S ABC
1 3 AB AC sin A AB AC 得 AB AC 4 2 4
2
所以 AB AC 2 ，所以 3 AB
AC 8 3 ，当且仅当 AB
x x1 3x 2 5 x3 x1 2 3
★解析：由柯西不等式

x3 的最小值和最大值。 5 x2 5 x3 3 x3 5 1
2
x x x1 3x 2 5 x3 x1 x1 3 x 2 x1 2 3 3 5
当 x1 1 ， x 2 0 ， x 3 0 时取等号，故所求的最小值为 1 ；又 x1 3 x 2 5 x 3 x1

x 2 x3 1 5x x1 3 x 2 5 x 3 5 x1 2 x 3 3 5 5 3
2
512 b1 ② 55
★证明：记 f ( x ) x kx m ， x a, b ，则 f ( x ) 1,1 。于是
2
f (a ) a 2 ka m 1 ①； f (b) b 2 kb m 1 ② ab ab 2 ab )( ) k( ) m 1 ③ 2 2 2 ①+②- 2 ③知 f(
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 8 分，共 64 分。 2017A1、设 f ( x ) 是定义在 R 上函数，对任意的实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ，又当 0 x 7 时， f ( x ) log 2 (9 x ) ，则 f ( 100) 的值为 ◆答案：

2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)_PDF压缩

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.。

鄂尔多斯市西部四校联考2017届高三下学期期中数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年内蒙古鄂尔多斯市西部四校联考高三（下)期中数学试卷(文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A={﹣2，﹣1，1，2｝,B={﹣3，﹣1，0,2｝,则A∩B的元素的个数为（)A．2 B．3 C．4 D．12．设i为虚数单位，则复数（﹣2i﹣1）•i的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．﹣2+i D．2+i3．以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是( ）数据31，12，22，15，20，45，47，32,34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、354．设A(1，1）、B（7，4），点C满足=2，则点C的坐标是( ) A．（3，2）B．（3,5) C．(5,3）D．（8，5)5．已知命题p：∃x∈R,log5x≥0,则（)A．￢p：∀x∈R，log5x＜0 B．￢p：∃x∈R，log5x≤0C．￢p：∀x∈R，log5x≤0 D．￢p:∃x∈R，log5x＜06．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．7．抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B到y轴的距离之和为（)A．8 B．7 C．6 D．58．已知输入的x=11，执行如图所示的程序框图,则输出的x的值为（）A．12 B．23 C．47 D．959．设x，y满足约束条件，若z=3x+y的最大值是( ）A．6 B．7 C．0 D．310．已知函数f（x)为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x ﹣2x﹣f(1），则f（﹣1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．﹣e11．△ABC的三个内角A、B、C,所对的边分别是a、b、c，若a=2，c=2,tanA+tanB=﹣tanAtanB，则△ABC的面积S△ABC=（）A．B．1 C．D．212．已知函数f(x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是（）A．(﹣，0）B．（﹣1，﹣) C．(，1) D．（1，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=|sinx|的周期为．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于．16．函数y=的最大值为．三、解答题(共5小题,满分60分）17．已知数列{a n}为等比数列，a n＞0，a1=2，2a2+a3=30．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若数列{b n｝满足,b n+1=b n+a n，b1=a2,求b5=？18．在2016年高考结束后，针对高考成绩是否达到了考生自己预期水平的情况，某校在高三部分毕业生内部进行了抽样调查，现从高三年级A、B、C、D、E、F六个班随机抽取了50人，将统计结果制成了如下的表格：班级 A B C D E F抽取人数 6 10 12 12 6 4其中达到预期水平的366 6 4 3 人数(Ⅰ）根据上述表格的数据估计,该校这些班中,哪个班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高？(Ⅱ）若从A班、F班，从抽查到的达到预期水平的所有对象中，再随机选取2名同学进行详细调查，求选取的2人中含有A班同学的概率．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点，BQ∩AC=N，M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC，CD=2．(Ⅰ）求证：直线MN∥平面PAB;（Ⅱ)求四棱锥P﹣AQM的体积．20．已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的离心率，且P（0，1）是椭圆C上的点，F是椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM的斜率k OM=﹣，求直线l的方程．21．已知函数f（x)=x2﹣4x+2（1﹣a）lnx，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x)在区间［e，+∞]上的单调性；（Ⅱ）当a＞2时,求函数f(x）在区间［e，+∞］上的最小值．选修4—4：坐标系与参数方程22．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；(2）设点M的直角坐标为（5，),直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA｜•|MB｜的值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式｜x﹣2｜﹣｜x+3｜≥|m+1|有解,记实数m的最大值为M．（1)求M的值；（2）正数a,b，c满足a+2b+c=M，求证：+≥1．2016-2017学年内蒙古鄂尔多斯市西部四校联考高三（下）期中数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合A=｛﹣2，﹣1，1，2｝，B=｛﹣3，﹣1，0，2},则A∩B 的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．1【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的运算求出A、B的交集即可．【解答】解：A={﹣2,﹣1，1，2}，B=｛﹣3，﹣1，0,2｝，则A∩B={﹣1，2}，2个元素,故选:A．2．设i为虚数单位,则复数（﹣2i﹣1)•i的共轭复数为（）A．﹣2﹣i B．2﹣i C．﹣2+i D．2+i【考点】A5:复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数(﹣2i﹣1)•i=2﹣i的共轭复数为2+i．故选：D．3．以下是某样本数据，则该样本的中位数、极差分别是（）数据31,12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35【考点】BC:极差、方差与标准差；BB:众数、中位数、平均数．【分析】将数据从小到大按顺序排成一列,结合中位线和极差的定义进行求解即可．【解答】解：将数据从小到大按顺序排成一列为12，15，20，22，23，28,31，32，34，45,47，共11个数据,则中位数为第6个数28，最大值为47，最小值为12，则极差47﹣12=35，故选：D．4．设A(1,1)、B（7，4)，点C满足=2,则点C的坐标是（）A．(3，2）B．（3,5）C．（5，3) D．(8，5）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质即可得出．【解答】解：∵=2，∴=2，∴===（5，3)，故选：C．5．已知命题p：∃x∈R，log5x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log5x＜0 B．￢p:∃x∈R，log5x≤0C．￢p：∀x∈R，log5x≤0 D．￢p：∃x∈R，log5x＜0【考点】2J：命题的否定．【分析】由题意,命题p：∃x∈R，log5x≥0，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可【解答】解：命题p：∃x∈R，log5x≥0是一个特称命题，其否定是一个全称命题，所以命题p：∃x∈R,log5x≥0的否定为￢p：∀x∈R,log5x＜0，故选：A．6．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】几何体为椎体与柱体的组合体,分四种情况进行判断．【解答】解:由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体，（1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体,则俯视图为A,（2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B,（3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C，（4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为故选：D．7．抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B 到y轴的距离之和为（)A．8 B．7 C．6 D．5【考点】K8:抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线为x=﹣1，根据抛物线的定义可知A，B此抛物线焦点的距离之和等于x A+1+x B+1．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1．则点A到此抛物线焦点的距离为x A+1，点B到此抛物线焦点的距离为x B+1．∴点A、B到此抛物线焦点的距离之和为x A+1+x B+1=x A+x B+2=8+2=10．则A、B到y轴的距离之和为:10﹣2=8．故选:A．8．已知输入的x=11，执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为( ）A．12 B．23 C．47 D．95【考点】EF:程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析继续循环和退出循环的条件特征,可得答案．【解答】解:x=11,n=1≤3，x=23，n=2≤3，x=47，n=3≤3，x=95，n=4＞3，输出x=95，故选：D．9．设x，y满足约束条件，若z=3x+y的最大值是（）A．6 B．7 C．0 D．3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由得，即A(2，1)，此时z的最大值为z=3×2+1=7，故选:B．10．已知函数f(x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时,f（x）=4x ﹣2x﹣f（1），则f(﹣1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．﹣e【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据条件令x=1，先求出f（1）的值，然后利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：当x＞0时，f(x)=4x﹣2x﹣f（1)，∴当x=1时，f（1）=4﹣2﹣f（1），即2f（1）=2，则f（1）=1，则当x＞0时，f(x）=4x﹣2x﹣1，∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f(﹣1）=﹣f(1）=﹣1，故选:B．11．△ABC的三个内角A、B、C,所对的边分别是a、b、c,若a=2，c=2,tanA+tanB=﹣tanAtanB，则△ABC的面积S△ABC=（) A．B．1 C．D．2【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知结合两角和的正确求得C，利用正弦定理求得A，则B可求,代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由tanA+tanB=﹣tanAtanB，得tanA+tanB=（1﹣tanAtanB），∴tan（A+B）=,即tanC=﹣．∵0＜C＜π,∴C=．则sinC=．由正弦定理可得：，得sinA=,∴A=．则B=．∴S△ABC=×=．故选：C．12．已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是( ）A．（﹣，0）B．（﹣1，﹣）C．（，1) D．(1，2）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，求得x14﹣2x1﹣1=0,由零点存在定理,判断A，B，再由关系式,确定x2的范围，即可判断C，D．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x的导数为f′(x)=2x+1;当x＞0时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=,设A（x1，f(x1）），B（x2，f(x2）)为该函数图象上的两点,且x1＜x2,当x1＜x2＜0,或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时,函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x12+x1）=（2x1+1)（x﹣x1)；当x2＞0时，函数f（x）在点B(x2，f(x2）)处的切线方程为y+=（x﹣x2）．两直线重合的充要条件是=2x1+1①，﹣=﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②可得x14﹣2x1﹣1=0，设f（x）=x4﹣2x﹣1，由f（﹣）=＞0,f（0）=﹣1＜0，可得x1∈（﹣，0)，A可能；由f（﹣1）=＞0，B不正确；由①可得x2＞1，由②可得=x12＜，即有x2＞8,则C,D不正确．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=|sinx｜的周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=|Asin(ωx+φ）|的周期为,得出结论．【解答】解:∵函数y=|Asin（ωx+φ)｜的周期为，∴函数y=|sinx｜的周期为=π，故答案为:π．14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 4 cm．【考点】L＠：组合几何体的面积、体积问题．【分析】设出球的半径,三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：415．已知双曲线=1(a＞0,b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于 4 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式和渐近线方程,结合点到直线的距离公式可得b，再由a，b,c的关系即可得到c，进而得到焦距．【解答】解:双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a，设焦点为（c,0），渐近线方程为y=x,则d===b=，又b2=c2﹣a2=3,解得a=1，c=2．则有焦距为4．故答案为：4．16．函数y=的最大值为．【考点】HW:三角函数的最值．【分析】直接利用换元法,通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，即可得出．【解答】解：由题意，设sinx+cosx=t，∵sinx+cosx=sin（x+）=t，∴≤t，且t≠0．那么：sin2x=t2﹣1函数y转化为：f（t)=,（≤t,且t≠0）∴f（t)的最大值为：，即函数y的最大值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列｛a n}为等比数列，a n＞0，a1=2，2a2+a3=30．(Ⅰ)求a n；（Ⅱ）若数列{b n}满足，b n+1=b n+a n,b1=a2,求b5=？【考点】8H：数列递推式．【分析】(Ⅰ)由题意，｛a n}为等比数列，a1=2，2a2+a3=30．即可求出q，可得a n；（Ⅱ）根据b n+1=b n+a n,b1=a2，依次递推计算b2,b3，b4可得b5的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，{a n}为等比数列，a1=2,2a2+a3=30．设公比为q，a n＞0．可得：4q+2q2=30，解得:q=3或﹣5（舍去）∴a n=2•3n﹣1（Ⅱ）由b1=a2，∴b1=2×3=6．b n+1=b n+a n，∴b2=b1+a1=2+6=8．b3=b2+a2=8+6=14．b4=b3+a3=14+18=32．b5=b4+a4=32+54=86．18．在2016年高考结束后，针对高考成绩是否达到了考生自己预期水平的情况，某校在高三部分毕业生内部进行了抽样调查,现从高三年级A、B、C、D、E、F六个班随机抽取了50人,将统计结果制成了如下的表格:班级 A B C D E F抽取人数 6 10 12 12 6 4366 6 4 3 其中达到预期水平的人数（Ⅰ）根据上述表格的数据估计,该校这些班中，哪个班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高？（Ⅱ）若从A班、F班,从抽查到的达到预期水平的所有对象中，再随机选取2名同学进行详细调查，求选取的2人中含有A班同学的概率．【考点】CB:古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分别求出A班、B班、C班、D班、E班、F班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率，从而得到该校这些班中，F班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高．（Ⅱ）A班、F班抽查到的达到预期水平的所有对象有6人,从中抽取2人,基本事件总数n==15，选取的2人中含有A班同学包含的基本事件的个数m==9，由此能求出选取的2人中含有A班同学的概率p（A）．【解答】解：（Ⅰ）A班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（A）=，B班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P(B）=，C班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（C）=，D班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（D)==，E班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P（E）==，F班中学生高考成绩达到自己的预期水平的概率P(F）=,该校这些班中，F班的学生高考成绩达到自己的预期水平的概率较高．（Ⅱ）A班、F班抽查到的达到预期水平的所有对象有6人,从中抽取2人，基本事件总数n==15，选取的2人中含有A班同学包含的基本事件的个数m==9，∴选取的2人中含有A班同学的概率p（A）===．19．如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，BQ∩AC=N,M是棱PC上的一点，PA=PD=4=AD=2BC,CD=2．（Ⅰ）求证:直线MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四棱锥P﹣AQM的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PQ⊥AD,从而PQ⊥平面ABCD,以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN∥平面PAB．(Ⅱ）求出平面PAQ的法向量和，从而求出M到平面PAQ的距离d，四棱锥P﹣AQM的体积V P﹣AQM=V M﹣PAQ,由此能求出结果．【解答】证明：(Ⅰ）∵PA=PD,Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点，QA为x轴,QB为y轴,QP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0）,C(﹣2，2，0），N（0，1，0)，P（0,0，2），M(﹣1，1，），=（1，0，﹣），=（﹣2，2,0），=（﹣2,0，2），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则,取x=，得=（），∵==0，MN⊄平面PAB，∴直线MN∥平面PAB．解：（Ⅱ)平面PAQ的法向量=（0，1，0）,=(﹣1，1，）,M到平面PAQ的距离d===1,S△PAQ===2，∴四棱锥P﹣AQM的体积：V P﹣AQM=V M﹣PAQ==．20．已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）的离心率，且P(0,1)是椭圆C上的点，F是椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点,线段AB的中点为M，O为坐标原点,直线OM的斜率k OM=﹣,求直线l的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3:椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，则b=1，利用椭圆的离心率公式，即可求得a的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式，求得M点坐标，利用直线的斜率公式,即可求得k的值,求得直线l的方程．【解答】解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e==，则a=c，b2=a2﹣c2=c2，由椭圆的焦点在x轴上,由P(0，1）是椭圆上一点,则b=1，c2=1，a2=2,∴椭圆的标准方程:；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F(1，0），设直线AB的方程：y=k（x﹣1），(k ≠0），A(x1，y1），B（x2，y2）,M（x0，y0）,，整理得:（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1﹣1）+k（x2﹣1)=﹣，x0==，y0==﹣，则M(,﹣)，∴直线OM的斜率k OM=﹣=﹣=﹣,解得:k=1，∴直线l的方程：x﹣y﹣1=0．21．已知函数f（x）=x2﹣4x+2(1﹣a）lnx,（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a=2时,求函数f（x）在区间[e,+∞]上的单调性；(Ⅱ）当a＞2时,求函数f（x）在区间［e，+∞］上的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：(1)a=2时，f（x）=x2﹣4x﹣2lnx,f′（x)=2x﹣4﹣=＞0，故f（x）在［e，+∞)递增；(2）f′（x）=2x﹣4+=，令g（x）=（x﹣1）2﹣a，2＜a≤（e﹣1）2时,g（x）≥0，即f′(x）≥0，f（x）在[e,+∞）递增，f（x）min=f（e）=e2﹣4e+2（1﹣a)，a＞（e﹣1)2时,令g（x）＞0,解得：x＞1+,或x＜1﹣(舍）,令g（x）＜0，解得：e＜x＜1+,故f（x）在[e,1+)递减,在（1+，+∞）递增，故f(x)min=f（1+）．选修4—4：坐标系与参数方程22．已知直线l:（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A,B，求｜MA|•｜MB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；(2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1)2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，(5，)在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T,则|MT｜2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB｜=18．选修4—5：不等式选讲23．已知关于x的不等式｜x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1｜有解，记实数m 的最大值为M．(1）求M的值；（2)正数a,b，c满足a+2b+c=M，求证:+≥1．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】(1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：(1)由绝对值不等式得|x﹣2｜﹣｜x+3｜≥≤｜x﹣2﹣(x+3）|=5，若不等式｜x﹣2｜﹣｜x+3|≥｜m+1|有解，则满足|m+1｜≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．(2）由(1）知正数a，b,c满足足a+2b+c=4，即［（a+b)+（b+c)]=1∴+=[(a+b）+（b+c）］（+）=（1+1++）≥（2+2)≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时,取等号．∴+≥1成立．2017年6月21日。

2017年全国奥林匹克数学竞赛决赛解答(成都)1

1 15
乙工效：1÷18＝乙工效：
1 18
1 1 ×（1－40%）＝ 25 25
1 1 ×（1－10%）＝ 18 20
1 1 1 1 x ）÷ ＝（1－ x ）÷ 25 15 20 18 1 1 1 1 x＝－ x － 18 450 15 300
x＝10
答：在施工期间共有 10 天雨天。 15.（此题为解答题，简写出解题过程）有一个空的蓄水池，装有一个进水管和一个出水管。如果单独开进水管，2 小时可以将空池注满：如果单独开水管，3 小时可以将填满池水放完。现在按进水管开 1 小时、出水管开 1 小时、进水管开 1 小时、出水管开 1 小时、进水管开 1 小时、出水管开 1 小时……，进水管和出水管不能同时打开，只能按照这样的顺序轮流被打开。那么将蓄水池里的水蓄满至少要________个小时。【答案】7 【解析】进水管工效：1÷2＝一个周期工作量：
9.如图，三角形 ABC 的面积为 1，且 AD=BD,CE=2BE。那么，四边形 DBEF 的面积等于_______。
【答案】：
7 30 43 7 7 7 ， 1× 。 3 3 12 12 30 30 30
【解析】：连接 BF，设△BFD=3,则△AFD=3，则△AFB=6。因为 CE=2BE，则△ACF=6×2=12.又因为 AD=BD，则△BCF=12，则△BEF=12÷（2+1）×1=4. 则四边形 DBa 31b 能被 33 整除。那么， a b 的最大值是_____。【答案】14 4.小华每月的 1 号将 2000 元存入银行，月利率为 0.5%，如果不计复利（利息不再产生利息），存足一年时，小华的本息和为_____元。【答案】24780

2017全国大学生数学建模竞赛---D题解析

算，估计出一个下界即可。
这些问题，提供不同的参数，选择你
喜欢的算法。
问题分析 —— 问题1的求解
2.2 问题1的求解
现知道每个班需要5名工人，所以需要将巡视点划分成5个区域，每个区域最多包含6个点，最少也要有4 个点，其目的是保证每个区域的工作
点则少安排一些。为了完成这种需求
的安排，需要计算从22号点至其余各
问题3 —— 上班时间
因此，得到如下的排班方法：第
如果第1名工人在第一轮巡视后，休息5分钟，那么他要在10:20开始第二轮的巡视，与第一轮巡视的第4名
1名工人在8:00开始巡视（上班或换
班），第2名工人则在8:35开始巡视，第3名是9:10，第4名是9:45。而每位工人都走最优的旅行商路线。注意到，每名巡视工人的间隔时
点的最短路，这项工作可用Dijkstra （戴克斯特拉）算法完成。当然，也不需要自己编程计算，直接调用R软件的shortest.paths()
量（巡视时间）尽量平衡。
由于题目要求，每位工人均从22
函数和get.shortest.paths()函数
（见[2]）就可完成此问题，所绘图形如图3所示。
巡检线路的排班
——2017年D题讲评
主讲人：北京工业大学薛毅 Email: xueyi@
2017全国数学建模讲评会云南、昆明 2017年11月25日
巡检线路的排班——2017年D题讲评
• 题目 • 问题分析及问题1的求解
• 问题2的求解 • 问题3的求解 • 阅卷情况简述
工人的巡视时间间隔正好相差35分钟。
第2名工人第二轮巡视的开始时间是 10:55，与第1名工人相差35分钟，以此类推。由上述推导可知，4名工人足够满

2017年全国高中数学联赛四川赛区预赛

ｉ＋｝≥２／＞２，／９１＞１９
ｉ＋ ≥ ２０．
类似地，＋Ｚ＞１２√ １＞２￣／１０１＞２０．因此，ｉ＋．＋＋ＺＩ＞４１．利用抽屉原理，知必有一行或一列，同时含有两个集合中的各一个数．命题得证．综上，Ｆｔ＝２０９．
（黄淑祥提供）
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小等数学
２０１７年全国高中数学联赛四川赛区预赛
中图分类号：Ｇ４２４．７９文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１８题（每小题５分，共３０分）１．已知函数．厂（）＝ａｌｎ＋在：１处有极值．则实数ａ的值为（）．（Ａ）一２（Ｂ）一１（Ｃ）１（Ｄ）２２．已知Ｏ／、 ∈ （０，丌），ｔａｎＯ／、ｔａｎ为方程＋３＋１＝０的两个根．则ＣＯＳ（一）的值为（）．
１４．先将原方格表分为２０×１０的两个矩形表格，再将１到２００依次逐行按照从小到大的顺序填人左侧表格．类似地，将２０１到４００填人右侧表格．则在此表格中，每行中任两数之差不大于２０９，每列中任两数之差不大于１９０，故ｎ￣＜２０９．
（Ａ）（０，１）（Ｂ）（０，１）
ｃｃ）ｃ。）
５．在 △ ＡＢＣ中，ＡＢ·ＢＣ＝３ＣＡ·ＡＢ．则
｝｝ —
—
ｌ— ｝ｌ
Ｃ１＋｝ＡＢ；
— 』—上—＿Ｌ的最大值为（
）．
１ＢＣｌ
（Ａ）（Ｂ）
（ｃ）２（Ｄ）
６．已知数列｛ａ｝满足ａ＝（√ｌ２＋１）一（、／２—１）（ ∈ Ｎ）．

2023西部数学竞赛第一题

2023西部数学竞赛第一题2023西部数学竞赛已经拉开帷幕，吸引了众多数学爱好者参与。

本文将针对此次竞赛的第一题进行详细解析，帮助参赛者更好地理解和掌握题目要求。

题目：2023西部数学竞赛第一题题目描述：已知正整数a、b、c满足以下条件：1.a、b、c是三个连续的奇数；2.a、b、c的立方和为3倍a、b、c的和。

求证：a、b、c的值分别为1、3、5。

解题过程：1.首先，根据题目条件，我们可以设a为最小的奇数，那么b=a+2，c=a+4。

因为a、b、c是连续的奇数，所以它们之间的差值为2。

2.根据题目条件，我们可以列出以下等式：a^3 + b^3 + c^3 = 3(a + b + c)将a、b、c的关系代入等式，得到：a^3 + (a+2)^3 + (a+4)^3 = 3(a + (a+2) + (a+4))3.对等式进行展开和化简：a^3 + (a^3 + 12a^2 + 48a + 64) + (a^3 + 24a^2 + 96a + 64) = 9a + 183a^3 + 36a^2 + 144a + 128 = 9a + 183a^3 + 36a^2 + 135a + 110 = 04.对上述方程进行因式分解：(a+5)(3a^2 + 33a + 22) = 05.解得a=-5或a=-2/3。

由于a为正整数，我们舍去a=-2/3这个解。

6.因此，a=1，代入b=a+2和c=a+4，得到b=3和c=5。

综上所述，我们证明了a、b、c的值分别为1、3、5。

总结：本题主要考察了参赛者对连续奇数及其立方和的理解，以及因式分解和化简方程的能力。

通过以上解析，希望参赛者能够更好地掌握此类题目的解题方法。