2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛

1.设素数p 、正整数n 满足()2

2

1

1n

k p k

=+∏.证明：2p n <.

1.按照

()2

1

1n

k k

=+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论.

（1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2

2

1p

k

+，则221p n ≤+.

于是，2p n ≤

<.

（2）若对任意的()1k k n ≤≤，()2

2

1p

k

+，

由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且()2

1p k +. 则(

)22

p k j

-.

于是，|()()p k j k j -+.

当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <.

2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12

12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最

大可能值.

2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得

1n

i

i x

n =≥∑，所以：1

100n

i i x =≤∏

又等号无法成立，则

1

99n

i

i x

=≤∏

而

()()()1

1

1111111n n

n

n

i

i

i

i

i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏

则

1

1

198n

n

i

i

i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)

10099989702n n n ⇒+⇒≤⨯=

取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

3.如图1，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，设ABD ACD ∆∆、的内心分别为12,I I ，12,AI D AI D ∆∆的外心分别为12O O 、，直线12I O 与21I O 交于点P .证明：PD BC ⊥.

3.由1111O A O I O D ==及内心的性质，知1O 为ABD ∆外接圆弧AD 的中点.

如图2，延长12,BI DI 交于点1J ，

则1J 为ABD ∆中B ∠内的旁心，且1O 为11I J 的中点 类似地，延长12,DI CI 交于点2J ，则2J 为ACD ∆ 中C ∠内的旁心，且2O 为22I J 的中点

过点D 作DP BC '⊥.只需证明12I O 、21I O 、DP '三线共点 对12DI I ∆用角元塞瓦定理，只需证明：

212121

121221

sin sin sin 1sin sin sin P DI DI O O I I P DI O I I DI O '∠∠∠⋅⋅='∠∠∠ 事实上，由2222O J O I =，知212212O I J O I I S S ∆∆=，

则

212

21212212121212

212212121212

2sin sin 2sin sin O I J o I I S DI O O I J I J I O I I S O I I O I I I J I I I O ∆∆∠∠===∠∠⋅⋅

同理：12121

2112

sin sin O I I I J DI O I I ∠=∠，又2211sin cos sin cos P DI CDI P DI BDI '∠∠='∠∠

所以只需证明：

212

121

cos 1cos I J CDI I J BDI ∠=∠

即2112I J I J 、在边BC 上的投影长度相同.

如图3，设1212,,I I J J ，在边BC 上的投影分别为1212,,,H H K K

则2112H K DK DH =-

11

()()22

1

()2

AB AD BD AD CD AC AB AC BC =+--+-=+-

同理：121

()2

H K AB AC BC =

+- 所以：2112H K H K =，命题得证

4、给定整数(),2n k n k ≥≥，甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n n ⨯的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行.如果某个人染色后，每个k k ⨯的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束,此人获胜.问谁有必胜策略?

4、解将方格纸按从上到下标记行，从左到右标记列.

若21n k ≤-，则甲将第k 行第k 列的小方格染为黑色后，每个k k ⨯正方形中至少有一个黑格，因此甲获胜.

下面假设2n k ≥，我们证明当n 为奇数时，甲存获胜策略；当n 是偶数时，乙有获胜策略.

对于一个已经有若干个方格染为黑色的局面：如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为奇数，我们称其为“好局面”；如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为偶数，称其为“坏局面”.

我们证明当某人面对好局面时，他有获胜策略^

假设甲面对好局面，他先取定两个不相交的k k ⨯正方形A 和B ，其中都是白格，由于白格总数为奇数，可选取不在,A B 中的另一个白格，将它染为黑色，此时白格总数为偶数，且,A B 中仍然都是白格，因此变为一个坏局面

轮到乙面对坏局面，如果他染色后.仍有两个不相交的k k ⨯正方形中都 是白格，此时白格总数是奇数，又回到好局面；如果他染色后，不存在两个不相交的k k ⨯正方形，注意到此时至少有一个全白格的

k k ⨯正方形，设1,,m A A 是所有全白格k k ⨯正方形，则它们两两相交，故必包含于某个()()2121k k -⨯-的正方形S ，因此S 的中心方格P 是1,,m A A 的公共格，这样甲将P 染为黑色后，所有k k ⨯正方形中都含有黑格，于是甲获胜.

总之，当某人面对好局面时，他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对好局面，而游戏必在有限步