13第十三讲 对数函数(教师版)

第一课时：对数函数

知识点一 对数函数的概念

思考 已知函数y ＝2x ，那么反过来，x 是否为关于y 的函数？

答案 由于y ＝2x 是单调函数，所以对于任意y ∈(0，＋∞)都有唯一确定的x 与之对应，故x 也是关于y 的函数，其函数关系式是x ＝log 2y ，此处y ∈(0，＋∞).

梳理 一般地，我们把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

知识点二 对数函数的图象与性质

思考 y ＝log a x 化为指数式是x ＝a y .你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？

答案 当a ＞1时，若0＜x 1＜x 2，则12y y a a ，解指数不等式，得y 1＜y 2从而y ＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数.

当0＜a ＜1时，同理可得y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数.

梳理 类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：

定义 y

＝

log a x (a >0，且a ≠1)

底数

a >1

0

图象

定义域 (0，＋∞)

值域

R

第十三节 对数函数 基本不等式

类型一 对数函数的概念

例1 已知对数函数y

＝f (x )过点(4,2)，求f ⎝⎛⎭⎫12及f (2lg2

).

解 设y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则2＝log a 4，故a ＝2，即y ＝log 2x ，因此f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212

＝－1，f (2lg 2)＝log 22lg 2＝lg 2.

反思与感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法

判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： ①系数为1.

②底数为大于0且不等于1的常数. ③对数的真数仅有自变量x .

跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由. (1)y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)； (2)y ＝log 2x －1；

(3)y ＝log x a (x ＞0，且x ≠1)； (4)y ＝log 5x .

解 ∵(1)中真数不是自变量x ， ∴不是对数函数；

∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数； ∵(3)中底数是自变量x ，而非常数a ，

∴不是对数函数. (4)为对数函数.

类型二 对数函数的定义域的应用 例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x ).

解 (1)由⎩

⎪⎨⎪⎧

3－x >0，

3＋x >0，得－3

∴函数的定义域是{x |－30，得4x <16＝42， 由指数函数的单调性得x <2，

∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为{x |x <2}. 引申探究

1.把例2(1)中的函数改为y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，求定义域.

解 由⎩⎪⎨⎪⎧

x －3>0，

x ＋3>0，

得x >3.

∴函数y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)的定义域为{x |x >3}.

2.求函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？

解 (x ＋3)(x －3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋3<0，x －3<0，

解得x <－3或x >3.

∴函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域为{x |x <－3或x >3}.

相比引申探究1，函数y ＝log a [(x ＋3)(x －3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y ＝log a [(x ＋3)·(x －3)]，要使对数有意义，只需(x ＋3)与(x －3)同号，而对于y ＝log a (x －3)＋log a (x ＋3)，要使对数有意义，必须(x －3)与(x ＋3)同时大于0.

反思与感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意

真数底数的取值范围是否改变. 跟踪训练2 求下列函数的定义域. (1)y ＝x 2－4

lg (x ＋3)；

(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )； (3)y ＝log (3x －1)(2x ＋3).

解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2－4≥0，

x ＋3>0，

x ＋3≠1，

即⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤－2或x ≥2，

x >－3，x ≠－2，

即－3

故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞). (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪

⎧ 16－4x

>0，

x ＋1>0，

x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪

⎧

x <2，

x >－1，x ≠0，

所以－1

故所求函数的定义域为{x |－1

⎧

2x ＋3>0，3x －1>0，

3x －1≠1，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x >－32

，

x >1

3，

x ≠23，

所以x >13且x ≠2

3

，

故所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎫13，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞.