考研数学核心知识点总结
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考研数学复习必备
考研数学核心知识点总结
（包含高数、线代及概率部分）
适合基础复习及考前冲刺
总结全面到位，重点突出
一. 函数的概念 1．用变上、下限积分表示的函数 （1） y = （2）y = 连续， 则
公式 1． lim
x →0
sin x =1 x
n u
dy ∫ f (t )dt ，其中 f (t ) 连续，则 dx = f (x )
n→∞
（2） x 变化过程中， f ′( x ) ， g ′( x ) 皆存在 （3） lim
f ′( x ) = A （或 ∞ ） g ′( x )
则 lim
f (x ) = A （或 ∞ ） g (x ) f ′( x ) 不存在且不是无穷大量情形， 则 g ′( x )
（2）若 x n +1 ≥ x n （ n 为正整数）又 x n ≤ M （ n 为正 整数） ，则 lim x n = A 存在，且 A ≤ M
x
x2 xn +Λ + + 0 xn n! 2!
( )
( )
（1） l = 0 ，称 f ( x ) 是比 g ( x ) 高阶的无穷小，记以
sin x = x −
f ( x ) = 0[g ( x )] ，称 g ( x ) 是比 f ( x ) 低阶的无穷
小。 （2） l ≠ 0 ，称 f ( x ) 与 g ( x ) 是同阶无穷小。 （ 3 ） l = 1 ，称 f ( x ) 与 g ( x ) 是等价无穷小，记以
法则 2． （
∞ 型） 设 （1）lim f ( x ) = ∞ ，lim g ( x ) = ∞ ∞
（2） x 变化过程中， f ′( x ) ， g ′( x ) 皆存在
考研数学知识点-高等数学
（3） lim
f ′( x ) = A （或 ∞ ） g ′( x )
值，如果对于区间 [a, b] 上的任一点 x ，总有 f ( x ) ≤ M ， 则称 M 为函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的最大值。 同样可以定义最 小值 m 。 定理 3． （介值定理）如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上 连续， 且其最大值和最小值分别为 M 和 m ， 则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c ，在 [a, b] 上至少存在一个 ξ ，使 得
x 0
∫ϕ ( ) f (t )dt ，其中 ϕ (x ) ，ϕ (x ) 可导，f (t )
1
ϕ2 (x )
x
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 公 式 2 ． lim⎜1 + ⎟ = e ； lim⎜1 + ⎟ = e ； n →∞ u → ∞ ⎝ n⎠ ⎝ u⎠
lim(1 + v ) v = e
v →0 1
1
则 lim
f (x ) = A （或 ∞ ） g (x )
7．利用导数定义求极限
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′( x 0 ) [如果 基本公式： lim ∆x → 0 ∆x
存在] 8．利用定积分定义求极限 基本公式
f (ξ ) = c
[如果存在] 推论：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号，则在 (a, b ) 内至少存在一个点 ξ ，使得
x0 处的左、右极限都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的第一类间断
n→∞
（注： 如果 lim
准则 2． （夹逼定理）设 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) 若 lim g ( x ) = A ， lim h( x ) = A ，则 lim f ( x ) = A 3．两个重要公式
不能得出 lim
f (x ) 不存在且不是无穷大量情形） g (x )
(1+ x) α =1+αx + α(α −1) x2 +Λ + α(α −1)Λ [α − (n −1)] xn + 0(xn )
2! n!
6．洛必达法则 法则 1． （
1 − cos x ~
1 2 x ， e x − 1 ~ x ， ln (1 + x ) ~ x ， 2
(1 + x ) α
− 1 ~ αx
2
dy ′ ( x ) − f [ϕ 1 (x )]ϕ 1 ′ (x ) = f [ϕ 2 ( x )]ϕ 2 dx
f (x ) =l g (x )
2．两个无穷小的比较 设 lim f ( x ) = 0 ， lim g ( x ) = 0 ，且 lim
Βιβλιοθήκη Baidu
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 当 x → 0 时， e = 1 + x +
x3 x5 x 2 n +1 n + + Λ + (− 1) + 0 x 2 n +1 (2n + 1)! 3! 5!
2n x2 x4 n x + − Λ + (− 1) + 0 x 2n (2n )! 2! 4!
cos x = 1 −
( )
ln (1 + x ) = x −
n x2 x3 n +1 x + − Λ + (− 1) + 0 xn n 2 3
0 型）设（1） lim f ( x ) = 0 ， lim g ( x ) = 0 0
二．求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则 准则 1．单调有界数列极限一定存在 （1）若 x n +1 ≤ x n （ n 为正整数）又 x n ≥ m （ n 为正 整数） ，则 lim x n = A 存在，且 A ≥ m
lim
1 ⎛k⎞ 1 f ⎜ ⎟ = ∫ f ( x )dx ∑ 0 n→∞ n k =1 ⎝ n ⎠
n
三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 x0 是函数 y = f ( x ) 的间断点。如果 f ( x ) 在间断点
f (ξ ) = 0
这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表
( ) ( )
f (x ) ~ g (x )
3．常见的等价无穷小 当 x → 0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arctan x ~ x
2 n +1 x3 x5 n +1 x arctan x = x − + − Λ + (− 1) + 0 x 2 n +1 3 5 2n + 1
考研数学核心知识点总结
（包含高数、线代及概率部分）
适合基础复习及考前冲刺
总结全面到位，重点突出
一. 函数的概念 1．用变上、下限积分表示的函数 （1） y = （2）y = 连续， 则
公式 1． lim
x →0
sin x =1 x
n u
dy ∫ f (t )dt ，其中 f (t ) 连续，则 dx = f (x )
n→∞
（2） x 变化过程中， f ′( x ) ， g ′( x ) 皆存在 （3） lim
f ′( x ) = A （或 ∞ ） g ′( x )
则 lim
f (x ) = A （或 ∞ ） g (x ) f ′( x ) 不存在且不是无穷大量情形， 则 g ′( x )
（2）若 x n +1 ≥ x n （ n 为正整数）又 x n ≤ M （ n 为正 整数） ，则 lim x n = A 存在，且 A ≤ M
x
x2 xn +Λ + + 0 xn n! 2!
( )
( )
（1） l = 0 ，称 f ( x ) 是比 g ( x ) 高阶的无穷小，记以
sin x = x −
f ( x ) = 0[g ( x )] ，称 g ( x ) 是比 f ( x ) 低阶的无穷
小。 （2） l ≠ 0 ，称 f ( x ) 与 g ( x ) 是同阶无穷小。 （ 3 ） l = 1 ，称 f ( x ) 与 g ( x ) 是等价无穷小，记以
法则 2． （
∞ 型） 设 （1）lim f ( x ) = ∞ ，lim g ( x ) = ∞ ∞
（2） x 变化过程中， f ′( x ) ， g ′( x ) 皆存在
考研数学知识点-高等数学
（3） lim
f ′( x ) = A （或 ∞ ） g ′( x )
值，如果对于区间 [a, b] 上的任一点 x ，总有 f ( x ) ≤ M ， 则称 M 为函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的最大值。 同样可以定义最 小值 m 。 定理 3． （介值定理）如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上 连续， 且其最大值和最小值分别为 M 和 m ， 则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c ，在 [a, b] 上至少存在一个 ξ ，使 得
x 0
∫ϕ ( ) f (t )dt ，其中 ϕ (x ) ，ϕ (x ) 可导，f (t )
1
ϕ2 (x )
x
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 公 式 2 ． lim⎜1 + ⎟ = e ； lim⎜1 + ⎟ = e ； n →∞ u → ∞ ⎝ n⎠ ⎝ u⎠
lim(1 + v ) v = e
v →0 1
1
则 lim
f (x ) = A （或 ∞ ） g (x )
7．利用导数定义求极限
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f ′( x 0 ) [如果 基本公式： lim ∆x → 0 ∆x
存在] 8．利用定积分定义求极限 基本公式
f (ξ ) = c
[如果存在] 推论：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号，则在 (a, b ) 内至少存在一个点 ξ ，使得
x0 处的左、右极限都存在，则称 x0 是 f ( x ) 的第一类间断
n→∞
（注： 如果 lim
准则 2． （夹逼定理）设 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) 若 lim g ( x ) = A ， lim h( x ) = A ，则 lim f ( x ) = A 3．两个重要公式
不能得出 lim
f (x ) 不存在且不是无穷大量情形） g (x )
(1+ x) α =1+αx + α(α −1) x2 +Λ + α(α −1)Λ [α − (n −1)] xn + 0(xn )
2! n!
6．洛必达法则 法则 1． （
1 − cos x ~
1 2 x ， e x − 1 ~ x ， ln (1 + x ) ~ x ， 2
(1 + x ) α
− 1 ~ αx
2
dy ′ ( x ) − f [ϕ 1 (x )]ϕ 1 ′ (x ) = f [ϕ 2 ( x )]ϕ 2 dx
f (x ) =l g (x )
2．两个无穷小的比较 设 lim f ( x ) = 0 ， lim g ( x ) = 0 ，且 lim
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4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 当 x → 0 时， e = 1 + x +
x3 x5 x 2 n +1 n + + Λ + (− 1) + 0 x 2 n +1 (2n + 1)! 3! 5!
2n x2 x4 n x + − Λ + (− 1) + 0 x 2n (2n )! 2! 4!
cos x = 1 −
( )
ln (1 + x ) = x −
n x2 x3 n +1 x + − Λ + (− 1) + 0 xn n 2 3
0 型）设（1） lim f ( x ) = 0 ， lim g ( x ) = 0 0
二．求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则 准则 1．单调有界数列极限一定存在 （1）若 x n +1 ≤ x n （ n 为正整数）又 x n ≥ m （ n 为正 整数） ，则 lim x n = A 存在，且 A ≥ m
lim
1 ⎛k⎞ 1 f ⎜ ⎟ = ∫ f ( x )dx ∑ 0 n→∞ n k =1 ⎝ n ⎠
n
三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 x0 是函数 y = f ( x ) 的间断点。如果 f ( x ) 在间断点
f (ξ ) = 0
这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表
( ) ( )
f (x ) ~ g (x )
3．常见的等价无穷小 当 x → 0时 sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arctan x ~ x
2 n +1 x3 x5 n +1 x arctan x = x − + − Λ + (− 1) + 0 x 2 n +1 3 5 2n + 1