第三章_时域分析方法

h(t ) = k ( )d
0
t
ct (t ) = h( )d
0
15
t
四、阶跃响应的性能指标
h(t )
h( t p )
1
误差带
t 0
tp
ts
16
1、峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值 而达到第一个峰值所需的时间。 2、超调量％：指h(t)中对稳态值的最大超 出量与稳态值之比。
14
4.三种响应之间的关系 由式(3-1-3)可将式(3-1-1)和式(3-1-2)写为： 1 1 H ( s ) = ( s ) = K ( s ) s s 1 1 1 Ct (s) = ( s) 2 = K ( s) 2 = H ( s) s s s 相应的时域表达式为
取C(s)拉氏反变换得：
1 h(t ) = 1 e T2 / T1 - 1
-
1 t T1
1 e T1 / T2 - 1
-
1 t T2
, (t 0) (3 - 1 - 4)
36
过阻尼系统分析



衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝 对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的 离虚轴近，衰减速度慢； 衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有 振荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影 响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产 生的影响小，有时甚至可以忽略不计。
3 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳 定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数 计算、分析。
2
返回子目录
4 正确理解稳态误差的概念，明确终值定理 的应用条件。 5 熟练掌握计算稳态误差的方法。
6 掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
3
控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制 系统的基础，经典控制论中三种分析（时域， 根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法， 都是建立在这个基础上的。
s1=s2=-n
31
⑷特征根分析— > 1（过阻尼）
s1,2 = -n n 2 - 1

此时s1,s2 为两个负 实根，且 位于复平 面的负实 轴上。
32
⑤特征根分析— = 0 （零阻尼）
s1,2 = -n n 2 - 1 = jn


此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。 S1,2= jn
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0 2. 快速性ts：
t = 3T时，c( t ) = 0.95 [对应5%误差带] t = 4T时，c( t ) = 0.98 [对应2%误差带]
3.准确性 ess：
ess = 1 - c( ) = 0
23
举例说明（一阶系统）

1.
2.
3.
一阶系统如图所示， 试求： 当KH＝0.1时，求系 统单位阶跃响应的调 节时间ts，放大倍数 K，稳态误差ess； 如果要求ts＝0.1秒， 试问系统的反馈系数 KH应调整为何值？ 讨论KH的大小对系 统性能的影响及KH 与ess的关系。
R(s ) B (s )
E (s ) 100 100 s s
KH H
C (s )
看懂例题3-1并回答上述各题
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
25
二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
d c(t ) dc(t ) 2 2 2n n c(t ) = n r (t ) dt 2 dt
37
过阻尼系统单位阶跃响应
c(t)
0
t
38
与一阶系统阶跃响应的比较
c(t)
1
一阶系统响应
二阶过阻尼系统
0
t
39
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
1.误差e ss = lim[ r ( t ) - c( t )] = 0
t
2.响应没有振荡 ％ = 0
对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论 t s ， 它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快 速性的一个方面，但确定 t s 的表达式是很困难的， 一般根据（3－1－4）取相对量 ts / T1 及 T1 / T2 经计算 机计算后制成曲线或表格。
40
wk.baidu.com
2.欠阻尼 (0 < < 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2 n C (s) = 2 2 R ( s ) s 2 n s n
s1,2 = -n jn 1 - 2
= - j d
= n为根的实部的模值；
d = n 1 - 2 为阻尼振荡角频率
2 n
28
二阶系统的特征方程为
s 2n s = 0
2 2 n
解方程求得特征根： s1,2 = - n n 2 - 1
s1,s2完全取决于 ，n两个参数。
当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：
c(t ) = A0 A1e A2e
s1t
s2t
式中 A0 , A1 , A2 为由r(t)和初始条件确定的待定的 系数。
下面根据上图来分析系统的结构参数 、 n 对阶 跃响应的影响
• 平稳性（％）
暂态分量的振幅为：A = e -nt 1- 2

振荡角频率为： d = n 1 - 2
结论： 越大，ω d越小，幅值也越小，响应的 振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小， ω d 越大，振荡越严重，平稳性越差。
北京航空航天大学 4
3－1 时域分析基础
一、时域分析法的特点 它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系 统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线 来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这 些性能之间的关系。 这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统 时间响应的全部信息。
返回子目录
5
33
0 ⑥特征根分析— -1 < <（负阻尼）
s1,2 = -n jn 1 - 2

此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
34
⑦特征根分析— < -1（负阻尼）
s1,2 = -n n 2 - 1

此时s1,s2为 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
2
( n > 0)
-阻尼比
n - 无阻尼振荡频率
26
二阶系统的反馈结构图
R(s )
n22 n s( s 2nn)) s ( s 2
C (s )
27
二阶系统的传递函数
开环传递函数：
G ( s) =

s ( s 2n )
2 n
闭环传递函数：
C (s) = 2 2 R ( s ) s 2n s n
第3章
时域分析法
基本要求
3－1 时域分析基础
3－2 一、二阶系统分析与计算
3－3 系统稳定性分析
3－4 稳态误差分析计算
返回主目录
1
基本要求 1 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响 应的特点。熟练计算性能指标和结构参数， 特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动 态性能的计算方法。
2
了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。
3、调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态 值附近5%h()或2%h()误差带，而不再超 出的最小时间。
4、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之 差。
17
注意事项：
%, t s 及ess三项指标是针对阶跃响 应
而言的，对于非阶跃输 入，则只有 稳态误差ess , 而没有％和t s。
20
一阶系统单位阶跃响应
输入：
r ( t ) = 1( t )
1 R( s ) = s
1 1 Ts 1 s
输出： C ( s ) = ( s ) R( s ) =
C (t ) = 1 - e
-
t T
21
单位阶跃响应曲线
初始斜率： dh(t ) |t =0 = 1 dt T
22
性能指标
35
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼 ( > 1) 二阶系统的单位阶跃响应
1 1 1 C ( s) = = ( s - s1 )( s - s2 ) s (T1s 1)(T2 s 1) s
2 n
s1 = -n n 2 - 1 = -1/ T1
s2 = -n - n 2 - 1 = -1/ T2
其拉氏变换为：
L[ f ( t )] = F ( s ) = 1 定义： d ( t )dt = 1
-
图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是 不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结 果。
9
④正弦函数
其数学表达式为： sin ωt t0 f (t ) = t<0 0 其拉氏变换为： = F ( s ) = sin ω t e - st dt = L[ f ( t )]
(3 - 1 -1)
故
h(t ) = L
-1
H ( s)
12
2. 单位斜坡响应 定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响 应，常用ct (t )表示。 则有
1 Ct ( s) = ( s) R( s) = ( s) 2 s
(3 - 1 - 2)
故
ct (t ) = L-1 Ct ( s )
29
①特征根分析— 0 < < 1 （欠阻尼）
s1,2 = -n s jn 1 -

2
此时s1,s2为 一对共轭复 根，且位于 复平面的左 半部。
30
②特征根分析— = 1（临界阻尼）
s1,2 = -n n 2 - 1 = -n

此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
18
3－2 一、二阶系统分析与计算
一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应

定义： 由一阶微分方程描述的系统称为一阶 系统。
返回子目录
19
一阶系统数学模型
微分方程：
dc( t ) T c( t ) = r ( t ) dt
R(s )
动态结构图：
1 Ts
C (s )
传递函数： C ( s )
1 = R( s ) Ts 1
二、典型初始状态，典型外作用 1. 典型初始状态
通常规定控制系统的初始状态为零状态。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相 对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状 态。
6
2. 典型外作用
①单位阶跃函数1(t) f(t)
其数学表达式为： 1 t 0 f ( t ) = 1( t ) = t <0 0 其拉氏变换为： = F ( s ) = 1 e - st dt = L [ f ( t )]
0
f(t)
ω 2 ω2 s
10
三、典型时间响应
初状态为零的系统，在典型输入 作用下输出量的动态过程，称为 典型时间响应。
11
1. 单位阶跃响应 定义：系统在单位阶跃输入[r(t)=1(t)]作用下的响应， 常用h(t)表示。 若系统的闭环传函为( s) ， 则h(t)的拉氏变换为
H ( s ) = ( s ) R( s ) = ( s ) 1 s
13
3. 单位脉冲响应 定义：系统在单位脉冲输入 r(t)=δ(t) 作用下的响应，常用k(t)表示。 则有
K (s) = (s) R(s) = (s) 1 = (s)
k (t ) = L-1 K ( s) = L-1 ( s ) 故
(3 - 1 - 3)
注：关于正弦响应，将在第五章里讨论

1- 2
(sin d t )]
1 1-
2
e -nt sin(d t arccos )
42
二阶欠阻尼系统输出分析

二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态 分量和暂态分量组成。稳态分量值等于 1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为 ωd。
43
下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。
44
0
0 1 s
t
7
②单位斜坡函数 其数学表达式为： t f ( t ) = t . 1( t ) = 0 其拉氏变换为：

f(t)
t 0 t <0
0
- st
1 L [ f ( t )] = F ( s ) = t e dt = 2 s 0
t
8
③单位脉冲函数
其数学表达式为： 0 t0 f (t ) = d (t ) = t =0
41
二阶欠阻尼系统的输出
2 n 1 c( s ) = 2 2 s 2n s n s
s n n 1 = 2 2 2 s ( s n ) d ( s n ) 2 d
拉氏反变换得：
c(t ) = 1 - e
c(t ) = 1 -
-n t
[cos d t