黑龙江省哈三中2020届高三数学第五次模拟考试试题理【含答案】

黑龙江省哈三中 2020 届高三数学第五次模拟考试试题 理
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效， 在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
龄政策”的支持度有差异；
.................................................................................. ............5 分
（2）由题意可知抽取的这 8 人中，44 岁以下的有 6 人，44 岁以上的有 2 人，..........6
9 D． 2
4． 设 a log2 3 ， b log1 2 ， c 0.42 ，则 a, b, c 的大小关系是
3
A． a b c
B． b a c
C． a c b
D． c a b
5． 将函数 y sin 2x 的图象向左平移 6 个单位长度后得到曲线 C1 ，再将 C1 上所有点的横
为
28 7
28 2 ．................................................
则 2sin( A B) sin A 2sin B cos A ，则
2sin Acos B sin A ,在 ABC 中, sin A 0 ,所以 cos B 1 ,…………………………4 分 2
则 B ……………………………………………………………………………..………6 分 3
（2）由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B ,
5
15
28
17
（1）由以上统计数据填 2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下
认为以 44 岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？
44 岁以下
44 岁及 44 岁以上
总计
支持
不支持
总计
（2）若以 44 岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参 加政策听证会，现从这 8 人中随机抽 2 人．记抽到 44 岁以上的人数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望．
K2
n(ad bc)2
参考公式：
(a b)(c d )(a c)(b d ) ．
P K 2 k0
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
19．(本小题满分 12 分)
如图①，在平面五边形 ABCDE 中， ABCD 是梯形，
AD // BC ， AD = 2BC = 2 2 ， AB 3 ， ABC 90 ， ADE 是等边三角
分
根据题意，X 的可能取值是
0，1，2,..........................................................................
........7 分
PX
计算
0
C62 C82
15 28
，
PX
1
C61 C21 C82
3 7
PX
，
2
C22 C82
3
EB
20．(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F 是椭圆 x 2 y 2 1的一个焦点． 43
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2） 设 P, M , N 为抛物线 C 上的不同三点，点 P(1, 2) ，且 PM PN ．求证： 直线 MN 过定点．
a 1 b1
数学试卷（理工类）答案及评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A
D
C
C
A
B
C
A
A
D
C
B
二、填空题：
13. y 3x
14. 77
15. 36
16. (0,1)
三、解答题：
17. （1）由题知 2 sin C sin A 2 sin B cos A ，………………………………….……2 分
形．现将 ADE 沿 AD 折起，连接 EB ， EC 得如图②的几何体．
D C
E
M
E
D
C
B A
图①
B A
图②
（1）若点 M 是 ED 的中点，求证： CM //平面 ABE ； （2）若 EC 3 ，在棱 EB 上是否存在点 F ，使得二面角 E AD F 的余弦值为
22
EF
？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
在直角坐标系
xOy
中，直线 l
的参数方程为
x
y
1 t cos 1 t sin
（ t 为参数， 0
），
以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
(1 cos 2 ) 8cos ．
（1） 求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 在 x 轴正半轴及 y 轴正半轴截距相等时的直角
44 岁及 44 岁以上 45 5
总计 80 20
总计
50
50
100
k0
计算观测值
100 (35 5 4515)2 50 5080 20
25 4
6.25 3.841
，
..................................4 分
所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 44 岁为分界点的不同人群对“房产限购年
第 I 卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1． 已知复数 z1 a 3i, z2 2 i(i 为虚数单位 ) ，若 z1z2 是纯虚数，则实数 a
3 A． 2
3 B． 2
C． 3
“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作
者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、
生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有
种辅导方案．
16．设 f '(x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导数，当 x 0 时， f (x) f '(x) x ln x 0 ，则不等
控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”
的态度，在年龄为 20 60 岁的人群中随机调查 100 人，调查数据的频率分布直方图和
支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：
年龄
[20,28)
[28,36)
[36,44)
[44,52)
[52,60)
支持的人数
15
为 a,b, c ．满足 2c a 2b cos A ．
频率 组距
0.0375 0.0250 0.0125
O 20 28 36 44 52 60 年龄
（1）求 B ；
（2）若 a c 5,b 3 ，求 ABC 的面积．
18．(本小题满分 12 分)
为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调
1 28
，.....................................
................................................................10 分
可得随机变量 X 的分布列为：
X
0
1
wk.baidu.com
2
P
18
3
1
25
7
28
故数学期望
E（X） 0 15 1 3 2 1 1
坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2 ，则 C2 的解析式为
y sin(x )
A．
3
y sin(x )
B．
6
y sin(x )
C．
3
y sin(4x )
D．
3
6． 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计
数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母
亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同
式 (x 1) f (x) 0 的解集为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．(本小题满分 12 分)
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别
绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天
数是
A． 27
B． 42
C． 55
D． 210
7．
设公比为 3 的等比数列{an }前 n 项和为 Sn ，且 S3
1 3 ，则 a5
a6
a7
A． 3
B． 9
C． 27
8． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是
D． 81
上底为 1，下底为 2，高为 1 的直角梯形，俯视图为四
从而得 9 a2 c2 ac (a c)2 3ac ，…………………………….…………………9 分
又 a c 5 ，所以 ac 16 ，所以 ABC 的面积为 4
3
.……………….……………12 分
3
3
18.（1）由统计数据填 2 2 列联表如下:
支持 不支持
44 岁以下 35 15
nk
1(k
2, k N ) 时，不等式左边应在 n
k(k
2, k N ) 的基础上加上
1 2k
；
② 若命题 p ： x0 R, x02 2x0 2 0 ，则 p : x R, x2 2x 2 0 ；
③ 若 a 0,b 0, a b 4 ，则 1 1 ； ab 2
④ 随机变量 X ~ N (, 2 ) ，若 P( X 2) P( X 0) ，则 1 ．
D． 3
2． 已知集合 A {x | x2 2x 3 0, x Z} ，集合 B {x | x 0}，则集合 A B 的子集个
数为
A． 2
B． 4
C． 6
3． 已知向量 a (2,3) ， b (3, x) ，若 a // b ，则实数 x
D． 8
A． 2
B． 2
9 C． 2
坐标方程；
（2） 若 ，设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A, B ，点 P(1,1) ，求 1 1 的
3
PA PB
值．
23．[选修 4-5：不等式选讲] (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) x a x b，(a 0,b 0) ． （1） 当 a 1,b 3 时，求不等式 f (x) 6 的解集； （2） 若 f (x) 的最小值为 2 ，求证： 1 1 1．
10．正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， E 是棱 B1C1 的中点，则平面 AD1E 截该正方体
所得的截面面积为
A． 4 2
B． 2 2
C． 4
9
D．
2
11．给出下列命题，其中真命题为
①
用数学归纳法证明不等式
1 2
1 3
1 4
...
1 2n1
n
2
2
(n
2, n
N ) 时，当
分之一个圆，则该几何体的体积为
A． 3
C．
2 B． 3
4 D． 3
正视图
侧视图
俯视图
f (x)
9． 已知函数
2 sin(x ) 4，
f1(x)
f
'(x) ，
f2 ( x)
f1 '(x) ，
f3(x)
f2 '(x) ，…，依
此类推，
f2020 ( 4 )
A． 2
B． 2
C． 0
D． 2
A．①②④
B．①④
C．②④
D．②③
12．已知
a, b
R
(a
，则
b) 2
(a
1
b2 2
)2
的最小值为
2 A． 4
1 B． 8
2 C． 2
第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1 D． 4
E : x2 y2 1(a 0,b 0)
13．已知双曲线 a2 b2
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 f x ln2 x ax a R． （1） 当 a 1时，求证：当 x 1时， f x 1； （2） 若函数 f x有两个零点，求 a 的值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
的离心率为 2，则双曲线的渐近线方程为
．
14．已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ， an an1 2n 3, a1 2 ，则 S11
．
15．2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于
除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担