黑龙江省哈三中2020届高三数学第五次模拟考试试题理【含答案】
哈尔滨市三中2020届高三数学(理)综合测试一附答案详析
哈尔滨市三中2020届高三数学（理）综合测试一一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞U C ．[)(]2,00,2-U D ．[]22-,3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32π B ．332π+ C ．3π+D ．532π+ 4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140B ．100C ．80D ．707．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．33B ．33-C ．539D ．69-9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ）A ．2788n n +B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +10．若函数()()()2log 20,1a f x x xa a =+>≠在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．()0,+∞所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题13．已知向量a r ，br满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ； （2）若332ABC S ∆=，7c =，求a ，b 的值.弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题. 18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q-，求证：PM PN ⊥.21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x =所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<.（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.解析哈尔滨市三中2020届高三数学（理）综合测试一一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++-对应的点坐标为13(,)55-，在第四象限.故选:D 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题. 2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞U C ．[)(]2,00,2-U D ．[]22-,【答案】C【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合M 两个端点可得到结论. 【详解】 集合{}|22Mx x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆，因此：当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨-≥-⎩；当0a <时，2202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩； 综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32π B ．332π+ C ．3π+D ．532π+ 【答案】B【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322=322⨯⨯⨯，则该几何体的表面积为：332π+ 故选：B 【点睛】本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题. 4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.【答案】D【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误； 对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，正确.故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∴2∴，∴cos 2∴(－1，0)，sin 2∴(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70【答案】D【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】2男1女：1245C C ;1男2女：2145C C ; 所以共有12214545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的函数值在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故12,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞ (](),12,x ∴∈-∞+∞U故选：D 【点睛】本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．33B ．33-C ．539D ．69-【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ∴利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ∴利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解． 9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ）A ．2788n n+B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，111,4a d ∴==前n 项和28(1)1=2847n n n n n nS -++⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题. 10．若函数()()()2log 20,1a f x x xa a =+>≠在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为，，函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间内恒有()0f x >，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -的体积为3，则球O 的表面积为（ ）A ．323π B ．16π C ．52π D ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABCS AB BC ABC ∆∠=︒∠=，1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+=球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题. 12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+， 从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x eh x x x x ϕ===+， 所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点，可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈； 所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，br满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.【答案】27【解析】先计算a r与b r的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案. 【详解】根据题意||||cos 603o a b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r，|2|27a b ∴-=r r故答案为：27 【点睛】本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.【答案】1【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1+12x y +的取值范围，进而得解. 【详解】 由题意：4x y +≤---------(1)22x y -+≤---------(2)0,0x y ≥≥---------(3)14(1)(2):361832x y x y ⨯++≤∴+≤由（3）：102x y ≤+ 4111+140log (+1)122x y x y ∴≤+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______.【答案】12+【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】 由题意可知：22pc p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：22241x cx a b -=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+故答案为：12+【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题. 16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）.【答案】()00tan2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ； （2）若332ABC S ∆=，7c =，求a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=， 所以()22cos 10C -=，所以1cos 2C=，3C π=. （2）133sin 22ABCS ab C ∆==，所以6ab =.（1） 又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求直线1B F 与平面1AB E 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）66【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF ⊥，再结合1AF B F ⊥即得证； （2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解. 【详解】 （1）因为AF BC ⊥，1AF BB ⊥.所以AF⊥平面11BCC B ，所以1AF B F ⊥.11AB AC AA ===，则2132B F =，234EF =，2194B E =， 所以22211B EF F B E +=，所以1B F EF ⊥，所以1B F ⊥平面AEF ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()11,0,1B ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,,122B F ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，平面1AB E 的法向量为()2,1,2u =-r，设直线1B F 与平面1AB E 所成的角为α，则1116sin cos ,6||||B F u B F u B F u α⋅===⋅u u u u r ru u u u r r u u uu r r . 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，甲科代表的成绩更稳定；（3）分布列见解析，98E ξ=【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解； （2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，227S =甲，231839.758S ==乙， 因为22S S <甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定； （3）3~3,8B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ξ的分布列是： ξ123P125512 225512 135512 2751298E ξ=. 【点睛】本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q-，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程；（2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到221212226341313k k x x x x k k-+=-=++，， 转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，利用韦达定理即得证.【详解】（1）直线OE l 的方程为3y x =，则直线AB l 的斜率33AB k =-. 所以AB l ：32333y x =-+，即230,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=； （2）∴当MN k 不存在时，()1,1M-，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .∴当MN k 存在时，设()11,Mx y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=.所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥u u u u r u u u r.综上PM PN ⊥得证.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题.21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x =所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥.（1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析 【解析】（1）构造函数()()()1ln 1mx x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证； （3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证； 【详解】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1mx x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-.当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立.当1a >时，()m x 在()10,1a e --上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1nx ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0nx >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ，又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+- ⎪--⎝⎭∑ 1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++， 因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln 1n n +=+， 111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln3=. 从而131112ln ln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x y y y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422+ 【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的正弦公式化简，即得解.【详解】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ， ()5sin 42cos sin 422d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d 取最大值为10422+. 【点睛】 本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题.23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<.（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-<当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>-当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+,所以2255a a -+<即25255a a -<-+<解得()0,2a ∈【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。
2020年高考模拟试卷黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．20B．﹣20C．﹣15D．155．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣1＜x＜2}＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：B．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等差数列的求和公式表示出S n，整理后，得到等差数列的S n为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S n的最大值，即为{S n}中的最大项；反之也然．解：由等差数列的求和公式得：S n＝na1+d，整理得：S n＝0.5dn2+（a1﹣d）n，当d＜0，∴等差数列的S n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，∴S n有最大值；反之，当数列{S n}有最大项时，则S n为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d ＜0．故选：A．3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．解：∵＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），∴＝cos A cos B﹣sin A sin B＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，∴，得cos C＝﹣．∵0＜C＜π．∴．故选：B．4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．20B．﹣20C．﹣15D．15【分析】利用定积分的定义求得a的值，求得展开式中的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：∵已知＝（lnx）＝1，∴＝，它的展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r••x6﹣2r．令6﹣2r＝0，可得r＝3，∴开式中的常数项为﹣＝﹣20，故选：B．5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．∵所有棱长都为2，∴A，B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，﹣1，2）．∴，∴＝＝＝．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：B．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）＝2sin（ωx﹣），由题意可得＝，解得ω的值，即可确定函数的解析式为f（x）＝2sin（2x﹣），由此求得周期，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间，从而得出结论．解：∵函数＝2[sin（ωx﹣cosωx]＝2sin（ωx ﹣），∴函数的周期为．再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，可得＝，解得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣）．故f（x）＝2sin（2x﹣）的周期为＝π．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在上为单调递增函数，故选：C．7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，∴这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．故选：C．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．【分析】设抛物线的准线与x轴的交点为D，F为线段AB的中点，进而可知|AF|和|AB|，推断出AF|＝|AB|，求得∠ABC，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，||＝2p，＝4p×2p cos30°＝36，解得p＝，∴抛物线的方程为y2＝2x．故选：D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得＝2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ＝1，①同理可得＝，由D、M、F三点共线，可得λ+μ＝1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故＝＝＝（λ﹣μ）+μ＝2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ＝1，即2λ﹣μ＝1，①同理可得＝＝＝，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）＝1，即λ+μ＝1，②综合①②可解得λ＝，，故实数λ与μ的乘积＝故选：B．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【分析】依题意，可得m，n满足的约束条件，进而作出图形，利用图象即可得解．解：y′＝x2+mx+m+n，依题意，y′＝0的两个根为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴，平面区域D表示的图形如下图所示，注意到直线m+n＝0与直线2m+n+1＝0的交点P（﹣1，1），当函数y＝log a（x+4）过点P时，即log a3＝1，解得a＝3，要使函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，由图可知，a＜3，又a ＞1，故实数a的取值范围为（1，3）．故选：B．12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y＝e x上的点关于y＝x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y ＝lnx上的点与上的点到直线y＝x的距离之和最小问题，而与y＝x平行的直线同时与曲线y＝lnx和切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍．解：如图，因为y＝e x的反函数是y＝lnx，两个函数的图象关于直线y＝x对称，所以曲线y＝e x上的点P到直线y＝x的距离等于在曲线y＝lnx上的对称点P′到直线y ＝x的距离．设函数f（x）＝lnx﹣1+，＝，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）＝0，则当x＞0时，除（1，0）点外函数y＝lnx的图象恒在y＝1﹣的上方，在（1，0）处两曲线相切．求曲线y＝e x上的点P与曲线y＝1﹣上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y＝lnx 上的点P′与Q点到直线y＝x的距离的最小值的和，而函数y＝lnx与y＝1﹣在x＝1时的导数都是1，说明与直线y＝x平行的直线与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍，所以|PQ|的最小值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝﹣1．【分析】利用共轭复数和复数的运算法则即可得出．解：∵复数z＝1+i，∴，∴＝＝﹣1．故答案为﹣1．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y＝x，则根据直线PF的斜率为﹣，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x＝，则P（，），则PF的中点（），把中点坐标代入双曲线方程＝1中，整理求得＝，即离心率为故答案为：．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3]．【分析】由余弦定理求得cos C，代入已知等式可得（b+c）2﹣1＝3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．解：△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝，∵a＝1，2cos C+c＝2b，∴+c＝2b，化简可得（b+c）2﹣1＝3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b＝c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a＝1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为：（2，3]．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1]．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）＝，当直线与x轴重合时，P（M）＝1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，转化求解数列的通项公式即可．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．解：（1）正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2…①4S n﹣1＝（a n﹣1+1）2…②两式相减①﹣②可得4a n＝a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，整理得a n﹣a n﹣1＝2…又a1＝1，得a n＝2n﹣1…（2）∵a n＝2n﹣1，∴b n＝＝＝（﹣）．…∴数列{b n}的前n项和T n＝（1﹣+…+﹣）＝…18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率＝频数÷数据总和，计算可得答案．（2）列出X的分布列，根据分布列利用随机变量的期望公式求出X的数学期望．解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.82，后三组频率为1﹣0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为1000×0.18＝180人由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m＝7﹣m，又m+2＝2（7﹣m），所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06．估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为180．（2）X可能的取值为0，1，2，3，P（x＝0）＝，P（x＝1）＝，P（x＝0）＝，P（x＝0）＝，所以X的分布列X0123P…EX＝…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE ⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．【解答】证明：如图，（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF．∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF＝F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）解：∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）平面BCD的法向量，设平面EBD的法向量为，由⇒，即，取y＝1，得x＝2，z＝则．所以．因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，所以cosθ∈，即．由得：由得：或．所以a的取值范围是．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知，求得f（x）＝x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x转化为≥b．构造函数g（x）＝，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函数f（x）在定义域上是单调函数，需f′（x）在定义域上恒非负或恒非正．考查f′（x）的取值情况，进行解答．解：（1）∵f（1）＝2，∴a＝1，f（x）＝x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x⇔≥b．令g（x）＝，可得g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝0，即b≤0．（2）f′（x）＝2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，令h（x）＝，当x＝e时，h（x）max＝∴当时，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此时．函数f（x）在定义域上单调递增．若，g（x）＝2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）＝2a﹣由g′（x）＝0，得出x＝，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x＝时，g（x）取得极小值也是最小值．而当时，g（）＝1﹣ln＜0，f′（x）＝0必有根．f（x）必有极值，在定义域上不单调．综上所述，．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C 的方程．（II）设直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．（III）由△QF2M的面积＝△OF2M的面积，能求出S＝S1+S2的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R由于动圆P与圆相切，且与圆相内切，所以动圆P与圆只能内切∴，∴|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6…∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝6，∴a＝4，c＝3，b2＝a2﹣c2＝7故圆心P的轨迹C：．…（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3由，得：，∴，∴…由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49＝0，∴，∴＝＝＝…∴，∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积＝△OF2M的面积，∴S＝S1+S2＝S△OMN∵O到直线MN：x＝my+3的距离，∴…令，则m2＝t2﹣1（t≥1），∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，和圆的标准方程，即可求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）分别求出直线的标准方程，利用直线和圆的位置关系即可求直线l被圆C所截得的弦长．解：（Ⅰ）∵圆C的圆心是，∴x＝ρcosθ＝＝1，y＝ρsinθ＝＝1，即圆心坐标为（1，1），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，x2﹣2x+y2﹣2y＝0圆C的极坐标方程为：；（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为，∴ρsinθ+ρcosθ＝1+，即，圆心到直线距离为，圆半径为．故弦长为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）﹣3恒成立⇔a＜g（x）min，先求得f（x）min，再求g（x）min即可．解：（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，∵f（x）＞0，∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，∴x＜﹣4；②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，∴＜x≤3；③当x＞3时，x+4＞0，∴x＞3．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）…（2）由（1）知，f（x）＝，∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，令g（x）＝f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．∴g（x）min＝﹣．∴a＜g（x）min＝﹣。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)(有解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i对应点的坐标为()1+iA. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)2.已知集合M={x|x2+x−6≤0}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. (0,2]B. [−3,2]C. (0,3]D. [−3,+∞)3.某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 6πB. 8πC. 7πD. 11π4.下列说法正确的是()A. f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，则f(x)≥0的充分条件是b2−4ac≤0B. 若m，k，n∈R，则mk2>nk2的充要条件是m>nC. 对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，x02≥0D. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α//β5.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i6.某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A. 10B. 12C. 16D. 207.阅读下面的程序框图，若输入a,b,c的值分别是2，1，7，则输出的值是()A. 3B. 6C. 8D. 98. 若0<α<π2，cos(π3+α)=13，则cosα=( )A. 2√2+√36B. 2√6−16C. 2√6+16D. 2√2−√369. 已知数列{a n }是公差为12的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.若a 2,a 6,a 14成等比数列，则S 5=( )A. 252B. 35C. 352D. 2510. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (1,+∞)D. (12,+∞)11. 点S ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，S ，O 在平面ABC 的同侧，∠ABC =120°，AB =BC =2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S −ABC 的体积为√3，则该球的表面积为( )A. 18πB. 16πC. 20πD. 25π12. 设f(x)=e x +b x +c ，若方程f(x)=x 无实根，则( )A. b >1，c <1B. b >1，c >−1C. b ≤1，c <1D. b ≤1，c >−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=9，|b ⃗ |=4，夹角为120°，a ⃗ ⋅b⃗ = ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2，则2x −y 的最大值为______．15. 设A 是抛物线C 1：y 2=2px(p >0)与双曲线C 2：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点．若点A 到抛物线C 1的准线距离等于32p ，则双曲线C 2的离心率等于______．16. 有三家分别位于△ABC 顶点处的工厂，已知AB =AC =5，BC =6，为了处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P 建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP ，BP ，CP ，则AP +BP +CP 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π．2(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．(1)求证：AB1⊥平面A1BC．(2)当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．19.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21. 求证：1+122+132…+1n 2<2−1n (n ∈N ∗,n ≥2)22. 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数).点A ，B 是曲线C 上两点，点A ，B 的极坐标分别为(ρ1,π6)，(ρ2,23π)． (1)写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2)求|AB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|．(Ⅰ)解不等式：f(x)+f(x −1)≤2；(Ⅱ)当a >0时，不等式2a −3≥f(ax)−af(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．2.答案：A解析：本题考查了一元二次不等式的解法和集合的交集运算.先解不等式，再求交集．解：因为M={x|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，N={x|x>0}，所以M∩N=(0,2]，故选A．3.答案：C解析：解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S=2π×1×2+12×2π×1×2+π×12=7π，故选：C．由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.答案：D解析：解：对于A，当a<0时，由b2−4ac≤0不能得到f(x)≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”错误．对于B，若m，k，n∈R，由mk2>nk2的一定能推出m>n，但是，当k=0时，由m>n不能推出mk2>nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02<0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选：D由充分必要条件的判定方法判断A，B，直接写出全程命题的否定判断C，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可以判断D本题考查命题的真假判断与应用，考查了全程命题的否定、命题的逆否命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，空间直线与平面位置关系的判断，属于中档题．5.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．6.答案：C解析：本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．根据题意，用间接法分析：先计算从2名女教师和4名男教师中任选3人的选法数目，再分析其中没有女生，即全部为男生的选法数目，分析可得答案．解析：解：根据题意，从2名女教师和4名男教师中任选3人，有C63=20种选法，其中没有女生，即全部为男生的选法有C43=4种，则少有1名女教师要参加这项工作的选法有20−4=16种；故选C．7.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．根据模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a=2，b=1，c=7，不满足a<b，所以执行m=b+c=8;故选C．8.答案：C解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．由已知角的范围可求π3+α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin(π3+α)的值，由于α=(π3+α)−π3，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵0<α<π2，∴π3<π3+α<5π6，∴sin(π3+α)=√1−cos2(π3+α)=2√23，∴cosα=cos[(π+α)−π]=cos(π+α)cosπ+sin(π+α)sinπ=13×12+2√23×√32=1+2√66．故选C．9.答案：A解析：本题主要考查了等差数列的求和与等比数列的性质，属于基础题．根据等比数列的性质求得等差数列的首项，然后求解其前n项和即可．解：∵a 2,a 6,a 14成等比数列，∴a 62=a 2a 14，即(a 1+5×12)2=(a 1+12)(a 1+13×12)， 解得a 1=32， ∴S 5=5a 1+5×42d =152+5=252，故选A ．10.答案：A解析：本题考查了复合函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 解：x ∈(12,+∞)时，x 2+32x =(x +34)2−916>1，函数f (x )=log a (x 2+3x2)(a >0且a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0， 所以a >1，∴函数f(x)的定义域为x 2+32x >0， 解得x <−32或x >0，由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间(0,+∞)， 故选A ．11.答案：D解析：解：三棱锥O −ABC ，A 、B 、C 三点均在球心O 的表面上，且AB =BC =2，∠ABC =120°， ∴BC =2√3，∴∴△ABC 外接圆半径2r =2√3sin120°=4，即r =2∴S △ABC =12×2×2×sin120°=√3， ∵三棱锥S −ABC 的体积为√3，∴S到底面ABC的距离ℎ=3，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S−ABC补成一个同底等高的棱柱，则圆心O到平面ABC的距离d=32．球的半径为：R2=d2+r2=254球的表面积：4πR2=25π．故选：D求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.答案：D解析： f(x)>x恒成立是解题关键，本题考查函数零点与方程的根的关系，属基础题．解：由题意，若方程f(x)=x无实根，可得 f(x)>x恒成立，e x>(1−b)x−c对任意x恒成立．∴1−b>0, −c<1 或b=1,−c≤0，故选D．13.答案：−18)=−18．解析：解：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=9×4×cos120°=9×4×(−12故答案为：−18．利用数量积定义即可得出．本题考查了数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：4解析：解：先根据约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2画出可行域，由{x =2x +y =2得A(2,0)， 当直线z =2x −y 过点A(2,0)时， z 最大是4， 故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.答案：√3解析：解：不妨设A(x 0,y 0)，y 0>0，由题意可得x 0+p2=32p ，∴x 0=p ， 又A 在抛物线C 1：y 2=2px(p >0)上，所以y 0=√2p ，从而，ba =√2， 可得c 2−a 2a 2=2，所以e =ca =√3．故答案为：√3．设出A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为32p ，得到A 的横坐标，利用A 在抛物线上，求出a ，b 关系，然后求解离心率即可．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．16.答案：495解析：解：由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245， ∵4+6>5+245，∴AP +BP +CP 的最小值为495． 故答案为：495．由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245，即可求出AP +BP +CP 的最小值．本题考查AP +BP +CP 的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．17.答案：解：(1)∵a =1，b =√2，B =A +π2．∴A 为锐角，∴由正弦定理可得：sinA =asinB b=1×sin(A+π2)√2=√2，两边平方整理可得：sin 2A =1−sin 2A2，解得：sinA 2=13，有sinA =√33．(2)∵C =π−A −B =π2−2A ，∴由正弦定理可得：c =asinC sinA=1×sin(π2−2A)sinA =cos2A sinA=2cos 2A−1sinA=1−2sin 2A sinA=1−2×(√33)2√33=√33， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×√33×√33=√26．解析：(1)由已知可得A 为锐角，由正弦定理可得sinA =asinB b=cosA √2，两边平方整理可解得sin A 的值．(2)利用三角形内角和定理可求C ，由正弦定理可得c ，根据三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，属于基础题． 18.答案：解：(1)证明：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，BC ⊥AB ，且AA 1=AB =2 ∴A 1A ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC∴A 1A ⊥BC又∵BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A∴BC ⊥平面AA 1B 1 B ，平面AB 1⊂平面ABB 1A ∴BC ⊥AB 1∵四边形A 1ABB 1是正方形∴A 1B ⊥AB 1又∵BC ∩A 1B =B∴AB 1⊥平面A 1BC(2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ∵BC ⊥平面A 1ABB 1∴∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ∵BC =2∵AO =12AB 1=√2，sin∠ACO =sinθ=AOAC∴AC═2√2,AO =√2在Rt △AOC 中，sinθ=12∴θ=π6∴BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6 解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ， 则B(0,0，0)，A(0,2，0)，C(2,0，0)A 1(0，2，2) 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC B 1(0,0，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) ∵直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ∴sinθ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12即BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6解析：(1)证明BC ⊥AB 1，A 1B ⊥AB 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB 1⊥平面A 1BC ． (2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ，说明∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ，在Rt △AOC 中，求解直线AC 与平面A 1BC 所成的角．解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ，求出B ，A ，C ，A 1，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．19.答案：(1)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况． 其中a ≥b 的情况由(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，故a ≥b 的概率P =39=13．(2)因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中，A 班有2人，B 班有3人，共有5人，设抽到B 班同学的人数为X ， ∴X 的可能取值为1，2，3． P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=35，P(X =3)=C 33C 20C 53=110．∴X 的分布列为：数学期望为E(X)=1×310+2×35+3×110=95．解析：本题考查茎叶图和古典概型及离散型随机变量分布列和期望问题，属于一般题． (1)根据茎叶图解决概率问题；(2)离散型随机变量的分布列和数学期望问题．20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)， 由题意可得直线MN 的方程为y =x −1， 代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2)=8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2)=8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．21.答案：证明：∵1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，∴1+122+132+⋯+1n 2<1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n =2−1n ．解析：利用1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，即可证明结论． 本题考查不等式的证明，考查放缩法，正确放缩是关键．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ，(φ为参数)，消去参数φ，化为普通方程是x 2+(y −3)2=9； 由{x =ρcosθy =ρsinθ,(θ为参数)． ∴曲线C 的普通方程可化为极坐标ρ=6sinθ，(θ为参数)． (2)方法1：由A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)是圆C 上的两点， 且知，∴ |AB|为直径，∴|AB |=6．方法2：由两点A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)化为直角坐标中点的坐标是A(3√32,32)，B(−3√32,92)， ∴ A 、B 两点间的距离为|AB |=6．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．(1)消去参数φ，把曲线C 的参数方程化为普通方程；由公式{x =ρcosθy =ρsinθ，把曲线C 的普通方程化为极坐标方程；2)方法1：由A 、B 两点的极坐标，得出，判定AB 为直径，求出|AB|；方法2：把A 、B 化为直角坐标的点的坐标，求出A 、B 两点间距离|AB|．23.答案：解：(Ⅰ)原不等式等价于：当x ≤1时，−2x +3≤2，即12≤x ≤1．当1<x ≤2时，1≤2，即1<x ≤2． 当x >2时，2x −3≤2，即2<x ≤52． 综上所述，原不等式的解集为{x|12≤x ≤52}.(Ⅱ)当a >0时，f(ax)−af(x)=|ax −1|−|ax −a|=|ax −1|−|a −ax|≤|ax −1+a −ax|=|a −1|，所以，2a −3≥|a −1|，解得a ≥2．解析：(Ⅰ)分当x ≤1时、当1<x ≤2时、当x >2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a >0时，利用绝对值三角不等式可得f(ax)−af(x)≤|a −1|，结合题意可得2a −3≥|a −1|，由此解得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020届黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试理科数学试题
2020届黑龙江省哈三中高三第五次模拟考试理科数学试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知复数i i z i a z (2,321+=-=为虚数单位)，若21z z 是纯虚数，则实数=aA ．23-B ．23C ．3-D ．3 2． 已知集合2{|230,}A x x x x Z =--≤∈，集合{|0}B x x =>，则集合A B I 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3． 已知向量(2,3)=-a ，b (3,)x =，若a //b ，则实数=xA ．2-B ．2C ．29-D ．294． 设2log 3a =，13log 2b =，20.4c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >> 5． 将函数x y 2sin =的图象向左平移6π个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为 A ．)3sin(π+=x y B ．)6sin(π+=x y C ．)3sin(π-=x y D ．)34sin(π+=x y6． 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，就是现在我们熟悉的“进位制”，右图所示的是一位母 亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示可知，孩子已经出生的天 数是A ．27B ．42C ．55D ．210 7． 设公比为3的等比数列}{n a 前n 项和为n S ，且313S =，则567a a a ++= A ．3 B ．9 C ．27 D ．81 8． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是上底为1，下底为2，高为1的直角梯形，俯视图为四 分之一个圆，则该几何体的体积为A ．3π B ．23πC ．πD ．43π9．已知函数())4f x x π=+，1()'()f x f x =，21()'()f x f x =，32()'()f x f x =，…，依此类推，2020()4f π=AB． C ．0 D．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，则平面1AD E 截该正方体所得的截面面积为A． B． C ．4 D ．9211．给出下列命题，其中真命题为① 用数学归纳法证明不等式111112...(2,)23422n n n n N --++++>≥∈时，当1(2,)n k k k N =+≥∈时，不等式左边应在(2,)n k k k N =≥∈的基础上加上12k ；② 若命题p ：2000,220x R x x ∃∈-+<，则2:,220p x R x x ⌝∀∈-+≥；③ 若0,0,4a b a b >>+=，则112ab ≥； ④ 随机变量2~(,)X N μσ，若(2)(0)P X P X >=<，则1μ=． A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．②③12．已知R b a ∈,，则222)21()(b a b a --+-的最小值为正视图 侧视图A ．42B ．81C ．22D ．41第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ．14．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2,3211=+=++a n a a n n ，则11S = ．15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有 种辅导方案．16．设'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导数，当0x >时，()'()ln 0f x f x x x +⋅<，则不等式(1)()0x f x ->的解集为 ．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．满足A b a c cos 22+=．（1）求B ；（2）若3,5==+b c a ，求ABC ∆的面积．18．(本小题满分12分)为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房岁的人群产限购年龄政策”的态度，在年龄为2060:中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会，现从这8人中随机抽2人．记抽到44岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．(本小题满分12分)如图①，在平面五边形ABCDE 中，ABCD 是梯形，AD //BC ，AD =BC 2=22，3=AB ，90∠=︒ABC ，ADE ∆是等边三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，连接EB ，EC 得如图②的几何体．（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM //平面ABE ；（2）若3=EC ，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322？若存在，求EBEF的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 是椭圆13422=+y x 的一个焦点． （1） 求抛物线C 的方程；（2） 设,,P M N 为抛物线C 上的不同三点，点(1,2)P ，且PM PN ⊥．求证：直线MN 过定点．21．(本小题满分12分)已知函数()2ln f x x ax =-()a R ∈．（1） 当1a =时，求证：当1x ≥时，()1f x ≤-； （2） 若函数()f x 有两个零点，求a 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数，0απ≤<），以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 8)2cos 1(=-．（1） 求曲线C 的直角坐标方程及直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时的直角坐标方程； （2） 若3πα=，设直线l 与曲线C 交于不同的两点B A ,，点)1,1(P ，求PB PA 11-的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知函数)0,0()(>>++-=b a b x a x x f ，． （1） 当3,1==b a 时，求不等式6)(<x f 的解集； （2） 若)(x f 的最小值为2，求证：11111≥+++b a ．数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13.y = 14.77 15.36 16.(0,1)三、解答题：17. （1）由题知A B A C cos sin 2sin sin 2+=，………………………………….……2分 则A B A B A cos sin 2sin )sin(2+=+，则A B A sin cos sin 2=,在ABC ∆中,0sin ≠A ,所以21cos =B ,…………………………4分则3π=B ……………………………………………………………………………..………6分（2）由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,从而得ac c a ac c a 3)(9222-+=-+=，…………………………….…………………9分又5=+c a ，所以316=ac ，所以ABC ∆的面积为334.……………….……………12分18.（1）由统计数据填22⨯列联表如下:计算观测值20100(3554515)256.25 3.841505080204k ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，..................................4分所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异； ..............................................................................................5分（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，..........6分 根据题意，X 的可能取值是0，1，2,..................................................................................7分计算()262815028C P X C ===，()116228317C C P X C ⋅===，()22281228C P X C ===，.....................................................................................................10分可得随机变量X 的分布列为：故数学期望为012287282EX =⨯+⨯+⨯=（）．......................................................12分19.（1）取EA 中点N ,连接MN ,BN ,则MN 是EAD ∆的中位线,1//,.21//,,//.2,,//.MN AD MN AD BC AD BC AD BCMN CM BN CM ABE BN ABE CM ABE ∴==∴∴⊄⊂∴Q 且且四边形是平行四边形，又平面平面平面.................................................................................................................................................5分 （2）取AD 中点O ,连接OE OC ,,易得AD OE ⊥,AD OC ⊥. 在COE ∆中，由已知62223,3,3=⨯====OE AB OC CE . .,222OE OC CE OE OC ⊥∴=+Θ以O 为原点，分别以射线OE OA OC ,,为z y x ,,轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系， 则).6,0,0(),0,2,0(),0,2,3(),0,2,0(E D B A -...................................................7分 则).0,22,0(),6,2,0(),6,2,3(-=-=-= 假设在棱EB 上存在点F 满足题意，设)10(≤≤=λλ,则EF λ=u u u r，)66,2,2,3(λλλ--=+=. 设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 即⎩⎨⎧=-=-+-+,022,0)66()22(3λλλλz y x 令1=z ，得平面ADF 的一个法向量).1,0,)1(2(λλ--=m .......................................9分又平面EAD 的一个法向量)0,0,1(=n ，.........................................................................10分由已知322,cos =n m ，3221)1(2)1(22=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----∴λλλλ， 整理得01232=-+λλ，解得)1(31舍去-==λλ， ∴在棱EB 上存在点F ，使得二面角F AD E --的余弦值为322，且31=EB EF ...12分 20.（1）依题意，2,12==p p，所以x y C 4:2=………………………..……………4分 （2）设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线联立得0442=--n my y ， 设),(),,(2211y x N y x M ，由PN PM ⊥得0)2,1()2,1(2211=--⋅--y x y x ………6分 化简得0584622=+---m m n n ，………………………………………….…………8分解得52+=m n 或12+-=m n （舍）…………………………………….……………10分 所以直线MN 过定点)2,5(-………………………………………………..……………12分 21.（1）当1a =时，()()2ln 2ln 1h x x x x f x x x x-'=-==………..………….…….1分 则()221x h x x x-+'=-=，由于2y x =-+在()1,+∞上单调递减，存在唯一零点2x = 知()h x ：..................................................................................................................................................3分 知()1,x ∈+∞时，()()()22ln 210h x h ≤=-<，即()0f x '<恒成立知()f x 为()1,+∞上的减函数，即()()11f x f ≤=-，证毕；....................................5分（2）等价于2ln x a x =有两个零点，设函数()2ln xg x x =..............................................6分 ()()22ln ln 0x x g x x-'=≥，解得()ln 2ln 0x x -≤，即0ln 2x ≤≤知()g x ：..................................................................................................................................................9分 当0x →时，()g x →+∞；极小值为()10g =；极大值为()224g ee=；()g x 在()2,e +∞上单调递减，由于()0g x >，当x →+∞时，()0g x →，故()g x 在()2,e +∞上的值域为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭综上，()g x a =有两个零点，有24a e =，即当24a e=时，()f x 有两个零点…….12分 22.（1）由θθρcos 8)2cos 1(=-得θθρcos 4sin 2=，所以θρθρcos 4sin 22=，由y x ==θρθρsin ,cos ，得曲线C 的直角坐标方程为x y 42=…………….…….3分当直线l 在x 轴正半轴及y 轴正半轴截距相等时,1tan -=α,由,sin 1cos 1⎩⎨⎧+=+=ααt y t x 得1tan 11-==--αx y ，所以2x y +=， 即此时直线l 的直角坐标方程为02=-+y x …………………………………..………5分（2）当3πα=时，直线l的参数方程为112,12x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数） 将直线l 的参数方程带入x y 42=，得211412t ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232)304t t +-=，12124(243t t t t +=-=-，………..……………...…….8分故12121211112||||3t t PA PB t t t t +--=-==…………………………………...…..10分 23.（1）依题意631<++-x x ，解集为)2,4(-……………………………...………5分 （2）b a b a b x a x b x a x x f +=--=+--≥++-=)()()(，所以2=+b a …7分1)11112(41)1111)(11(411111≥++++++=++++++=+++b a a b b a b a b a ……….……10分。
2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三五模数学(理)试题及答案
2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三五模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}4,5,6,7A =，{}49B x x =<<，则A B 的子集个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【分析】求出集合A B ，利用集合的子集个数公式可求得结果. 【详解】由已知可得{}5,6,7A B =，因此，A B 的子集个数为328=. 故选：B.2．已知1sin()3πα-=，那么cos2=α（ ）A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】D【分析】根据诱导公式得1sin 3α=，代入二倍角公式即可． 【详解】因()1sin sin 3παα-==，所以2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．故选：D ．3．已知双曲线C ：2221x y a-=的一个焦点为()2,0，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ）A ．0x +=B 0y +=C ．10x -=D 10y +-=【答案】A【分析】根据,,a b c 的关系求出a ，即可得到双曲线的一条渐近线方程．【详解】因为2c =，所以214a +=，所以a =C ：2213x y -=，所以双曲线C 的渐近线方程为0x =． 故选：A ．4．设x ∈R ，则“230x x -<”是“12x <<”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由23003x x x -<⇒<<，由03x <<不一定能推出12x <<，但是由12x <<一定能推出03x <<， 所以“230x x -<”是“12x <<”的必要不充分条件， 故选：C5．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明.相传它是在商代由商高发现，故又人有称之为商高定理.我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”.西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数､弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……，如勾为21，则弦为（ ） A ．217 B ．219C ．221D ．223【答案】C【分析】根据“弦与股长相差为1”列方程，解方程求得弦. 【详解】设弦为x ，则股为1x -，()22222211211,2211,2212x x x x ++-==+==.故选：C6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．2D ．12【答案】B【分析】作出几何体的直观图，可知几何体为直三棱柱中截去一个三棱锥而形成，利用柱体和锥体的体积公式可计算出几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为直三棱柱111ABC A B C -中截去三棱锥111A A B C -所形成，结合三视图中的数据可知，几何体的体积为2211123234232V =⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：B.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键在于作出几何体的直观图，考查计算能力，属于较易题.7．已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为n S ，满足4325a a =+，则9S =（ ） A ．35 B ．40 C ．45 D ．50【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n 项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】∵4325a a =+， ∴()55225a d a d -=-+， ∴55a =， ∴()199********a a S a +===⨯=，故选：C ．8．在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，//CD AB ，222AB AD DC ===，E 为BC 边上中点，AC AE ⋅的值为（ ）A ．1B ．12C ．32D ．2【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出45BAC ∠=以及2AC =，然后根据E 为BC 边上中点得出1122AE AC AB =+，最后将AC AE ⋅转化为21122AC AB AC +⋅，通过计算即可得出结果.【详解】因为AD AB ⊥，//CD AB ，所以AD CD ⊥， 因为AD CD =，所以45DACBAC，2AC =因为E 为BC 边上中点，所以1122AE AC AB =+，则()211112222AC AE AC AC AB AC AB AC ⋅=⋅+=+⋅2221111cos 2+2222222AC AB AC BAC =+⋅⋅∠=⨯， 故选：D.9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(0,22M x 到焦点F 的距离032MF x =，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．5【答案】B【分析】由抛物线的定义可知02pMF x =+，与已知条件结合得0x p =，把点M 的坐标代入抛物线方程即可得解.【详解】由抛物线的定义可知02pMF x =+， ∵032MF x =，∴00322p x x +=，即0x p =, ∵点(0,22M x 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，282p ∴= 解得：2p =或2-（舍去）, 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线定义写出02pMF x =+，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题.10．下列说法正确的有（ ） ①回归直线一定过样本点中心(),x y ；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人．为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为5，则另一组数据11x +，21x +，…，1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：012(6)21006162678=⨯+⨯+⨯=．A ．①④B ．①②C ．③④D ．①③【答案】A【分析】根据回归直线定义，分层抽样公式，方差计算公式以及进制转换公式即可判断选项． 【详解】①回归直线一定过样本点中心(),x y ，正确； ②应从高三年级抽取2001200504800⨯=人，故错误； ③设1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，则数据11x +，21x +，…，1n x +的平均数为1x + 所以方差为()()()()()()2222221212111111115n n x x x x x x x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤+--++--+++--=-+-++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故错误；④012(6)21006162678=⨯+⨯+⨯=，正确；故选：A11．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面ABO 的下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，60BAC ∠=︒，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为30OAC ∠=︒，A 地测得最高点H 的仰角为45OAH ∠=︒，则该仪器的垂直弹射高度CH 为（ ）A ．210米 B．C．(210+米 D ．420米【答案】C【分析】在ABC 中利用余弦定理求出AC ，进而在AOC △中可求出,OA OC ，再在AOH △中求出OH ，即可得解．【详解】设BC x =，所以40AC x =+，在ABC 中，60BAC ∠=︒，100AB =，所以，()()22210040210040cos60x x x =++-⨯⨯+⨯，即380x =，40420AC x =+=．在Rt AOC △中，30OAC ∠=︒，所以210,OC OA ==Rt AOH 中，45OAH ∠=︒，所以OH OA ==210CH OC OH =+=+ 故答案为：C ．12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x +=-，当[]1,0x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间()1,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,75⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,7C ．()1,5D ．()5,+∞【答案】B【分析】求得函数()f x 是周期函数，且周期2T =，依题意，只需使函数()y f x =的图象与函数log (2)a y x =+的图象在(1,6)-上有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出()y f x =与log (2)a y x =+的图象，数形结合可得结果.【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，所以，对x R ∀∈，(2)()()f x f x f x +=-=， 所以函数()f x 是周期函数，且周期2T =. ()log (2)0()log (2)a a f x x f x x -+=⇔=+，依题意，只需使函数()y f x =的图象与函数log (2)a y x =+的图象在(1,6)-上有5个交点即可. 在同一坐标系中分别作出()y f x =与log (2)a y x =+的图象，由图可知，实数a 满足1log 51log 71a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得57a <<，即实数a 的取值范围是(5,7).故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：在同一坐标系中分别作出()y f x =与log (2)a y x =+的图象，数形结合得到a 满足1log 51log 71a a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩.二、填空题13．若复数z 满足()122i z -=，则z 的模长为__________． 255【分析】由(12)2i z -=得212z i=-，两边取模可得结果. 【详解】由(12)2i z -=得212z i =-，所以222512125z i i ====--255. 14．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则ABC 的形状为_____________. 【答案】直角三角形【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状.【详解】cos cos sin a B b A c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=， 即()()sin sin sin sin sin A C A B C C π=+=-=，0C π<<，则sin 0C >，sin 1A ∴=，0A π<<，2A π∴=.因此，ABC 为直角三角形. 故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题. 15．已知直线230x y +-=与圆C ：()()22239x y -+-=相交于A ，B 两点，则ABC 面积为___________.【答案】【分析】计算出AB ，结合圆心到直线230x y +-=的距离求得三角形ABC 的面积. 【详解】圆C 的圆心为()2,3，半径3r =，圆心到直线230x y +-=的距离为d ==所以4AB ==，所以11422ABCSAB d =⨯⨯=⨯故答案为：16．对于正整数i ，设,2(1,2,3,)k i k a i k k =+⋅=，如65,6562a =+⋅对于正整数n 和m ，当2n ≥，2m ≥时，设,1,2,3,(,)i i i i n b i n a a a a =++++，(,)(1,)(2,)(,)S m n b n b n b m n =+++，则(10,9)S =__________．【答案】82435【分析】首先利用分组求和与错位相减法求出()11(,)22n ni n b i n +=+-⨯+，再计算(10,9)S 即可；【详解】解：,1,2,3,(,)i i i i n b i n a a a a =++++()1212222n ni n +⨯+⨯+=+⨯令1212222n n T n =⨯+⨯++⨯ 则231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯两式相减得()12112121212122212n n n n n T n n ++--=⨯+⨯++⨯-⨯=-⨯-即()1122n n T n +=-⨯+，所以()11(,)22n ni n b i n +=+-⨯+所以()()91(10,9)912310109122S +⎡⎤=+++++⨯-⨯+⎣⎦()1011010910822495108194824352+⨯⎡⎤=⨯+⨯⨯+=+⨯=⎣⎦故答案为：82435 三、解答题17．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><图象经过点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【答案】（1）2()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）依题意可知其周期122T π=，即可求出ω，再根据函数过点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求出ϕ，即可求出函数解析式；（2）由x 的取值范围，求出223x π-的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）由题意知17212122T ππππω==-=，故2ω=， 又sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，262k ππϕπ+=-+，k Z ∈，即223k πϕπ=-+，k Z ∈， 因为ϕπ<，所以23ϕπ=-，所以2()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∵sin y x =在,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在4,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以23sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，222PD AB AD CD ====，E 为线段PA 上一点，且32PE PA =．（1）证明：平面EBC ⊥平面PAC ； （2）求二面角A BC E --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（242． 【分析】（1）由线面垂直的性质得到PA BC ⊥，再由勾股定理逆定理得到AC CB ⊥，即可得到BC ⊥平面PAC ，从而得证；（2）由（1）可知EC CB ⊥，所以ECA ∠即二面角A BC E --的平面角，在Rt EAC △利用锐角三角函数计算可得；【详解】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，∵AD DC ⊥，222PD AB AD CD ====，//AB CD ，如图过C 作CF AB ⊥交AB 于点F ， 所以222BC BF CF =+=，222AC AD CD =+=，所以222AC CB AB +=∴45ACD ∠=︒，AC CB ⊥，又,AC PA ⊂平面PAC ，AC PA A ⋂=，∴BC ⊥平面PAC ，∵BC ⊂平面BCE ，∴平面EBC ⊥平面PAC ． （2）由（1）知BC ⊥平面PAC ，CE ⊂平面BCE ，∴EC CB ⊥， 又有AC CB ⊥，故ECA ∠即二面角A BC E --的平面角，∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥，所以223PA PD AD =-=因为32PE PA =，所以()222232123CE AC AE ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭在Rt EAC △中，242cos 721ACECA EC∠==， 所以二面角A BC E --的余弦值为427． 19．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．【答案】（1）13； （2）()1E X =.【分析】（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）由已知有1123432101()3C C C P A C ⋅+==， 所以事件A 的发生的概率为13；（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C ⋅+⋅===； 11342104(2)15C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：数学期望为4740121151515E X. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，若C 上一点M 满足43QP OM=，求线段OM 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2．【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 不与x 轴重合，可设直线l 的方程为x my =()11,P x y 、()22,Q x y ，将该直线方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由43QP OM =可得出点M 的坐标，将点M 的坐标代入椭圆方程，结合韦达定理可求得2m 的值，再利用弦长公式可求得OM . 【详解】（1）由已知条件可得22b ca c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 因此，椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）若直线l 与x 轴重合，则P 、Q 为椭圆C 的长轴端点，此时43QP OM =不成立.易知点)F，设直线l的方程为x my =()11,P x y 、()22,Q x y ，联立22330x y x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，消去x 得()22310m y ++-=，()()2228431210m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得1223y y m -+=+，12213y y m -=+， 由题意34OM QP =，所以()()121233,44M x x y y ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：1212133x x y y +=，即(1212133my my y y +=，即()()()222212122234331322333m m m m y y y y m m -+--+++=+=-=++，则235m =，所以)212213P m y m Q +-===+故34OM QP =21．已知函数()ln x f x xe ax a x =--．（1）若0a ≤，证明：()f x 在()0,∞+单调递增； （2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）0a e ≤≤．【分析】（1）首先求出函数的导函数，判断导函数的符号，即可得证；（2）求出导函数()(1)x a f x x e x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，再对参数a 分类讨论，说明其单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】（1）()(1)(1)xx a a f x x e a x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭， ∵0a ≤，0x >，∴0xe ax->，'()0f x >恒成立．∴()f x 在()0,∞+单调递增． （2）()(1)x a f x x e x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭．1︒当0a ≤，()0f x '≥恒成立，∴()f x 在()0,∞+单调递增，()10f e a =->，0x →时，()f x →-∞，则函数()f x 在定义域内有且只有一个零点舍去．2︒0a =时，()xf x xe =，在()0,∞+单调递增，()()00f x f >=，成立．3︒0a >时，设()xa h x e x =-，2()0xa h x e x'=+>恒成立，∴()h x 在()0,∞+单调递增， 0x →，()h x →-∞，x →+∞，()h x →+∞，∴()h x 在()0,∞+有且仅有一个零点，设为0x ，满足()00000ln ln ln x x ae e x x x a x =⇒=+=， ∴()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，∴()0min 0000()ln ln (1ln )xf x f x x e ax a x a a a a a ==--=-=-，若()0f x ≥恒成立，故min ()0f x ≥， (1ln )01ln 0a a a -≥⇒-≥，a e ≤，综上：0a e ≤≤．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2240x y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）点P 为1C 上任意一点，若OP 的中点Q 的轨迹为曲线2C ，求2C 的极坐标方程； （2）若点M ，N 分别是曲线1C 和2C 上的点，且OM ON ⊥，证明：22OM ON +4为定值． 【答案】（1）()2cos 0ρθρ=≠；（2）证明见解析．【分析】（1）先求出1C 的极坐标方程，设出P ，Q 的极坐标，根据中点坐标公式以及P 在1C 上，即可求解；（2）设()11,M ρθ，()22,N ρθ，根据OM ON ⊥，得到122πθθ=+，分别代入曲线1C 和2C 的极坐标方程，再根据22221244OM ON ρρ+=+求出22OM ON +4，即可证明.【详解】解：（1）1C 的方程为2240x y x +-=， 将222,cos x y x ρρθ+==代入， 1C ∴极坐标方程：4cos ρθ=，设()',P ρθ，(),Q ρθ，则1'2ρρ=， Q 的轨迹方程：()2cos 0ρθρ=≠；（2）设()11,M ρθ，()22,N ρθ，114cos ρθ=，222cos ρθ=，122πθθ=+，2222122212222222224416cos 44cos 16cos 44cos 216sin 16cos 16OM ONρρθθπθθθθ+=+=+⨯⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭+== 故22OM ON +4为定值．23．已知函数()43f x x =-，()32g x x =-．（1）若()()()h x f x g x =-，且()h x a ≤恒成立，求实数a 的最小值． （2）若()x ϕ，求()ϕx 的最大值．【答案】（1）2；（2）2．【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()h x 的最大值，进而可得结果； （2）由柯西不等式可得结果.【详解】（1）()()()343232342h x x x x x =---≤---=，当且仅当2,3x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦时成立，∴max ()2h x =，2a ≥，故a 的最小值为2． （2）()x ϕ=24,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由柯西不等式得：()22222411⎡⎤=++≥⎣⎦，当且仅当1x =时取等号.∴()2x ϕ≤，()ϕx 最大值为2．。
【精品解析】2020年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第五次模拟考试数学试题
2020年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第五次模拟考试数学试题一、单选题1．设集合P ＝{(x ，y)|x ＋y<4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．82．设复数z 1=1−3i ，z 2=3−2i ，则在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若将函数y=2sin2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图像的对称轴为A ．x=26k ππ-（k ∈Z ） B ．x=26k ππ+（k ∈Z ） C ．x=212k ππ-（k ∈Z ） D ．x=212k ππ+（k ∈Z ） 5．已知()1,3a =-，()2,1b =-，且()()2//a b ka b +-，则实数k =（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 6．已知0.4 1.90.41.9,1 1.9,0.4a b og c ==＝，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >>7．下列说法正确的是 （ ）A ．命题“若x =y ，则sinx =siny ”的否命题为真命题B ．“直线与直线互相垂直”的充分条件是“”C ．命题“∃x ∈R,x 2+x +1<0”的否定是“∀x ∈R,x 2+x +1>0”D ．命题：若，则或的逆否命题为：若或，则x 2≠18．下列说法正确的是（ ）A ．若()sin f x θ=，则()'cos f x θ=B ．合情推理得到的结论不一定是正确的C ．双曲线上的点到两焦点的距离之差等于2aD ．若原命题为真命题，则否命题一定为假命题9．下列四个数中，数值最小的是（ ）A ．()1025B ．()454C ．()210110D ．()21011110．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)四边形；(3)五边形；(4)六边形．其中正确的结论是（ ） A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4)11．已知等比数列{}n a 中，51a =，916a =，则7a =A ．4B ．－4C ．4±D ．1612．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题(),M x y 与点(),N a b 的距离．结合上述观点，可得()f x =( )A ．B ．CD ．3二、填空题 13．双曲线22149x y -=的渐近线方程是__________． 14．5个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n n a a n ++=+，12a =，则11S ＝_____．16．某同学在研究函数2()()||1x f x x R x =∈+时，给出下列结论：①()()0f x f x -+=对任意x ∈R 成立；②函数()f x 的值域是()2,2-；③若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；④函数()()2g x f x x =-在R 上有三个零点．则正确结论的序号是_______.三、解答题17．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为25. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.附： 2.072 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 18．设离心率为3，实轴长为1的双曲线2222:1x y E a b-=（0a b >>）的左焦点为F ，顶点在原点的抛物线C 的准线经过点F ，且抛物线C 的焦点在x 轴上.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥，求MN 的最小值. 19．如图，DA ⊥平面ABC ，//DA PC ，E 为PB 的中点，2PC =，AC BC ⊥，ACB ∆和DAC △是等腰三角形，AB =.（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥E BCD -体积.20．已知函数()||f x x a =-（1）当1a =-时，求不等式()|21|1f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()|3|g x f x x =-+的值域为A ，且[2,1]A -⊆，求a 的取值范围.21．已知函数21()(1)2x f x ax x e =--（a R ∈）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若[1,]a e ∈，对任意的12,[0,1]x x ∈，证明：12|()()|1f x f x -<.22．在平面直角坐标系xOy 中，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=． （1）求直线l 的普通方程和线C 的直角坐标方程；（2）已知定点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，求PA PB +的值． 23．如图，在平面四边形ABCD 中，,1,AB AD AB ⊥=2,33AC ABC ACD ππ=∠=∠= （1）求sin BAC ∠；（2）求DC 的长.【答案与解析】1．C当x ＝1时，y<3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y<2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y<1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在．综上所述，集合P 中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1)，集合P 的非空子集的个数是23－1＝7 2．D试题解析：z 1z 2=1−3i 3−2i =(1−3i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=3+2i−9i+613=9−7i 13=913−713i z 1z 2在复平面内对应的点(913,−713)，故在第四象限 考点：本题考查复数几何意义点评：解决本题的关键是理解复数的几何意义3．D对四个选项中几何体的正视图、侧视图、俯视图是否符合要求进行判断，可得出合适的选项. 选项A 的正视图、俯视图不符合要求，选项B 的正视图、侧视图不符合要求，选项C 俯视图不符合要求，故选：D.本题考查三视图还原为实物图，考查空间想象能力，属于基础题.4．B试题分析：由题意得，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin(2)6y x π=+，由2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，即平移后的函数的对称轴方程为,26k x k Z ππ=+∈，故选B ． 考点：三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了三角函数()sin()f x A wx ϕ=+的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，得到函数的解析式2sin(2)6y x π=+，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力．。
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三3月网络模拟考试数学(理)试题(含答案解析)
哈三中2020届高三学年网络模拟考试数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则1i i +=( ) A. 0 B. 1- C. 1i - D. 1i +2.设{1,2,3}A =，2{|10}B x x x =--<，则A B =I ( )A. {1,2}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1}3.某校为了研究a ，b 两个班的化学成绩，各选了10人的成绩，绘制了如下茎叶图，则根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A. 83，aB. 82.5，bC. 82.5，aD. 82，b4.已知向量3),(,1)a b x ==r r 且a r 与b r 的夹角为60︒，则||b =r ( )A. 33B. 13C. 33D. 235.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )A. 国防大学，研究生B. 国防大学，博士C. 军事科学院，学士D. 国防科技大学，研究生6.函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A. B. C. D.7.为计算3232231234599100S =+++++++L 设计了如图所示的的程序框图，在◇和□两个空白框中分别可以填入( )A. 101i ≤和3(1)N N i =++B. i <99和2(1)N N i =++ C. 99i ≤和2(1)N N i =++ D. 101i <和3(1)N N i =++ 8.已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6S =( ) A. 128 B. 126 C. 124 D. 1209.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( )A. 36B. 24C. 22D. 2010.已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB 于D ，若5FA DA =u u u r u u u r ，则AB 斜率为( ) A. 43- B. 34- C. 12- D. 211.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 52⎛- ⎝C. 1,320⎛- ⎝D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭ 12.已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A. 1010πB. 20212πC. 2020πD. 40412π 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.已知x ，y 满足约束条件10{00x y x y x +-≤-≤≥，则2z x y =+的最大值为__________．14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为e ，则2e =______________.15.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)，若()f x 在[0,1]上恰好有两个最值，且在11[,]44-上单调递增，则ω=_____________. 16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.在平面四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接,CE DE ，已知4AE BE =，4AE =，7CE =，若23A B CED π∠=∠=∠=.（1）求BCE ∆的面积；（2）求CD 的长.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，且CE EF ⊥.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CE CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.19.设直线:6AC y x =与直线:6BD y x =-分别与椭圆22:14x y E m m +=(0)m >交于点,,,A B C D ，且四边形ACBD的面积为（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点 (0,2)P 的动直线 l 与椭圆E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以M N 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.20.材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“33+”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“312++”模式，所谓“312++”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“312++”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率． （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分；①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生丙得知他实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学 信息的真伪．附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；(22)0.9544P X μσμσ-≤≤+=；(33)0.9974P X μσμσ-≤≤+=. 21.已知函数()2(0)x f x e ax a =->.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若m n a e e =+（,m n 为给定的常数，且m n <），记()f x 在区间(,)m n 上的最小值为(,)g m n ，求证：(,)(1ln 2)(1ln 2)m n g m n m e n e <--+-+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4—4：极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l .（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线 l 顺时针方向旋转6π后与圆1C 、圆2C 分别在第一象限交于 A 、B 两点，求||AB . 选修4—5：不等式选讲23.已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+≥. （1）求m 的取值范围；（2）若N m ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f m αα-+≤.哈三中2020届高三学年网络模拟考试数学（理） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，则1i i +=( ) A. 0B. 1-C. 1i -D. 1i +【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，化简即可得解.【详解】由复数的除法运算，化简可得 ()()()111i i i i i i i +⋅-+==-⋅-， 故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2.设{1,2,3}A =，2{|10}B x x x =--<，则A B =I ( )A. {1,2}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {1}【答案】D【解析】【分析】 解不等式可得集合B ，再由交集运算即可求解.【详解】2{|10}B x x x =--<，解不等式可得1515|B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 所以由交集运算可得{}{}1,2,31515|1A B x x ⎧⎫-+⎪⎪=<<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭I I ， 故选：D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的简单运算，属于基础题.3.某校为了研究a ，b 两个班的化学成绩，各选了10人的成绩，绘制了如下茎叶图，则根据茎叶图可知，a 班10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是( )A. 83，aB. 82.5，bC. 82.5，aD. 82，b【答案】C【解析】【分析】 根据茎叶图，可求得a 班化学成绩的中位数；由数据分布情况，即可判断化学成绩更稳定的班级.【详解】由茎叶图可知，a 班10人化学成绩从低到高排列，第五个人的成绩为82，第6个人的成绩为83，所以a 班化学成绩的中位数为828382.52+=； 由茎叶图中的叶的分布可知，a 班化学成绩分布较为集中，且低成绩和高成绩人数较少，因而a 班化学成绩更稳定.故选：C.【点睛】本题考查了茎叶图的简单应用，由茎叶图的数据求中位数并由数据分布判断稳定性，属于基础题.4.已知向量(,1)a b x ==r r 且a r 与b r 的夹角为60︒，则||b =r ( )A. B. 13C. D. 23【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及夹角求法，即可求得参数x 的值，进而可得向量的模.【详解】向量(,1)a b x ==r r 且a r 与b r 的夹角为60︒， 由平面向量数量积的坐标运算可得cos 60a b a b⋅︒=⋅r r r r ，代入可得12=x =所以3b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，由模的运算求得b ==r ， 故选：A.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，由夹角求参数并进而求得向量的模，属于基础题. 5.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )A. 国防大学，研究生B. 国防大学，博士C. 军事科学院，学士D. 国防科技大学，研究生【答案】C【解析】【分析】根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题. 6.函数2()ln(1)x x e e f x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解. 【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.7.为计算3232231234599100S =+++++++L 设计了如图所示的的程序框图，在◇和□两个空白框中分别可以填入( )A. 101i ≤和3(1)N N i =++B. i <99和2(1)N N i =++C. 99i ≤和2(1)N N i =++D. 101i <和3(1)N N i =++ 【答案】D【解析】 【分析】先将输出值的表达式分成两部分，平方部分与立方部分，即可得□内必为三次方求和形式；再根据所求表达式的最大值，即可确定◇内的内容.【详解】将式子3232231234599100S =+++++++L ， 等价化为2223331359924100S =++++++++L L ，由程序框图可知，2M M i =+，则□内必为三次方求和形式，故排除BD ；因为2223331359924100S =++++++++L L ，从1i =开始，先计算平方形式，而平方形式只计算到299，因而A 中101i ≤时，会计算到2101，不合题意排除.则◇内应填写101i <.综上可知，◇和□两个空白框中分别填入101i <及3(1)N N i =++，故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的综合应用，根据输出值完善程序框图，注意对输出式子的理解，属于中档题.8.已知数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，n S 为其前n 项和，若11a =，23a =，则6S =( ) A. 128 B. 126 C. 124 D. 120【答案】D 【解析】 【分析】根据首项及递推公式，依次代入即可分别求得23456,,,,a a a a a ，即可得6S 的值.【详解】数列{}n a 满足211112n n n n n n a a a a a a -+-++=⋅++，11a =，23a =， 当2n =时，代入可得22213132a a a a a a +=⋅++，解得37a =， 当3n =时，代入可得23324242a a a a a a +=⋅++，解得415a =， 当4n =时，代入可得24435352a a a a a a +=⋅++，解得531a =， 当5n =时，代入可得25546462a a a a a a +=⋅++，解得663a =，n S 为数列{}n a 前n 项和，则6123456S a a a a a a =+++++137153163=+++++120=，故选：D.【点睛】本题考查了递推公式求数列项的应用，前n 项和的求法，属于中档题.9.现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为( ) A. 36 B. 24 C. 22 D. 20【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得甲乙相邻的所有排列方法，再扣除甲乙相邻且甲和丁也相邻的情况，即为甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数.【详解】当甲乙相邻，捆绑后作为一个整体，与另外三人全排列共有24242432148A A =⨯⨯⨯⨯=种；若甲和乙相邻、甲和丁也相邻，则甲不能在最左端和最右端，当甲站在中间三个位置时，乙和丁分别位于两侧，另两个人站剩余两个位置，共有12232232212C A A =⨯⨯=种.故甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为481236-=种， 故选：A.【点睛】本题考查了排列组合问题的实际应用，对位置由特殊要求的排列问题，选择用总数去掉不合题意的部分，即为所求内容，是常用方法，属于中档题.10.已知抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ，过M 作//MD PF 交AB 于D ，若5FA DA =u u u r u u u r，则AB 斜率为( ) A. 43-B. 34-C. 12-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求得焦点坐标和准线方程，作1AA 垂直于准线交准线于1A ，画出几何关系图形.由//MD PF 且5FA DA =u u u r u u u r ，可得15AF AM AD AP ==，结合抛物线定义可知115A x AM AP AA ==求得点A 的横坐标，代入抛物线方程可求得纵坐标.由两点间斜率公式可得直线AF 斜率，即为AB 的斜率.【详解】抛物线C 的方程为24y x =，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点（点A 在x 轴上方），点(1,2)P -，连接AP 交y 轴于M ， 则()1,0F ，准线方程为1x =-.根据题意画出几何关系如下图所示：作1AA 垂直于准线交准线于1A .//MD PF 且5FA DA =u u u r u u u r ，则15AF AM AD AP ==， 1AA 垂直于准线交准线于1A ，则115A x AM AP AA ==， 即115A A x x =+，解得14A x =， 代入抛物线方程可得1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 斜率，即为AF 的斜率，所以1041314k -==--. 故选：A.【点睛】本题考查了抛物线标准方程及其几何性质的综合应用，平行线分线段成比例性质应用，直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题.11.已知函数2(1)1,2 ()1(2),22x xf xf xx⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx=-有4个零点，则实数m的取值范围是( )A.516,26⎛⎫-⎪⎝⎭B.56,3222⎛⎫--⎪⎝⎭C.1,32220⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,206⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】根据函数零点定义可知()f x mx=有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x≤<和46x≤<的解析式，可求得y mx=与两段函数相切时的斜率，即可求得m的取值范围.【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x xf xf x x⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx=-有4个零点，即()f x mx=有四个不同交点.画出函数()f x图像如下图所示：由图可知，当24x≤<时，设对应二次函数顶点为A，则13,2A⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk==，当46x≤<时，设对应二次函数的顶点为B，则15,4B⎛⎫⎪⎝⎭，114520OBk==.所以11206m<<.当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mx y x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得3m =-3m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得52m =52m =；故当()f x mx =有四个不同交点时52m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.12.已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( ) A. 1010π B.20212π C. 2020πD.40412π 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=L 由余弦和角与差角公式的应用，变形可得()12020202120212cos cos 2cos cos22i i i d a a a a --++=⨯，令120202a a m +=，代入化简并构造函数()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦L ，求得()g x '并判断符号，可证明()g x 为单调递增函数，且可得2m π=，从而1202022a a π+=，进而由等差数列前n 项和公式即可求解.【详解】等差数列{}n a 的公差为2020，设2020.d =函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=L ， 则()()122020122020cos cos cos 1010a a a a a a π+++++++=L L ， 即()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=L ① 对11010,i i Z ≤≤∈，由余弦的和角与差角公式化简可得2021cos cos i i a a -+()()()()2202122021222021220212cos cos 2222i i a i d i d a i d i d +--+--⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()220212202122coscos22i a i d i d +--=⨯()2021202122cos cos 22i i i d a a --+=⨯ ()12020202122cos cos22i d a a -+=⨯，记120202a a m +=，将①化简可得 ()()()12020220191010101120201010m a a a a a a π⎡⎤-++++=⎣⎦L ，即20192017201520202cos coscos cos cos 10102222d d d d m m π,⎡⎤-⋅+++=⎢⎥⎣⎦L ② 令()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦L ， 由2020.d =可得()20192017201520202sin cos cos cos cos 2020202002222d d d d g x x ⎡⎤'=+⋅+++>-=⎢⎥⎣⎦L ，所以()g x 在R 上单调递增，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由②可知()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以()120202020202010102a a S π⨯+==，故选：A.【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13.已知x ，y 满足约束条件10{0x y x y x +-≤-≤≥，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】2 【解析】解：如图所示，绘制不等式组表示的可行域，观察可知，目标函数在点()0,1A 处取得最大值22z x y =+= .点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：a zy x b b=-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为e ，则2e =______________.【答案】2或422± 【解析】 【分析】根据等腰三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论.先求得对应渐近线的倾斜角，可得渐近线的斜率，进而得,a b 的等量关系，即可求得双曲线离心率的平方值.【详解】过2F 作一条直线l 与其两条渐近线交于,A B 两点，若AOB ∆为等腰直角三角形，有以下三种情况： ①，当过2F 的直线l 斜率不存在时，如下图所示：根据双曲线的对称性可知，若AOB ∆为等腰直角三角形， 则,2OA OB AOB π=∠=.所以其中一条渐近线的倾斜角为4π，即tan 14ba π==，则a b =，由双曲线性质可得22222c a b a =+=，所以2222222c a e a a===；②，当过2F 的直线l 与渐近线的两支相交情况如下图所示时：若AOB ∆等腰直角三角形，则,4OA AB AOB π=∠=，所以此时其中一条渐近线的倾斜角为38π，由半角公式可得tan 218π=，所以tantan348tan2181tan tan 48πππππ+==-⋅， 即21ba=， 所以由(2222422c a b a =+=+， 所以(22222422422a c e aa+===+③当过2F 直线l 与渐近线的两支相交情况如下图所示时：若AOB ∆为等腰直角三角形， 则,4OB AB AOB π=∠=，所以此时其中一条渐近线的倾斜角为8π，由半角公式可得tan 218π=，所以21ba=-， 所以由(2222422c a b a =+=-， 所以(22222422422a ce a a -===-综上可知，双曲线离心率的平方为2或422±， 故答案为：2或422±.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，根据等腰直角三角形条件，分类讨论直角顶点的情况，正切和角公式的应用，直线倾斜角与斜率关系，计算量较为复杂，属于难题. 15.已知函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)，若()f x 在[0,1]上恰好有两个最值，且在11[,]44-上单调递增，则ω=_____________. 【答案】43π【解析】 【分析】根据函数所过的顶点，即可求得ϕ的值，代入解析式，由()f x 在[0,1]上恰有两个最值及在11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得关于ω的不等式组，结合不等式组即可求得ω的值.【详解】函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><过点(0,1)， 代入可得12sin ϕ=，解得26k πϕπ=+或52,6k k Z πϕπ=+∈， 因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 则()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由()f x 在[0,1]上恰有两个最值，所以3625620x x ππωππωω⎧+≥⎪⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得4733ππω≤<； ()f x 在11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则满足4624620ωππωππω⎧-+≥-⎪⎪⎪+≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得403πω<≤， 综上可知43πω=. 故答案为：43π. 【点睛】本题考查了三角函数的性质及应用，函数单调性、最值的综合应用，属于中档题.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）【答案】1.7820【解析】【分析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ； 因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ，所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ，故答案为：1.7820.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.在平面四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接,CE DE ，已知4AE BE =，4AE =，7CE =，若23A B CED π∠=∠=∠=.（1）求BCE ∆的面积；（2）求CD 的长.【答案】（1）32BCE S ∆=；（2）7CD = 【解析】【分析】（1）由题意可得1BE =，在BCE ∆中由余弦定理可求得BC ，结合三角形面积公式即可得BCE ∆的面积. （2）由23A B CED π∠=∠=∠=可得BCE AED ∠=∠，从而证明BCE AED ∆∆:，可求得ED .再在CDE ∆中由余弦定理即可求得CD 的长.【详解】（1）由题意可知4AE BE =，4AE =，则1BE =.在BCE ∆中由余弦定理可得2222cos CE BC BE BC BE B =+-⋅⋅， 代入可得227121cos3BC BC π=+-⨯⨯， 解得2BC =， 由三角形面积公式可得1sin 2BCE S BC BE B ∆=⋅⋅1212=⨯⨯= （2）因为23A B CED π∠=∠=∠=， 所以3BCE CEB AED CEB π∠+∠=∠+∠=， 则BCE AED ∠=∠，因为A B ∠=∠，所以BCE AED ∆∆:， 则2142CE BC ED AE ===，所以2ED CE ==，在CDE ∆中由余弦定理可得2222cos CD DE CE DE CE CED =+-⋅⋅∠，代入可得222872cos493CD π=+-⨯=， 所以7CD =.【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，由相似三角形求线段长，属于基础题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，侧面11ABB A 是边长为2的正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，且CE EF ⊥.（1）证明：平面11ABB A ⊥平面ABC ；（2）若CE CB ⊥，求直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【解析】【分析】（1）取AB 中点O ，连接,OE OC ，由正方形性质及条件，可证明EF ⊥平面OCE ，从而可得EF OC ⊥，进而证明OC ⊥平面11ABB A ，即可由面面垂直的判定定理证明平面11ABB A ⊥平面ABC ； （2）结合（1）及线面垂直关系，可得,,OF OC OF OA OC OA ⊥⊥⊥.以O 为坐标原点，,,OC OA OF u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面CEF 的法向量，即可由线面夹角的向量求法求得直线1AC 与平面CEF 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连接,OE OC ，如下图所示：三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =， O 为AB 中点，则OC AB ⊥，11ABB A 是为正方形，点E 、F 分别是线段1AA ，11A B 的中点，O 为AB 中点，所以OE EF ⊥，又因为CE EF ⊥，且OE CE E ⋂=，所以EF ⊥平面OCE ，又因为OC ⊂平面OCE ，所以EF OC ⊥，且AB OC ⊥，EF 与AB 相交，则OC ⊥平面11ABB A ，又因为OC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面11ABB A .（2）因为1AA AB ⊥，平面ABC I 平面11ABB A AB =，平面ABC ⊥平面11ABB A .所以1AA ⊥平面ABC ，则1AA BC ⊥.又因为BC CE ⊥，1CE AA E ⋂=，所以BC ⊥平面11AAC C ，则BC AC ⊥.所以1OC =.又1AA ⊥平面ABC ，1//AA OF ，所以OF ⊥平面ABC ，从而,,OF OC OF OA OC OA ⊥⊥⊥.以O 为坐标原点，,,OC OA OF u u u r u u u r u u u r 分别为,,x y z 轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系：则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0O C A ，()()()10,1,1,0,0,2,1,0,2E F C .所以()()()11,1,1,1,0,2,1,1,2CE CF AC =-=-=-u u u r u u u r u u u u r .设平面CEF 的法向量为(),,n x y z =r .则00CE n CF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即020x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令1z =，解得2,1x y ==， 则()2,1,1n =r ，设直线1AC 与平面CEF 所成的角为θ， 由直线与平面夹角的求法可得111sin 2AC n AC n θ⋅==⋅u u u u r r u u u u r r . 【点睛】本题考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的性质与判定，利用空间向量求直线与平面夹角的方法，属于中档题.19.设直线3:AC y x =与直线3:BD y x =分别与椭圆22:14x y E m m +=(0)m >交于点,,,A B C D ，且四边形ACBD 的面积为3（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点 (0,2)P 的动直线 l 与椭圆E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点，且以M N 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据两条直线解析式特征可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，则ACBD 为矩形，将:6AC y x =与椭圆方程联立，表示出交点的横纵坐标，即可由四边形ACBD 的面积确定参数，求得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程2y kx =+，两个交点坐标()()1122,,,M x y N x y .联立椭圆方程后化简，用韦达定理表示出1212,x x x x +，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，由平面向量数量积的坐标运算代入即可求得斜率k .由中点坐标公式即可求得线段MN 中点G 的坐标，进而求得2OG 的值，即可得圆的标准方程.【详解】（1）由题意可知直线AC 与直线BD 关于坐标轴对称，所以四边形ACBD 为矩形，则2214x y m m y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得A A x y ==所以4D A B A AC x y S ⋅===解得1m =， 代入椭圆方程可得2214x y +=. （2）存在.设()()1122,,,M x y N x y ，由题意可知直线MN 的斜率必然存在.直线MN 过点 (0,2)P ，设直线MN 的方程为2y kx =+， 则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()224116120k x kx +++=， 所以1212221612,4141kx x x x k k +=-=++，经过原点，且以 M N 为直径的圆满足OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，则1212OM ON x x y y ⋅=+u u u u r u u u r()()121222x x kx kx =+++()()21212124k x x k x x =++++()()21212124k x x k x x =++++()222121612404141k k k k k ⎛⎫=+⨯+-+= ⎪++⎝⎭， 解方程可得2k =±，经检验可知都满足>0∆.设线段MN 的中点为()00,G x y . 则1202816,21741x x k x k +==-=±+ ()121202422,221741k x x y y y k +++====+ 所以22200260289OG x y =+=， 所以存在满足条件的圆，圆的方程为221622601717289x y ⎛⎫⎛⎫±+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线与椭圆位置关系，直线与椭圆交点坐标求法，由韦达定理求参数值，中点坐标公式的应用，圆的标准方程求法，平面向量数量积的坐标运算，综合性强，属于难题.20.材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设 置“33+”的考试科目．前一个“3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语.除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分．即通常所说的“312++”模式，所谓“312++”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“312++”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率．。
黑龙江省哈尔滨市2020届高三数学5月模拟复课联考试题理(PDF)
题的是
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A. pz A pz
B.仏 V （「pz）
C. p-\ A p3
D.久 A （「）
10,把方程+
- 1 表示的曲线作为函数>=/（x）的图象，则下列结论正确的是
R ① 八了）在 上单调递减
Ze
e
o
12.已知双曲线 C：弓- * = l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为 Fi ,码，过 F,的直线 I 与双曲线 a o
C 的左支交于 A、B 两点.若|AB| = |AFz I，匕 BAF'2 = 12O°,则双曲线 C 的渐近线方程为 A ・ y= 士寻 1
1
B ・ y=±^j?
C.y=±(V3-V2)x
超过 1 小时
不超过 1 小时
男
20
8
女
12
m
(1) 求 ms； (2) 能否有 95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过 1 小时与性别有关？ (3) 从该校学生中随机调查 60 名学生，一周参加社区服务时间超过 1 小时的人数记为 X,以
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 A ={x|x 2−3x +2≥0}，B ={x|2x <4}，则 A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x ∈R}C. {x|x ≤1}D. {x|x >2}2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =2−xB. y =lnxC. y =x −2D. y =|x|−14. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=07. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 328. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π9. 阅读如图所示的程序框图，若输入a =0.45，则输出的k 值是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 数列{a n }的通项公式为a n =1(n+1)(n+2)，则{a n }的前10项之和为( )A. 14B. 512C. 34D. 71212. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫(1−1√1−x 2−1)dx = ______ ．14. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为____.15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg2=0.3010，次可使杂质含量减少13lg3=0.4771)16.在三棱锥S−ABC中，ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π，则2(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
哈尔滨市第三中学2020届高三数学第五次模拟考试试题理含解析
【解析】
【分析】
根据题意，由排列组合公式分析 名志愿者辅导 门学科的情况，即可求解.
【详解】根据题意，要求甲、乙、丙 名志愿者每名志愿者至少辅导一门学科，
每门学科由 名志愿者辅导，则必有 人辅导 门学科.
则有 .
故答案为：36
【点睛】本题考查了排列组合的应用，掌握排列组合公式的计算,属于基础题。
（2）由余弦定理得 ,从而得 ，
又 ，所以 ，所以 的面积为 。
【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.
18.为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策。某市拟定出台“房产限购的年龄政策”。为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，在20∼60岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：
12.已知 、 ,则 的最小值为（ ）
A. B. C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
代数式 可视为直线 上一点 到抛物线 上一点 的距离,然后利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得所求代数式的最小值.
【详解】代数式 可视为直线 上一点 到抛物线 上一点 的距离，
则点 到直线 的距离为 ，
A。 B. C. 4D。
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 分别是 的中点,得到 ,利用正方体的结构特征，由 ,从而可得 ，由平面的基本性质得到 在同一平面内,截面是等腰梯形 ,利用梯形面积公式即可求解.
【详解】由题意可得,如图所示:
因为 分别是 的中点，
所以 ，
在正方体中， ,
所以 ，
所以 在同一平面内,
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式 (x 1) f (x) 0 的解集为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．(本小题满分 12 分)
ABC 的内角 A, B,C 的对边分别
形．现将 ADE 沿 AD 折起，连接 EB ， EC 得如图②的几何体．
D C
E
M
E
D
C
B A
图①
B A
图②
（1）若点 M 是 ED 的中点，求证： CM //平面 ABE ； （2）若 EC 3 ，在棱 EB 上是否存在点 F ，使得二面角 E AD F 的余弦值为
22
EF
？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
则 2sin( A B) sin A 2sin B cos A ，则
2sin Acos B sin A ,在 ABC 中, sin A 0 ,所以 cos B 1 ,…………………………4 分 2
则 B ……………………………………………………………………………..………6 分 3
（2）由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B ,
坐标方程；
（2） 若 ，设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A, B ，点 P(1,1) ，求 1 1 的
3
PA PB
值．
23．[选修 4-5：不等式选讲] (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) x a x b，(a 0,b 0) ． （1） 当 a 1,b 3 时，求不等式 f (x) 6 的解集； （2） 若 f (x) 的最小值为 2 ，求证： 1 1 1．
第 I 卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1． 已知复数 z1 a 3i, z2 2 i(i 为虚数单位 ) ，若 z1z2 是纯虚数，则实数 a
3 A． 2
3 B． 2
C． 3
D． 3
2． 已知集合 A {x | x2 2x 3 0, x Z} ，集合 B {x | x 0}，则集合 A B 的子集个
数为
A． 2
B． 4
C． 6
3． 已知向量 a (2,3) ， b (3, x) ，若 a // b ，则实数 x
D． 8
A． 2
B． 2
9 C． 2
A．①②④
B．①④
C．②④
D．②③
12．已知
a, b
R
(a
，则
b) 2
(a
1
b2 2
)2
的最小值为
2 A． 4
1 B． 8
2 C． 2
第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1 D． 4
E : x2 y2 1(a 0,b 0)
13．已知双曲线 a2 b2
nk
1(k
2, k N ) 时，不等式左边应在 n
k(k
2, k N ) 的基础上加上
1 2k
；
② 若命题 p ： x0 R, x02 2x0 2 0 ，则 p : x R, x2 2x 2 0 ；
③ 若 a 0,b 0, a b 4 ，则 1 1 ； ab 2
④ 随机变量 X ~ N (, 2 ) ，若 P( X 2) P( X 0) ，则 1 ．
44 岁及 44 岁以上 45 5
总计 80 20
总计
50
50
100
k0
计算观测值
100 (35 5 4515)2 50 5080 20
25 4
6.25 3.841
，
..................................4 分
所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 44 岁为分界点的不同人群对“房产限购年
3
EB
20．(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F 是椭圆 x 2 y 2 1的一个焦点． 43
（1） 求抛物线 C 的方程；
（2） 设 P, M , N 为抛物线 C 上的不同三点，点 P(1, 2) ，且 PM PN ．求证： 直线 MN 过定点．
K2
n(ad bc)2
参考公式：
(a b)(c d )(a c)(b d ) ．
P K 2 k0
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
19．(本小题满分 12 分)
如图①，在平面五边形 ABCDE 中， ABCD 是梯形，
AD // BC ， AD = 2BC = 2 2 ， AB 3 ， ABC 90 ， ADE 是等边三角
5
15
28
17
（1）由以上统计数据填 2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下
认为以 44 岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？
44 岁以下
44 岁及 44 岁以上
总计
支持
不支持
总计
（2）若以 44 岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参 加政策听证会，现从这 8 人中随机抽 2 人．记抽到 44 岁以上的人数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望．
控政策．某市拟定出台“房产限购的年龄政策”．为了解人们对“房产限购年龄政策”
的态度，在年龄为 20 60 岁的人群中随机调查 100 人，调查数据的频率分布直方图和
支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示：
年龄
[20,28)
[28,36)
[36,44)
[44,52)
[52,60)
支持的人数
15
黑龙江省哈三中 2020 届高三数学第五次模拟考试试题 理
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效， 在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
在直角坐标系
xOy
中，直线 l
的参数方程为
x
y
1 t cos 1 t sin
（ t 为参数， 0
），
以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
(1 cos 2 ) 8cos ．
（1） 求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 在 x 轴正半轴及 y 轴正半轴截距相等时的直角
10．正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2， E 是棱 B1C1 的中点，则平面 AD1E 截该正方体
所得的截面面积为
A． 4 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B． 2 2
C． 4
9
D．
2
11．给出下列命题，其中真命题为
①
用数学归纳法证明不等式
1 2
1 3
1 4
...
1 2n1
n
2
2
(n
2, n
N ) 时，当
为 a,b, c ．满足 2c a 2b cos A ．
频率 组距
0.0375 0.0250 0.0125
O 20 28 36 44 52 60 年龄
（1）求 B ；
（2）若 a c 5,b 3 ，求 ABC 的面积．
18．(本小题满分 12 分)
为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调
“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作
者子女在线辅导功课．现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、
生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有
种辅导方案．
16．设 f '(x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导数，当 x 0 时， f (x) f '(x) x ln x 0 ，则不等
分之一个圆，则该几何体的体积为
A． 3
C．
2 B． 3
4 D． 3
正视图
侧视图
俯视图
f (x)
9． 已知函数
2 sin(x ) 4，
f1(x)
f
'(x) ，
f2 ( x)
f1 '(x) ，
f3(x)
f2 '(x) ，…，依
此类推，
f2020 ( 4 )
A． 2
B． 2
C． 0
D． 2
的离心率为 2，则双曲线的渐近线方程为
．
14．已知数列{an }的前 n 项和为 Sn ， an an1 2n 3, a1 2 ，则 S11
．
15．2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于
除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担
从而得 9 a2 c2 ac (a c)2 3ac ，…………………………….…………………9 分
又 a c 5 ，所以 ac 16 ，所以 ABC 的面积为 4