三角函数线的解题功能(教师版)

三角函数线的解题功能

一.求三角函数的定义域

例1.求下列函数的定义域：

分析: 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围.

解: （1）如图1，

(2）如图2，

点评: 三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较大小及求函数定义域.

二.解三角不等式

例2.已知|cos θ|≤|sin θ|，求θ的取值范围.

分析: 我们可以在单位圆中作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出满足|cos θ|≤|sin θ|的θ角范围.

解：如图3所示，根据|cos θ|＝|sin θ|，即θ角正弦线的绝对值和θ角余弦线的绝对值相等，则θ角的终边落在y=x 和y=-x 上，满足|cos θ|≤|sin θ|的θ角的终边落在阴影部分，

点评:本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角θ的范围，再写出角θ的集合.

三. 比较大小

例3.比较下列各组数的大小：

分析:我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线、余弦线、正切线来比较它们的大小.

解：（1）如下图所示，在单位圆中作出的余弦线OM 2和OM 1，

∵OM 1

（2）如下图所示，sin ＝MP ，tan ＝AT ，

图1 x=

2

1

图2

∵MP

点评: 本题主要考查正弦线、余弦线、正切线的应用比较大小的.

四.证明三角不等式

例4.利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1．

分析：找出角α的正余弦线，数形结合易证．

证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r(r=1）．

所以|sin α|＋|cos α|＝1.

当角α的终边落在一个象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有: |sin α|＋|cos α| =|MP|十|OM|＞1.

综上有|sin α|＋|cos α|≥1．

点评:本题利用三角函数定义,把三角问题转化为代数问题而获解决,这种方法,值得重视.对于sin θ+cos θ>1,也可以利用三角函数线来证明,此外该结论还可推广,若θ为任意角,则有|sin θ|+| cos θ|≥1.

[三角函数线基础练习一]

1、=

2205sin

A ．

2

1

B ．2

1-

C ．

2

2

D ．2

2-

2、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（ ） A ．π4 B ．3π4 C ．7π4 D ．3π4 或 7π4

3、若0<α<2π，且sin α<

2

3

, cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ）

A ．（－π３ ，π３ ）

B ．（0，π３ ）

C ．（5π３ ，2π）

D ．（0，π３ ）∪（5π

３ ，2π）

4、若π4 <θ < π

2 ，则下列不等式中成立的是 （ ）

A ．sin θ>cos θ>tan θ

B ．cos θ>tan θ>sin θ

C ． tan θ>sin θ>cos θ

D ．sin θ>tan θ>cos θ

5、函数|

tan |tan cos |cos ||sin |sin x x

x x x x y ++=的值域是

（

）

A ．{1}

B ．{1，3}

C ．{-1}

D ．{-1，3}

6、依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin

π6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8

；④sin 3π5 >sin 4π

5 ．其中判断正确的有 （ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7、若－2π３ ≤θ≤π

6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．

8、若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α ． 9、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合． ⑴ sin x ≥

2

2

；⑵ cos x ≤ 12 ；⑶ tan x ≥－1 ；（4）21sin ->x 且21cos >x ．

基础练习一参考答案

CDDCDB ⎥⎦

⎤⎢

⎣

⎡

-21,1； Z k k k ∈⎪⎭⎫

⎝⎛++,43,4ππππ。

（1）

()Z k k k ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++-ππππ243,24； （2）

()Z k k k ∈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++ππππ235,23； （3）

()Z k k ∈⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡∞++-,4ππ； （4）()Z k k k ∈⎪⎭

⎫

⎝⎛++-ππππ23,26。

[三角函数线基础练习二]

1．下列命题中为真命题的是( )

A ．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角

B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点

C ．终边在第二象限的角是钝角

D ．终边相同的角必然相等 [答案] B

[解析] 三角形的内角有可能是π

2

，属非象限角；

终边在第二象限的角不一定是钝角；终边相同的角不一定相等，故A 、C 、D 都不正确． 2．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )

A ．在x 轴上

B ．在y 轴上

C ．在直线y ＝x 上

D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上 [答案] B

[解析] ∵sin α＝1或sin α＝－1，∴角α的终边在y 轴上．

3．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( )

A ．sin1>sin1.2>sin1.5

B ．sin1>sin1.5>sin1.2

C ．sin1.5>sin1.2>sin1

D ．sin1.2>sin1>sin1.5 [答案] C

[解析] 数形结合可知，C 正确．

4．已知θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a 、b 、c ，则它

们的大小关系是( )

A ．a >b >c

B ．c >a >b

C ．c >b >a

D ．b >c >a

[答案] B

[解析] 如图，AT >MP >OM ，即c >a >b .

5．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝2

3

，则这个三角形是( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形