高等代数复习题.doc

D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根
4.下列命题为真的是().
A.若p2( x) f ( x),则p(x)是f ( x)二重因式
B.若p(x)是f ( x), f ( x), f ( x)的公因式,则p(x)的根是f (x)的三重根
C.f ( x)有重根f (x), f ( x)有一次因式
v(x) g( x))
B.deg( ( x))min{deg f (x),deg( g( x))}（deg意思为次数）
C.若存在u( x), v(x),使u( x) f (x)v( x) g (x)( x),则( f ( x), g( x))
( x)
D.若x
a |
(x),则
f (a)
g( a)
0
2.若( f ( x), g ( x)) 1,则以下命题为假的是( ).
g( x)q( x)r (x),则( f ( x), g (x))( g( x), r (x)).()
是数 域P上 的不 可约 多项 式,那 么对 于任 意的cP,且
是P上的不可约多项式.
()
5.若一个整系数多项式在有理数域上可约,则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积.
第二章行列式
自测题
一、填空题
1),则下列命题为真的是（
）.
A.如果有一个
j(1
i
s)是整个向量1,
2,
,i 1,
i,i
1,
,
s的线性组合，
则该向量组线性相关
B.如果有一个向量
j(1
i s)是不是其余向量的线性组合，哪么该向量组线
性无关
C.如果向量组1,
2,
,
s线性相关，那么其中有零向量
D.如果1,2成比例，则
1,2,
,n线性相关
B.
秩( A
B)秩(A)
秩( B)
C.秩( A B)
秩( A)
秩( B)
D.
秩( A)
0或秩( B) 0
第五章二次型 自测题
一、填空题
1.二次型f (x1, x2, x3, x4)8x1x42x3x42 x2x38x2x4的矩阵为.
2.两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵.
3.两个n元复二次型等价的充要条件是.
相关（）
４、若两个向量组具有相同的秩，则这两个向量组一定等价。（）
第四章矩阵自测题
一、填空题
1.
若矩阵A的秩为2,则P(2,3) AP (3,2(
3))的秩为.
2.
设A (aij
)5 5,则|-2A|=.
3.
若
A (aij
2
则
A
1=.
)n n可逆,且A 2 A E 0,
4.
设A (aij
)s n, B (bkj)n m(s, n, m互不相同)则A B, A
1,
2,
,
s线性无关
D.如果线性无关，那它可能有一个部份组
i1
,
i 2
,
,
it线性相关
4.设向量组
1,
2,
,
s的秩为r
，则下列命题为假的是（
）.
A.如果
1,
2,
,
r线性无关，则它与
1,
2,
,
s等价
B.如果每 个向量
i(1
i
s)都可 以由向量 组
1,
2,
,
s的一个部份组
i 1,
i 2,
,
it线性表出，则
，（1）
有无穷多个解的充要条件是.
3.
A (a
)
， 的行向量组线性相关的充要条件是秩
( A)
，秩
( A) n
ij
s
n
A
时，齐次线性方程组AX
0的解为.
4.设i
(
i1,
i 2,
,in)(i
1,2, , n)，则1,2,
,
n线性无关的充要条件是
行列式aij
，对于任意的n维向量
都是1,
2,
,n的线性组合的充要条
B, AB, BA中有意义
的是.
5.
设A、B、C都是n阶可逆矩阵,且AC2B
CB,则C1=.
二、选择题
、B为n阶方阵，下列结论正确的是（
）
A. AB
BA
B.
若AB
AC ,则B C
C.( AB) B A
D.
若AB
0,则A 0或B 0
2.若A是3阶方阵,则2A A1
(
).
B.
1
3
3.A
( aij)n n
D.若f (x)有重根,则f ( x)有重因式,反之亦然
三、判断题
1.
设f ( x), g( x), h( x)
P[ x],若g (x)
不 能 整 除h(x),则g (x)不 整 除
( f ( x)
h( x)).
(
)
2.零多项式能被任意多项式所整除,也能整除任意多项式.()
3.若f ( x)
4.如 果p( x) c 0, cp (x)也
（）.
A.等价但不合同
B.合同
C.互逆
D.相等
4.设A、B为
n阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（
）.
A.若A正定，则
A-1也正定
B.若A、B正定，则A+B也正定
C.若A0，则A正定
D.若A的主子式都大于0，则A正定
一、填空题
1.矩阵的行向量组的秩与的秩相等，对矩阵施行不改变矩阵
的秩，对矩阵施行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵中的
即为矩阵的秩.
2.设线性方程组wk.baidu.com
a11x1
a12x2
a1 nxn
b1,
a21x1
a22x2
a2nxn
b2,
（1）
as1x1
as2x2
asnxn
bs
的系数矩阵与增广矩阵分别为A和A，则（1）有解的充要条件是
第一章多项式自测题
一、填空题
1.设g( x) f (x)，则
f ( x)
与g ( x)
的一个最大公因式为
．
2.
f ( x)
anxn
an 1xn 1
L
a1x
a0
P[ x]
,若
x | f ( x)
,
则a0
;
若
x1是f ( x)
的根,则a0
a1
a2
L
an
.
3.若( f ( x), f ( x))
x1,则
是
4.两个n元实二次型等价的充要条件是.
元正定二次型的正惯性指数为.
二、选择题
1.下列说法错误的是（）.
A.若两个矩阵合同，则它们必等价
B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然
C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同
变换化为对角形
元正定二次型的矩阵与n阶单位矩阵合同
2.下列说法正确的是（）.
C. aij
bij
n n
aij
n n
bij
n n
a11
a12
a13
a21
a22
a23
D.
a21
a22
a23
a31
2a11
a32
2a12
a332a13
a31
a32
a33
a11
a12
a13
5.下列命题为真的是( ).
A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不
变
B.
若a
中
aij的 代 数 余 子 式 为
A.可用非退化线性替换将任意n元二次型化为标准型，且标准型是唯一的
B.合同变换可能改变矩阵的秩或对称性
C.任意n阶方阵都正交相似于一个对角形矩阵
D.二次型的规范形是唯一的，实二次型的规范形由其秩与正惯性指数唯一确定
3.实 二次 型f ( x1, x2)x122 x1x22x22与g( x1, x2)x12x22的 矩 阵 关 系 为
a13
a21
a31
a11
5.
设a21
a22
a23
d,则a22
a32
a12
.
a31
a32
a33
a23
a33
a13
二、选择题
a1
a2
a3
a1
2a1
b1
c1
1.设b b
2
b
3,则a
2
2a b c
2
( ).
1
3
1
2
c1
c2
c3
a3
2a3
b3
c3
B.-3
C.6
a
b
c
2.行列式d
e
f中,元素f
的代数余子式为( ).
f ( x)
的
重根.
4.x44在 有 理 数 域,实 数 域,复 数 域 上 的 标 准 分 解 式
为,,.
二、选择题
(以下所涉及的多项式
,都是数域
P上的多项式
)
1.设
(x) | f ( x),
(x) | g (x),且
( x)
0, g( x)与f ( x)
不全为
0,则下列命题为假
的是(
).
A.
( x) | (u(x) f ( x)
,
A*是A的伴随矩阵,则下列命题为假的是( )
A.若秩
( A) n,
则秩
*
B.
若秩
则秩
*
) 1
( A ) n
( A) n 1,
( A
C.若秩
则秩
*
D.
若秩
( A) n 2,
则秩
*
) 0
( A) n 1,
( A ) 1
( A
4.设A, B为n阶方阵,且AB 0
,则下列结论错误的是( )
A.秩( A)秩( B) n
Aij(i , j
1,2,3,L ,n)则
ij
n n
aijn n
ai 1Ak1
ai 2Ak 2
L ainAkn(1 k n)
C.行列式为0的充分必要条件是其两列对应成比例
D.系数行列式不为
0的线性方程组的有且仅有一解
三、判断题
1、奇数次对换改变排列的奇偶性。
（
）
２、A P3 3，则2A8 A。
（
）
第三章线性方程组自测题
g
h
k
d
e
B.
d
e
a
b
a
b
A.
h
g
h
C. -
h
D.
h
g
g
g
3a1
6b1
3c1
a1
b1
c1
3.a2
2b2
c2
2,则a2
b2
c2
(
).
a3
3b3
c3
a3
b3
c3
B.
2
C.
1
D.
1
3
3
2
4.下列等式成立的是( ).
A.a1
c1
a2
c2
a1
a2
c1
c2
b1
d1
b2
d2
b1
b2
d1
d2
B.
aij
n n
aijn n
t
r
C.如果向量组
1,
2,
,
t的秩为r
，则
1,
2,
,t与
1,
2,
,
s等价
D.如果向量组
1,
2,
,
t与
1,
2,
,
s等价，则
1,
2,
,
t的任何r
个线性
无关的向量都是它的极大线性无关组
三、判断题
１、若矩阵A的秩为r，则矩阵A中所有r阶子式全部为零。（）
２、含有零向量的向量组一定线性相关。（）
３、向量组中若存在某一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组一定线性
1.
六级行列式aij
6
中的项a13a32a46a51a25
的符号为.
2.
设aij
n
d ,则kaij
n
.
a
2
0
x
3.已知行列式
0
y
2
0
中元素a与b的代数余子式分别为
-6和8则
0
0
2
1
b
0
0
3
xy.
x1x2ax31
4.
如果方程组
x1
ax2
x3
a有唯一的解,那么a满足的条件是.
ax1
x2
x3
a2
a11
a12
3.设i
Pn(i
1,2,
, s, s
1),下列命题为真的是（
）.
A.如果存在xi
P,(i
1,2, s)使得x1 1
x2
2
xs
s
0，那么向量组线
性相关
B.如果存在全为0的数k1, k2,
,ks使得k1 1
k2 2
ks
s
0，那么向量
组1,2,
,s线性无关
C.如果x1 1
x2
2
xs
s
0只有零解，那么向量组
件是向量组1,
2,
,n
.
5.设数域P上的线性方程组
a11x1
x12x2
x1nxn
b1,
a21x1x22x2
x2 nxn
b2
,
①
as1x1
xs2x2
xsnxn
bs
所对应的齐次线性方程组（①的导出组）②的一个基础解系为
1，
2，,n
r，
①有一个特解为T0，则①的两个解之
是②的解，②的与这个基础解系等价
的
向量组仍为②的基础解系，①的任意一个解r都可以表为.
二、选择题
1.
设
i
Pn(i
1,2,
, s),
Pn
，
若
存
在
kiP,(i
1,2, , s)使
k1
1
k2 2
ks
s，则下列结论错误的是（
）.
A.
是向量组1,
2,
,
s的线性组合
B.
可以由
1,
2,
,
s线性表示
C.向量组 ，1,
2,
,
s线性相关
D.
向量组1,
2,
,s的秩小于s
2.设i
Pn(i
1,2,
, s, s
A.( f
2( x), g3( x))
1
B.
( f ( x), f ( x)
g( x))
1
C.g ( x) | f ( x)h(x)必有
g ( x) | h( x)
D.
以上都不对
3.下列命题为假的是( ).
A.在有理数域上存在任意次不可约多项式
B.在实数域上3次多项式一定可约
C.在复数域上次数大于0的多项式都可约