人教版数学八年级上册十字相乘法及分组分解法复习与巩固提高

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初中八年级数学 12.5.4因式分解分组法和十字相乘法

12.5.4因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）知识要点：1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。

如多项式a2-b2+a-b中没有公因式，又不能直接利用公式分解。

但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组，再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例1分解因式：a2-b2+a-b =（a2-b2）+ （a-b）=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）(a+b+1)⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解。

⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。

无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

练习：把下列多项式分解因式⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc2、十字相乘法二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中若能把常数项q分解成两个因式a,b 的积，且a+b等于一次项系数中的p，则就可以分解成x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解注意：此公式的三个条件要理解·二次项系数是1·常数项是两个数之积。

·一次项系数是常数项的两个因数之和。

㈡对于x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）例如 x2+3x+2因式分解解：∵2=1×2且3=1+2∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)此方法称为十字相乘法十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:★常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数符号相同。

★常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。

数学人教版八年级上册分解因式—十字相乘法

2
（ a 为常数）
例2：分解因式：
( 1 )3 a 7 a 2 a
3 2
( 2 ) 6 x 1 1 x 1 0
2
( 3 )4 m 8 m n 3 n
2
22
2
( 4 )ห้องสมุดไป่ตู้5 a b 2 3 a b 1 0
四、课堂小结
1、本节课你学习了什么方法分解因式？针
对什么类型的多项式因式分解？它的步骤
一次项的系数：用交叉相乘的结果之和检验
十字相乘法定义：
利用十字交叉分解系数，这种把二次三
项式分解因式的方法叫十字相乘法。注:因式分解书写时添上字母横着写；
三、典例解析
例1：把下列二次三项式分解因式：
( 1 ) x 3 x2
2
(2 ) x 4 x5
2
(3 ) x 7 x6
2
(4 ) x 4 x 1 2
二新知探究为常数qxpq2结构特征二次项系数为1的二次三项式1二次项系数为1的二次三项式
十字相乘法分解因式(1)
巴川中学夏林林
一、知识回顾
分解因式：
( 1 )1 2 a b c 3 b c
2
3
(2) 25a 1
2
( 3 )x 1 2 x 3 6
(4 ) x 3 x2
2
二、新知探究
3 2
(7)5a2b2 23ab 10
( 8 ) 7 ( x y ) 5 ( x y ) 2
2
3 3 y 2 , x ya 4 , x y 2 6 , 思考：已知 x
求a的值。
(8)a2b2 ab 2 (10) x2 7xy 12 y2
(3) x 5 x 4 2 ( 5 )x 7 x 1 8

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 因式分解常用方法(六大类型)(原卷版)

因式分解常用方法（六大类型）类型一：提公因式法提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．类型二：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2类型三：先提公因式，再用公式法类型四：先展开，再用公式法类型五：十字相乘法考点2：十字相乘法1. x²+ ( p + q)x + pq =（x+p ）（x+q ）2. 在二次三项式ax2 + bx + c(a ≠ 0) 中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a = a1 ⨯ a2 ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c = c1 ⨯c2 ，把a1，a2 ，c1，c2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2 + a2c1，若它正好等于二次三项式ax 2 + bx + c 的一次项系数b ，即a1c2 + a2c1 = b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x + c1与a2 x + c2 之积，即ax2 + bx + c = (a1x + c1)(a2 x + c2 ) ．类型六：分组分解法【类型一：提公因式法提公因式】【典例1】（2021春•罗湖区校级期末）因式分解：（1）﹣20a﹣15ax；（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．【变式1-1】（2022•中山市三模）因式分解：3ax﹣9ay＝．【变式1-2】（2022•滨海县模拟）将多项式2a2﹣6ab因式分解为．【变式1-3】（2019秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【变式1-4】（2021秋•虹口区校级月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）．【类型二：公式法】【典例2】（2021秋•富裕县期末）因式分解：（1）．（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．【变式2-1】（2022春•来宾期末）把多项式9a2﹣1分解因式，结果正确的是（）A．（3a﹣1）2B．（3a+1）2C．（9a+1）（9a﹣1）D．（3a+1）（3a﹣1）【变式2-2】（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝．【变式2-3】（2021•槐荫区一模）分解因式：4a2﹣9b2．【变式5-4】（2021秋•闵行区期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．【考点5 因式分解-完全平方】【典例3】（2022春•攸县期末）分解因式：y2+4y+4＝（）A．y（y+4）+4B．（y+2）2C．（y﹣2）2D．（y+2）（y﹣2）【变式3-1】（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2【变式3-2】（2022•富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（）A．（2y+1）2B．（2y﹣1）2C．（4y+1）2D．（4y﹣1）2【变式3-3】（2020秋•海淀区校级期中）分解因式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．【类型三：先提公因式，再用公式法】【典例4】（2022春•巨野县期末）因式分解：（1）x3﹣2x2y+xy2（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）【变式4-1】（2022春•济阳区期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．【变式4-2】（2022春•辰溪县期末）因式分解：（1）2ax2﹣2ay2；（2）3a3﹣6a2b+3ab2．【变式4-3】（2022•南京模拟）因式分解：4a2（x+7）﹣9（x+7）．【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）因式分解：﹣3a+12a2﹣12a3．【类型四：先展开，再用公式法】【典例5】（2021春•苏州期末）分解因式（1）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．（2）（a﹣b）2+4ab．【类型五：十字相乘法】【典例6】（2021•北碚区校级开学）分解因式（1）x2﹣4x﹣12；（2）x2﹣4x﹣5．（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2．（4） 3x2﹣19x﹣14．【变式6】（2021春•岑溪市期末）分解因式（1）m2﹣4m﹣5．（2）x2+2x﹣3 （3）x2﹣2x﹣8【类型六：分组分解法】【典例7】（2022春•新田县期中）先阅读材料：分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．解：a2b﹣3a2+2b﹣6＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）＝（b﹣3）（a2+2）以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．【变式7-1】（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【变式7-2】（2020秋•嘉定区期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．1.（2021秋•江津区月考）分解因式（1）﹣20a﹣15ax；（2）xy3﹣10xy2+25xy2.（2021春•铁西区期末）分解因式(1)2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）．3.（2021春•惠山区期中）分解因式：（1）a3﹣4a2+4a；（2）a2b﹣16b．4、（2021秋•姜堰区月考）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．5.（2021春•肃州区校级期中）分解因式：（1）x2﹣10x+16；（2）x2﹣2x﹣3．6.（2021•市南区校级开学）分解因式：（1）（x﹣2）（x﹣4）+1．（2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；7．（2022春•富平县期末）因式分解：x2（m+n）﹣4y2（m+n）．8.（2022春•新田县期末）因式分解：（1）﹣3y2+12y﹣12；（2）a2（a﹣b）+b2（b﹣a）．9．（2022春•清江浦区期末）因式分解：（1）a2﹣9；（2）3x2+6xy+3y2．10．（2022春•海陵区期末）把下列各式因式分解：（1）x2﹣25；（2）﹣4x2+24x﹣36．11．（2022春•东台市期中）因式分解：（1）4a2b﹣6ab2 （2）4x2﹣4x+1（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x）（4）（x+2）（x﹣8）+2512.（2021秋•奉贤区期中）因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．13.（2021秋•徐汇区月考）因式分解：4﹣m2﹣9n2﹣6mn．。

初中数学《拆、添项法和十字相乘法》讲义及练习

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.重、难点知识点睛中考要求第五讲拆、添项法和十字相乘法板块一、拆项与添项Ⅰ：利用配方思想拆项与添项【例1】分解因式：43221x x x x ++++【解析】43221x x x x ++++423(21)()x x x x =++++222(1)(1)x x x =+++22(1)(1)x x x =+++ 如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．【巩固】已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=【巩固】 (第十五届“希望杯”第二试第12题)分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】 4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++【例2】分解因式：⑴4231x x -+；⑵42231x x -+；⑶4224a a b b ++【解析】 ⑴42422222223121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=---+⑵42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++- ⑶42244224222a a b b a a b b a b ++=++-2222()()a b ab =+-2222()()a ab b a ab b =++-+【巩固】分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+1266636321(1)(1)x x x x x x x =-+-=-+--【巩固】分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=+++-+-【巩固】分解因式： 4224781x x y y -+重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．难点：掌握因式分解的其他方法，主要是拆添项法、十字相乘法、换元法等较高层次的方法例题精讲【解析】 42244224222222781188125(95)(95)x x y y x x y y x y x y xy x y xy -+=++-=+-++【例3】 (希望杯试题)已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【解析】原式422222222010036(10)(6)(610)(610)n n n n n n n n n =++-=+-=-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【例4】分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】 ()()()222241211y x y x y +-++-()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)(1)(1)(1)(1)y x y xy x x x xy y x xy y ⎡⎤=+---=+-------⎣⎦【巩固】分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】 42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+-- 222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【巩固】分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【解析】 33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【例5】 (杭州学军中学)把444x y +分解因式．【解析】 4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【巩固】分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+ 【巩固】证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++- 由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．Ⅱ：拆项与添项【例6】分解因式：343a a -+ 【解析】原式32()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a =---=+---=-+-或原式32222()()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a =-+---=-+---=-+-.【巩固】分解因式：32265x x x +-- 【解析】解法(一)32322265266(21)6(1)x x x x x x x x x x x +--=++--=++-+(1)(2)(3)x x x =+-+解法(二)拆二次项222242x x x =-解法(三)拆常数项651-=--及2222x x x =+ 解法(四)22223x x x =-及523x x x -=--【巩固】分解因式：3234x x +- 【解析】 ⑴把4-拆成13--；⑵添四次项4x ，再减去4x ；⑶添一次项4x ，再减去4x⑷拆22234x x x =-；⑸拆三次项33343x x x =-；2(1)(2)x x -+【巩固】分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】分解因式：243x x -+ 【解析】 2243()(33)(3)(1)x x x x x x x -+=---=--【巩固】分解因式：398x x -+ 【解析】 332298199(1)(1)9(1)(1)(8)x x x x x x x x x x x -+=--+=-++--=-+-【巩固】(第十四届“希望杯”第1试第2题)若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3【解析】 43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【巩固】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【巩固】分解因式：51x x ++ 【解析】法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去. 那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去. 开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【巩固】分解因式：541a a ++ 【解析】原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【巩固】分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++- 332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++--- 33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .板块二、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例7】分解因式： ⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】分解因式：268x x ++ 【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】分解因式：278x x +- 【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例8】分解因式：2376a a -- 【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】分解因式：2383x x -- 【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】分解因式：25129x x +- 【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例9】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】分解因式：2612x x -+- 【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例10】分解因式：2214425x y xy +- 【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】分解因式：22672x xy y -+ 【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】分解因式：22121115x xy y -- 【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例11】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+- 【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+ 【巩固】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【巩固】分解因式：633619216x x y y --【解析】 6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【巩固】分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++ 【解析】 22(64)(2)x x x +++【巩固】分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++ 【解析】 229(1)(41)x x x +++【巩固】分解因式：222()14()24x x x x +-++【解析】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+板块三：双十字相乘双十字相乘法：对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

新人教版八年级数学上册 14.3.3 运用十字相乘法因式分解

注
对二次三项式 x2+px+q进行因式分解，
意
应重点掌握以下三个问题：
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．
2．符号规律：当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p 的符号相同；当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
分解因式: mx+my-nx-ny
计算：
(1) (x 5)(x 9) x2 14x 45
(2) (x 12)(x 5) x2 7x 60
(3) (x 23)(x 6) x2 29x 138
(4) (x 4)(x 18) x2 14x 72 (x a)(x b) x2 (a b)x ab
x
a
x
ax +bLeabharlann bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱．
将下列各式因式分解：
1．x2+8x+12 2．x2-11x-12 3．x2-7x+12 4．x2-4x-12 5．x2+13x+12 6．x2-x-12
分组分解法分解因式：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
1、把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
（3）9a4-4a2+4a-1 （4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

人教版八年级数学上册《因式分解之十字相乘法》课件

•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
例1．利用十字相乘法分解因式（1）x2+6x+5；（2）x2－2x－8；（3）－x2－7x+18．
= －(x2+7x － 18)
【点拨x】方1法技巧：在x分解的2 过程中：（1x）首-先2整理成ax2+bx+c的形式；（2）在利用十x字相5乘法时，常数x 项是-4正数时，一般x把常9数项分成两个同号相乘的形式，常
数项是负数时，一般把常数项分成两个异号相乘的形式；（3）二次项是负的，一般把所有的项先放到负括号里，然后再对括号里的项进行十字相乘法．
【答案】（1）(x+1)(x+5)；（2）(x+2)(x-4)；（3）－(x－2)(x+9)
x1
x -2
【点拨】使用2十x 字相3 乘法分解二3次x 项系4 数不为1的题目时，需要把二次
项系数和常数项一起分解，交叉相乘，然后相加配成中间的一次项，需
要多次配凑．
【答案】（1）(x+1)(2x+3)；（2）(x－2)(3x+4)．
指点迷津
1．本小章节考试趋势：本小章节主要在选择题中考查，是提公因式和套公式方法法的延
续和补充，对于二次三项式因式分解又增添了一方法．
2．注意几点易错知识点
因式分解之十字相乘法
课标引路
学习目标
知识梳理
1．十字相乘法的概念：
利用十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，即对二次三项式x2+bx+c若存在p+q=b，p•q=c，则有： x2+bx+c =(x+p)(x+q) 2．十字相乘法的解题技巧与注意事项：

人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)

因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】把a 视为未知数，其它视为参数。

十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解

十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x b x c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++-【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -.【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例4】【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+（3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】（2014春•苏州期末）因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）•（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。

(八年级数学教案)《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳

《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳八年级数学教案★★ 知识体系梳理♦分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性.也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。

1、分组后能提公因式；2、分组后能运用公式♦十字相乘法：、型的二次三项式因式分解：（其中，）、二次三项式的分解：如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数那么二次三项式：借助于画十字交叉线排列如下:♦因式分解的一般步骤：一提二代三分组①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法;④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。

♦因式分解几点注意与说明：①、因式分解要进行到不能再分解为止；②、结果中相同因式应写成幕的形式；③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。

★★ 典型例题、解法导航♦考点一：十字相乘法1、型三项式的分解【例1】计算：(1)(2) (3) (4)运用上面的结果分解因式:方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）◎变式议练一:1、2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（）3、把下列各式分解因式:①、②、③、2、形如: 的二次三项式的因式分解【例2】将下列各式分解因式:（1）；（2）；（3）方法点金：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，，直到满足条件为止。

（2）—般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积。

◎变式议练二:将下列各式分解因式：八年级数学教案♦考点二：运用分组分解法分解因式【例】分组后能提公因式（二二分组）①、②、【例】分组后能运用公式（一三分组）①、◎变式议练三：分解因式：（1）（2）♦考点三：能力解读【例】分解因式：（1）（2）（3）（希望杯”邀请赛试题）【例6】若（），求的值♦♦♦快乐体验一、选择题、填空题：1、可以分解因式为（）、、、、2、已知，那么；3、（北京）把代数式分解因式，下列结果正确的是-----（）、、、、二、分解因式：①、②、③、④、三、（能力提升）把下列多项式分解因式：①、②、③、④、（为正整数）、已知：，求：的值;。

数学人教版八年级上册《分解因式-十字相乘法》

十字相乘法分解因式一、教学目标：1、进一步理解因式分解的定义；2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。

二、教学的重点、难点教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。

教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。

三、导学过程：（一）知识回顾，创设情境，导入新课：1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？（1，提取公因式法；2，公式法）2、口算二项式乘以二项式。

（二）自主学习我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到请直接口答计算结果内容见课件：（三）合作探索这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。

可以用交叉线来表示：十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

x x +a +b（四）、展示交流：例1 把232x x ++分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。

例2 把342++x x 分解因式。

例3 把322--x x 分解因式。

人教版数学八年级上册《第十四课时用十字相乘法分解因式》说课稿

人教版数学八年级上册《第十四课时用十字相乘法分解因式》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级上册《第十四课时用十字相乘法分解因式》这一课时的内容，是在学生已经掌握了多项式乘法、多项式除法以及提公因式法分解因式的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是让学生掌握用十字相乘法分解因式的技巧和方法，从而提高他们解决代数问题的能力。

在这一课时的教材中，通过丰富的例题和练习题，引导学生逐步掌握十字相乘法分解因式的步骤和方法。

教材还注重培养学生的观察能力、思考能力和动手能力，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学的知识。

二. 学情分析在教学这一课时之前，学生已经具备了一定的代数基础，对多项式乘法、多项式除法和提公因式法有一定的了解。

但是，他们在运用这些知识解决实际问题时，还存在着一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对性地进行教学，帮助学生克服困难，提高他们的解题能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握十字相乘法分解因式的方法和步骤，能够运用十字相乘法分解因式解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、动手，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握十字相乘法分解因式的方法和步骤。

2.教学难点：如何引导学生观察、发现并运用十字相乘法分解因式。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用引导发现法、讨论法、实践操作法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对用十字相乘法分解因式的兴趣，激发他们的学习欲望。

2.自主探究：让学生观察、分析例题，引导学生发现十字相乘法分解因式的规律。

3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的心得体会，培养学生的团队协作能力。

人教版八年级上数学十字相乘法及分组分解法(基础)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. 将21016a a ++因式分解，结果是( )A.()()28a a -+B.()()28a a +-C.()()28a a ++D.()()28a a --2. 因式分解的结果是()()34x x --的多项式是( )A.2712x x --B. 2712x x -+C. 2712x x ++D. 2712x x +-3. 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于( )A.abB.a b +C.ab -D.a b --4. 若()()236123x kx x x +-=-+，则k 的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．66．把2222a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（）A. 222()(2)a c b bc ---B. 222()2a b c bc --+C. 222()(2)a b c bc ---D. 222(2)a b bc c --+二.填空题7. 若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -＝ .8. 因式分解22a b ac bc -++___________．9．多项式可分解为()()5x x b --，则a ,b 的值分别为_________. 10. 因式分解：ax bx cx ay by cy +++++＝_______________；11. 因式分解()2064x x -+＝ .12.分解因式：321a a a +--＝________.三.解答题13.若多项式236x px ++可以分解成两个一次因式()()x a x b ++的积，其中a 、b 均为整数，请你至少写出2个p 的值．14. 若二次三项式()232350kx x k +-≠能被 27x +整除，试求k 的值． 15.分解因式：（1）268x x -+；（2）21024x x +-；（3）215238a a -+；（4）22568x xy y -++；（5）225533a b a b --+.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】B ；【解析】用整式乘法检验.3. 【答案】D ；【解析】()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，所以a b p +=-.4. 【答案】A ；【解析】()()2123936x x x x -+=--.5. 【答案】B ；【解析】由题意5306b b =-=-，.6. 【答案】D ；【解析】原式＝()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+.二.填空题7. 【答案】 ±5；【解析】()()2133649m m m m -+=--，所以9,4a b =-=-或者4,9a b =-=-.8. 【答案】()()a b a b c +-+；【解析】22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+. 9. 【答案】10,2a b =-=-；【解析】()()()2555x x b x b x b --=-++，所以53,2b b +==-，5,10a b a ==-.10.【答案】()()a b c x y +++；【解析】原式()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++.11.【答案】()()164x x --；【解析】()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--.12.【答案】()()211a a +-；【解析】321a a a +--()()()()221111aa a a a =+-+=+-. 三.解答题13.【解析】解：由题意得236()()x px x a x b ++=++，则2236()x px x a b x ab ++=+++，36a b p ab +==，由a 、b 均为整数，可写出满足要求的a 、b ，进而求得p ，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12) ＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以p 可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个p 值即可．14.【解析】解：因为()232352752k kx x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭所以710322k -=，解得12k =. 15.【解析】解：（1）()()26824x x x x -+=--；（2）()()21024122x x x x +-=+-；（3）()()2152381581a a a a -+=-- （4）()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+- （5）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-.。

十字相乘法和分组分解法

知识要点
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式： q=ab，p=a+b
当q>0时，q分解的因数a、b（同号）当q<0时，q分解的因数a、b（异号）
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24 解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+43;1)
= (x2+x-2)(x2+x-12)+24
= 9a4-(2a-1) 2 = (3a2+2a-1)(3a2-2a+1)
= (x2+x) 2-14(x2+x)+48 = (x2+x-6)(x2+x-8)
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
练一练
如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．

十字相乘法和分式

十字相乘法及分组分解法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq cp q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）；（2）21016x x -+；（3）2310x x --举一反三：【变式1】分解因式：（1）1072++x x ；（2）822--x x ；（3）2718x x --+【变式2】因式分解：m 2n ﹣5mn+6n.2、将下列各式分解因式：（1）22355x x +-；（2）25166x x ++（3）22616x xy y --；（4）.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）10722+-xy y x ；（2）()()342++-+b a b a .3、将下列各式分解因式：（1）；（2）举一反三：【变式】分解因式：（1）2314x x +-；（2）2344x x --+；（3）2631105x x +-；类型二、分组分解法4、先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ） =a （x+y ）+b （x+y ） =（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1 =（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．举一反三：【变式】分解因式：22244a b ab c +--【巩固练习】一.选择题1. 将21016a a ++因式分解，结果是( ) A.()()28a a -+ B.()()28a a +- C.()()28a a ++ D.()()28a a --2.（2014•保定二模）下列因式分解正确的是（） A ． x 2﹣7x+12=x （x ﹣7）+12B ． x 2﹣7x+12=（x ﹣3）（x+4）C ． x 2﹣7x+12=（x ﹣3）（x ﹣4） D ． x 2﹣7x+12=（x+3）（x+4）3. 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于( )A.abB.a b +C.ab -D.a b --4. 若()()236123x kx x x +-=-+，则k 的值为( ) A.－9 B.15 C.－15 D.95. 如果，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．6 6．把2222a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（） A. 222()(2)a c b bc --- B. 222()2a b c bc --+ C. 222()(2)a b c bc --- D. 222(2)a b bc c --+ 二.填空题7. 若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -＝ .8. 因式分解22a b ac bc -++___________． 9．因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．10. 因式分解：ax bx cx ay by cy +++++＝_______________； 11. 因式分解()2064x x -+＝ . 12.分解因式：321a a a +--＝________.三.解答题 13.分解因式：（1）268x x -+；（2）21024x x +-；（3）215238a a -+；（4）22568x xy y -++；（5）225533a b a b --+.分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 【典型例题】类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239mm --．举一反三：【变式1】在什么情况下，下列分式没有意义?（1）3(7)x x x +；（2）21x x +；（3）222x x ++．【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y+-；（2）11341123x yx y +-．举一反三：【变式1】如果把分式yx x232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-；（2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----．4、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号．（1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23bc--．类型四、分式的约分、通分5、将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y +-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．举一反三：【变式】通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．【巩固练习】一.选择题1．在代数式22221323252,,,,,,33423x x xy x x x x π+-+中，分式共有( )． A.2个 B.3个C.4个D.5个2．使分式5+x x值为0的x 值是（） A ．0 B ．5 C ．－5D ．x ≠－53. 下列判断错误．．的是（） A ．当23x ≠时，分式231-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b-有意义 C ．当21-=x 时，分式214x x+值为0 D ．当x y ≠时，分式22x y y x --有意义4．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．21x x+B ．211x x -- C ．11x x -+ D ．211x x -+ 5．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（） A ．扩大10倍 B ．缩小10倍 C ．是原来的32D ．不变6．下列各式中，正确的是（）A ．a m ab m b+=+ B ．0a ba b+=+ C ．1111ab b ac c +-=-- D ．221x y x y x y-=-+二.填空题7．当x ＝______时，分式632-x x无意义． 8.若分式67x--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()x xx --=- （2）.y x xy x22353)(= 10．（1）22)(1yx y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x11.分式2214a b 与36xab c的最简公分母是_________. 12. 化简分式：（1）3()x yy x -=-_____；（2）22996x x x -=-+_____．三.解答题13.当x 为何值时，下列分式有意义?（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---．14．已知分式,y ay b-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）22x x y --（2）2ba a-- （3）2211x x x x---+（4）2231m m m ---。

十字相乘法及分组分解法(基础)

十字相乘法及分组分解法（基础）知识回顾1. 把一个化成几个积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.多项式的各项中都含有相同的，那么这个相同的因式就叫做 .3. 两个数的平方差等于这两个数的与这两个数的的，即：22__________a b -=4. 两个数的平方加上这两个数的积的倍，等于这两个数的和（差）的平方．即222a ab b ++= ，222a ab b -+= .5.分解因式： (1)25p 2＋10pq ＋q 2 (2) －x 2－4y 2＋4xy一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++例1、将下列各式分解因式：（1）；（2）21016x x -+；（3）2310x x -- （4）.(x 2－2x)2－4(x 2－2x)－5举一反三：（1）1072++x x ；（2）822--x x ；（3）2718x x --+练习、将下列各式分解因式：（1）22616x xy y --；（2）10722+-xy y x（3）()()342++-+b a b a ；（4）.例2、将下列各式分解因式：（1）；（2）（3）48)2(14)2(2++-+b a b a举一反三：分解因式：（1）2314x x +-；（2）2344x x --+；（3）2631105x x +-；三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.例3、分解因式：（1）3443ax by ay bx +++ （2）1222++-a b a举一反三：分解因式：（1）b a b a ++-2422 (2). ac a bc ab 10252+--(3). bc c b a 2222+-- （4）22244a b ab c +--强化训练：一、将下列各式分解因式(1)3)2(4)2(2++++y x y x (2)9)4(6)4(222+-+-x x x x(3)3)2(2)2(222-+-+x x x x (4)22(35)(31)3x x x x +++++（5）60)(17)(222++-+x x x x ；（6）2222)332()123(++-++x x x x(7)6)25)(35(22--+++x x x x (8)、24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x(9)51264422++-+-y x y xy x (10). 632912422-+-+-y x y xy x(11). 23422---+-y x y xy x(12). ()11)2(8)(22-+---a a a a(13).a 2＋2ab ＋b 2－ac －bc (14).m2＋2mn ＋n 2－p 2－2pq －q 2二.分解因式（1）893+-x x(2）4224)1()1()1(-+-++x x x（3）1724+-x x（4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++(7). a 4－2a 2b 2－8b 4 (8).(a 2＋b 2)2－4a 2b 2(9).a 4(x －y)＋b 4(y －x) (10) (x 2－3)2－4x 2(11) 36)5(22--x x(12).(a 2＋1)2－4a(a 2＋1)＋4a 2(13)(x 2－3)2＋(x 2－3)－2（14） 42951x x ++（15）12345-+-+-x x x x x。

(家教培优专用)人教版数学八年级上册--十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习

【巩固练习】一.选择题1. 多项式223x xy ay -+可分解为()()5x y x by --，则a b 、的值为( ). A.a ＝10，b ＝－2 B.a ＝－10，b ＝－2C.a ＝10，b ＝2D.a ＝－10，b ＝22. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ).A.5B.－6C.－5D.63. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．（2014春•滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a+1）（b+1）C ．（a+1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b+1）5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++--B. 22(49)(23)x y x y -+-C. 22(43)(29)x y x y -+-D. 22(423)9x x y y +--6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（） A. －9 B.9 C.－1 D.1二.填空题7.（2014•东莞模拟）分解因式：a 2﹣1+b 2﹣2ab= ．8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ．9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知0x y +=，31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.（2015•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ）=x （a+b ）+y （a+b ）=（a+b ）（x+y ）2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】()()225(5)5x y x by x b xy by --=-++，所以553b a b =+=，. 2. 【答案】B ；【解析】()()23065x x x x --=-+，由b a <，所以6b =-. 3. 【答案】C ；【解析】把()x y +看成一个整体，分解()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++.4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得()()2323x y x y +-，与第二组有公因式23x y-可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当3x =-时，代数式为零，解得9m =-.二.填空题7. 【答案】（a ﹣b+1）（a ﹣b ﹣1）．【解析】解：a 2﹣1+b 2﹣2ab=（a 2+b 2﹣2ab ）﹣1=（a ﹣b ）2﹣1=（a ﹣b+1）（a ﹣b ﹣1）．故答案为：（a ﹣b+1）（a ﹣b ﹣1）．8. 【答案】()()256256a b a b -+--；【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+-- 9. 【答案】()()()22111x x x x +--+；【解析】原式()()()()()()()23222321111111x x x x x x x x x =-+-=-+=+--+. 10.【答案】16；【解析】由题意当4x =时，代数式等于0，解得16a =.11.【答案】()()a b a b -+；【解析】()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+. 12.【答案】()()31kx k x +-+；()()x m x m n --+；【解析】()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+； ()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦.三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++ 由0x y +=，31x y +=解得12y =所以，原式21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 14.【解析】解：（1）原式()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-；（2）原式()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+；（4）()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a+b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+b+1）；（2）原式= x 2﹣6x+9-16=（x-3）2﹣16=（x-3+4）（x-3-4）=（x+1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b2 = a 2+4ab+4b 2﹣9b2 = （a+2b ）2﹣9b2 =（a +2b ﹣3b ）（a+2b +3b ）=（a ﹣b ）（a+5b ）．。

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十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】【高清课堂 400150 十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例1】【变式1】分解因式：（1）；（2）；（3）【答案】解：（1）（2）（3）【变式2】（2016秋·闵行区期末）因式分解：()()222812x x x x +-++.【答案】解：()()222812x xx x +-++=()()2226x x xx +-+-=()()()()1223x x x x -+-+.【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例1】2、将下列各式分解因式：（1）；（2）（3）；（4）.【思路点拨】（3）题可看成常数项，.（4）题可将看成一个整体来分解因式. 【答案与解析】解：（1）；（2）. （3）；1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+22355x x +-25166x x ++22616x xy y --216y -21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-()2x +22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2261682x xy y x y x y --=-+（4）因为所以：原式【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】解：（1）；（2）；（3）；（4）.3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝()()()25242292x x x -+-+=-+()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+21136x x -+251124a a --10722+-xy y x ()()342++-+b a b a 22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2271025x y xy xy xy -+=--()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-91019y y y +=()()2335y y ++（2）因为所以：原式＝【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数. 举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）；【答案】解：（1）；（2）；（3）.类型二、分组分解法4、（2015春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法： ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ） =a （x+y ）+b （x+y ） =（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1 =（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】21183x x x -=()()2379x x +-2314x x +-2344x x --+2631105x x +-()()22314341311x x x x x x +-=-+=--()()223444432123x x x x x x --+=--=+-()()263110521537x x x x +-=+-解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y =（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ） =（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2] =5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）=（2a+1）2（1﹣b ）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式.十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝【总结升华】将视作常数，就以为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：【答案】解：原式2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为所以：原式＝[－2][－12]＝＝【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：；【答案】解：原式3、分解下列因式()()()212332x a x a a ++---()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-a x 23345xy y x y ++--2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+()2a a -()()()22221214a a a a a a ----=--22(2)(12)a a a a ----()()()()1234a a a a +-+-222(3)2(3)8x x x x ----()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+--(1) (2)【答案与解析】解：（1）令，则原式（2）令，原式【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成，第4、5项→. 【答案与解析】解：原式【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法例4】【变式1】分解因式：（1）（2）（3）【答案】解：（1）原式；（2）原式；22(1)(2)12x x x x ++++-22(33)(34)8x x x x +-++-21x x t ++=222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++-2(2)(1)(5)x x x x =+-++23x x m +=2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++222332x xy y x y -++-+2()x y -3()x y -2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+22a b ac bc -++225533a b a b --+23345xy y x y ++--()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()()()()()()225353553a ba b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-（3）原式.【变式2】（2016秋•昌江区校级期末）分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-．【答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+- =()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++- =()()()()222222211b a cb ac c -+-++-=()()222121b a c b a c -++-+-．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x 2﹣4xy+3y 2=0化为（x ﹣ ）•（x ﹣ ）=0并直接写出y 与x 的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y 与x 的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x 2+2ax ﹣3a2=x 2+2ax+a 2﹣4a2 =（x+a ）2﹣4a 2=（x+a+2a ）（x+a ﹣2a ） =（x+3a ）（x ﹣a ）；（2）x 2﹣4xy+3y2=x 2﹣4xy+4y 2﹣y2 =（x ﹣2y ）2﹣y2233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-=（x ﹣2y+y ）（x ﹣2y ﹣y ）=（x ﹣y ）（x ﹣3y ）；x=y 或x=3y ；故答案为：y ；3y（3）原式===﹣，若x=y ，原式=﹣2；若x=3y ，原式=﹣．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．【巩固练习1】一.选择题1. 将因式分解，结果是( )A. B. C. D.2.（2016秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是（）A ．()3221510532a a a a a +=+B ． ()()2943434x x x -=+-C ． ()2210255a a a --=-D ． ()()231025a a a a --=+-3. 如果，那么等于( )A. B. C. D.4. 若，则的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把进行分组，其结果正确的是（）A. B. C. D.二.填空题7. 若，则＝ .2321016a a ++()()28a a -+()()28a a +-()()28a a ++()()28a a --()()2x px q x a x b -+=++p ab a b +ab -a b --()()236123x kx x x +-=-+k b 2222a b c bc --+222()(2)a c b bc ---222()2a b c bc --+222()(2)a b c bc ---222(2)a b bc c --+()()21336m m m a m b -+=++a b -8. 因式分解___________．9．（2016·潍坊三模）分解因式：3231215x x x --= ．10. 因式分解：＝_______________；11. 因式分解＝ .12.分解因式：＝________.三.解答题13.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值．14.（宣武区校级期末）因式分解：2x 2+x ﹣3．15.分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】D ；【解析】A 、()3221510532a a a a +=+，故此选项错误；B 、()()2943232x x x -=+-，故此选项错误；C 、21025a a --无法因式分解，故此选项错误；D 、()()231025a a a a --=+-，正确.3. 【答案】D ；【解析】，所以.4. 【答案】A ；【解析】.5. 【答案】B ；【解析】由题意.6. 【答案】D ；【解析】原式＝.二.填空题7. 【答案】±5；【解析】，所以或者.8. 【答案】；22a b ac bc -++ax bx cx ay by cy +++++()2064x x -+321a a a +--236x px ++()()x a x b ++a b p 268x x -+21024x x +-215238a a -+22568x xy y -++225533a b a b --+()()()2x a x b x a b x ab ++=+++a b p +=-()()2123936x x x x -+=--5306b b =-=-，()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+()()2133649m m m m -+=--9,4a b =-=-4,9a b =-=-()()a b a b c +-+【解析】. 9. 【答案】()()315x x x +-；【解析】()32231215345x x x x x x --=-+=()()315x x x +-．10.【答案】；【解析】原式 .11.【答案】；【解析】. 12.【答案】；【解析】. 三.解答题13.【解析】解：由题意得，则，由、均为整数，可写出满足要求的、，进而求得，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12)＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个值即可．14.【解析】解：原式=（2x+3）（x ﹣1）．15.【解析】解：（1）；（2）；（3）（4）（5）原式. 【巩固练习2】一.选择题1. （2016秋·惠民县期末）如果多项式22mx nx --能因式分解为()()32x x p ++，那么22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()a b c x y +++()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++()()164x x --()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--()()211a a +-321a a a +--()()()()221111aa a a a =+-+=+-236()()x px x a xb ++=++2236()x px x a b x ab ++=+++36a b p ab +==，a b a b p p p ()()26824x x x x -+=--()()21024122x x x x +-=+-()()2152381581a a a a -+=--()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+-()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-下列结论正确的是 ( ).A.m ＝6B.n ＝1C.p ＝-2D.mnp ＝32. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.63. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（）A ．（a ﹣1）（b ﹣1）B ．（a+1）（b+1）C ．（a+1）（b ﹣1）D ．（a ﹣1）（b+1）5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++--B. 22(49)(23)x y x y -+-C. 22(43)(29)x y x y -+-D. 22(423)9x x y y +--6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（）A. －9B.9C.－1D.1二.填空题7.（2016•黄冈模拟）分解因式：2242y xy x --+= ．8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ．9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________.10. 如果代数式有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2(三.解答题13. 已知0x y +=，31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.（2015•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ）=x （a+b ）+y （a+b ）=（a+b ）（x+y ）2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3=x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a 2﹣b 2+a ﹣b ；（2）分解因式：x 2﹣6x ﹣7；（3）分解因式：a 2+4ab ﹣5b 2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--， ∴22,32p p n =-+=-，解得1n =.2. 【答案】B ；【解析】()()23065x x x x --=-+，由b a <，所以6b =-. 3. 【答案】C ；【解析】把()x y +看成一个整体，分解()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++. 4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ）=（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得()()2323x y x y +-，与第二组有公因式23x y -可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当3x =-时，代数式为零，解得9m =-.二.填空题7. 【答案】()()22x y x y -+--．【解析】解：2242y xy x --+=()2224y xy x -+-=()24x y --=()()22x y x y -+--．8. 【答案】()()256256a b a b -+--；【解析】原式()224202536a ab b =-+- ()()()22256256256a b a b a b =--=-+-- 9. 【答案】()()()22111x x x x +--+；【解析】原式()()()()()()()23222321111111xx x x x x x x x =-+-=-+=+--+. 10.【答案】16；【解析】由题意当4x =时，代数式等于0，解得16a =.11.【答案】()()a b a b -+；【解析】()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+.12.【答案】()()31kx k x +-+；()()x m x m n --+；【解析】()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+； ()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦.三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++由0x y +=，31x y +=解得12y =所以，原式21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 14.【解析】解：（1）原式()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-；（2）原式()()()()222244222xy y x x xy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+；（4）.15.【解析】解：（1）原式=（a+b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+b+1）；（2）原式= x 2﹣6x+9-16=（x-3）2﹣16=（x-3+4）（x-3-4）=（x+1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b2 = a 2+4ab+4b 2﹣9b2 = （a+2b ）2﹣9b2 =（a +2b ﹣3b ）（a+2b +3b ）=（a ﹣b ）（a+5b ）．()()()4322222626232a a a a a a a a a +-=+-=-+。