三重积分及其计算和多重积分72254

第四节 三重积分及其计算和多重积分

在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去.

类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例

设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ∆∆∆,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W WQ d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设

},...,,m ax {21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小

区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ∆,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即

()i i i i n

i V z y x f M ∆≈∑=,,1

．

当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即

()i i i i n

i V z y x f M ∆=∑=→,,lim 1

λ．

从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义

设()z y x f ,,是空间3

R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割

为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21.

Φ=⋂o

o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ∆∆∆,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设

},...,,m ax {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和

()i

i

i

i

n

i V z y x f ∆∑=,,1

(称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极

限为函数()z y x f ,,在区域V 上的三重积分，记为

()⎰⎰⎰V

dV z y x f ,,．并称函数()z y x f ,,在

区域V 上可积．()z y x f ,,称为被积函数,x,y,z 称为积分变量., V 称为积分区域.

特别地，在直角坐标系下，可以记为

()⎰⎰⎰V

dxdydz z y x f ,,．

我们同样可以引入Darboux 大,小和来判别可积, 也有同样的结论(略).

1. 若()z y x f ,,是有界闭区域V 上的连续函数，则函数()z y x f ,,在区域V 上可积．

2. 若()z y x f ,,=1时,

⎰⎰⎰=V

V dxdydz 的体积.

3. 若()z y x f ,,在有界闭区域V 上的间断点集合是0体积时, ()z y x f ,,在V 可积. 三重积分有着与二重积分类似的性质．下面简单叙述一下．

１．可积函数的和（或差）及积仍可积. 和（差）的积分等于积分的和(差)． ２．可积函数的函数k 倍仍可积. 其积分等于该函数积分的k 倍． ３．设Ω是可求体积的有界闭区域，()z y x f

,,在Ω上可积，Ω分为两个无共同内点的

可求体积的闭区域21,ΩΩ之并，则

()z y x f ,,在21,ΩΩ上可积，并有

()()()V d z y x f V d z y x f V d z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ

+=2

1

,,,,,,．

等等.

三、三重积分的计算

方法同二重积分一样, 我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成..

1. 利用直角坐标系计算三重积分

先给一个结论.

定理12.14 若函数()z y x f ,,是长方体V =[a,b ]×[c,d ]×[e,h ]上的可积, 记D=[c,d ]×[e,h ], 对任意x ∈[a,b ], 二重积分

()⎰⎰=D

dydz z y x f x I ,,)(

存在, 则 ()⎰⎰⎰⎰⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=b

a D b

a dx dydz z y x f dx x I ,,)( (记为()⎰⎰⎰D b

a dydz z y x f dx ,,)

也存在, 且

()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==h

e

d c

b a

D

b a

V

dz z y x f dy dx dydz z y x f dx V d z y x f ,,,,,,.

这时右边称为三次积分或累次积分, 即三重积分化为三次积分.

证明 分别中[a,b ], [c,d ], [e,h ] 插入若干个分点

b x x x x a n =<<<<= 210;

d y y y y c m =<<<<= 210;

h z z z z e s =<<<<= 210

作平面i x x =, j y y =, k z z =,(i =0,1,2,…,n; ,j i =0,1,2,…,m; k =0,1,2,…,s,)得到V 的一个分划P . 令 ],,[],[],[111k k j j i i ijk z z y y x x v ---⨯⨯=(i =1,2,…,n; ,j i =1,2,…,m; k =1,2,…,s,),

ijk M ,ijk m 分别是()z y x f ,,在ijk v 上的上, 下确界.那么在],[],[11k k j j jk z z y y D --⨯=上有

k j ijk

D i

k j ijk z y M

dydz z y f z y m jk

∆∆≤≤

∆∆⎰⎰),,(ξ

其中Δx i ,= x i - x i -1 , Δy j ,= y j - y j -1 , Δz k ,= z k - z k -1 , (i =1,2,…,n; ,j i =1,2,…,m; k =1,2,…,s,).

)(),,(),,(,i

D

i

k j D i

I dydz z y f dydz z y f jk

ξξξ==⎰⎰∑⎰⎰

∑∑∑∆∆∆≤

∆≤∆∆∆=k

j i k j i ijk

n

i i i k

j i k j i ijk

z y x M

x I z y x m

,,1

,,)(ξ

因可积，所以当||P ||趋于0时，Darboux 大,小和趋于同一数，即三重积分. 故定理得证.

如果V 如右图, e ≤z ≤h, z=z 与V 面积为D z ,

不难得到,

若函数()z y x f ,,在V 上的可积, 那么()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=z

D h

e

V

dxdy z y x f dz V d z y x f ,,,,.