数列通项公式和前n项和的常见解题方法

一、 观察法：已知数列的前几项，要求写出数列的一个通项公式

例1、求下列数列的一个通项公式。 ①1

3572,4,8,165101520

-- ②1，0，1，0

③3，33，333，3333

④11，103，1005，10007

二、定义法：主要应用于可定性为等差或等比数列的类型，可直接利用等差或等比数列的通项公式进行求解。例2、求下列数列的通项公式

①已知数列{}a n 中()

*112,3n n a a a n N +==+∈求通项公式。 ②已知{}a n 中a 13=-且n n a a 21=+求此数列的通项公式。

③已知等比数列2，a ，a ＋4，…写出其通项a n 的表达式．

④已知数列{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N +

），则数列{}n a 的通项公式 三、 递推关系式形如1()n n a a f n +=+ (其中()f n 不是常数函数) 此类问题要利用累加法,

利用公式121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-来求解.

例.若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

变式：（1）数列{a n }满足a 1=1且132(2),n n n a a n n a -=+-≥求

（2）数列{a n }满足a 1=1且11(2),2

n n n n a a n a -=+

≥求 四、 递推关系式形如1()n n a a f n += (其中()f n 不是常数函数)

此类问题要利用累乘法,利用公式321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋅⋅ 来求解. 例.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*

N n ∈），求通项n a 。 变式：若1124,n n n a a a n

++==，求n a 五、 (构造数列法) 递推关系式形如

1n n a pa q +=+(,,1,0)q p p q ≠≠为常数且 此类问题可化为1()11n n q q a p a p p ++=+--,即数列{}1

n q a p +-是一个以p 为公比的等比数列. 例．已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式

变式：115,23n n n a a a a -==+且，求

六、利用前n 项和S n 求通项

利用{11,1

,2n n a n n S S n a -=-≥= ，一定要验证首项。

例：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）223n S n n =-。 （2）12-=n s n

（2）若数列{a n }的前n 项和S n ＝32

a n －3，求{a n }的通项公式．

数列求和的方法

1、公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求.

常见的数列的前n 项和：123+++……+n=

1+3+5+……+(2n-1)=

111112482n n - S =1+++++ 2、分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例1、求和：()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯

针对训练1、求和：()()()()23123n n S a a a a n =-+-+-++-

3、裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭

，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++

（21

k =，特别地当1k ==例2、数列{}n a 的通项公式为1(1)

n a n n =+，求它的前n 项和n S 针对训练3

的前n 项和n S . 针对训练4、求数列

1111...243546(1)(3)n n ++++∙∙∙++ 4、倒序相加法：

类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.

例3 求值：2222

22222222123101102938101

S =++++++++ 5、错位相减法：

类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.

两式相减并整理即得

例4 求;,2

12,,25,23,2132 n n -的前n 项和 针对训练4、求和：()23230,1n n S x x x nx x x =++++≠≠