微积分专题讲座-知识点综述

微积分专题讲座（上） 第一讲 极限与连续大纲要求1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7.函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).一、求极限的方法求极限是重点的内容，必须熟练掌握各类极限（尤其是不定式）的求法. 求极限的方法有：⑴极限的定义；⑵连续的定义；⑶导数的定义（增量比的极限）；⑷定积分的定义（积分和的极限）；⑸两个重要极限（类型与形式的统一：00sin ()1()x x ϕϕ→，11()(1())e x x ϕϕ∞+→（()0x ϕ→）； ⑹无穷小与有界函数的乘积是无穷小；⑺单调有界准则（用于证明极限存在，然后用递推式求极限）；⑻夹逼准则【适当放缩】； ⑼极限存在的充要条件（极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等）； ⑽初等变形（根式有理化、对数恒等式等）；⑾变量替换（倒代换、线性代换等）； ⑿极限运算法则（注意条件）；⒀等价无穷小代换； ⒁洛必达法则（适用于00或者∞∞且导数之比的极限存在或者为∞）；⒂微分中值定理（增量型极限）； ⒃泰勒公式（用五个函数e ,sin ,cos ,ln(1),(1)xx x x x α++的麦克劳林公式）；⒄积分中值定理（积分型极限）. 二、与极限有关的问题1.确定极限式中的常数（极限的反问题）；2.已知一个极限，求另一个极限；3.无穷小比较；4.连续性的讨论；5.间断点的分类；6.可导性的讨论；7.渐近线；8.用极限定义函数；9.用极限研究函数的局部性态等.第二讲 导数及其应用大纲要求1. 导数和微分的概念、几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达【L ’Hospital 】法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线【水平、铅直和斜渐近线】、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.一、求函数的导数（或者微分）必须熟练掌握求导公式、求导法则以及各类函数的一、二阶导数的求法： ⑴初等函数（正确使用求导公式与法则）；⑵分段函数（分段点必须用定义求导）；⑶隐函数（用两边求导法或者公式法）；⑷参数方程确定的函数（用导数公式：dydy dt dx dx dt =，22d dy d y dt dx dx dxdt⎛⎫ ⎪⎝⎭=）；⑸抽象函数（正确使用导数记号，注意2()f x '和2[()]f x '的区别）；⑹幂指函数（对数求导法）；⑺反函数（导数公式：1dx dy y ='）。

二、函数的零点（方程的根）存在性的证明务必通过例题熟练掌握函数零点存在性的证明方法. 证明步骤：⑴判断零点类型【函数的零点用零点定理，导函数的零点用罗尔定理）；⑵构造辅助函数；⑶验证定理条件； ⑷得出结论.▲若函数有三个点的函数值相等，则导函数有两个零点，二阶导函数有一个零点. 三、不等式的证明务必通过例题熟练掌握证明不等式的方法. 证明不等式的方法有： ⑴用中值定理 利用()()()f b f a f b aξ-'=-将函数不等式转化为导数不等式或者将导数不等式转化为函数不等式.⑵用单调性：若)(x f 在[,]a b 上递增，则对,()()()a x b f a f x f b ∀<<<<，特别当()0f a =时，()0f x >；121212,[,],,()()x x a b x x f x f x ∀∈<<.⑶用最值：若)(x f 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ，则对[,],()x a b m f x M ∀∈≤≤.⑷用凸凹性：若)(x f 在[,]a b 上是凹的，则曲线()y f x =任一点的切线位于曲线下方，任意两点的连线（弦）位于曲线上方. ⑸用泰勒公式⑹用积分不等式：设[,]x a b ∈，()()f x g x ≤，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.⑺用估值不等式：设[,]x a b ∈，()m f x M ≤≤，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰.▲将常量不等式转化为变量不等式，是证明不等式的重要方法，必须熟练掌握.第三讲 一元函数积分学大纲要求1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨【Newton-Leibniz 】公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．一、不定积分求不定积分的基本思想是利用凑微分、换元、分部和初等变形，将被积函数化为“22个函数”之一或者它们的线性组合，利用积分公式和线性性质求出积分. ▲三类典型题 1.凑微分（复合）型：[()]()f x x dx ϕϕ'⎰（根据复合抓住u ）2.3.分部积分（乘积）型：uv dx '⎰（反对幂指三，逆序找函数） 二、定积分 定积分的计算计算定积分的方法有：⑴几何意义（要求下限小于上限）；⑵牛顿-莱布尼茨公式（基本方法） 设()f x 在[,]a b 连续.()F x 为()f x 在[,]a b 上的任意一个原函数，则有()()()baf x dx F b F a =-⎰.⑶换元法（换元必换限）设函数[,]f C a b ∈且函数()x t ϕ=满足下列条件：t α=时，x a =；t β=时，x b =；[,]t αβ∈时，[,]x a b ∈；[,]C ϕαβ'∈，则()[()]()b af x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰.⑷分部积分法设函数(1),[,]u v C a b ∈，则bbbbbba a aaaauv dx udv uv vdu uv vu dx ''==-=-⎰⎰⎰⎰.⑸某些特殊函数的积分①分段函数（分段积分）；②奇偶函数：若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；若()f x 为偶函数，()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰.③周期函数：设()f x 的周期为T ，则0()()a T Taf x dx f x dx +=⎰⎰.④某些三角函数：▲2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰；(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰；▲记220sin cos nn n I xdx xdx ππ==⎰⎰，则有递推公式21n n n I I n--=.⑤含f '，f ''（用分部积分） ⑥变限积分（用分部积分） 若)(x f 在[,]a b 上连续，则()()x ax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且[,]x a b ∀∈，()()x f x Φ'=.公式()()b x d f t dt f x dx =-⎰； ()()(())()x a d f t dt f x x dx ϕϕϕ'=⎰；()()()(())()(())()x x d f t dt f x x f x x dxψϕψψϕϕ''=-⎰ ▲当被积函数含变量x 时不能直接求导，必须将变量x 从被积函数中分离出去，常用的方法是：提出去或者换元.二、定积分的证明积分等式的证明：证明关于定积分的等式，要根据被积函数和积分区间，选择适当的方法. 三、定积分的应用1 定积分的元素法 设量U 对区间具有可加性，计算步骤如下；⑴求量U 的分布区间[,]a b ；⑵求量U 相应于小区间[,][,]x x dx a b +⊂的近似值（元素）()dU f x dx =，误差为()o x ∆；⑶写出量的积分表达式()b aU f x dx =⎰；⑷计算积分.▲关键是：求量U 的分布区间[,]a b 和相应于小区间[,][,]x x dx a b +⊂的近似值（元素）()dU f x dx =.第四讲 微分方程大纲要求1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等；2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利【Bernoulli 】方程、全微分方程；3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程；4.线性微分方程解的性质及解的结构定理；5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积；7.欧拉【Euler 】方程； 8.微分方程的简单应用；一、一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 二、可降阶的微分方程 1.()y f x ''=型的微分方程 特点：右端仅含x .解法：积分两次.2.(,)y f x y '''=型的微分方程特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）； ⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）； ⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y .▲二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.三、二阶常系数线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++=， 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.2.二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解. 读者要熟练掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积时特解的形式.1.若()()ex m f x P x λ=，则令*()e k xm y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根. 2.若()e [()cos ()sin ]xm l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]kx n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.3.欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=令,ln tx e t x ==，则dyxy Dy dt'=，222(1)d y dyx y D D y dt dt''=--，代入欧拉方程，将方程化为二阶常系数线性方程求解.4.含变限积分的方程（积分方程）积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.微积分专题讲座(下)第一讲 向量代数和空间解析几何 一、向量代数 1 向量的概念既有大小又有方向的量称为向量.向量a 的大小称为向量a 的模，记作a ，模为1的向量称为单位向量，与x 轴，y 轴，z 轴同向的单位向量分别记作i ，j ，k . 若a 为非零向量，则a ae a=是与a 同向的单位向量. ▲任一向量a a a e =，这是表示向量的一种重要方法..若向量a 与b 模相等、方向相同（经平行移动能够重合），则称向量a 与b 相等，记作向量a b =. 向量a 与b 的正方向的夹角θ，称为向量a 与b 的夹角，规定[0,]θπ∈.向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正方向（i ，j ，k ）的夹角,,αβγ称为向量a 的方向角，方向角的余弦cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.以原点为起点，(,,)A x y z 为终点的向量a OA =称为点A 的向径，(,,)a OA xi yj zk x y z ==++，(,,)x y z 称为向量a OA =的坐标.设(,,)x y z x y z a a i a j a k a a a =++=，其模2x a a a =+cos ,cos ,cos y x z a a aa a aαβγ===，且222cos cos cos 1αβγ++=.▲将向量a 单位化(cos ,cos ,cos )a ae aαβγ==，这是求方向余弦的基本方法.例题1.以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量12212121(,,)M M x x y y z z =---. ▲终点坐标减去起点坐标.2.求质量为M 的质点(,,)x y z 对质量为m 的质点000(,,)x y z 的引力. 解 引力大小2MmF Gr =，与F 同方向的单位向量000(,,)Fx x y y z z e r---=， 则引力F F F e =，其中r =▲本题求引力的方法在用积分求连续体对质点的引力时很重要.2 向量的运算进行向量运算时，一要注意运算的可行性，二要掌握向量的运算律.设向量(,,)x y z x y z a a i a j a k a a a =++=，(,,)x y z x y z b b i b j b k b b b =++=. ⑴向量的加法a b +由平行四边形法则或者三角形法则给出，其坐标运算为(,)x x y y z z a b a b a b a b +=+++，.⑵.数乘向量a λ是一个向量，其模a a λλ=，其方向规定为：当0λ>时，a λ与a 同向，当0λ<时，a λ与a 反向，其坐标运算为(,,)x y z a a a a λλλλ=.▲向量的加法和数乘统称为向量的线性运算，它们的运算律（交换律、结合律、数乘对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.⑶向量的数量积cos a b a b θ⋅=，其中θ为向量a 与b 的夹角，其坐标运算为x x y y z z a b a b a b a b ⋅=++. ▲向量的数量积的运算律（交换律，对加法的分配律）和坐标运算与线性代数相同.⑷向量的向量积a b ⨯是一个向量，其模sin a b a b θ⨯=，其方向垂直于,a b 且,,a b a b ⨯符合右手规则，其坐标运算为xy z xyzij k a b a a a b b b ⨯=. ⑸向量的混合积[]()xy z xy z xyza a a abc abc b b b c c c =⨯⋅=. ▲向量的向量积、混合积的运算律可利用它们的坐标运算并结合行列式性质记忆，如0a a ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯，[][][]abc bca cab ==.▲进行向量运算时，尤其要注意向量运算和实数运算的差别： ⑴向量的向量积不满足交换律，即a b b a ⨯≠⨯；⑵向量的数量积和向量积不满足零因子律，即0a b ⋅=⇒ 0a =或者0b =，0a b ⨯=⇒0a =或者0b =；⑶向量的数量积和向量积不满足消去律，即a b a c ⋅=⋅⇒b c =，a b a c ⨯=⨯⇒b c =. 3 向量在几何上的应用 由数量积的定义知 ⑴2a a a ⋅=；⑵cos ab a bθ⋅=；⑶0a b a b ⊥⇔⋅=.因此可以用数量积⑴求向量的模（长度）；⑵求两个向量的夹角；⑶讨论向量的垂直关系. 由向量积的定义知⑴以向量,a b 为邻边平行四边形的面积S a b =⨯； ⑵,a b a a b b ⨯⊥⨯⊥；⑶//0,a b a b R b a λλ⇔⨯=⇔∃∈=或者y x zx y za a a ab b b b λ=⇔==. 因此可以用向量积⑴求平行四边形的面积和三角形的面积；⑵判断三点共线：三点,,A B C 共线的充要条件是0AB AC ⨯=， ⑶求一个同时垂直于,a b 的向量.由混合积的几何意义知，混合积[]abc 的绝对值等于以向量,,a b c 为共点棱的平行六面体的体积. 因此可以用混合积⑴求平行六面体的体积和四面体体积；⑵判断四点共面：四点,,,A B C D 共面的充要条件是()0AB AC AD ⨯⋅=.▲向量在平面、直线问题中有广泛应用： ⑴推导平面的点法式方程⑵推导直线的点向式（对称式）方程 ⑶求平面与平面的夹角（法向量的夹角）、直线与直线的夹角（方向向量的夹角）、直线与平面的夹角（方向向量与法向量夹角的余角）；⑷讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系； ⑸推导点到平面的距离公式； ⑹推导点到直线的距离公式； ⑺求两条异面直线的公垂线的长；⑻解决平面几何、立体几何问题，推导余弦定理. 二、平面与直线(一) 平面的法向量与平面方程 主要内容有1.平面的法向量 任何垂直于平面的非零向量.2.平面的方程⑴平面的点法式方程 过点000(,,)x y z 且法向量为(,,)n A B C =的平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=；⑵平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=；⑶平面的截距式方程1x y za b c++=. 3.求平面方程的方法⑴利用平面的点法式方程，关键是找出平面上一点和平面的法向量，这是求平面方程的基本方法. ⑵利用平面的一般方程，这种方法主要用于求特殊位置的平面方程.⑶利用过直线L ：111122220A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩的平面束方程11112222()0A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=，关键是由题设条件确定其中的参数λ.⑷利用求点的轨迹的一般方法.(二) 直线的方向向量与直线方程 主要内容有：1.直线的方向向量 任何平行于直线的非零向量2.直线的方程⑴直线的点向式（对称式）方程 过点000(,,)x y z 且方向向量为(,,)s m n p =的直线方程为000x x y y z z m n p---==； ⑵直线的参数式方程 000x x m ty y n t z z p t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩；⑶直线的一般式（面交式）方程 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩3.求直线方程的方法⑴利用直线的点向式（对称式）方程，关键是找出直线上一点和直线的方向向量，这是求直线方程的基本方法. ⑵利用直线的一般方程，关键是找出直线所在的两个平面.(三) 平面与平面的夹角、直线与直线的夹角、直线与平面的夹角？如何讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的平行、垂直关系平面与平面的夹角定义为它们的法向量的夹角； 直线与直线的夹角定义为它们的方向向量的夹角；直线与平面的夹角定义为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余角，并规定这些夹角取值范围为[0,]2π.平面与平面平行的充要条件是它们的法向量平行； 平面与平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直； 直线与直线平行的充要条件是它们的方向向量平行； 直线与直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直；直线与平面平行的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量垂直； 直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行.▲综上所述，平面与平面、直线与直线、直线与平面的夹角、垂直、平行问题均转化为它们的法向量和方向向量的夹角、垂直、平行问题(四) 点到平面的距离，点到直线的距离 ▲其几何意义是以0,P P s 为邻边的平行四边形的高. 三、曲面与曲线（一） 旋转曲面旋转曲面是曲线绕定直线旋转所形成的曲面，该曲线称为旋转曲面的母线，定直线称为旋转曲面的轴. 求旋转曲面方程的方法有： ⑴利用已知结论：yoz 面上的曲线(,)0f y z =绕z轴旋转所得旋转曲面方程为()0f z =， yoz 面上的曲线(,)0f y z =绕y轴旋转所得旋转曲面方程为(,0f y =.例如yoz 面上的曲线2z y =绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为22z x y =+，绕y轴旋转所得旋转曲面方程为2y =.⑵利用求曲面方程的一般方法.（二）柱面 柱面是直线沿曲线平行移动所形成的曲面，该曲线称为柱面的准线，该直线称为柱面的母线. 母线平行于z 轴的柱面方程为(,)0F x y =，方程中不含z . （三） 曲线与曲线在坐标面上的投影 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 1.曲线方程曲线的一般方程(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩曲线的参数方程()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩2.空间曲线在坐标平面上的投影 空间曲线Γ的方程为(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩，由曲线方程消去z 得到投影柱面方程(,)0H x y =，从而得到Γ在xoy 面上的投影方程(,)00H x y z =⎧⎨=⎩（四） 二次曲面（椭球面、抛物面、双曲面和椭圆锥面） 考纲要求了解常用二次曲面的方程及其图形（用截痕法）.椭球面的标准方程：2222221x y z a b c++=；抛物面的标准方程：2222x y z p q=+（0pq >时为椭圆抛物面，0pq <时为双曲抛物面）； 双曲面的标准方程：2222221x y z a b c +-=（单叶）,2222221x y z a b c +-=-（双叶）；椭圆锥面的标准方程：2222220x y z a b c+-=.（五） 立体的图形作立体图，重要的是把关键的点、线、面画出来，如立体的边界曲面与坐标面的交线，找出它们的公共点，画出立体的边界曲面的交线，从而画出立体图形.第二讲 多元微分学一、多元微分学概念及其关系1.极限 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的极限0lim (,)x x y y f x y A →→=表示(,)P x y 以任何方式趋近于000(,)P x y ，函数(,)z f x y =趋近于常数A .▲若找到两种不同趋近方式，使),(lim 00y x f y y x x →→存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使),(lim 00y x f y y x x →→不存在，则可断言),(y x f 在点),(000y x P 处极限不存在，这种证明极限不存在的方法称为特殊路径法. 2.连续 如果000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续.▲关于多元函数的连续性有如下结论⑴多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．⑵有界闭区域上的连续函数有最值定理和介值定理. 3.偏导数 二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数0000000(,)(,)(,)lim x x f x x y f x y f x y x∆∆∆→+-=；函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为0000000(,)(,)(,)lim y y f x y y f x y f x y y∆∆∆→+-=.▲),(00y x f x 实质上是一元函数0(,)z f x y =在点0x 处的导数x x dz dx=，因此),(00y x f x 只能反映一元函数0(,)z f x y =在点0x 处的连续性、可微性.▲偏导数的几何意义：偏导数),(00y x f x 是曲面),(y x f z =被平面0y y =所截得的曲线在点)),(,,(00000y x f y x M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率；偏导数),(00y x f y 是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.4.全微分：如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即dz =y B x A ∆+∆. 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则全微分z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂. ▲函数),(y x f z =在点),(y x 可微⇔00(,)(,)lim0x y x y z f x y x f x y y∆∆∆∆∆ρ→→--=.二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系如图所示：2 二元函数的极限的计算（二重极限）求二元函数的极限是一件困难的事情，读者只要会求一些简单的极限就可以了，求简单极限的主要依据是： ⑴一元函数极限的四则运算和幂指运算法则对二元函数成立；⑵一元函数极限的某些结论（无穷小乘有界函数、两个重要极限）对二元函数成立； ⑶二元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域或闭区域）内是连续的．二、偏导数和全微分的计算：1 基本求导运算：类似一元函数，对一个自变量求偏导数，其余的自变量看作常数.2 抽象复合函数的一、二阶偏导数首先要弄清函数、中间变量、自变量，然后正确运用复合函数求导法则：设函数(,)u u x y =及(,)v v x y =都在点(,)x y 具有偏导数，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. ▲法则表明：复合函数对自变量求导必须通过所有中间变量.▲复合函数求导时，除了正确使用法则外，还要正确理解和使用记号.⑴1f '表示对第一个中间变量求导，12f ''表示先对第一个中间变量求导，再对第二个中间变量求导，其余记号有类似含义；⑵对中间变量的偏导数1f '，2f '仍然是两个中间变量的函数；⑶如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域D 内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.本题中1221f f ''''=，应该合并. 3 隐函数的偏导数求隐函数的偏导数的方法有： ⑴两边求导法；⑵公式法，使用时务必正确理解和运用隐函数求导公式： 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =确定，则yx F F dx dy -=. 设函数(,)z f x y =由方程(,,)0F x y z =确定，则z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂. ⑶全微分法，使用时务必正确理解和运用全微分形式的不变性：无论,u v 是自变量还是中间变量，函数(,)z f u v =的全微分u v dz f du f dv =+.三、方向导数与梯度 （一）方向导数1.概念 三元函数),,(z y x f u =在点0000(,,)P x y z 沿方向l 的方向导数0000000000(,,)(cos ,cos ,cos )(,,)limt x y z f x t y t z t f x y z f ltαβγ→+++-∂=∂，其中cos α，cos β，cos γ为l 的方向余弦.2.计算公式 若函数),,(z y x f u =在点(,,)x y z 可微，则函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有cos cos cos f f f fl x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂， 其中cos α，cos β，cos γ为l 的方向余弦. 3.计算步骤⑴求),,(z y x f u =在点0000(,,)P x y z 的三个偏导数； ⑵求方向向量l 并单位化，得(cos ,cos ,cos )l l e lαβγ==；⑶代入公式cos cos cos f f f fl x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂. （二） 数量场的梯度：关键是理解概念、掌握计算方法.设三元函数),,(z y x f u =在点(,,)x y z 可微，则称grad (,,)(,,)f f ff x y z f x y z i j k x y z∂∂∂=∇=++∂∂∂ 为函数),,(z y x f u =在点(,,)x y z 的梯度.▲梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数最大的方向，梯度的模为方向导数的最大值，常用于求质点运动轨迹.四、偏导数的几何应用（一） 曲线的切线和法平面方程求切线方程的关键是：切点和切向量（切线的方向向量）.空间曲线()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在点000(,,)M x y z 处的切向量000((),(),())x t y t z t τ'''=.切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 法平面是过切点M 且与切线垂直的平面，其方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.▲如果空间曲线方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩，则它在000(,,)M x y z 处切向量xy z xyzMij k F F F G G G τ=.（二） 曲面的切平面和法线求切平面的关键是：切点和法向量.曲面∑：0),,(=z y x F 在0000(,,)M x y z 处的法向量为切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x . 法线是过切点0M 且垂直于切平面的直线，其方程为),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-. ▲如果曲面方程为(,)z f x y =，即(,)0f x y z -=，则它在0000(,,)M x y z 处的法向量0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-.五、多元函数的极值与最值大纲要求理解二元函数极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值. 1.必要条件定理1 若(,)f x y 在点00(,)x y 具有偏导数，且00(,)f x y 是极值，则00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =，即00(,)x y 是(,)f x y 的驻点. 2.充分条件定理2 设(,)f x y 在点00(,)x y 的某邻域内具有连续的二阶偏导数，00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =，记000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===，则⑴20AC B ->时，00(,)f x y 是极值，且0A <时，00(,)f x y 是极大值，0A >时，00(,)f x y 是极小值； ⑵20AC B -<时，00(,)f x y 不是极值. 3.求二元函数),(y x f z =极值的步骤是：⑴解驻点方程(,)0,(,)0,x yf x y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 得驻点00(,)x y ；⑵求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===；⑶判别：若20AC B ->，则00(,)f x y 是极值，且0A >时，00(,)f x y 是极小值，0A <时00(,)f x y 是极大值；若20AC B -<，则00(,)f x y 不是极值.4 条件极值：函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=下的极值000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z =求条件极值的步骤是：⑴先构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+；⑵解驻点方程(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩ 得00(,)x y ；⑶求出相应的函数值00(,)f x y .注 这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ϕ=，(,,)0x y z ψ=下的极值.先构造拉格朗日函数12(,,,,)(,,)F x y z f x y z λλ=+12(,,)(,,)x y z x y z λϕλψ+，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.5 有界闭区域D 上连续函数的最值由于有界闭区域D 上连续函数的最值一定存在，所以只要求出函数在D 的内部和D 的边界上可能取得最值的点，并求出这些点处的函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.请读者结合下面的例子归纳出求有界闭区域D 上连续函数的最值的步骤.第三讲 重积分 二重积分1、 二重积分的概念、性质(类似定积分)2、 二重积分计算公式若果积分区域D 为x 型区域：)()(21x y y x y ≤≤，b x a ≤≤则⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x y x y ba Ddy y x f dx d y x f σ如果积分区域D 为y 型区域：)()(21y x x y x ≤≤，d y c ≤≤则⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(y x y x d cDdx y x f dy d y x f σ如果积分区域D ：)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤，则21()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDr f x y d f r r rdrd d f r r rdr r βθαθσθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰3、 利用对称性计算二重积分(1) 若区域D 关于x (或者y )轴对称，),(y x f 关于y (或者x )是奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰(2) 若区域D 关于x (或者y )轴对称，),(y x f 关于y (或者x )是偶函数，则⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Dd y x f d y x f σσ(3) 若区域D 关于x 轴和y 轴都对称，),(y x f 关于y 和x 都是偶函数，则⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D Dd y x f d y x f σσ(4) 若区域D 关于直线y =x 对称，则(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰，特别地，()()DDf x d f y d σσ=⎰⎰⎰⎰4、 计算二重积分的步骤（1） 画出积分区域D ；考察对称性、选择坐标系、积分次序并确定积分限(关键)； （2） 表为二次积分并计算二次积分； 注意：。