高中数学必修二《轨迹方程》课件
合集下载
轨迹方程PPT教学课件
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
轨迹方程的求法PPT资料优秀版
A
x2+y2=5
练习2：已知P（4，0）是圆x2+y2=36内一点， A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°， 求AB中点R的轨迹方程；
Y
B R A
X
O
P
解：连OR、PR，AB是圆的弦，∴OR⊥AB。
△ABP是Rt△，R是AB中点,∴PR= 1 AB，
OR2+（ 1
2 AB)2=OA2，即OR2+PR2=OA2
代入抛物线方程得P点轨迹方程为：
(y1)2 2(x1) 33 3
练习1：设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为 直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直 角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.
分析：连CO，可知
C
Y
CO2=BO2+CB2
BБайду номын сангаас
CB=AB
CO2=BO2+AB2
O
X
即C点的轨迹方程为：
A
的两条切线的切线长
相等。
B
O
X
OP平分∠APB，
∴∠APO=30°
AO=1 ，PO=2。
P到定点O的距离等于定长2。 ∴P点的轨迹方程是：
x2+y2=4 P点的轨迹是圆。
例2 动点P到直线x+y=6的距离的平方等于 两坐标轴与点P到两坐标轴的垂线所围成的 矩形的面积，求P点的轨迹。
Y
解：设P（x，y)，
又∵AO=OQ，∴AOQH为菱形。 设H（x，y），Q(xo，yo) xo=x，yo=y-2，Q(xo，yo)在圆O上。 即H的轨迹方程为x2+(y-2)2=4。（x≠0）
例4 已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），
人教版湖南省长郡中学2020-2021学年上学期高二数学《轨迹方程的求法》(共14张PPT)教育课件
一、温故知新
1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|P 1 | F |P 2 | F 2 a ( 2 a |F 1 F 2 |)
2、椭圆的标准方程
y
P
y M F2
F1 O
F2 x
的 周1长 .求 6 等 顶 A 的 于 点 轨.迹 方 程
二、新知探究
3、利用定义法求动点的轨迹方程.
例3
（2） 一 动 圆C1与 :x2圆 y2 6x50外 切 ,同 时 与 圆 C2 :x2 y2 6x910内 切 ,求 动 圆 圆 心 的 轨 方程 ,并说明它是什 . 么曲线
二、新知探究
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
F 1( c,0 )F 2(c,0 )
F 1(0 , c)F 2(0 ,c)
c2 a2b2
【练习1】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1
3 上,顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|P 1 | F |P 2 | F 2 a ( 2 a |F 1 F 2 |)
2、椭圆的标准方程
y
P
y M F2
F1 O
F2 x
的 周1长 .求 6 等 顶 A 的 于 点 轨.迹 方 程
二、新知探究
3、利用定义法求动点的轨迹方程.
例3
（2） 一 动 圆C1与 :x2圆 y2 6x50外 切 ,同 时 与 圆 C2 :x2 y2 6x910内 切 ,求 动 圆 圆 心 的 轨 方程 ,并说明它是什 . 么曲线
二、新知探究
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
F 1( c,0 )F 2(c,0 )
F 1(0 , c)F 2(0 ,c)
c2 a2b2
【练习1】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1
3 上,顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
轨迹方程PPT课件
【解题回顾】注意运用过封闭曲线内的点的直线必与此曲 线相交这一性质.
2020年10月2日
8
3. 若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a 的值.
【解题回顾】对于开放的曲线，Δ=0仅是有一个公共点的充分但 并不一定必要的条件，本题用代数方法解完后，应从几何上验证 一下：当a=0时，曲线y2=ax蜕化为直线y=0，此时与已知直线y=x -1，恰有一个交点(1，0)；当a=-1时，直线y=-1与抛物线y2=-x的 对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次
❖ 即 Δ=(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
❖ 亦即 5k2≥1-m 对一切实数k成立．
❖ ∴1-m≤0，即m≥1．
❖ 故20m20年的10月取2日值范围为m∈[1，5)．
7
2.
已知椭圆 x y 16 9
1 ，l1、l2为过点(0，m)且相互垂直的
两条直线，问实数m在什么范围时，直线l1、l2都与椭圆有 公共点
轴交于点N(x0，0)求x0
【解题回顾】第二小题中用k表示为x0的函数，即求函数x0 的值域. 本小题是转化为给定区间上二次函数的值域求法
2020年10月2日
返回11
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
5. 设A为双曲线x2/16-y2/9=1右支上一点，F为该双曲线的 右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲 线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( A )
高考数学轨迹方程2PPT教学课件
H1P，P1Q，H1Q能成等差
【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知
条件由AD⊥BC得A、D坐标相同. 由BH⊥AC建立等
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
2020/12/10
返回 10
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
11
第7课时 轨迹方程(二)
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展
2020/12/10
1
要点·疑点·考点
1. 掌握求轨迹方程的另两种方法——相关点法(又称代 入法)、
2. 学会选用适当的参数去表达动点的轨迹，并掌握常 见的消去参数的方法
2020/12/10
返回
2
课前热身
1. 函 数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R) 的 图 象 的 顶 点 轨 迹 方程是____4_x_-_4_y_-_3_=_0_______.
2020/12/10
3
4 .O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线 的三个点，动点P满足OP=OA+
2020/12/10
返回
4
能力·思维·方法
1. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0，4)， 求内分AQ所成比为12的点P
【解题回顾】此题中动点
P(x,y)是随着动点Q(x1 ,y1) 的运动而运动的，而Q点
在已知曲线C上，因此只
要将x1，y1用x、y表示后
代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求
轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).
2020/12/10
5
能力·思维·方法
1. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0，4)， 求内分AQ所成比为12的点P
高三数学最新课件-轨迹与轨迹方程[原创] 精品
![高三数学最新课件-轨迹与轨迹方程[原创] 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/dfb488be0029bd64783e2c86.png)
即圆心为（
轨迹方程为
1 2 2 1 （x- ） +y = 2 4
1 2
0） 半径为
1 2
（x≠0）
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， 求所做弦的中点的轨迹方程 解法三： 设Q（x 、y ），P（x、y）则 1 1 y
x1 x 2 y y1 2
求轨迹时常用以下方法
课前热身：
1.到两定点的距离的比等于常数K(k≠0)的轨迹是（ ） A.椭圆 B.抛物线 C.圆 . D 直线或圆
x2 2、设 P 为双曲线 4
D
－y =1 上一动点，O 为坐标原点，
2
M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是：__________
2 2 x －4y ＝1
x1 2 x y1 2 y
0
2
Q
P
C x
(2x-1) +(2y) =1
2 2
又
2 （x1-1） +y1 =1
1 (x2
) +y
2
2
1 = 4
（x≠0）
因 x1≠0
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， y 求所做弦的中点的轨迹方程
解法四：设动弦PQ的方程为y=kx， 代入(x-1)2+ y2=1， 得(x-1)2+k2x2=1
2
1 2 2 1 得： （x- ） +y = 2 4
由点Q不能与原点重合，所以 x≠0
1 MP ＝ OC 2
1 ＝ 2
0
C
x
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， 求所做弦的中点的轨迹方程 y 解法二： ∠OPC＝900 Q P 动点P在以OC为直径 的圆周上已知OC的中点， 0 C x
轨迹和轨迹方程 PPT
一个焦点F的轨迹方程是A( )
A.y2- x2 1(y-1) 48
B.y2- x2 1 48
C.y2- x2 -1
D.x2- y2 1
• 解：由题4意8|AC|=13,|BC|=15,|AB|=4184，
• 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，
• 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
• 解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， • 即｜PA｜+|PB|=6>4=|AB|. • 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4， • 即a=3，c=2，b=5. • 因此其方程为 x 2 y 2 (1y≠0). • (2)设圆P的半径为9r，则5 |PA|=r+1，|PB|=r， • 因此|PA|-|PB|=1. • 由双曲线的定义知， • P点的轨迹为双曲线的右支，
• 故点F的轨迹是以A、B为焦点，
• 实轴长为2的双曲线的下支. • 又c=7，a=1，所以b2=48， • 所以点F的轨迹方程为 y 2 - x 2 1(y≤-1).
48
题型1 直接法求轨迹方程
• 1.(2010•北京卷改编)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称， P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等 于- 1 ，求动点P的轨迹方程．
• 3.为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时， 要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，
则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，
y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别
_______________________.
• 2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基 本的轨迹图形，其中：
•
A.y2- x2 1(y-1) 48
B.y2- x2 1 48
C.y2- x2 -1
D.x2- y2 1
• 解：由题4意8|AC|=13,|BC|=15,|AB|=4184，
• 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，
• 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
• 解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， • 即｜PA｜+|PB|=6>4=|AB|. • 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4， • 即a=3，c=2，b=5. • 因此其方程为 x 2 y 2 (1y≠0). • (2)设圆P的半径为9r，则5 |PA|=r+1，|PB|=r， • 因此|PA|-|PB|=1. • 由双曲线的定义知， • P点的轨迹为双曲线的右支，
• 故点F的轨迹是以A、B为焦点，
• 实轴长为2的双曲线的下支. • 又c=7，a=1，所以b2=48， • 所以点F的轨迹方程为 y 2 - x 2 1(y≤-1).
48
题型1 直接法求轨迹方程
• 1.(2010•北京卷改编)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称， P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等 于- 1 ，求动点P的轨迹方程．
• 3.为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时， 要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，
则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，
y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别
_______________________.
• 2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基 本的轨迹图形，其中：
•
《高三数学轨迹方程》PPT课件
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
高三数学轨迹方程课件
详细描述
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
【高中数学课件】轨迹方程的求法
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3
即yp= ±3，将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为
（
9 8
，3
）h 和（
9
x89 p，= -8 3 ）
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，
P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|，
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yhp|y源自P（x，y） • x•A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。
h
20
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
a= 12+8 2= 4(3+2 2) =2 3+2 2
轨迹方程(PPT)5-2
(A 41，0
10
(C)(4，0)
(B) 18，0
5
(D) 22，0
5
返回
4. 若不论k取什么实数，方程组 kx2x--yy2==21k+b都有实数解，则 实数b的取值范围是( A ) (A)[-3，3] (B)[-3，3] (C)[-2，2] (D)(-2，2)
5. 设A为双曲线x2/16-y2/9=1右支上一点，F为该双曲线的 右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲 线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( A )
❖设直线：Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：
由
Ax＋Bx＋C=0
❖
f (x，y)＝0
得Δ>0 <=>相交；Δ < 0 <=>相切；Δ = 0 <=>相离
〈书〉用荆条、竹子等编成的篱笆或其他遮拦物。 【筚篥】同“觱篥”。 【筚路蓝缕】ǚ《左传?宣公十二年》：“筚路蓝缕，以启山林。”意思是说驾着柴 车，穿着破旧的衣服去开辟山林（筚路：柴车；蓝缕：破衣服）。形容创业的艰苦。也作荜路蓝缕。 【湢】〈书〉浴室。 【愊】［愊忆］（）〈书〉形烦闷。 也作腷臆。 【愎】〈书〉乖戾；广东陶粒厂 广州陶粒厂 广东陶粒厂 广州陶粒厂 ；拗：刚～自用。 【弼】（弻）〈书〉辅助：辅～。 【蓖】［蓖麻］（）名一年生或多年生草本植物，叶子大，掌状分裂。种子叫蓖麻子，榨的油叫蓖麻油，医上做泻，工业上做润滑油。也叫大麻子（）。 【跸】（蹕）〈书〉帝王出行时，开路清道，禁止通行；泛指跟帝王行止有关的事情：驻～（帝王出行时沿途停留暂住）。 【腷】［腷臆］（）同“愊忆”。 【痹】（痺）痹症：风～｜寒～｜湿～。 【痹症】名中医指由风、寒、湿等引起的肢体疼痛或麻木的病。 【煏】〈方〉动用火烘干。 【滗】（潷）动挡住 渣滓或泡着的东西，把液体倒出：～汤｜把汤～出去。 【裨】〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 【裨益】〈书〉①名益处：学习先进经验， 对于改进工作，大有～。②动使受益：植树造林是～当代、造福子孙的大事。 【辟】①〈书〉君主：复～。②（）名姓。 【辟】〈书〉①排除：～邪。②同 “避”。 【辟】〈书〉帝王召见并授与官职：～举（征召和荐举）。 【辟谷】动不吃五谷，方士道家当做修炼成仙的一种方法。 【辟邪】∥动避免或驱除邪 祟。一般用作迷信语，表示降伏妖魔鬼怪使不侵扰人的意思。 【辟易】〈书〉动退避（多指受惊吓后控制不住而离开原地）：～道侧｜人马俱惊，～数里。 【碧】①〈书〉青绿色的玉石。②青绿色：～草｜澄～。③（）名姓。 【碧波】名碧绿色的水波：～荡漾｜～万顷。 【碧空】名青蓝色的天空：～如洗。 【碧蓝】形状态词。青蓝色：～的大海｜天空～～的。 【碧绿】ǜ形状态词。青绿色：～的荷叶｜田野一片～。 【碧螺春】名绿茶的一种，蜷曲呈螺状，产 于太湖洞庭山。 【碧落】〈书〉名天空。 【碧血】名《庄子?外物》：“苌弘死于蜀，藏其血，三年而化为碧。”后多用“碧血”指为正义事业而流的 血：～丹心。 【碧油油】（口语中也读）（～的）形状态词。绿油油：～的麦苗。 【碧玉】名绿色或暗绿色的软玉。 【蔽】遮盖；挡住：掩～｜遮～｜衣 不～体｜浮云～日。 【蔽芾】〈书〉形形容树干树叶微小。 【蔽塞】①〈书〉动堵塞；壅塞。②形不开通；闭塞。 【蔽障】①动遮蔽；阻挡：浓雾～了视 线｜防
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求“轨迹方程”是求什么？ 求点M的横坐标、纵坐标的关 系等式 归纳步骤：
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
A
B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y).
o
x
BC
∵tanBtanC=t
化简得，tx2+y2=t ∵tanB,tanC有意义，∴x±1 所求的轨迹方程为tx2+y2=t(x±1)
下结论前要“去多补少”，一点也不能 少，一点也不能多！
问题3：线段AB的两端点分别在两互相垂直的直
线上滑动，且|AB|=2a，求AB中点P的轨迹方程
N
归纳步骤
O2 x ：
方法一：直接法
步骤：1、建系设点；
zx```xk
2、找出等式； 3、代入坐标； 4、化简变形；
5、确定结论。
练习2：已知ΔABC底边BC的长为2,又知
tanBtanC=t(t≠0)(t为常数),求顶点A的轨迹方程.
y
解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直
平分线为y轴，建立如图直角系。则
、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。
y 解：易知已知动直线过定点
A(0,1 (0,1)，该点也在已知圆上，故A
)
、B中有一点为(0,1)，不妨设
C x A(0,1)
O
B
∵OC⊥AC
∴C在以OA为直径的圆 :x2+(y-0.5)2=0.25上
又依题意知直线AB的斜率必存在，故x≠0 ∴x2+(y-0.5)2=0.25(x≠0)即为所求
《课堂小结 》 二方法、一注意：
方法一：直接法——五步骤
方法二：几何法——用性质
注意范围！去多补少
问题4：△ABC中，B(-3，8)、C(-1，-6)，另一 个顶点A在抛物线y=x2上运动，求此三角形重心 G的轨迹方程。
可以找到G与A的关系
方法三：坐标转移法（相关点法） 如果G（所求）、A（已知）是相关动点
练习5：下列参数方程分别表示什么曲线？ 过点(-1,3)的直线。 以原点为圆心，半径 为2的圆。
单位圆的右半圆。
练习6：设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m47m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值 范围及圆心的轨迹方程。
注意范围！
。
A
解：以这两条互相垂直的直
P 线为坐标轴建立坐标系，
O B 你能找出点P满圆
。
方程为x2+y2=a2
方法二：几何法
利用平面几何性质，判断动点轨迹的 方法，叫几何法。
Z```xxk
关键在会用性质！
练习3：动直线kx-y+1=0与圆x2+y2=1相交于A
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
A
B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y).
o
x
BC
∵tanBtanC=t
化简得，tx2+y2=t ∵tanB,tanC有意义，∴x±1 所求的轨迹方程为tx2+y2=t(x±1)
下结论前要“去多补少”，一点也不能 少，一点也不能多！
问题3：线段AB的两端点分别在两互相垂直的直
线上滑动，且|AB|=2a，求AB中点P的轨迹方程
N
归纳步骤
O2 x ：
方法一：直接法
步骤：1、建系设点；
zx```xk
2、找出等式； 3、代入坐标； 4、化简变形；
5、确定结论。
练习2：已知ΔABC底边BC的长为2,又知
tanBtanC=t(t≠0)(t为常数),求顶点A的轨迹方程.
y
解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直
平分线为y轴，建立如图直角系。则
、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。
y 解：易知已知动直线过定点
A(0,1 (0,1)，该点也在已知圆上，故A
)
、B中有一点为(0,1)，不妨设
C x A(0,1)
O
B
∵OC⊥AC
∴C在以OA为直径的圆 :x2+(y-0.5)2=0.25上
又依题意知直线AB的斜率必存在，故x≠0 ∴x2+(y-0.5)2=0.25(x≠0)即为所求
《课堂小结 》 二方法、一注意：
方法一：直接法——五步骤
方法二：几何法——用性质
注意范围！去多补少
问题4：△ABC中，B(-3，8)、C(-1，-6)，另一 个顶点A在抛物线y=x2上运动，求此三角形重心 G的轨迹方程。
可以找到G与A的关系
方法三：坐标转移法（相关点法） 如果G（所求）、A（已知）是相关动点
练习5：下列参数方程分别表示什么曲线？ 过点(-1,3)的直线。 以原点为圆心，半径 为2的圆。
单位圆的右半圆。
练习6：设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m47m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值 范围及圆心的轨迹方程。
注意范围！
。
A
解：以这两条互相垂直的直
P 线为坐标轴建立坐标系，
O B 你能找出点P满圆
。
方程为x2+y2=a2
方法二：几何法
利用平面几何性质，判断动点轨迹的 方法，叫几何法。
Z```xxk
关键在会用性质！
练习3：动直线kx-y+1=0与圆x2+y2=1相交于A