高中数学正弦三角函数的图像与性质

5
y
1
y sin x, x[0, 2
π
3p
2
2π
O
p
x
2
-1
思考4：观察函数y=sinx在[0，2π]内的
图象，其形状、位置、凸向等有何变化
规律？
6
思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π]的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
y
1
O
p
-1
2
3p
π
2
2π
x
7
思 考 6 ： 当 x∈[2π ， 4π], [-2π ， 0],…时，y=sinx的图象如何？
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？
3
4
知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0， 2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π] 内的图象？
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦 函数的图象，那么先要将余弦函数 y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪 个公式完成这个转化？
12
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与
y=
数y
sin( p +
=
2 sin (
p
x) 是同一个函数，如何作函 + x)在[0，2π]内的图象？
2
x = k p + p (k ? Z ) 对称.
2
47
思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
余弦曲线关于点 (kp + p , 0)和直线x=kπ
对称.
2
48
理论迁移
例1 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 （1） y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2 23
t
2.
世
界
上
有
许
多事 p
1 2
5730
物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
24
25
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
4π
6π
-1
y y=cosx
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2
-1
2
2
2 40
思考2：上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质？如何从理论上加以 验证？ 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
41
思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些
区间上是增函数？在哪些区间上是减函
数？如何将这些单调区间进行整合？
29
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]
49
例2 比较下列各组数的大小:
(1) sin( )与sin( );
18
10
(2) cos( 23)与cos( 17).
5
例3 求函数 y sin( 1 x ，)பைடு நூலகம்
23
x∈[－2π，2π]的单调递增区间.
50
小结作业
1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值， 它们都是结合图象得出来的，要求熟练 掌握.
1.周期函数是怎样定义的？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就 叫做这个函数的周期.
37
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？ 函数 y = A sin(wx和+ j ) y = A cos(wx + j ) (A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
38
39
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
对称性，你有什么发现？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 ， y=Asinωx 是 奇 函 数 ， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
51
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
52
1.4.3 正切函数的图象与性质
y 1
O
π
-1
2π x
10
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
y
-1
o
x
11
思 考 2 ： 一 般 地 ， 函 数 y=f(x ＋ a)(a>0) 的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样 的变换而得到的？
余弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1,
当且仅当 x (2k 1) 时取最小值-1.
46
思考4：根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0） 的值域是什么？
[-|A| ， |A|] 思考5：正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
正弦曲线关于点（kπ，0）和直线
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （3） y = 2 sin(x - p ) ， x∈R ； （4）y=|sinx|2 x∈6 R.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周
期函数？
32
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
是否为周期函数？周期函数的定义域有
什么特点？
30
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y = A sin(wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
31
理论迁移
1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
1
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线
分别是什么？
y
sinα=MP
P（x，y）
cosα=OM
OM x
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值 （sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
2
3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对 应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦 函数；同样y= cosx也是一个函数，称为 余弦函数，这两个函数的定义域是什么？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π 4π 6π
-1
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k
2
上都是增函数；在每一个闭区间
[ 2k 2k 上都是减函数. 42
思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上
是增函数？在哪些区间上是减函数？
y y=cosx
的周期.
34
4.函数 y = A sin(wx + j ) 和 y = A cos(wx + j )
2p
(A ? 0, w 0)的最小正周期都是 w ，这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接应用.
作业：P36练习：1，2，3.
35
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时
36
问题提出
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
8
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
9
思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π]的图象吗？
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
13
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
14
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
y
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
15
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
16
x0 sinx 0 1+sinx 1
p
3p
2 p 2 2p
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
17
x0 cosx 1
p
3p
2 p 2 2p
0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
2 2π
O
pπ
-1
2
x
18
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
cos x ³ 1 的解集.
2y
1
y= 1
2
O
π
2π x
-1
2
2
[0, p ] U [5p , 2p ]
3
3
19
小结作业
53
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容？这些性质是怎样得到的？
27
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
28
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
思考2：当自变量x分别取何值时，正弦 函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？
正弦函数当且仅当 x 2k 时取最大
值1, 当且仅当 x 2k 时取最小值-1
45
思考3：当自变量x分别取何值时，余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？
作业：P34练习：2 P46习题1.4 A组: 1
21
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时
22
问题提出
t
p
1 2
5730
1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什
么？二者有何相互联系？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1
y y=cosx
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x 2k ) sin x 可以怎样表示？其数学意义如何？
26
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
33
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
2.周期函数的周期与函数的定义域有关， 周期函数不一定存在最小正周期.
3.周期函数的周期有许多个，若T为周期
函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象， 是解题的基本要求，用“五点法”作图 是常用的方法.
20
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础，也是解决有关三角 函数问题的工具，这是一种数形结合的 数学思想.
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2k2k
上都是增函数；在每一个闭区间
[2k 2k 上都是减函数. 43
思考5：正弦函数在每一个开区间 （2kπ，＋2kπ） (k∈Z)上都是增函
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
44
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性