高中数学正弦三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。
它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。
本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。
I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。
它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。
2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。
3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。
它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。
II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。
2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。
3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。
4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。
总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。
演示文稿高中数学第一章三角函数5.2正弦函数的性质课件北师大版必修4201802234153
周期性 是周期函数，周期为 2kπ(k∈Z，k≠0)，2π是它的最小正周期
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性 对称轴
在区间_[_－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_k_π_] (k∈Z)上是增加的； 在区间_[_π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_] (k∈Z)上是减少的
从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
第十七页，共37页。
解答
反思与感悟
(1)比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区
间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
(2)比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin( ±βπ2)后，再依据单调性来进行
∴f(x)＝2sin2x＋2sin x－12，x∈[π6，56π]的值域为[1，72].
第二十八页，共37页。
解答
第二十九页，共37页。
当堂训练
1.函数 f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是
A.－π2，π2
B.[－π，0]
C.－23π，23π
√D.π2，23π
解析 由π2≤x＋π6≤32π， 解得π3≤x≤43π.故选 D.
思考1
对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，这说明正弦函数具有怎样的性质？
答案 奇偶性.
第五页，共37页。
答案
思考2
正弦函数取得最大值、最小值时x的值是什么？
答案 对于正弦函数y＝sin x，x∈R有： 当且仅当 x＝π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝－π2＋2kπ，k∈Z 时，取得最小值－1.
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要的函数，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan），以及它们的倒数函数（csc，sec，cot）。
下面是关于三角函数的一些图像与性质：1. 正弦函数（sin）的图像：正弦函数是一个周期函数，它的图像在一个周期内呈现出振荡的形式，取值范围在-1到1之间。
当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，正弦函数的值为0、1、0、-1，分别对应于函数的最小值、最大值、0点和最大负值。
2. 余弦函数（cos）的图像：余弦函数也是一个周期函数，它的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位差了π/2。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当自变量取0、π/2、π、3π/2等特殊值时，余弦函数的值依次为1、0、-1、0。
3. 正切函数（tan）的图像：正切函数的图像在每个周期上有无穷多个交点，它的值可以为任何实数。
正切函数与正弦函数和余弦函数之间存在着一定的关系，即tan(x) =sin(x) / cos(x)。
当自变量取π/2、3π/2、5π/2等特殊值时，正切函数的值为正无穷大；取-π/2、-3π/2、-5π/2等特殊值时，正切函数的值为负无穷大。
4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，它们的周期分别为2π、2π和π。
这意味着，当自变量增加一个周期时，函数的值将重复出现。
例如，sin(x + 2π) = sin(x)。
5. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即f(-x) = -f(x)；偶函数的图像关于y轴对称，即f(-x) =f(x)。
这些是关于三角函数图像与性质的一些基本信息，三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
常见三角函数图像及性质
常见三角函数图像及性质三角函数在数学中具有重要的作用，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些三角函数的图像及性质对理解三角函数在不同角度下的变化规律至关重要。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数可以表示为 $y = \\sin(x)$，其中x表示自变量（角度），x表示函数值。
正弦函数的图像是一条波浪形状的曲线，在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内，正弦函数的图像在原点(0,0)处达到最大值1和最小值−1，且图像在x轴上对称。
正弦函数的主要性质包括：•周期性：正弦函数的周期是 $2\\pi$，即 $f(x+2\\pi) = f(x)$。
•奇函数：正弦函数是奇函数，即x(−x)=−x(x)。
•范围：正弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第二象限，正弦函数为正；在第三和第四象限，正弦函数为负。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数可以表示为 $y = \\cos(x)$，余弦函数的图像是一条类似正弦函数的波浪形状曲线，不过余弦函数的图像在x轴上下移了 $\\frac{\\pi}{2}$。
余弦函数的性质包括：•周期性：余弦函数的周期也是 $2\\pi$，即$f(x+2\\pi) = f(x)$。
•偶函数：余弦函数是偶函数，即x(−x)=x(x)。
•范围：余弦函数的值域为[−1,1]。
•正负性：在第一和第四象限，余弦函数为正；在第二和第三象限，余弦函数为负。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数可以表示为 $y = \\tan(x)$，正切函数的图像是一条周期性的曲线，其在某些角度处会出现无穷大的值。
正切函数的图像在 $x=k\\pi + \\frac{\\pi}{2}$ 时，即 $x =\\frac{\\pi}{2}, \\frac{3\\pi}{2}, \\frac{5\\pi}{2}$ 等，会出现垂直渐近线。
正切函数的性质包括：•周期性：正切函数的周期是 $\\pi$，即 $f(x+\\pi) = f(x)$。
高中数学三角函数图像的性质及变换规律
高中数学三角函数图像的性质及变换规律三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质及变换规律是我们学习和应用三角函数的基础。
在本文中，我将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质，并讨论它们的平移、伸缩和翻转变换规律。
一、正弦函数的图像性质及变换规律正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π，振幅为1。
正弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 0)，称为正弦函数的零点。
正弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程sin(x) = 0.5在区间[0, 2π]内的解。
首先，我们可以通过观察正弦函数的图像，知道sin(x) = 0.5有两个解，一个在第一象限，一个在第二象限。
我们可以通过求解sin(x) = 0.5的解析解来验证这一点。
sin(x) = 0.5的解析解为x = π/6 + 2πn和x = 5π/6 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足sin(x) = 0.5的解为x = π/6和x = 5π/6。
这个例子说明了正弦函数的图像性质，以及如何通过观察图像来快速得到方程的解。
二、余弦函数的图像性质及变换规律余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，它的周期也是2π，振幅为1。
余弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 1)，称为余弦函数的最大值点。
余弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程cos(x) = -0.5在区间[0, 2π]内的解。
根据余弦函数的图像性质，我们可以知道cos(x) = -0.5有两个解，一个在第二象限，一个在第三象限。
我们可以通过求解cos(x) = -0.5的解析解来验证这一点。
cos(x) = -0.5的解析解为x = 2π/3 + 2πn和x = 4π/3 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足cos(x) = -0.5的解为x = 2π/3和x = 4π/3。
正弦函数图像及性质
正弦函数图像及性质
正弦函数是经典的三角函数，是一种双曲线形式的函数。
它表示某一Angle的正弦值，在数学中有很重要的地位。
在几何图表中，正
弦函数图像是一条波浪状线，也可用多边形方式表示正弦函数图像，
正弦函数图像的性质如下：
1. 正弦函数的自变量范围是从0到2π，即[0,2π]，正弦函数的值的范围是从-1到+1，即[-1,1]。
2. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间单调递增，在(-
π/2,0)和(3π/2,2π)之间单调递减。
3. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间为凸函数，在(-
π/2,0)和(3π/2,2π)之间为凹函数。
4. 正弦函数在(0,π/2)和(π,3π/2)之间的极值点是(π/2,1)
和(3π/2,-1)，在(-π/2,0)和(3π/2,2π)之间的极值点是(-π/2,-1)和(3π/2,1)。
5. y=sin x曲线是一个周期性的曲线，其中一个周期的长度为
2π。
正弦函数的几何图形表示的不仅是某一角度的正弦值，而且还有象征时间周期性变化的潮汐效应。
正弦函数可以解释声音波动，电磁
波动，水波动，电子信号等各种自然现象，其在数学、物理、工程等
领域有着重要作用，因此，深入理解正弦函数图像及其性质，对我们
有重要意义。
三角函数的性质和图像
三角函数的性质和图像
三角函数的性质与其连续变化的图像形状之间息息相关，为我们解释物理世界中复杂物理关系提供了重要依据。
五个小标题，相关内容
三角函数的性质和图形
1、定义
三角函数是用变量对正n角形的三种角度和相应角的大小而表达的关系式，主要包括正弦函数sinH，余弦函数 cosH和正切函数 tanH。
2、几何性质：
三角函数在几何中有一些性质，例如正弦函数SinH，余弦函数CosH 和正切函数tanH全部符合三角形的特性，其中的SinH和CosH的图像是三角形的内切圆，而tanH的图像是三角形的外切圆。
3、参数性质：
任意线性变换，三角函数的图像也被重新变换，只要保持原来变量关
系，图像也保持类型不变。
4、增减性质：
在某种范围内，正弦函数SinH和余弦函数CosH都是增函数，正切函数TanH是减函数。
5、图像特点：
三角函数的图像大体上是正弦曲线，在Π/2位置有拐点，有半波长形状，在此基础上可以通过变换做出不同的图形。
正弦三角函数的图像与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？
问题提出
1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？
P（x，y）
O
x
y
M
sinα=MP
cosα=OM
4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与 是同一个函数，如何作函数 在[0，2π]内的图象？
x
y
O
2π
π
1
y=sinx
-1
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
x
y
O
2π
π
1
-1
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？
正切函数是周期函数，周期是π.
思考3：函数 的周期为多少？一般地，函数 的周期是什么？
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？
正切函数是奇函数
思考5：观察下图中的正切线，当角x 在 内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.
2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.
3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？
三角函数的图像与性质详解
三角函数的图像与性质详解在数学领域中，三角函数是一组常见且重要的函数。
它们不仅具有许多实际应用，同时也有着丰富的图像特性和数学性质。
本文将详细介绍三角函数的图像和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用符号sin表示。
正弦函数的图像是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的图像在一个周期内重复。
正弦函数的周期由2π决定。
2. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正弦函数的值在[-1, 1]的范围内变化。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用符号cos表示。
余弦函数的图像也是一个连续的波形，具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的图像也在一个周期内重复。
余弦函数的周期同样由2π决定。
2. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
3. 范围：余弦函数的值同样在[-1, 1]的范围内变化。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要成员，用符号tan表示。
正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的图像在每个π的倍数处出现垂直渐近线。
因此，正切函数没有固定的周期。
2. 对称性：正切函数的图像关于原点对称，即f(x) = -f(-x)。
3. 范围：正切函数在定义域内可以取任何实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数之外，还有许多与三角函数相关的函数，例如反正弦、反余弦和反正切函数。
这些函数的图像和性质相对复杂，超出了本文的范围。
感兴趣的读者可以进一步学习和了解这些函数的性质。
综上所述，三角函数是数学中常见而重要的函数。
它们的图像和性质有助于我们理解和应用这些函数。
通过研究三角函数的性质，我们可以更好地解决与周期性和周期性相关的问题，例如波动、震动和周期性运动。
希望本文的内容能够对读者在学习和应用三角函数时有所帮助。
7.3三角函数的图像和性质课件高中数学苏教版必修第一册
当且仅当x=+2kπ(k∈Z)时,取 当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,取得最
最值
得最大值1;当且仅当x=-+2kπ 大值1;当且仅当x=2kπ+π(k∈Z)
(k∈Z)时,取得最小值-1
时,取得最小值-1
奇偶性 奇函数
偶函数
对称轴 x=kπ+,k∈Z
x=kπ,k∈Z
对称
中心
(kπ,0),k∈Z
,k∈Z
3
π
π
kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
6
3
π
π
所以原函数的减区间是[kπ-6,kπ+3](k∈Z).
π
π
(2)y=2sin 4 - =-2sin - 4 .
π
令 z=x- ,则 y=-2sin z,求 y=-2sin z 的减区间,即求 2sin z 的增区间.
4
π
π
所以- +2kπ≤z≤ +2kπ,k∈Z,
(k∈Z)上都是增函数,其值由-1 (k∈Z)上都是增函数,其值由-1
单调性 增大到1;在每一个闭区间
增大到1;在每一个闭区间
[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)上都是减函 [2kπ,2kπ+π] (k∈Z) 上都是减函
数,其值由1减小到-1
数,其值由1减小到-1
函数
正弦函数y=sin x
余弦函数 y=cos x
反思感悟与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路
1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性
(-1≤sin x≤1)求解.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的函数,当定义域为R时,值域为
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
它们在数学和物理学等领域中具有重要的应用和性质。
本文将讨论三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，由于其周期性的特点，在图像上呈现出波浪形状。
在单位圆上，正弦函数的图像可以用来表示角度和弧度的关系。
正弦函数的图像可以通过以下步骤绘制出来：1. 将横轴分成一定的单位，例如每个单位代表30°或π/6。
2. 在每个单位上确定正弦函数的值，即纵坐标的位置。
3. 将所有的点依次连接起来，得到正弦函数的图像。
正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的一个周期是360°或2π。
在一个周期中，正弦函数的值从最小值到最大值再返回最小值。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称。
即f(x) = -f(-x)。
3. 幅值：正弦函数的幅值为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：正弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过零点。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个重要的三角函数，其图像也呈现出波浪形状，但与正弦函数有一定的相位差。
余弦函数在数学中的应用广泛，例如表示交流电信号的变化。
余弦函数的图像可以通过类似于正弦函数的步骤绘制出来。
余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的一个周期也是360°或2π。
在一个周期中，余弦函数的值从最大值到最小值再返回最大值。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
即f(x) = f(-x)。
3. 幅值：余弦函数的幅值也为1，即图像的振幅为1。
4. 位置：余弦函数的图像在(x, f(x))的点上经过最大值。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中最特殊的一个，其图像呈现出一系列的尖峰和波谷。
正切函数在解决直角三角形问题时经常使用，也在物理学中广泛应用。
高中数学课件-第一章 正弦函数的图像与性质
周期函数：f(x+T)=f(x) 最小正周期：所有周期中最小的正数
y 1
4 x
y 1
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
定义域
x∈ R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
当函当数xx∈ ∈是[[22增kkππ加+- 的ππ22，,,22kkππ++
例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图
解：(2)
x
0
π 2
π
3π 2
2
sinx 0
1
0
-1
0
1sinx 1
2
1
0
1
y. 1.
y 1 sinx,x [0,2π]
.
.
o -1
.
π 2
3π 2
2
x
y sinx,x [0,2π]
3. 作出下列函数的图象
y 3 sin x x [0 , 2 ]
求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取 最大值、最小值的x值的集合。
解： ymax 2 sin x max 2 1 3
ymin 2 sin x min 2 (1) 1 周期T 2
使y=2+sinx取得最大值的x的集合是：
x
x
2
2k , k
Z
使y=2+sinx取得最小值的x的集合是：
正弦函数的图象与性质再认识-三角函数
数 学 BS 自 主 通 道
探究通道
巩固通道
高效课时作业
第 14 页
作形如函数 y＝asin x＋b，x∈[0,2π]的 图象的步骤
数 学 BS 自 主 通 道
探究通道
巩固通道
高效课时作业
第 15 页
[跟踪训练] (1)用五点(画图)法作出函数 y＝2sin x(0≤x≤2π)的图象； (2)用五点(画图)法画出函数 y＝sin 2x(0≤x≤π)的图象．
(3)求形如 y＝Asin2x＋Bsin x＋C(A≠0)的函数的最值或值域，应利用换元法，结 合正弦函数的性质、二次函数的性质求解．
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高效课时作业
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【典例】 (1)求函数 y＝3－2sin x 的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取 得最大值和最小值时 x 的取值集合；
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[跟踪训练 2] 求函数 y＝2sin x 的单调区间． 解 y＝2sin x 的单调性与 y＝sin x 的单调性相同．∴y＝2sin x 的单调递增区间是 2kπ－π2，2kπ＋2π(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)．
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解 ∵sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 110°＝cos(180°－70°)＝－cos 70° ＝－sin(90°－70°)＝－sin 20°，由于 0°<14°<20°<90°，而 y＝sin x 在[0°，90°]上单调递 增，∴sin 14°<sin 20°，∴－sin 14°>－sin 20°，即 sin 194°>cos 110°.
正弦函数的图像和性质
1定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种.定义与定理定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。
正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C 在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）2性质编辑图像图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)正弦函数x∈&定义域实数集R值域[-1，1] （正弦函数有界性的体现）最值和零点①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1零值点：（kπ,0) ，k∈Z对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形。
1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称周期性最小正周期：y=sinx T=2π奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.3正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h各常数值对函数图像的影响：φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）作图方法运用“五点法”作图“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.单位圆定义图像中给出了用弧度度量的某个公共角。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
三角函数正弦函数的图像与性质正弦函数的图像课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 正弦函数图像生成 • 正弦函数的性质 • 常见三角函数公式 • 正弦函数的应用 • 实战案例：使用正弦函数和余弦函数解决实际问
题
01
正弦函数图像生成
准备绘制正弦函数图像
选择坐标系
在直角坐标系中，选择一个周期内的图像，可选择 $y=sin(x)$或$y=sin(2x)$等。
03
常见三角函数公式
两角和与差的余弦函数和正弦函数公式
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
倍角公式和半角公式
$\cos 2x=cos^2 x-sin^2 x$ $\cos\frac{x}{2}=\frac{\cos x+1}{2}$
$\sin 2x=2sin x cos x$ $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{1-cos x}}{2}$
积化和差和反三角函数公式
使用正弦函数和余弦函数解决桥梁振动问题
总结词
利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决实际问题。
详细描述
通过实例演示如何利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决桥梁振动问题， 包括振幅、频率、相位等的求解。
使用正弦函数和余弦函数解决日常生活中的优化问题
总结词
将正弦、余弦函数应用于优化问题中，提高解决方案的效率 和精度。
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知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
8
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
9
思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π]的图象吗？
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？
3
4
知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0， 2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π] 内的图象？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
38
39
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
对称性，你有什么发现？
y 1
y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
Байду номын сангаас
-π
O
π
3π 5π x
2π
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2k2k
上都是增函数；在每一个闭区间
[2k 2k 上都是减函数. 43
思考5：正弦函数在每一个开区间 （2kπ，＋2kπ） (k∈Z)上都是增函
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
44
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
的周期.
34
4.函数 y = A sin(wx + j ) 和 y = A cos(wx + j )
2p
(A ? 0, w 0)的最小正周期都是 w ，这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接应用.
作业：P36练习：1，2，3.
35
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时
36
问题提出
33
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
2.周期函数的周期与函数的定义域有关， 周期函数不一定存在最小正周期.
3.周期函数的周期有许多个，若T为周期
函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)
x = k p + p (k ? Z ) 对称.
2
47
思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
余弦曲线关于点 (kp + p , 0)和直线x=kπ
对称.
2
48
理论迁移
例1 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 （1） y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
. sin(x 2k ) sin x (k Z )
思考2：设f(x)=sinx，则sin(x 2k ) sin x 可以怎样表示？其数学意义如何？
26
思考3：为了突出函数的这个特性，我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为 这个函数的周期.一般地，如何定义周期 函数？
对 于 函 数 f(x) ， 如 果 存 在 一 个 非 零常数T，使得当x取定义域内的每一 个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫 做这个函数的周期.
17
x0 cosx 1
p
3p
2 p 2 2p
0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
2 2π
O
pπ
-1
2
x
18
例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
cos x ³ 1 的解集.
2y
1
y= 1
2
O
π
2π x
-1
2
2
[0, p ] U [5p , 2p ]
3
3
19
小结作业
y
1
y=sinx
2
O -1
2
π
2π x
13
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O
π
2π x
-1
2
2
14
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
y
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2
15
理论迁移
例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
16
x0 sinx 0 1+sinx 1
p
3p
2 p 2 2p
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
向左平移a个单位.
思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦 函数的图象，那么先要将余弦函数 y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪 个公式完成这个转化？
12
思考4：由诱导公式可知，y=cosx与
y=
数y
sin( p +
=
2 sin (
p
x) 是同一个函数，如何作函 + x)在[0，2π]内的图象？
2
余弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1,
当且仅当 x (2k 1) 时取最小值-1.
46
思考4：根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0） 的值域是什么？
[-|A| ， |A|] 思考5：正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
正弦曲线关于点（kπ，0）和直线
y 1
O
π
-1
2π x
10
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
y
-1
o
x
11
思 考 2 ： 一 般 地 ， 函 数 y=f(x ＋ a)(a>0) 的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样 的变换而得到的？
是否为周期函数？周期函数的定义域有
什么特点？
30
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正 周期是多少？
思考5：一般地，函数y = A sin(wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?
思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那 么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？
31
理论迁移
27
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
28
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 ， y=Asinωx 是 奇 函 数 ， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
51
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
52
1.4.3 正切函数的图象与性质
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位 重复出现，因此，只要记住它们在[0， 2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲 线和余弦曲线.
2.作与正、余弦函数有关的函数图象， 是解题的基本要求，用“五点法”作图 是常用的方法.
20
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础，也是解决有关三角 函数问题的工具，这是一种数形结合的 数学思想.
2
2
1 22
2
2
x
2
O
2
2-1
2
2
2 23
t
2.
世
界
上
有
许
多事 p
1 2
5730
物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
24
25