《正弦定理和余弦定理》典型例题
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（ ）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（ ）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（ ） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人 得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ； （2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值； （Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =， （1）求b 的值； （2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是 ． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°， 故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ， 则B=45°． 故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ， 即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=， 所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ； （2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2， 即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角， 再联系两角和差公式，可求出角B 。
完整版正弦定理余弦定理应用实例练习含答案
后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )课时作业3应用举例时间：45分钟 满分：100分1. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成 60°勺视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，贝J B 、C 间的距离是 ()A . 10^3海里 C . 5迈海里【答案】 D【解析】 如图，/A = 60° /B = 75° 贝JZC = 45 °, 由正弦定理得:BCAB si nA 10x sin60 BC= sinC = sin452. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C ,测出AC 的距离为50m , / ACB = 45° / CAB = 105°B . 10/6海里 D . 5^6海里课堂训练—30 =150 ° ZCBO = 45 ° AB=35 ,【答案】 A【解析】 因为ZACB = 45° ZCAB = 105°所以ZABC = 30°根 据正弦定理可知'sin%=sin 監，即爲=馬，解得AB=5072m ,选 A.3. 从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°从电视 塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45° A , B 间距离是35m ,【答案】 如图所示，塔高为0C ,贝JZOAC = 60° 从OB = 180°A . 5Oj2m C . 25 辺m则此电视塔的高度是m.【解析】A设电视塔高度为hm,则OA=^h, OB= h,在△KOB中由余弦定理可得AB2= OA2+ OB2—2OA OB cos/AOB,即352=（誓h）2 + h2—2x¥hx hx （—乎）解得h= 5佰.4.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45° °如果此船不改变航向，继续向南航行, 有无触礁的危险?【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可.【解析】 在△ABC 中，BC= 30,ZB= 30°,ZACB= 135°,•••zBAC = 15「「亠亠5 BC AC 卄30 AC 由正弦疋理snB ,即：sin15匸sin30/.AC = 60COS15 =°0cos(45 — 30 )=60(cos45 coS30 斗 sin45 sin30 ) = 15(V 6+V 2),•••A 到 BC 的距离为 d = ACsin45 = 15&3 + 1)〜40.98 海里 >38 海 里，所以继续向南航行，没有触礁危险.课后作业、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）A .北偏东10°B .北偏西10°C .南偏东10°D .南偏西10°如图所示，/ ECA = 40° ZFCB = 60°, ZACB = 180°—40 -60 = 80 :180 ° — 80••AC= BC ,.・.ZA=/ABC = ------ 2 --- = 50°,.・.ZABG= 180 —Z CBH-ZCBA = 180°— 120°— 50°= 10°.故选 B.2. 某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这【答案】 C1 1 1【解析】 $△= 2^ 20X 30X sin150 =十 20X 30X=150(m 2),•••购买这种草皮需要150a 元，故选C.【答案】【解析】 EGCH种草皮需要A . 450a 元C . 150a 元3. 有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的 前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30。
正弦定理和余弦定理专题试题及答案
正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理， 得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ， 即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
正弦定理和余弦定理
的最大值为 2
．
【分析】利用三角形的面积计算公式得 •a• ＝ bcsinA，求出 a2＝2bcsinA；利用余弦定理可得 cosA＝
，
得 b2+c2＝a2+2bccosA，代入 + ＝
，化为三角函数求最值即可．
【解答】解：因为 S△ABC＝ •a• ＝ bcsinA，
即 a2＝2bcsinA；
由余弦定理得 cosA＝
＝
＝
第 4 页（共 12 页）
＝
＝
＝
＝
＝
．
故选：B． 【点评】本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是中档题．
5．在△ABC 中，
，则 BC 边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用余弦定理求得 AB 的值，再根据△ABC 的面积求出 BC 边上的高． 【解答】解：△ABC 中，AC＝ ，BC＝ ，B＝45°， 由余弦定理得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos45°， 即 5＝AB2+2﹣2•AB• • ，
13．在△ABC 中，BC＝3，∠A 的平分线交 BC 于点 D，且 BD＝2，则△ABC 面积的最大值是
．
第 1 页（共 12 页）
14．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2+c2﹣b2+2ac＝2 bcsinA． （Ⅰ）求角 B； （Ⅱ）当 b＝1 且△ABC 的面积最大时，求 a+c 的值．
正弦定理和余弦定理
1．在△ABC 中，BC 边上的中线 AD 长为 3，且 cosB＝ ，cos∠ADC＝﹣ ，则 AC 边长为（ ）
A．4
B．16
正弦定理、余弦定理的应用举例练习题(基础、经典、好用)
正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题图3－8－91．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图3－8－9)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里图3－8－103．(2013·广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是() A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里图3－8－114．如图3－8－11所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sin θ的值为()A.217 B.22 C.32 D.5714图3－8－125．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图3－8－12所示)，则旗杆的高度为()A．10 m B．30 m C．10 3 m D．10 6 m二、填空题6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________米．7．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．图3－8－138．如图3－8－13，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________．三、解答题图3－8－149．(2013·佛山调研)如图3－8－14，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？图3－8－1510．如图3－8－15，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．图3－8－1611．(2013·惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图3－8－16所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建设费用最低，请说明理由．解析及答案一、选择题1．【解析】在△ABC中，由正弦定理BCsin 30°＝ABsin 45°，AB＝50 2.【答案】 A2．【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．【答案】 C3．【解析】由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.【答案】 A4．【解析】连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝21 7.【答案】 A5．【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC＝206×2 2＝203(m)．在Rt△CBD中，CD＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)．【答案】 B二、填空题6．【解析】如图，依题意甲楼高度AB＝20tan 60°＝203米，又CM＝DB＝20米，∠CAM ＝60°.所以AM＝CM·1tan 60°＝2033米，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033米．【答案】403 37．【解析】如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，∴x2－10x－96＝0，∴x＝16.【答案】168．【解析】设AB＝h，在△ABC中tan 60°＝h BC，∴BC＝33h，在△BCD中，∠DBC＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC ＝BCsin∠BDC，即30sin 135°＝33hsin 30°，解得h＝15 6.【答案】15 6三、解答题9．【解】在△BCD中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理cos∠BDC＝DB2＋DC2－BC22DB·DC＝－17，所以cos∠ADC＝17，sin∠ADC＝437，在△ACD中，由条件知CD＝21，A＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314，由正弦定理ADsin∠ACD ＝CD sin A，所以AD＝2132×5314＝15，故这时此车距离A城15千米．10．【解】 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD ＝BA . 在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，即AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，因此，BD ＝32＋620≈0.33 km.故B ，D 间的距离约为0.33 km.11．【解】 (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝356－320cos C ， ① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝392－392cos C ， ② 由①②得：356－320cos C ＝392－392cos C ， 整理可得，cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°， 又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ， 所以△ABD 是等边三角形， 故AB ＝14，即A 、B 两点的距离为14. (2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ， 因为AD ·BD ＞AC ·BC ， 所以S △ABD ＞S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．因此小李的设计符合要求．。
(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题
正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭． 3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6π.例4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求ac的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-= 故3a c =例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 612例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________.3例7.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =【解析】0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=由62a c ==+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得sin 2sin a b B A =⋅=, 例8.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 2 ，AC 的取值范围为 (2,3) .解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos (2,3).AC θ∴=∈例9.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C=Q ， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo∴ 180()105B A C =-+=o o ， 又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o o o 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===o ， （方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o ，当150C =o 时，210180B C +=>o o ，（舍去）；当30C =o 时，90A =o ，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =o ， ∴C B <，∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o ∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
正弦定理与余弦定理各地高考练习题
一、选择题1.已知在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为1_ 1 2 2A.- 4B. 4C.- 3D. _>2.在△ ABC中，a=入b=，隹入,A=45° ,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ ABC中，bcosA=acosB,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1（x>1）,则最大角为A.150 °B.120°C.60°D.75°5.在4ABC中，出=1 , BC=2,（须+切）・（项+加）=5+2、5则边|4C|等于A-5 …而杼苕+增A. B .5-2 C. D.6.在△ ABC中，已知B=30° ,b=50，》，c=150,那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ ABC 中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是 A.RtA B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ ABC 中，a=10,B=60° ,C=45° ,贝U c=A.10+ 万B.10（Q-1）C.（而+1）D.10万10.在4ABC中，bsinAvav b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7 x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2 L~C.16D.412.在4ABC 中，a2=b2+c2+bc,则A 等于A.60 °B.45°C.120D.30°= 7c=-13.在△ ABC中， 2 4，则△ ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ ABC 中，a=2, A=30° ,C=45° ,则^ ABC 的面积S”BC等于18. 4ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ ABC 为19. 4ABC 中,A=60° ,b=1,这个三角形的面积为 』’3 ,则^AB C 外接圆的直径为15.已知三角形ABC 的三边A.cos 2BB.1-cos 2B16 .在△ ABC 中, A.充分不必要条件条件17 .在△ ABC 中, A.直角三角形C. + +11D ； ( +1)a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C,则 sinAsinC 等C.1+cos 2BD.1+sin 2BsinA > sinB 是 A > B 的 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要bCosA=acosB,贝U 三角形为 B.锐角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形26^3A.yB. 2届岳C.二D.-20.在△ ABC 中, ——k:C ，则k 为A.2RB.RC.4R-RD. 2(R 为△ ABC 外接圆半径)二、填空题1.在△ ABC 中, A=60° , C=45° , b=2,则此三角形的最小边长为2.在△ ABC 中, dbc口‘十/十白’3 .在△ ABC 中,a ： b ：c=(0+1):痴:2,则^ ABC 的最小角的度数为 4 .在△ ABC 中，已知 sinA : sinB : sinC=6 ： 5 ： 4,贝U secA=5 . 4ABC 中，匕1ns 2m 方，则三角形为6 .在△ ABC 中，角 A 、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ ABC 是7 .在△ ABC 中，若此三角形有一解，则 a 、b 、A 满足的条件为8 .已知在△ ABC 中，a=10,b=5v6,A=45° JU B= 9 .已知△ ABC 中，a=181,b=209,A=121° 14'，此三角形解.10.在△ ABC 中,a=1,b=1,C=120° 贝U c=.11.在△ ABC 中，若a2>b2+c2,则△ ABC 为；若a2=b2+c2,则△ ABC 为;若a2 v b2+c2且b2v a2+c2且c2< a2+b2,则^ ABC 为.12.在△ ABC 中，sinA=2cosBsinC,则三角形为.sn C 2 yr 外—=—6 +1)13.在△ ABC 中，BC=3, AB=2,且41 8 5 , A=.14.在△ ABC 中，B= V3,C=3,B=30° ,贝(J A=.15.在△ ABC 中，a+b=12,A=60° , B=45° ,贝U a=,b=.16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ ABC 中，化简bcosC+ccosB=.18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题1.已知在^ ABC 中，c=10, A=45° , C=30° ,求a、b 和B.2.已知△ ABC的三边长a=3, b=4, c= 437 ,求三角形的最大内角.3.已知在△ ABC中，/ A=45° , a=2, c=^ ,解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a, DC=2a,四个角A、B、C、D度数的比为3 ： 7 ： 4 ： 10,求AB.5.在△ ABC中，A最大，C最小，且A=2C, A+C=2B,求此三角形三边之比.7.在△ ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2, OA=2, B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ ABC 中，若sinA : sinB : sinC=m : n ： l,且a+b+c=S,求a.10.根据所给条件，判断△ ABC的形状(1) acosA=bcosB值_ b _ 白oosA. 8s R oosC(2)11.△ABC中，a+b=10,而cosC是方程2x2—3x— 2=0的一个根，求^ ABC周长的最小值.12.在△ ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A—C= 3 ,求sinB的值.13.已知△ ABC 中，a=1,b= J^,A=30°，求B、C 和c.14.在△ ABC中，c=242, tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S AABC=10，》,一个角为60° ,这个角的两边之比为5 : 2,求三角形内切圆的半径.* ”------ - 二二口，且7cosm =bcosA16.已知△ ABC中，a-\-b-c，试判断^ ABC的形状.l7tanC=-217.已知△ ABC的面积为1, tanB=2 ，求4ABC的各边长.18.求值：an cos2 800+ j5an20o<xK80c19.已知△ ABC勺面积S=底口 = = 2解此三角形.20.在△ ABC 中，a="G,b=2,c=^^+1 ,求A、B、C 及&.21.已知(a2+bc) x2+2 V* * + 1=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是4ABC的三边，⑴若/ A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求/ A的度数.22.在4ABC 中，(a2+b2) sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ ABC 的形状.元23.在△ ABC中，u = 2J"，a>b,C= 4 ,且有tanA • tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c二+ A = 7/ < 3(1)若方程组国+D有实数解，求k的值.向-7^ ，, N T 2 (2)对于(1)中的k值，若“且有关系式- 上，试求A、B、C的度数.试题本一地区：四川文科卷年份：2012分值：5.0 难度：31. 如图，正方形&C0的边长为1 ,延长至1T ,使= l ,连接因.即snZ.<^D=()4.在△山C 中，角凡及U 对应的边分别是 值力£.已知他门乂-3期（8+0-1 . （I ）求角X 的大小；（n ）若 MBC 的面积& =5邛，匕=5 ,求sm £sinC 的值.地区：浙江理科卷 年份：2013 分值：4.0 难度：3血NBA 财'=—5. △ABC 中，IZC = 90。
正弦定理与余弦定理的应用练习题
正弦定理与余弦定理的应用练习题在数学中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
它们可以帮助我们计算三角形的边长或角度，解决实际生活中的测量和定位问题。
本文将通过一些应用练习题来展示正弦定理与余弦定理的实际运用。
练习题1：已知一个三角形的两边和夹角，计算第三边的长度。
假设三角形ABC中，已知边AB的长度为3，边AC的长度为4，夹角BAC的度数为60°。
我们需要计算边BC的长度。
解题思路：根据正弦定理，我们可以得到以下公式：sinA / a = sinB / b = sinC / c其中，A、B、C分别代表三角形ABC的角度，a、b、c分别代表三角形的边长。
根据已知信息：A = 60°，a = 4，b = 3。
代入公式，我们可以求得：sin60° / 4 = sinB / 3。
通过单位圆表格或计算器，我们可以得到sin60°的值为√3/2。
将该值代入公式，我们可以求得：√3 / 2 / 4 = sinB / 3。
通过简单的变形，我们可以得到：sinB = （3 * √3）/ 8。
通过计算器计算sinB的反函数（即B的值），我们得到B约等于30.96°。
因为三角形的内角和为180°，所以C = 180° - 60° - 30.96° ≈ 89.04°。
现在我们已经得到了三个角的度数，可以使用余弦定理来计算边BC的长度。
根据余弦定理的公式：c² = a² + b² - 2ab * cosC代入已知信息，我们可以得到：BC² = 3² + 4² - 2 * 3 * 4 * cos89.04°。
通过计算器计算cos89.04°的值，我们得到其约等于0.0175。
代入计算式，我们可以得到：BC² ≈ 9 + 16 - 24 * 0.0175。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。
正弦与余弦定理练习题及答案
国庆作业（一）正弦定理和余弦定理练习题一．选择题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．2 62A3．在△( ) A．4A5．在△( ) A6A7A.32B.34C.32或 3 D.34或328．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )A. 6 B．2 C. 3 D. 2二、填空题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.10．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．13，c＝14151617灯塔Asin C 218cos C 2＝19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．21．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．23．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值． 余弦定理练习题1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A 2．在3．在A 4．在＝3ac ，则∠B 5．在 )A 6( )A7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC→的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.1314．．15．16．172cos(A ＋B )＝18(2)若△ABC 19A －π4)20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A<60°，∴B ＝4．在A C 5．在b ＝2，则c ＝A 1.6．在A 角形7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12. 9．在＝π3，则A ＝1011．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13∴12×1415解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得 ＝BC ·sin ∠ABC 18＝14，sin B sin C A ＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，20故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．2 解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，3A C 4B ＝3ac 5( )A C 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC→的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，89－33a ，9上的中线AD ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61.答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ， 的值为＝2×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC→|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，172cos(A＋B )＝18(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB2 2AC·BC＝?AC＋BC?2－2AC·BC－AB22AC·BC＝12，所以C＝60°.19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4)的值．中，由正弦定理AB＝BC，20△ABC＝2bc，所以c2b＝2bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．。
正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。
(完整版)正弦定理、余弦定理超经典练习题
正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析
类型一：正弦定理的应用：
例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯=
== ∴ 180()105B A C =-+=，
又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯=
===⨯= 总结升华：
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，0
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，0
60C =，5c =，求a 、A .
【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60
o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆=
==中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .
解析：由正弦定理得：sin sin b c B C
=， ∴sin 1sin 23
c B C b ===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =，
当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；
当30C =时，90A =，∴222a b c +=．
（方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <，
∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A = ∴222a b c =+=．
总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C .
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式1】在ABC ∆中，6c =2a =，45A =，求b 和,B C ．
【答案】∵sin sin a c A C
=， ∴sin 6sin 453sin 22c A C a ===， ∵0180C <<， ∴60C =或120C =
∴当60C =时，75B =，sin 67531sin sin 60
c B b C ===； ∴当120C =时，15B =，sin 6sin1531sin 60c B b C =
==； 所以，31,75,60b B C ===或31,15,120b B C ===．
【变式2】在ABC ∆中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ；
【答案】 ∵2sin 45sin o a B =， ∴1sin 2
B =
∵0180B <<， ∴30B =或150B =
①当30B =时，105C =，)13(10c +=；
②当150B =时，195180A B +=>（舍去）。
【变式3】在ABC ∆中，60B =，14a =, b =求A ∠.
【答案】由正弦定理，得226
760sin 14sin sin 0=⨯==b B a A . ∵a b <, ∴A B <，即 060A <<
∴45A =
类型二：余弦定理的应用：
例3．已知ABC ∆中，3AB =、BC =4AC =，求ABC ∆中的最大角。
思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
解析：∵三边中BC =BC 其所对角A 最大，
根据余弦定理：222222341cos 22342
AB AC BC A AB AC +-+-===-⨯⨯， ∵ 0180A <<， ∴120A =
故ABC ∆中的最大角是120A =.
总结升华：
1.ABC ∆中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知ABC ∆中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .
【答案】根据余弦定理：2222225371cos 22352
a b c C ab +-+-===-⨯⨯， ∵0180C <<， ∴120o C =
【变式2】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c =
2:1），求ABC ∆的各角的大小．
【答案】设a =，2b k =，)
1c k =，()0k >
根据余弦定理得：()26314
2cos 2
2316B +-==+， ∵0180B <<，∴45B =；
同理可得60A =；
∴18075C A B =--=
【变式3】在ABC ∆中，若222
a b c bc =++，求角A . 【答案】∵222
b c a bc +-=-， ∴2221cos 22b c a A bc +-==
- ∵0180A <<， ∴120A =
类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在ABC ∆中，已知23=a 62c 045B =，求b 及A .
思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b ，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A .
解析：
⑴由余弦定理得：
2222cos b a c ac B =+- =220(23)(62)223(62)cos45+-⋅⋅ =212(62)43(31)+-
=8 ∴2 2.=b
⑵求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理） ∵222222(22)(62)(23)1cos 22222(62)
b c a A bc +-++-==⨯⨯+， ∴060.=A （法二：正弦定理） ∵0233sin sin sin4522a A B b =62 2.4 1.4 3.8+=，2321.8 3.6⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,
∴060.=A
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：
【变式1】在ABC ∆中，已知3b =, 4c =, 0135A =.求B 和C .
【答案】由余弦定理得：21225135cos 43243222+=⨯⨯-+=o a ，
∴48.621225≈+=a 由正弦定理得：sin 3sin135sin 0.327o
b A B a a
==≈， 因为0135A =为钝角，则B 为锐角， ∴0/
197B =.
∴00/180()2553C A B =-+=. 【变式2】在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若2a =
，
b =
c =-，
求角A 和sin C
【答案】根据余弦定理可得：
222cos 22b c a A bc +-=== ∵0180A <<， ∴ 30A = ；
∴由正弦定理得：
(sin 306sin sin 24c A C a
===.。