《正弦定理和余弦定理》典型例题

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《正弦定理和余弦定理》典型例题透析

类型一:正弦定理的应用:

例1.已知在ABC ∆中,10c =,45A =,30C =,解三角形.

思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出边a ,然后用三角形内角和求出角B ,最后用正弦定理求出边b . 解析:sin sin a c A C =, ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯=

== ∴ 180()105B A C =-+=,

又sin sin b c B C =, ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯=

===⨯= 总结升华:

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上,可以清楚地看出已知与求之间的关系,从而恰当地选择解答方式.

举一反三:

【变式1】在∆ABC 中,已知032.0=A ,081.8=B ,42.9a cm =,解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理,0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=;

根据正弦定理,0

sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ; 根据正弦定理,0

sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中,已知075B =,0

60C =,5c =,求a 、A .

【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=, 根据正弦定理5sin 45sin 60

o o a =,∴56a =【变式3】在∆ABC 中,已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c

【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C

==,得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2.在3,60,1ABC b B c ∆=

==中,,求:a 和A ,C . 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角C ,然后用三角形内角和求出角A ,最后用正弦定理求出边a .

解析:由正弦定理得:sin sin b c B C

=, ∴sin 1sin 23

c B C b ===, (方法一)∵0180C <<, ∴30C =或150C =,

当150C =时,210180B C +=>,(舍去);

当30C =时,90A =,∴222a b c +=.

(方法二)∵b c >,60B =, ∴C B <,

∴60C <即C 为锐角, ∴30C =,90A = ∴222a b c =+=.

总结升华:

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C 时,因为0sin sin(180)C C =-,所以要依据题意准确确定角C 的范围,再求出角C .

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.

举一反三:

【变式1】在ABC ∆中,6c =2a =,45A =,求b 和,B C .

【答案】∵sin sin a c A C

=, ∴sin 6sin 453sin 22c A C a ===, ∵0180C <<, ∴60C =或120C =

∴当60C =时,75B =,sin 67531sin sin 60

c B b C ===; ∴当120C =时,15B =,sin 6sin1531sin 60c B b C =

==; 所以,31,75,60b B C ===或31,15,120b B C ===.

【变式2】在ABC ∆中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ;

【答案】 ∵2sin 45sin o a B =, ∴1sin 2

B =

∵0180B <<, ∴30B =或150B =

①当30B =时,105C =,)13(10c +=;

②当150B =时,195180A B +=>(舍去)。

【变式3】在ABC ∆中,60B =,14a =, b =求A ∠.

【答案】由正弦定理,得226

760sin 14sin sin 0=⨯==b B a A . ∵a b <, ∴A B <,即 060A <<

∴45A =

类型二:余弦定理的应用:

例3.已知ABC ∆中,3AB =、BC =4AC =,求ABC ∆中的最大角。

思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角,然后用余弦定理求解.

解析:∵三边中BC =BC 其所对角A 最大,

根据余弦定理:222222341cos 22342

AB AC BC A AB AC +-+-===-⨯⨯, ∵ 0180A <<, ∴120A =

故ABC ∆中的最大角是120A =.

总结升华:

1.ABC ∆中,若知道三边的长度或三边的关系式,求角的大小,一般用余弦定理;

2.用余弦定理时,要注意公式中的边角位置关系.

举一反三:

【变式1】已知ABC ∆中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .

【答案】根据余弦定理:2222225371cos 22352

a b c C ab +-+-===-⨯⨯, ∵0180C <<, ∴120o C =

【变式2】在ABC ∆中,角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ,若::a b c =

2:1),求ABC ∆的各角的大小.

【答案】设a =,2b k =,)

1c k =,()0k >

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