梯形辅助线的常见作法

例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移

1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的

平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行

四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下

底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1

析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯

形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。在△

BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，

所以BC的取值范围是：

5－4

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，

过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个

三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，

∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

图2

析解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

所以)

CH

BG

BC

(

2

1

GH

2

1

EF-

-

=

=

1

)1

3(

2

1

)

AD

BC

(

2

1

)]

DE

AE

(

BC

[

2

1

)

DE

AE

BC

(

2

1

=

-

=

-

=

+

-

=

-

-

=

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2

5，求证：AC⊥BD。

图3

析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于点E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BC ，CE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3

＋7=10。在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所

以

在

△

ACE

中

，

22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而AC

⊥CE ，于是AC ⊥BD 。

［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

图4

析解：过点D 作DE//AC ，交BC 的延长线于

点E ，则四边形ACED 是平行四边形，即

DCE ACD ABD S S S ∆∆∆==。

所以DBE ABCD S S ∆=梯形

由勾股定理得2222DH AC DH DE EH -=-=

9121522=-=（cm ） 161220DH BD BH 2222=-=

-=

（cm ）

所

以

)cm (15012)169(2

1

DH BE 21S 2DBE =⨯+⨯=⋅=

∆，即梯形ABCD 的面积是150cm 2

。

二、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三

角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

图5

析解：延长BA 、CD 交于点E 。在△BCE 中，

∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC －ED=5－2=3 三、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。 ［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。

图6

析解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。

四、作梯形的高

1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

图7

析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。

［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

图8

析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为

AB>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。

即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BD>AC

五、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。