梯形辅助线的常见作法
梯形中常见的辅助线作法
’
Ａ ｆ Ｅ．Ｅ Ｄ． ￣Ｄ Ａ ＢｆＣ Ａ Ｂ 铸 Ｅ Ｂ．
．
‘
．
ＤＥ ＝Ａ 又 。 Ａ ＋Ｃ ＝１ Ｂ． ． Ｂ 。 Ｄ ４，
‘ ．
．
Ｄ ＋Ｃ ＝１ ． ： Ｅ＝１ ． Ｅ Ｄ ４即 Ｃ ４
１
例 ３ 在梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ，Ｄ／ Ｂ ， 曰＝ ０ ， Ｃ＝ Ａ ／ Ｃ ４ 。
在 ＲＡＡ Ｅ中 ，Ｃ＝ ｃ ７ ｔ Ｃ Ａ ÷ Ｅ＝ ．
； ・ 一 … … 一 － … … 一 一： 隧 一 一 一 一 一－ 一 ・ 一 ・一 一一 一 一 磊
． ． ．
Ａ Ｅ：、
化 到 直 角 三 角 形 和 平 行 四边 形 中去 ．
解析
要证 明梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是 等腰 梯形 ， 证 Ａ 须 Ｂ＝
Ａ ， 图 ２ 过 Ａ、 作 Ａ Ｃ如 ， Ｄ Ｅ上Ｂ Ｃ于 Ｅ， ＦＪＢ Ｄ Ｃ于 ’可 构 ＿ ，
即： 过 作 Ａ ∥Ｂ Ｅ Ｄ交 Ｃ Ｄ延长线于点 Ｅ，
即： １＜Ａ Ｂ＜ｌ ． １
例 ４ 如图 ４所 示 ， 梯形 Ａ Ｃ 中 ，Ｂ／ Ｄ Ａ ＢＤ Ａ ／ Ｃ．Ｂ＋
Ｃ ＝４对角线 Ａ Ｄ １， Ｃ上Ｂ Ｂ Ｃ ＝３ 。 求 ： 形 的 高 Ｄ， Ｄ ０， 梯
Ｍ
２ ．过 梯 形 一 底 两 端 点 作 梯 形 高 ． 例 ２ 在 同 一 底 上 的 两 个 角相等的梯形为等腰梯形．
７ 。求 证 ：Ｂ 十 Ｄ ＝ Ｃ ０， Ａ Ａ Ｂ． 解析
＝
如 图 ３ 要 证 Ａ ＋Ａ ， Ｂ Ｄ
日
题． 面举例说 明梯形 中常见 的辅 助线作法． 下
１ ．平移 一腰 。 即从 上底 的 一个顶 点作 一 腰的 平行 线
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等梯形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)梯形是一种四边形，其中两条边是平行而另外两条边不平行。
在解决全等梯形问题时，我们可以使用一些辅助线的方法来简化问题并找到解答。
以下是常见的8种辅助线的作法，每种方法都附有答案解析。
1. 垂直辅助线法：垂直辅助线法是最基本的辅助线作法之一，它通过引入垂直辅助线来将梯形划分为上下两个小三角形或小梯形，并利用全等三角形的性质来解题。
2. 高度辅助线法：高度辅助线法通过引入高度辅助线来找到梯形的高，并利用相似三角形的性质来解题。
3. 中位线辅助线法：中位线辅助线法通过引入中位线辅助线来将梯形划分为两个全等的平行四边形，并利用平行四边形的性质来解题。
4. 对角线辅助线法：对角线辅助线法通过引入对角线辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
5. 平行边辅助线法：平行边辅助线法通过引入平行边辅助线来将梯形划分为两个全等的梯形，并利用梯形的性质来解题。
6. 外接圆辅助线法：外接圆辅助线法通过引入外接圆辅助线来找到梯形的外接圆，并利用外接圆的性质来解题。
7. 中心对称辅助线法：中心对称辅助线法通过引入中心对称辅助线来将梯形划分为两个全等的三角形，并利用全等三角形的性质来解题。
8. 连接线辅助线法：连接线辅助线法通过引入连接线辅助线来划分梯形并利用形成的图形的性质来解题。
这些辅助线的作法可以帮助我们在解决全等梯形问题时更简单而有条理地进行推导和解答。
通过灵活运用这些方法，我们可以提高解决问题的效率和准确性。
请注意：本文档中的答案解析仅供参考，具体解答的正确性应根据实际情况进行确认。
梯形辅助线
梯形辅助线编制人：郭金凤复核人：使用日期：2012.6. 编号：38学习目标：通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的数学思想的应用．思维导航：1.解决梯形问题的基本思路：转化梯形问题—————→三角形和平行四边形问题分割、拼接这种思路常通过平移和旋转来实现2.解决梯形问题常用辅助线作法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5学习内容：1．从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。
（图1）例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7求∠B的度数2. 从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.（图2）例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD 交AC于O求证：CO = CD3. .从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形.（图3）例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于E 求DE的长.4.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.（图4）例：已知，如图，在四边形ABCD中，有AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC求证：四边形ABCD等腰梯形5.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形.例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F求证：S梯形ABCD = EF•AB6. 有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形.（图5）例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC求证：∠AEC = 3∠DAE7.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC求证：∠B =∠C盘点收获：知识内容有：思想方法有：课后反思：。
2014中考数学名师复习课件(第29课时梯形)
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(3)由(2)知DE∥AB，∴△DCE∽△ACB， DE 2 1 S△DCE DE2 2 ∴ ＝ ，即 ＝3DE ＝ ， AB 9 S△ACB S△ACB
∴S△ACB＝18， ∴四边形 ABED 的面积为 S△ACB－S△DCE＝18－2＝16.
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图29－5 【解析】 (1)证△AOD≌△BOE或证△ABD≌△BAE. (2)只需证明DE∥AB，则需证明∠1＝∠DEO，就需 证明∠ODE＝∠OED，由(1)完成． (3)由相似三角形的性质求△ABC的面积，从而求梯
形ABED的面积．
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图29－2 解：(1)∵AD∥BC，AD＝CE， ∴四边形ADEC为平行四边形，∴AC＝DE. 又∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AC＝BD.∴BD＝DE.
(2)∵AC⊥BD，AC∥DE，∴BD⊥DE.
又∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠E＝45°， ∴∠OCB＝∠E＝45°＝∠DBE，∴OB＝OC.
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2．梯形的中位线： 梯形的中位线：连结梯形两腰______ 中 点的线段叫做梯
形的中位线．
两底 并且 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于_______ 一半 ． 等于两底之和的________
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1．[2013· 兰州]下列命题中是假命题的是 A．平行四边形的对边相等
在 Rt△AOB 中，由勾股定理，得 AB＝ OA2＋OB2＝ 17.
最新梯形常见辅助线作法(教师版)
梯形常见辅助线作法11、平移法2（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)3［例1］如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15cm，4BC＝49cm，求CD的长．5解：过D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形．6∴AD＝BE＝15cm，AB＝DE．7∴EC＝BC－BE＝BC－AD＝49－15＝34cm．8又∵AB＝CD，∴ DE＝CD．9又∵∠C＝60°，10∴△CDE是等边三角形，11即CD＝EC＝34cm．12（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)13［例2］如图,在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求14证：EF=FB15证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G16∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG17∵ACED中，AD∥CE AD=CE18∴CE∥BG且CE=BG ∴∠CEF=∠GBF 19又∵∠CFE=∠GFB20∴△ECF≌△BGF( ASA)21∴EF=FB22 AD CEFB点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形23和三角形。
24（3）梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到25同一个三角形中。
26［例3］如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，27∠C+∠B=90°，M，N分别是AD，BC的中点．28求证：MN＝1() 2BC AD29证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H ,30则四边形ABGE,EDCH为平行四边形∴AE=BG，ED=HC31∵AB∥EG ∴∠B=∠EGF32又∵DC∥EH ∴∠C=∠EHF33则∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，△EGH是直角三角形34∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE=ED，BF=CF ∴GF=FH 35则有EF=12GH=12(BC-BG-HC)=12(BC-AD)36（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）37[例4］求证：对角线相等的梯形是等腰梯形38已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线39求证：AB=DC40证明：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E 41B B则四边形ACED 是平行四边形 ∴AC=DE42 ∵DE=AC=DB ∴∠DBC=∠E ∠ACB=∠E ∴∠DBC=∠ACB 43 又∵BD=CA BC=CB ∴△ABC ≌△DCB(SAS) 44 ∴AB=DC45 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。
梯形中常见辅助线的作法有哪些？
Ｍ Ｃ
・
．
（） Ｍ点作 Ｍ ＃ Ｄ交 Ｃ ２过 Ｎ Ａ Ｄ于 Ⅳ， １ 同（）
可得 ＭＮ＝ １（ Ｄ＋Ｂ ） Ａ Ｃ．
・ ．
＂
图７
证 明： 易证 Ｇ Ｄ＝Ｇ Ｈ Ｂ，Ａ＝ＨＣ连 接 Ｄ 并 ． Ｈ 延长与 Ｂ Ｃ交于点 ， 易证 ＡＡ Ｄ￣△Ｃ Ｍ． Ｈ Ｈ
点 评 ： 于与 两底有 关 的问题 ， 对 可作 一腰
（ 或两腰）的平行线，把一底平移到另一底边 上， 使梯形转化为平行 四边形和 三角形 ．
四 、 长 两 腰 延
图２
例 ４ 如图 ４ ，已知 梯形 Ａ Ｃ 中 ，Ｄ／ ＢＤ Ａ ／ Ｂ ， ＝ Ｃ， Ｃ ＡＢ 求证 ： 梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是等腰梯形．
为Ａ Ｂ的中点。 Ｎ Ａ ／Ｂ ． Ｄ Ｍ ｆ Ｄ ／ Ｃ Ｎ为 Ｃ
的中点 ，． ． ・ ＭＮ＝ Ｂ ＷＡ ） １（ Ｃ Ｄ ．
・ ．
于 、 证Ｇ －Ｂ Ａ． Ｇ 求 ：＝ （—Ｄ Ｈ ￣Ｃ ）
Ｃ 为 ＡＢ Ｄ的平分线 ，． ２ Ｍ ．Ｃ ． ＝ １ ・ ＝ ３ ．
Ｂ Ｃ于 Ｍ、 Ｎ，则 易 证 四边 形 Ａ ＭＥ 四边 形 Ｂ 、 ＥＣ Ｎ Ｄ是平行 四边形．
’ ．
Ａ Ｄ∥Ｂ ， 为 Ａ ＣＭ Ｂ的 中点 ． 证 ：１若 Ｃ 为 求 （） Ｍ
／Ｂ Ｄ 的 平 分 线 ，则 Ａ ＿Ｃ Ｄ＋Ｂ Ｃ：Ｃ （ ） Ｄ； ２ 若
Ｄ
Ｅ ／Ｂ． ： Ｍ／ ＇ １ Ｂ 同理 ２ Ｃ Ａ ． ． ； ＝
厶 二 二
．
．
可过底边的一端与对角线的中点作直线 ，使它与 题 。 过 已知 一腰的 中点作底 边 的平 行线 ， 可 或连 另一底相交 ， 从而得到全等三角形 ． 接另一腰 的中点得梯形 的中位线 ． 八、 连接梯形一个顶点和一腰中点 六、 作梯形的高 例 ８ 如 图 ８ 示 ， 梯形 Ａ Ｃ 中， Ｄ ∥ 所 在 ＢＤ Ａ 例 ６ 如图 ６ 所示 。 Ｂ Ｄ为高等 于 １ 厘 米 Ａ Ｃ ０ Ｂ Ａ ＝ＭＢ，Ｎ＝ＮＣ Ｃ， Ｄ ．求 证 ： ＭＮ∥Ｂ ＭＮ＝ Ｃ， 的等腰 梯形 ，Ｂ Ｄ ，Ｄ／Ｂ ． ＡＣ Ｄ， 中 Ａ ＝ ＣＡ ／ Ｃ又 上Ｂ 求 ÷ （Ｃ＋Ａ ． 占 Ｄ） 位线 Ｅ Ｆ的长．
梯形常见辅助线作法(教案)
梯形常见辅助线作法(教案)第一章：梯形的基本概念1.1 梯形的定义介绍梯形的定义：一个四边形，其中两边平行，两边不平行。
强调梯形的两个底和两个腰的概念。
1.2 梯形的性质介绍梯形的性质：对角相等，同底边上的角互补。
解释梯形的高的概念，并说明高的作法。
第二章：梯形的画法2.1 画一个梯形介绍画梯形的步骤：先画两个平行的底，再画两个腰。
强调画梯形时要注意的要点，如保持直角和角度的准确性。
2.2 用尺规作图画梯形介绍用尺规作图画梯形的步骤：先画一个圆，再画两个与圆相切的直线，连接两个切点与圆的端点。
强调用尺规作图时要注意的要点，如保持半径和角度的准确性。
第三章：梯形的对称性3.1 梯形的轴对称性介绍梯形的轴对称性：梯形关于底边的中垂线对称。
解释对称轴的概念，并说明如何找到梯形的对称轴。
3.2 梯形的中心对称性介绍梯形的中心对称性：梯形绕其中心点对称。
解释中心点的概念，并说明如何找到梯形的中心点。
第四章：梯形的面积计算4.1 梯形的面积公式介绍梯形的面积公式：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2。
强调面积公式的应用，并解释如何将梯形的形状分解为更简单的形状。
4.2 梯形的面积计算实例通过实例讲解如何计算梯形的面积：先画出梯形的辅助线，应用面积公式。
强调在计算面积时要准确地测量和计算底边和高的长度。
第五章：梯形的应用5.1 梯形在实际问题中的应用介绍梯形在实际问题中的应用：例如，计算梯形形状的农田的面积。
解释如何将实际问题转化为梯形的面积计算问题。
5.2 梯形的实际测量和作图介绍如何进行梯形的实际测量和作图：使用尺子和直尺测量底边和高的长度，并用画图工具画出梯形的形状。
强调在实际测量和作图时要准确地测量和绘制图形。
第六章：梯形的平行线性质6.1 梯形平行线的性质介绍梯形平行线的性质：如果一个梯形有两对平行边，这两对平行边之间的对应角相等。
强调平行线性质在解决梯形问题中的应用。
6.2 利用平行线性质解题通过实例讲解如何利用梯形平行线性质解决问题：如已知梯形的一对平行线和一对对应角，如何求另一对对应角。
梯形中常见辅助线的作法
梯形中常见辅助线的作法岳雁翎甘肃省陇西县紫来学校 748100 在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1 平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1 如图1,在梯形AB CD 中,AB ∥CD ,∠A D C=2∠B ,A D =a ,CD =b,求AB 的长.解 过D 作D E ∥BC ,交AB 与点E ,则∠D EA =∠B ,四边形D EB C 是平行四边形,故B E=CD =b,∠ED C =∠B ,由∠A D C =2∠B ,得∠A D E =∠A ED ,因而A E =AD =a ,所以AB =A E+B E =a +b .2 平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2 如图2,在梯形AB CD 中,A D ∥BC ,M 、N 分别为上、下底的中点,且∠B +∠C =90°.求证:MN =12(BC -A D).证明 过点M 作M E ∥AB 交B C 于点E ,作M F ∥CD 交B C 于点F ,则∠M EC =∠B ,∠M FB =∠,∵∠B +∠=°,∴∠M +∠M FB =°,即∠M F =°,又∵AD ∥BC ,∴四边形AB EM 和四边形MD CF 都是平行四边形,∴A M =B E ,D M =FC,∵A M =D M ,B N =CN ,∴B E +FC =A D ,EN =N F ,B C -A D =E F ,∵M ,N 分别是上、下底的中点,在Rt △M E F 中,E N =F N ,∴E F 是直角三角形斜边上的中线,∴MN =12E F ,即MN =12(B C-A D ).3 平移对角线过底的一端作对角线的平行线,通过作对角线的平行线,可以将梯形的上底加下底转化到一条线段上,也常通过作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决.图3例3 如图3,已知梯形ABCD 的面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直,则另一条对角线的长为多少?解 S 梯形A B CD =12(A D +BC )BD =32,A D +BC +BD =16,得AD +B C =8,BD =8,过D 作DE ∥A C 交BC 的延长线于E.∴四边形A D E C 是平行四边形,∴D E =AC ,A D =CE.在Rt △DB E 中,∠D B E =90°,B E =CE +BC =AD +BC =8,BD =8,根据勾股定理得D E =B E 2+D B 2=82+82=8 2.因A C =D E ,故A C=8 2.4 作两条高过同一底的两个顶点作另一底的垂线,通过作高,将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,从而将梯形问题转化为直角三角形和矩形问题,用直角三角形和矩形的知识来解决45数学教学研究 第27卷第1期专辑 2008年6月C C 90EC 90E 90.图4例4 如图4,在等腰梯形AB CD 中,∠B =60°,AD =2,BC =4.计算梯形A BCD 的面积.解 过点A ,D 分别作A E ⊥B C,D F ⊥BC,垂足分别为E ,F ,则∠A EB =∠D F C =90°,A E ∥D F ,而A D ∥B C,∴四边形A E FD 是矩形,∴E F =A D =2,易证得△AB E ≌△DC F ,∴B E =F C =12(B C-A D )=12(4-2)=1.在Rt △AB E 中,A E =B Eta n ∠B =B Etan60°=1×3=3,∴S =12(2+4)×3=3 3.5 延长两腰构成三角形延长两腰交于一点,构造出两个相似三角形,利用相似三角形以及三角形的有关性质来解题.图5例5 如图5,等腰梯形的对角线分它的中位线为8c m ,20cm 的两部分,腰长为24c m.则梯形的下底角的度数为多少?解 延长A D ,BC 交于点G ,易证得E P ,F P 分别是△A D C,△CA B 的中位线,则D C =2E P =16c m ,AB=2P F =40cm ,由D C ∥AB ,得∠GD C =∠D AB ,∠GCD =∠GB A ,故△GD C ∽△GA B ,所以DC ∶AB =D G ∶AG ,即16∶40=D G ∶(D G +24),解得D G =16,则A G =40,同理可得B G =40,△GAB 为等边三角形,所以梯形的下底角的度数为60°.6 连结顶点与腰的中点,把梯形割补成三角形通过连结顶点与腰的中点并延长与另一底边相交,把梯形中的边、角转化到一个三角形中进行解决.图6例6 如图6,在梯形AB CD 中,A D ∥BC ,E ,F 分别为AB ,CD 边上的中点.求证E F 12(A D +B C ).证明 连结A F 并延长交BC 的延长线于点P.∵A D ∥BC(已知),∴∠AD F =∠P CF (两直线平行,内错角相等),在△AD F 和△P CF 中∠D FA =∠CF P (对顶角相等)D F =FC(已知)∠A D F =∠PCF (已证),△A D F ≌△P CF ,∴C P =AD ,A F =P F ,又∵A E =B E ,∴E F 是三角形AB C 的中位线,∴E F ∥B P ,E F 12B P ,即E F 12(A D +BC ).通过添加辅助线,将梯形分成一个或几个特殊图形是解决梯形问题的基本思路,它把分散的条件得以集中,隐含条件加以显现,把复杂的问题转化为容易解答的简单问题,体现了解数学问题的一个基本而重要的方法———化归法.只要细心观察、认真体会,就会找到解题的捷径.55第27卷第1期专辑 2008年6月 数学教学研究。
黄立宗推荐-梯形辅助线的常见作法--好--
梯形辅助线的常见作法---黄立宗编排梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。
例1：（如图1）已知在梯形ABCD中，AD//BC，BA=DC。
求证：B= C证明：过点D作DM//AB交BC于点M。
因为 AD//BC DM//AB 所以AB=DM因为 BA=DC 所以 DM=DCDMC= CDMC= B B= C（2）梯形外平移一腰例2：（如图2）在梯形ABCD中,AB∥DC,作□ACED延长DC交BE于F，求证:EF=FB证明：过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G∴四边形ABGD是平行四边形∴AD=BG∵□ACED中，AD∥CE AD=CE∴CE∥BG且CE=BG ∴∠1=∠2又∵∠3=∠4 ∴⊿ECF≌⊿BGF∴:EF=FB(3)梯形内平移两腰例3 ：（如图3）在梯形ABCD中,AD∥BC,AD﹤BC,E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC，试说明∠B=∠C解：过E作EM∥AB,EN∥CD,分别交BC于M,N得□ABME ,□NCDE∴AE=BM DE=CN, ∵AE=DE ∴BM=CN又∵BF=CF ∴FM=FN∵EF⊥BC ∴EM=EN ∴∠1=∠2∵EM∥AB,EN∥CD, ∴∠1=∠B , ∠2=∠C∴∠B=∠C(4)延长两腰例4：（如图4）在梯形ABCD中, ∠B=∠C ，AD∥BC，求证：梯形ABCD是等腰梯形。
证明：延长BA,CD交于点E∵∠B=∠C ∴BE=CE∵AD∥BC ∴∠EAD=∠B ∠EDA=∠C∵∠B=∠C ∴∠EAD=∠EDA∴AB=CD结论得证（5）过梯形上底的两端点向下底作高例5：（如图5）在梯形ABCD中，DC∥AB,AD=BC,若AD=5,CD=2 ，AB=8,求梯形ABCD的面积。
解：过点D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F.根据等腰梯形的轴对称性可知，AE=BF.∵DC∥AB, DE⊥AB,CF⊥AB∴四边形CDEF是矩形∴DC=EF∴AE=(AB-EF)= (AB-CD)=3∴ DE===4∴=(2+8)x4=20(6)平移对角线 ---求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。
等边梯形中的常见辅助线
等边梯形中的常见辅助线
等边梯形是一种特殊的梯形，四个边的长度相等且两对边平行。
为了帮助我们研究等边梯形的性质和特点，我们可以引入一些常见
的辅助线。
在本文档中，我们将介绍几条常见的辅助线及其作用。
垂直辅助线
在等边梯形中，我们可以引入一条从顶点到底边中点的垂直辅
助线。
通过这条辅助线，我们可以将等边梯形分成两个等腰三角形。
这有助于我们研究等边梯形的三角形性质，比如角度关系和边长比例。
高线
另一条常见的辅助线是高线，它从一个顶点垂直于底边。
通过
引入高线，我们可以研究等边梯形的高度和底边之间的关系。
特别地，高线的长度是等边梯形两底边长度之差的一半。
对角线
等边梯形的对角线是连接两对非相邻顶点的线段。
通过引入对角线，我们可以将等边梯形分成两个等边三角形。
通过研究这些等边三角形，我们可以得出等边梯形的一些性质，比如对角线长度和边长之间的关系。
中位线
等边梯形的中位线是连接两个边的中点的线段。
通过引入中位线，我们可以将等边梯形分成两个平行四边形。
这有助于我们研究等边梯形的平行四边形性质，比如对角线的长度和对角线之间的关系。
以上是等边梯形中的几条常见辅助线。
通过引入这些辅助线，我们可以更好地理解等边梯形的性质和特点，并能够应用这些性质解决相关问题。
希望本文档对您有所帮助！。
怎样梯形中的辅助线
难点突破：怎样做梯形中的辅助线梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形知识的综合，通过适当地添加辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识去解决梯形的有关问题。
下面列举数例，以说明梯形中常见辅助线的作法．一、平移一腰法例1如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作ACED．DC 的延长线交BE于F．求证：EF=FB．简析：在梯形ABFD中，过C作CG∥BF交AB于G，由GBFC得CG=FB，再证△EDF≌△CAG，得EF=CG=FB．例 2如图2，梯形ABCD中，AB//CD，︒,80D。
C=∠︒=∠50求证：ABCD=。
AD-图2证明：过点A作AE//BC交DC于E，所以︒C∠50AED==∠因为︒D=∠80所以︒∠50DAE=所以DAE∠=AED∠所以DEAD=易证ECAB=，所以AB=AD-CD二、平移对角线法过梯形上底的一个端点作某一条对角线的平行线，构造平行四边形和三角形，从而引出证题思路。
如：例 3. 如图2，梯形ABCD 中，AB//CD ，中位线EF=7cm ，对角线︒=∠⊥30BDC ,BD AC ，求梯形的高。
图2证明：过点B 作BG//AC 交DC 的延长线于G 。
因为BD AC ⊥，所以CGAB ,BD BG=⊥。
因为︒=∠30BDC所以)CD AB (21GD 21BG+==因为EF 2CD AB =+， 所以7EF BG ==因为︒=∠=∠30G BH BDC ， 所以5.3BG 21GH ==， 所以=-=225.37BH237即梯形的高为cm237。
例 4. 如图2，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，AC ⊥BD 于O 点．若中位线长为m ，求梯形ABCD 的面积S ．三、延长双腰法延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，利用这两个三角形的有关条件和性质进行证明，也是常用的方法之一。
如：例5. 如图5，已知梯形ABCD 中，AB//CD ，︒=∠+∠90B A ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点。
由一道中考题看梯形辅助线的作法
例 ３ 如图 ５ ，在 梯形 Ａ Ｃ 中 ，Ｄ／ ＢＤ Ａ ／
Ｂ Ｅ为 Ｄ Ｃ。 Ｃ的 中 点 ， 接 Ａ Ｂ ． 探 索 连 Ｅ、 Ｅ 试
线， 由等底同高可知 砸 ＝
问题 得 证 ．
梯 形 肋，
｜ ｓ 晒和 ． 形 肋 的关系 ， △ ｓ 梯 并证 明你 的结论．
证明： 延长 Ａ 交 Ｂ Ｅ， Ｃ的延长线于点
，
一
ｌ＝
３
，
故
图７
ＥＦ－
．
Ａ－ ＋ｂ ３ ｎ
Ｃ．ｂ－ ａ ２ ４ －
Ｂ２ ａ ） ． ＋ｂ （
Ｄ．ａ－ ｂ ４ ４ －
解： 如图 ８ 过 Ｄ点作 ＡＣ的平行 线交 ， Ｂ Ｃ的延长线 于 Ｇ点 ，则 四边形 Ａ Ｇ Ｃ Ｄ为
图５
平 行 四边形 ， Ｄ ＡＢ Ｇ为 等腰 直角 三角形 ，
解法 ３ 如 图 ３ 过点 Ｄ作 Ｄ ： ， Ｇ上Ｂ Ｃ于
求解 方法 ， 而这些 不 同的求 解方 法恰好给 点 Ｇ． 把梯 形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ分 割成矩 形 Ａ Ｇ Ｂ Ｄ和
我 们展 示 了梯 形 中辅 助线 的几种 常 见作 等腰 直角三角 形 Ｄ Ｃ 则 Ａ ＝Ｄ Ｇ ， Ｂ Ｇ＝Ｇ ＝ Ｃ
ｘ Ｇ ： １ｘ ｘ ３
：
．
Ｅ ＝ 、 ． Ｆ要 ／
பைடு நூலகம்
Ｃ
图 ３
小结 ： 梯形问题常添辅助线之三 ， 作梯 形 的高 ， 将梯形分成矩形和 三角形 ．
图 １
解 法 ４ 如 图 ４ 取 ∞ 的中点 Ｇ， ： ， 连接
小结 ： 梯形 问题常添辅助线之一 、 平移 Ｅ 则 Ｅ Ｇ， Ｇ是梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的 中位线 ， 四边形
谈梯形辅助线的作法
解
题
所 以 梯 形 的 周 长 为 ３ 日＋ＣＤ＝３ ＋２ ０ ０ ＣＤ＝５ ０．
技
巧
五、 的离 作搠
过 梯 形 短 底 的 两 个 端 点 作 梯 形 的 高 ． 梯 形 分 把 成 两 个 直 角 角 形 和 一 个 矩 形 ． 明 确 解 题 思 路 ． 可
Ａ． ５ｃ ７． ｍ Ｃ．６． ５ ｃｍ
技
巧
解析 ： 对 角线垂 直 ， 平移一 条对 角线 （ 由 可 比 如 ＡＣ） 构 造 出 Ｒｔ Ｂ ． Ａ ＤＥ 和 ＬＴ Ｅ 如 图 ５ Ｚ ＡＣ Ｄ． ．
由 勾 股 定 理 可 知 日Ｅ＝１ ｍ． ３ｃ
图 ５
所以 梯形巾 的 ，Ｃ 等 的 半， 为６ ． 位线 长ｆ Ａ ＋ 于 Ｉ ＤＢ １ Ｐ 、 一 即 ．ｍ ５ ｃ
又 ＢＤ 平 分 ４ＢＣ． 所 以 日Ｄ 垂 直 平 分 ＣＥ．
所以 Ｃ ＝ ｃ Ｄ ÷日 ．
叉 ＡＤ ， ＢＣ． ， 所 以 △ Ｄ 为 等 边 ＿ 角 形 ．
所 以 Ｄ＝ Ｄ＝Ｃ Ｄ．
口
图６
Ｃ
由 ＡＤ＋ ＢＣ＝ ３０．
所 以 Ｃ ＋ ＣＤ＝３ 即 ＣＤ＝１ ． Ｄ ２ ０． ０
解
题 Ａ Ｄ
、 、
侧
在 梯 形 ＡＢ Ｄ 中 ， ／ Ｃ ＡＤ／ ＢＣ．对 角 线 Ａｃ上ＢＤ，且 ＡＣ ５ｃ ＝ ｍ，
） ・
Ｂ．７ Ｃｌ Ｉｌ Ｄ ．６ Ｃｎｌ
Ｃ
、
＿
Ｂ １ ｍ ． 梯 形 中 位 线 的 长 等 于 （ Ｄ＝ ２ ｃ 则
又 Ａ Ｂ＝ＤＣ＝ Ｅ ． ４
所 以 Ｂ＝ Ｅ＝ Ｂ ＡＥ ． △ＡＢ 是 等 边 三 角 形 ． 即 Ｅ
梯形中常见的辅助线(含答案)
梯形中常见的辅助线中考要求例题精讲我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形. 常见的辅助线添加方式如下：梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．常见辅助线1．梯形问题通常是通过分割和拼接转化为三角形或平行四边形，其分割拼接的方法有如下几种(如图)：(1)平移一腰，即从梯形的一个顶点______，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1所示)；图1(2)从同一底的两端______，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形(图2所示)；图2(3)平移对角线，即过底的一端______，可以借助新得的平行四边形或三角形来研究梯形(图3所示)；图3(4)延长梯形的两腰______，得到两个三角形，如果梯形是等腰梯形，则得到两个等腰三角形(图4所示)；图4(5)以梯形一腰的中点为______，作某图形的中心对称图形(图5、图6所示)；图5 图6(6)以梯形一腰为______，作梯形的轴对称图形(图7所示)．图7【答案】(1)作一腰的平行线；(2)作另一底边的垂线；(3)作对角线的平行线；(4)交于一点；(5)对称中心；(6)对称轴．【例1】等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝．【答案】60°【例2】如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，CB⊥AB，△ABD是等边三角形，若AB＝2，则BC＝______．【答案】3【例3】在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝7，若E为DC的中点，射线AE交BC的延长线于F 点，则BF＝______．【答案】12【例4】梯形ABCD中，AD∥BC，若对角线AC⊥BD，且AC＝5cm，BD＝12cm，则梯形的面积等于( )．A．302cmcm D．1692cm C．902cm B．602【答案】A【例5】 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60°，CD ＝2，则梯形ABCD的面积是( )．A ．33B ．6C ．36D ．12【答案】A【例6】 等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝8，AB ＝10，CD ＝6，则梯形ABCD 的面积是( )．A ．516B ．1516C ．1716D ．1532【答案】B【例7】 已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ＝BC ＋AD ．求∠DBC 的度数．【答案】60°．提示：过D 点作DE ∥AC ，交BC 延长线于E 点【例8】 已知，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝60°，AC ⊥BD ，AB ＝4cm ，求梯形ABCD 的周长．【答案】.348【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，BC ＝4，E 为AB 中点，EF∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．【答案】.223【例10】 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，∠B ＝45°，AD ＝2，BC ＝42，求DC 的长．【答案】.10【例11】 如图，已知等腰梯形周长是20，AD BC ∥，AD BC <，120BAD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，求梯形ABCD 的面积.DCB AE DCB A【答案】过点A 作AE BC ⊥，垂足为E .∵AD BC ∥，∴BCA CAD ∠=∠∵BCA DCA ∠=∠，∴CAD DCA ∠=∠，∴AD CD =∵120BAD ∠=︒，∴60ABC DCB ∠=∠=︒，30ACD BCA ∠=∠=︒ ∴AB AC ⊥，∴2BC AB =∴520AB =，∴4AB =，23AE = ∴1()1232ABCD S AD BC AE =⋅+⋅=【例12】 如图，在梯形ABCD 中， 860AD BC AB DC B ==∠=︒∥，，，12BC =,联结AC ．（1）求AD 的值；（2）若M N ，分别是AB DC ，的中点，联结MN ，求线段MN 的长．【解析】省略【答案】3；⑵8 【例13】 在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，60A ∠=︒，2AB CD =，E F ，分别为AB AD ，的中点，连结EF EC BF CF ，，，。
梯形中添加辅助线的六种常用技巧
梯形中添加辅助线的六种常用技巧在几何学中，梯形是一种具有两条平行边的四边形。
为了解决梯形问题，往往需要在梯形中添加辅助线。
下面介绍六种常用的技巧。
1.连接两个对角线：首先，连接梯形的两个非平行边的中点，形成一条对角线。
然后，连接梯形的两个对角线中点，即可形成两个等腰三角形。
这样，可以通过等腰三角形性质来得到有关角度和边长的信息。
2.连接平行边的中点：将梯形的两条平行边的中点相连，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这条线段将梯形分成两个平行四边形，从而可以根据平行四边形的性质来解决问题。
3.连接一条平行边的中点和另一条边的中点：将梯形的一条平行边的中点和与之相对的边的中点连接，可以形成一条平行于梯形的底边的中线。
这样，可以通过中线分割线段的性质来得到有关线段和平行边的信息。
4.连接底边的中点和非平行边的中点：将梯形的底边的中点和非平行边的中点连接，可以形成一条平行于两条平行边的线段。
这样，可以根据平行四边形的性质来推导出梯形内部各部分的关系。
5.连接两个顶点和底边上的中点：将梯形的两个顶点和底边上的中点相连，可以得到两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质，可以推导出梯形的各个部分的角度和边长关系。
6.连接梯形的顶点和对角线交点：将梯形的两个顶点和另一条对角线的交点相连，可以形成一个三角形。
根据三角形的性质，可以得到角度和边长的关系，进而解决梯形问题。
这些添加辅助线的技巧可以帮助我们更好地理解和解决梯形问题。
通过巧妙地添加辅助线，可以将原来复杂的问题转化为简单的几何形状，从而更容易得到解答。
在解决梯形问题时，我们可以根据具体情况选择适合的添加辅助线的技巧，以便更加高效地解决问题。
八年级人教版19.3梯形常用辅助线课件
A
4
B
2
解：（平移腰） 过B作BE∥AD交DC于E
则∠ 1= ∠ D=70°, ∵AB//CDDE=AB=4
70°
40° 11
D
E
7
∵△BCE中， ∠ C=40°∠1=70° C ∴ ∠ 2= ∠1= 70 °
分析: ∠D =70 °, ∠∴CB=CE=CD─DE=11—4=7(cm) C=40° 在一个三角形中结果会如何? 如何才能在一个三角形中?
例2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点，
DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。 A 证明：（一）延长DE交CB延长线于F D ∵在梯形ABCD中AD//B ,∠A= ∠ ABF
E
∴ AE=BE,∠A= ∠ ABF,∠ AED= ∠ BEF ∴ ΔADE≌ΔBFE
F B
C ∴ DE=FE，AD=BF
如图，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的 腰长 AB 为b， 图中阴影部分的面积为（ A ）.
A D
（A）ab/2 （C） （ a+b）/2
（B） ab （D） ab/4
E B
F C
（三）、如图,梯Biblioteka ABCD中, AD∥BC, ∠B=60 °, ∠ C=45 AB= 2 3 , AD=2,求梯形周长.
F
B
C
变式2：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点， DE平分∠ADC，CE平分∠BCD, 求证： AD+BC=CD, DE ⊥CE
A
E
D
F
B
C
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是腰AB的中点， DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
梯形中常见辅助线的作法
梯形中常见辅助线的作法梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综合”。
可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。
下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。
一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。
例1如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC⊥BD,梯形的高CF为10，求梯形ABCD的面积。
分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC⊥BD且AC=BD，所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。
二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。
例2如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是( )A.9O°B.6O°C.45°D.30°例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC．AD<BC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC。
求证：∠B=∠C。
三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。
例4在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长。
四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。
例5已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是。
梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀的形式记忆下来：“移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动一条腰，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线；作出梯形两高线，矩形显示在眼前；已知腰上一中线，莫忘作出中位线”。
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例谈梯形中的常用辅助线在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。
本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。
一、平移
1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的
平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行
四边形。
［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下
底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图1
析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯
形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。
在△
BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，
所以BC的取值范围是：
5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，
过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个
三角形中。
［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，
∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
图2
析解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以)
CH
BG
BC
(
2
1
GH
2
1
EF-
-
=
=
1
)1
3(
2
1
)
AD
BC
(
2
1
)]
DE
AE
(
BC
[
2
1
)
DE
AE
BC
(
2
1
=
-
=
-
=
+
-
=
-
-
=
3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。
［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=2
5，求证：AC⊥BD。
图3
析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于点E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BC ，CE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3
＋7=10。
在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所
以
在
△
ACE
中
，
22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而AC
⊥CE ，于是AC ⊥BD 。
［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。
图4
析解：过点D 作DE//AC ，交BC 的延长线于
点E ，则四边形ACED 是平行四边形，即
DCE ACD ABD S S S ∆∆∆==。
所以DBE ABCD S S ∆=梯形
由勾股定理得2222DH AC DH DE EH -=-=
9121522=-=（cm ） 161220DH BD BH 2222=-=
-=
（cm ）
所
以
)cm (15012)169(2
1
DH BE 21S 2DBE =⨯+⨯=⋅=
∆，即梯形ABCD 的面积是150cm 2。
二、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三
角形。
［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
图5
析解：延长BA 、CD 交于点E 。
在△BCE 中，
∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC －ED=5－2=3 三、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
［例6］如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。
图6
析解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。
四、作梯形的高
1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。
［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
图7
析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。
［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。
图8
析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为
AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。
即BF>CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中
由勾股定理得BD>AC
五、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。
图9
析证：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线，从而OE=2
1（AB ＋CD ）①
在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以AD 2
1OE = ② 由①、②得AB ＋CD=AD 。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形
一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，
使问题转化为三角形中位线。
［例10］如图10，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）)AD BC (21
EF -=。
图10
析证：连接DF ，并延长交BC 于点G ，易证
△AFD ≌△CFG
则AD=CG ，DF=GF
由于DE=BE ，所以EF 是△BDG 的中位线
从而EF//BG ，且BG 2
1EF =
因为AD//BG ，AD BC CG BC BG -=-=
所以EF//AD ，EF )AD BC (2
1-=
三、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ，求∠AEB=2∠CBE 。
解、分析：分别延长AE 与BC ，并交于F
点，从而等到△ADE 与△FCE 是全等的，在利用
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就
可以求出结论”。
解：分别延长AE 与BC ，并交于F 点
∵∠BAD=900且AD ∥BC ∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD ∥BC
∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)
∠AED=∠FEC （对顶角相等）
DE=EC （E点是CD的中点）
∴△ADE≌△FCE （AAS）
∴ AE=FE
在△ABF中∠FBA=900且AE=FE
∴ BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴在△FEB中∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE。