2014年安徽省高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年高考文科数学安徽卷-答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D 【解析】32ii i i(1i)11i+=-+-=+ 【提示】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果. 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】C【解析】命题的否定是否定结论，同时把量词做对应改变，所以选C. 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【考点】命题的否定 3.【答案】A 【解析】214y x =的标准方程为24x y =，所以选择A . 【提示】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【考点】抛物线的简单性质 4.【答案】B【解析】执行程序框图易得1x =，1y =，2z =；1x =，2y =，3z =；2x =，3y =，5z =；L L ，当21x =，34y =，55z =跳出循环.【提示】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z 的值. 【考点】程序框图，程序框图的三种基本逻辑结构的应用 5.【答案】B【解析】因为32log 71a >=>， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以c a b <<. 【提示】分别讨论a b c ，，的取值范围，即可比较大小. 【考点】对数值大小的比较 6.【答案】D【解析】设直线l 的倾斜角为θ，数形结合可知min max ππ0263θθ==⨯=，. 【提示】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1≤，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围.【考点】直线与圆的位置关系 7.【答案】C【解析】π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移ϕ个单位后，所得图像为π224y x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又因为偶函数，所以π3π28k ϕ=+，所以选C .【提示】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出ϕ的最小值.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 8.【答案】A【解析】该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截取一个小三棱锥所得到的，所以其体积为112382323V =-⨯⨯=.【提示】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积. 【考点】由三视图求面积、体积 9.【答案】D【解析】依几何性质得，当2ax =-时，()f x 取得最小值，13222a a a x f ⎛⎫=--=-+= ⎪⎝⎭，解得4a =-或8.故选D.【提示】分类讨论，利用()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，建立方程，即可求出实数a 的值. 【考点】带绝对值的函数，函数最值的应用 10.【答案】B【解析】设11223344+++g g g g x y x y x y x y ，若S 的表达式中有0个ga b ，则2222S =+a b ，记为1S ；若S 的表达式中有2个ga b ，则2S =22a +b +ab ，记为2S ；若S 的表达式中有4个g a b ，则4S =g a b ，记为3S ，所以22132240S S -=+->a b ab .同理，12230,0S S S S ->->，所以22min 48||cos 4||S ===θab a a ，即1cos 2θ=，所以选B.【提示】两组向量1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y ，均由2个a 和2个b 排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论.【考点】数量积表示两个向量的夹角第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】278 【解析】原式=344325427log 3458-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可. 【考点】对数的运算性质 12.【答案】14【解析】直接递推归纳，等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以，12AB BC a ===，12AA a ==，1231A A a ==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ⎛==⨯=⎝⎭【提示】根据条件确定数列{}n a 是等比数列，即可得到结论. 【考点】归纳推理 13.【答案】4【解析】作出不等式组所表示的平面区域，易得()122242ABC S =⨯⨯+=△ 【提示】由不等式组作出平面区域为三角形ABC 及其内部，联立方程组求出B 的坐标，由两点间的距离公式求出BC 的长度，由点到直线的距离公式求出A 到BC 边所在直线的距离，代入三角形面积公式得到答案. 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 14.【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2941373π52424sin 464616616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可. 【考点】函数的值 15.【答案】①③④.【解析】对于①，203|=0x y x y =''=，，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，所以正确.对于②，因为1|=0x y =-'，所以不是曲线2:(1)C y x =+在点(1,0)P -处的切线，所以②错误.对于③④与①同理，易得正确.对于⑤，1y x'=，11x y ='=，所以曲线C 在点(1,0)P 处切线为:l y x =，又由()1ln (0)h x x x x =-->可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误.【提示】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足曲线方程，则正确的选项可求. 【考点】命题的真假判断与应用，曲线与方程 三、解答题16.【答案】由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯g，故sin A =. ∵22sin cos 1A A +=，∴1cos 3A ===±. 当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，∴a =.当1cos 3A =-时，根据解三角形中的余弦定理容易写出以下式子，2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴a =【提示】利用三角形的面积公式，求出sin A =cos A ，利用余弦定理求出a 的值. 【考点】余弦定理的应用 17.【答案】（Ⅰ）45003009015000⨯=， ∴应收集90位女生的样本数据.（Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，结合联表可算得2300(2250)100 4.762 3.841752252109021K ⨯==≈>⨯⨯⨯.∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【提示】（Ⅰ）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据； （Ⅱ）由频率分布直方图可得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）写出44⨯列联表，求出2K ，与临界值比较，即可得出结论. 【考点】独立性检验，频率分布直方图 18.【答案】（Ⅰ）由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+. ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首相，1为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得1(1)1na n n n=+-=g ，∴2n a n =.从而3n n b n =g. 1231323333n n S n =++++g g g L g ，① 23131323(1)33n n n S n n +=+++-+g g L g g .②①－②得：112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-=-=-g g L g g . ∴1(21)334n n n S +-+=g . 【提示】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证. （Ⅱ）由（Ⅰ）求出3n n b n =g，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S . 【考点】数列的求和，等比关系的确定19.【答案】（Ⅰ）∵BC GEFH BC PBC ⊂∥平面，平面，且平面PBC GEFH GH =I 平面， ∴GH BC ∥.同理可证EF BC ∥. 因此GH EF ∥.（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . ∵PA PC =，O 是AC 的中点， ∴PO AC ⊥，同理可得PO BD ⊥.又BD AC O =I ，且AC BD ，都在底面内，∴PO ⊥底面ABCD .又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .∵平面PBD I 平面GEFH GK =，∴PO GK ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK EF ⊥.∴GK 是梯形GEFH 的高.由82AB EB ==，得::1:4AB EB KB DB ==，∴1142KB DB OB ==，即K 为OB 的中点.再由PO GK ∥得12GK PO =， 即G 是PB 的中点，且142GH BC ==，由已知可得6OB PO ====， ∴3GK =.故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++==⨯=g . 【提示】（Ⅰ）证明GH EF ∥，只需证明EF PBC ∥平面，只需证明EF BC ∥，利用BC GEFH ∥平面即可； （Ⅱ）求出四边形GEFH 的上底、下底及高，即可求出面积. 【考点】直线与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积20.【答案】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()123f x a x x '=+--.令()0f x '=，得1212x x x x =<. ∴12()3()()f x x x x x '=---.当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.∴()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递减，在1x ⎛= ⎝⎭内单调递增.（Ⅱ）∵0a >，∴1200x x <>，.当4a ≥时，21x ≥.由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1]上单调递增.∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.当04a <<时，21x <.由（Ⅰ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减.∴()f x 在2x x ==.又(0)1f =，(1)f a =，∴当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值. 【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0,1]时的单调性，得出取最值时的x 的取值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调 21.【答案】（Ⅰ）由11||3||AF F B =，||4AB =得：1||3AF =，1||1F B =，∵三角形的周长为16，∴由椭圆定义可得：21||2||835AF a AF =-=-=（Ⅱ）设1||F B k =，则0k >且1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k =-，2||2BF a k =-.2ABF △中，由余弦定理可得22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-∠g ，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+----g，()(3)0a k a k +-=，0a k +>，故3a k =..于是有21||3||AF k AF ==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB =+，12F A F A ⊥，故12AF F △为等腰直角三角形.从而2c =，∴椭圆E 的离心率2c e a ==.【提示】（Ⅰ）利用||4AB =，2ABF △周长为16，11||3||AF F B =，结合椭圆的定义，即可求2||AF ； （Ⅱ）设1||F B k =，0k >，则1||3AF k =，||4AB k =，由23cos 5AF B ∠=，利用余弦定理，可得3a k =，从而12AF F △是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率. 【考点】椭圆的简单性质，三角形的面积公式。
2014年普通高等学校招生考试安徽文数
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文）第I 卷（选择题 共50分）一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数=++iii 123（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 2． 命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R x B. 0||,2≤+∈∀x x R x C. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 3.抛物线241x y =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.34 B.55 C.78 D.895.设,8.0,2,7log 3.33===c b a 则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.a b c <<D.b c a <<6. 学科网过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 7.若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B.4π C.83π D.43π8.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（ ）A.233B.476C.6D.79.若函数()12f x x x a=+++的最小值3，则实数a的值为（）A.5或8B.1-或5C. 1-或4-D.4-或810.设,a b为非零向量，2b a=，两组向量1234,,,x x x x和1234,,,y y y y均由2个a和2个b排列而成，若11223344x y x y x y x y⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a，则a与b的夹角为（）A.23π B.3πC.6πD.0第I I卷（非选择题共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.34331654+log log8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________.12.如图，学科网在等腰直角三角形ABC中，斜边22BC=，过点A作BC的垂线，垂足为1A；过点1A作AC的垂线，垂足为2A；过点2A作1A C的垂线，垂足为3A；…，以此类推，设1BA a=，12AA a=，123A A a=，…，567A A a=，则7a=________.13.不等式组20240320x yx yx y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.（13）若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f （14）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内16.（本小题满分12分）16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （1）求a 的值； （2）求sin()4A π+的值. 222216.(1)sin sin 2sin sin 22sin cos sin sin sin sin 02cos cos 2cos 12cos 2cos A Ba A B B Bb B B B B aB bb c a A B bc B A B B a =====+-==-====∵≠∴解得又因为∴（2）由（1）可得22221cos 2322sin =1cos =sin()sincos +cos sin 444242=sin +cos =26b c a A bc A A A A A A A πππ+-==--+=-∴∴（）17、（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：18.（本小题满分12分）数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1） 证明：数列{}na n是等差数列； （2） 设3nn n b a ={}n b 的前n 项和n S19（本题满分13分）如图，学科网四棱锥ABCD P -的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点H F E G ,,,分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点，平面⊥GEFH 平面ABCD ，//BC 平面GEFH . (1)证明：;//EF GH(2)若2=EB ，求四边形GEFH 的面积.20（本小题满分13分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a > （1） 讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.21（本小题满分13分）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =(1) 若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； (2) 若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.。
高考真题——文科数学(安徽卷)解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第 卷（选择题 共50分）一. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． [2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i ＝( )A ．－iB ．iC ．－1D ．11．D [解析] i 3＋2i1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1.2． [2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 3． [2014·安徽卷] 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．A [解析] 因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.4． [2014·安徽卷] 如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1-1A ．34B ．55C ．78D ．894．B [解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下： 第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 第二次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21；第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满足条件，跳出循环． 5． [2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b .6． [2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6D.⎣⎡⎦⎤0，π36．D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7． [2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.8． [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476C ．6D ．78．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9． [2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10． [2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．0 10．B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.11． [2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 12． [2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．图1-312.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.13． [2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝4.14． [2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 15． [2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .15．①③④ [解析] 对于①，因为y ′＝3x 2，y ′x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为y ′＝2(x ＋1)，y ′x ＝－1＝0，所以l ：x ＝－1不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝cos x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝1cos 2x，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝1x ，y ′x ＝1＝1，所以曲线C 在点P (1，0)处切线为l ：y ＝x －1，又由h (x )＝x －1－ln x (x >0)可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以h min (x )＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．16． [2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.17． [2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）17．解： (1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18． [2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19． [2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20． [2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21． [2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．21．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2·cos ∠AF 2B ，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)· (2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A.故△AF1F2为等腰直角三角形，从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.。
2014年高考安徽文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年安徽，文1，5分】设i 是虚数单位，复数32ii 1i+=+（ ）（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 【答案】D【解析】复数()()()32i 1i 2i 2i 2i i i 11i 1i 1i 2-++=-+=-+=++-，故选D ． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题（2）【2014年安徽，文2，5分】题“2,0x R x x ∀∈+≥”的否定．．是（ ） （A ）2,0x R x x ∀∈+<（B ）2,0x R x x ∀∈+≤（C ）2000,0x R x x ∃∈+<（D ）2000,0x R x x ∃∈+≥ 【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2,0x R x x ∀∈+≥”的否定2000,0x R x x ∃∈+<，故选C ． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．（3）【2014年安徽，文3，5分】抛物线214y x =的准线方程是（ ）（A ）1y =- （B ）2y =- （C ）1x =- （D ）2x =-【答案】A【解析】抛物线214y x =的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上，24p =，∴12p =，∴准线方程12py =-=-，故选A ．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． （4）【2014年安徽，文4，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89 【答案】B【解析】第一次循环得2,1,2z x y ===；第二次循环得3,2,3z x y ===；第三次循环得5,3,5z x y ===；第四次循环得8,5,8z x y ===；第五次循环得13,8,13z x y ===；第六次循环得21,13,21z x y ===；第七次循环得34,21,34z x y ===；第八次循环得55,34,55z x y ===；退出循环，输出55，，故选B ．【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题． （5）【2014年安徽，文5，5分】设3log 7a =， 3.32b =，0.8c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）c a b << （C ）c b a << （D ）a c b << 【答案】B【解析】31log 72<<， 3.322b =>，0.81c =<，则c a b <<，故选B ．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．（6）【2014年安徽，文6，5分】过点()1P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意可得点()1P -在圆221x y +=的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为(1y k x +=+，即10kx y -+-=．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径1≤，即22311k k -+≤+，解得0k ≤≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D ． 【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． （7）【2014年安徽，文7，5分】若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）（A ）8π （B ）4π （C）38π （D ）54π【答案】C【解析】函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭图象向右平移ϕ的单位，图象是函数224y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，图象关于y 轴对称，可得242k ππϕπ-=+，即28k ππϕ=--，当1k =-时，ϕ的最小正值是38π，故选C ．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题． （8）【2014年安徽，文8，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）（A ）233 （B ）476（C ）6 （D ）7【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方形棱锥侧，故选A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． （9）【2014年安徽，文9，5分】若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）（A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 【答案】D【解析】12a -<-时，2a x <-，()123112af x x x a x a =----=--->-；12a x -≤≤-，()12112af x x x a x a =--++=+-≥-； 1x >-，()12312f x x x a x a a =+=+=++>-，132a∴-=或23a -=，8a ∴=或5a =，5a =，122a a -<-，故舍去；12a-≥-时，1x <-，()12312f x x x a x a a =----=--->-；12a x -≤≤-，()12112a f x x x a x a =+--=--+≥-+；2a x >-，()123112af x x x a x a =+++=++>-+，23a ∴-=或132a -+=，∴1a =-或4a =-，1a =-时，122aa -+<-，故舍去；综上，4a =-或8，故选D ．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．（10）【2014年安徽，文10，5分】设a ，b 为非零向量，||2||b a =，两组向量1234,,,x x x x ，和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列 而成. 若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24||a ，则a 与b 的夹角为（ ）（A ）23π （B ）3π （C ）6π（D ）0 【答案】B【解析】由题意，设a 与b的夹角为α，分类讨论可得：①21122334410x y x y x y x y a a a a b b b b a ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= ，不满足； ②221122334454cos x y x y x y x y a a a b b a b b a a α⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+ ，不满足； ③221122334448cos 4x y x y x y x y a b a a α⋅+⋅+⋅+⋅=⋅== ，满足题意，此时1cos 2α=，∴a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年安徽，文11，5分】34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 【答案】278【解析】334333165425427+log log log 81453458--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力． （12）【2014年安徽，文12，5分】如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a = ． 【答案】14【解析】∵等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =1sin 45AA AB ∴︒==，即21a a =同理32a a =，43a a ， 由归纳推理可得{}n a是公比q =12a =，则67124a =⋅=⎝⎭．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{}n a是公比q =的等比数列是解决本题的关键．（13）【2014年安徽，文13，5分】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为 ．【答案】4【解析】由不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩作平面区域如图，由图可知()2,0A ，()0,2C ，联立240320x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：()8,2B -．∴BC =．点A 到直线240x y +-=的距离为d =．11422BC S BC d ∆∴=⋅⋅=⨯=． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （14）【2014年安徽，文14，5分】若函数()()f x x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()101sin 12x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】516【解析】函数()()f x x ∈R 是周期为4的奇函数，且在[]0,2上的解析式为()()101sin 12x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则29413737373375881sin 4646464644616f f f f f f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-+-=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． （15）【2014年安徽，文15，5分】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（ⅰ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =；②直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：2(1)y x =+； ③直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =； ④直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：tan y x =；⑤直线:1l y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =． 【答案】①③④ 【解析】对于①，由3y x =，得23y x '=，则00x y ='=，直线0y =是过点()0,0P 的曲线C 的切线，又当0x >时0y >，当0x <时0y <，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线0y =两侧，∴命题①正确；对于②，由()21y x =+，得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由s in y x =，得c os y x '=，则01x y ='=，直线y x =是过点()0,0P 的曲线的切线，又,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x x <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时sin x x >，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线y x =两侧，∴命题③正确；对于④，由t a n y x =，得21c o s y x '=，则01x y ='=，直线y x =是过点()0,0P 的曲线的切线，又,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时tan x x <，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan x x >，满足曲线C 在()0,0P 附近位于直线y x =两侧，∴命题④正确；对于⑤，由ln y x =，得1y x'=，则11x y ='=，曲线在()1,0P 处的切线为1y x =-，设()1ln g x x x =--，得()11g x x'=-，当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．∴()g x 在()0,+∞上有极小值也是最小值，为()10g =．∴1y x =-恒在ln y x =的上方，不满足曲线在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan sin x x x >>，该题是中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2014年安徽，文16，12分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，ABC ∆cos A 与a 的值．解：由题可得131sin 2A ⋅⋅⋅=sin A =22sin cos 1A A +=，所以1cos 3A ==±。
2014年安徽省高考数学文科试卷(带解析)
2014年安徽省高考数学文科试卷（带解析）2014年安徽省高考数学文科试卷（带解析）第卷（选择题共50分）一. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．[2014•安徽卷] 设i是虚数单位，复数i3＋2i1＋i＝( )A．－i B．i C．－1 D．1 1．D [解析] i3＋2i1＋i＝－i＋2i（1－i）2＝1. 2．[2014•安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( ) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0 2．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x20<0”． 3．[2014•安徽卷] 抛物线y ＝14x2的准线方程是( ) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x ＝－2 3．A [解析] 因为抛物线y＝14x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1. 4．[2014•安徽卷] 如图11所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) 图11 A．34 B．55 C．78 D．89 4．B [解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：第一次循环，x＝1，y＝1，z＝2；第二次循环，x＝1，y＝2，z＝3；第三次循环，x＝2，y＝3，z＝5；第四次循环，x＝3，y＝5，z＝8；第五次循环，x＝5，y＝8，z＝13；第六次循环，x＝8，y＝13，z＝21；第七次循环，x＝13，y＝21，z＝34；第八次循环，x＝21，y＝34，z＝55，不满足条件，跳出循环． 5．[2014•安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( ) A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b 5．B [解析] 因为2>a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c<a<b. 6．[2014•安徽卷] 过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A.0，π6 B.0，π3 C.0，π6 D.0，π3 6．D [解析] 易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离|3k－1|1＋k2≤1，即k2－3k≤0，解得0≤k≤3，故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3. 7．[2014•安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4 7．C [解析]方法一：将f(x)＝2sin2x＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin2x＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sinπ4－2φ＝±1，即sin2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ2＋3π8，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝3π8. 8．[2014•安徽卷] 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是( ) 图12 A.233 B.476 C．6 D．7 8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9．[2014•安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( ) A．5或8 B．－1或5 C．－1或－4 D．－4或8 9．D [解析] 当a≥2时， f(x)＝3x＋a＋1（x>－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x<－a2. 由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8. 当a<2时，f(x)3x＋a＋1x>－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x<－1）. 由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8. 10．[2014•安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1•y1＋x2•y2＋x3•y3＋x4•y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D．0 10．B [解析] 令S＝x1•y1＋x2•y2＋x3•y3＋x4•y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2＋2，S2＝＋＋2a•b，S3＝4a•b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a•b＝2a－b2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a•b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3<S2<S1，故Smin ＝S3＝4a•b.设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a•b＝8|a|2cos θ＝4|a|2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 11．[2014•安徽卷] 1681－34＋log354＋log345＝________. 11.278 [解析] 原式＝234－34 ＋log354×45＝23－3＝278. 12．[2014•安徽卷] 如图13，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；….依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．图13 12.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2 2，所以AB＝AC＝a1＝2，由题易知A1A2＝a3＝12AB＝1，…，A6A7＝a7＝123•AB＝2×123＝14. 13．[2014•安徽卷] 不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________． 13．4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S△ABD＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14．[2014•安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sin πx，1<x≤2，则f294＋f416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f294＋f416＝f －34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sin π6＝516. 15．[2014•安徽卷] 若直线l与曲线C满足下列两个条件： (i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y ＝sin x；④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x. 15．①③④[解析] 对于①，因为y′＝3x2，y′x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝1cos2x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1x，y′x＝1＝1，所以曲线C在点P(1，0)处切线为l：y＝x－1，又由h(x)＝x－1－ln x(x>0)可得h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以hmin(x)＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，⑤错误．16．[2014•安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1•sin A＝2，故sin A＝2 23. 因为sin2A＋cos2A＝1，所以cos A＝±1－sin2A＝±1－89＝±13. ①当cos A＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a＝2 2. ②当cos A＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×－13＝12，所以a＝2 3.17． [2014•安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图14 (3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 17．解：(1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据． (2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得K2＝300×（165×30－45×60）275×225×210×90＝10021≈4.762>3.841. 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．[2014•安徽卷] 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n ＋1)，n∈N*. (1)证明：数列ann是等差数列； (2)设bn＝3n•an，求数列{bn}的前n项和Sn. 18．解： (1)证明：由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，所以ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)得ann＝1＋(n－1)•1＝n，所以an＝n2，从而可得bn＝n•3n. Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，① 3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.② ①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n•3n＋1＝3•（1－3n）1－3－n•3n＋1＝（1－2n）•3n＋1－32，所以Sn＝（2n－1）•3n＋1＋34. 19．[2014•安徽卷] 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. 图15 (1)证明：GH∥EF； (2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． 19．解：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH ＝GH，所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. (2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，即K是OB的中点．再由PO∥GK得GK＝12PO，所以G是PB的中点，且GH＝12BC＝4. 由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝GH＋EF2•GK＝4＋82×3＝18.20．[2014•安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2. 令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3， x2＝－1＋4＋3a3，且x1<x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；当x1<x<x2时，f′(x)>0. 故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和－1＋4＋3a3，＋∞内单调递减，在－1－4＋3a3，－1＋4＋3a3内单调递增． (2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值． 21．[2014•安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝35，求椭圆E的离心率． 21．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|•|BF2•cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)• (2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A. 故△AF1F2为等腰直角三角形，从而c＝22a，所以椭圆E的离心率e＝ca＝22.。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014年高考文科数学安徽卷
一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求. 题
1.设 i 是虚数单位,复数 i3 2i 1 i
()
A. i
B. i
C. 1
D.1
2.命题“ x R , | x | +x2≥0 ”的否．定．是
无
A. x R , | x | +x2＜0
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2014 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学(文科)
此 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ
卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
考生注意事项：
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答
数学试卷 第 3 页（共 4 页）
17.（本小题满分 12 分） 某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4 500 人,为调查该校学生每周 平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动 时间的样本数据（单位：小时）.
（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？
（Ⅰ）证明：数列{an } 是等差数列； n
0.05 3.841
0.010 6.635
0.005 7.879
（Ⅱ）设 bn 3n an ,求数列{bn} 的前 n 项和 Sn . 19.（本小题满分 13 分）
如图,四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,
四条侧棱长均为 2 17 ,点 G , E , F , H 分别是棱
A.34
B.55
2014安徽高考真题数学文(含解析)
n(ad bc)2 (a b)(c d )(a c)(b d )
P ( K 2 ≥ k0 )
k0
0.10 2.706
0.05 3.841
0.010 6.635
0.005 7.879
4 / 15
18． （本小题满分 12 分） 数列 {an } 满足 a1 1, nan1 (n 1)an n(n 1), n N （I）证明：数列 {
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17、 （本小题满分 12 分） 某高校共有 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情 况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动 时间的样本数据（单位:小时） （Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？ （Ⅱ）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时 间的频率分布直方图 （如图所示） ， 其中样本数据分组区间为： ．估 计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率． （Ⅲ）在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间 超过 4 个小时． 请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表， 并判断是否有 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动 时间与性别有关”．
________． 【答案】 4
14．若函数 f x x R 是周期为 4 的奇函数，且在 0,2 上的解析式为 f x
x(1 x),0 x 1 ，则 sin x, 1 x 2
29 41 f f _______ 4 6 5 【答案】 16
4 11． 16 +log 5 log 4 ________． 3 3 4 5 81 27 【答案】 8 3
2014年高考安徽卷文科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1．D [解析] i 3＋2i1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1.2．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 3．A [解析] 因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.4．B [解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下： 第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 第二次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21； 第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满足条件，跳出循环．5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b .6．D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10．B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278.12.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.13．4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 15．①③④ [解析] 对于①，因为y ′＝3x 2，y ′x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为y ′＝2(x ＋1)，y ′x ＝－1＝0，所以l ：x ＝－1不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝cos x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝1cos 2x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝1x ，y ′x ＝1＝1，所以曲线C 在点P (1，0)处切线为l ：y ＝x －1，又由h (x )＝x－1－ln x (x >0)可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以h min (x )＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，所以曲线C在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.17．解： (1)300×450015 000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )· (2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A . 故△AF 1F 2为等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
2014年高考安徽卷数学(文)试题解析
2014年高考安徽卷数学（文）试题解析一、 选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设是虚数单位，复数321ii i+=+（ ） A.i - B. C.1- D.【答案】D【解析】因为322(1)112i i i i i i -+=-+=+，故选择Ｄ． 2. 题“2,0x R x x ∀∈+≥”的否定．．是（ ） A.2,0x R x x ∀∈+< B.2,0x R x x ∀∈+≤ C.2000,0x R x x ∃∈+< D.2000,0x R x x ∃∈+≥【答案】C【解析】由全称命题的否定是特称命题知，选Ｃ．3. 抛物线214y x =的准线方程是（ ）A.1y =-B.2y =-C.1x =-D.2x =-【答案】A【解析】214y x =可化为24x y =，故2p =，所以抛物线的准线方程为1y =-，故选A.4. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A.34 B.55C.78D.89【答案】B【解析】运行程序：1,1,2,250x y z ===≤；1,2,3,350x y z ===≤；2,3,5,550x y z ===≤； 3,5,8,850x y z ===≤；5,8,13,1350x y z ===≤； 8,13,21,2150x y z ===≤；13,21,34,3450x y z ===≤； 21,34,55,5550x y z ===>；输出55z =，故选择B.5. 设,8.0,2,7log 3.33===c b a ，则（ ） A.b a c << B.c a b << C.c b a << D.a c b <<【答案】B【解析】因为31log 72a <=<， 3.322b =>，0.81c =<，所以c a b <<，故选B.6. 过点(1)P -的直线与圆221x y +=有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A.(0,]6πB.(0,]3πC.[0,]6πD.[0,]3π【答案】D【解析】设直线:1(l y k x +=，即10kx y -+-=，由题知：圆心O 到直线的距离1d =≤，解得0k ≤≤，所以直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π，故选D.7. 若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A.8π B.4πC.38π D.54π 【答案】【解析】()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+，函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()())]sin(22)44g x f x x x ππϕϕϕ=-=-+=-+，由题知，(0)g =，即sin(2)14πϕ-+=±，于是2,42k k Z ππϕπ-+=+∈，解得,82k k Z ππϕ=-+∈，所以ϕ的最小正值是38π，故选C.8. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（） A.233 B.476C.6D.7 【答案】B【解析】由三视图知此多面体为正方体切去2个角 （三棱锥）后剩余的部分（如右图），所以该多面 体的体积11232222111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选A.9. 若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或8【答案】D【解析】若2a <-，则31,1()|1||2|1,1231,2x a x a f x x x a x a x a x a x ⎧⎪---<-⎪⎪=+++=-+--≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩，由图象知，当2ax =-时， ()f x 取最小值，所以()|1|322a af -=-=，解得4a =-或8（舍）；同理，若2a ≥-，可求得8a =；综上4a =-或8，故选D.侧（左）视图俯视图正（主）视图111111111111第（8）题图G FRQPBCDA 1AB 1C 1D 1E10. 设a ，b 为非零向量，||2||b a =，两组向量1234,,,x x x x ，和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成. 若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为42||a ，则a 与b 的夹角为（ ） A.23π B.3πC.6πD.0【答案】B【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，则S 的值以下三种可能：2212||2||S a b =+，222||||2S a b a b =++⋅，34S a b =⋅，因为||2||b a =，设,a b θ<>=，所以2110||S a =，2225||4||cos S a a θ=+，238||cos S a θ=，由题知：若224||S a =，则1cos 4θ=-，此时2322||S a S =-<，不符合题意；若234||S a =，则1cos 2θ=即3πθ=，此时227||S a =，满足题意；故选B.二、 填空题：本大题共5小题.每小题5分，共25分. 11. 34331654+log log 8145-⎛⎫+=⎪⎝⎭________. 【答案】827 【解析】827)23()54()45(log )1681(54log 45log )8116(33433343==⨯+=++-.12. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =过点A过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =【答案】41【解析】由题意可知，每次作垂线后得到的都是等腰直角三角形.且ABC ，12AA A ，123A A A ，…，21n n n A A A --的直角边1BA a =，531B 第（12）题图12AA a =，123A A a =，…，12--n n A A 是首项21=a ，公比22=q 的等比数列，所以41)22(267=⨯=a . 13. 不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________. 【答案】37【解析】由题意可得可行域如图所示： 三条直线分别交于A 、B 、D 三点，其 中)20(，A ，)02(，B ，)04(，C ，)28(-，D ， 所以不等式组表示的平面区域的面积为4)y -(y |BC |21D A =⨯⨯=+DBC ABC S S △△. 14. 若函数()()R x x f ∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f【答案】165【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性.因为周期是4，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，所以)641()429(f f +)67()43()678()438(-+-=-+-=f f f f16567sin 4143)67()43(=+⨯-=--=πf f .15. 若直线与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线在点()00,y x P 处与曲线C 相切； )(ii 曲线C 在P 附近位于直线的两侧，则称直线在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)xy 第（13）题图12345678–1123–1DCB AOx +y -2=0x +2y-4=0x +3y-2=0①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3x y = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 【答案】①③④【解析】由在某点处的切过曲线的定义可知，)(00y x P ，在曲线上，曲线C 在过)(00y x P ，的切线的两侧，所以①曲线C ：3x y =在点()0,0P 处的切线为直线0=y ，且曲线穿过()0,0P ，所以说法正确；②曲线C ：2)1(+=x y 在点()0,1-P 处的切线为直线0=y ，又0)1(2≥+=x y 恒成立，故②说法错误；③曲线C ：x y sin =在点()0,0P 处的切线为x y =，又当0>x 时，x x sin >，当0<x 时，x x sin <，故③说法正确；④曲线C ：x y tan =在在点()0,0P 处的切线为x y =，又当40π<<x 时，x x tan >，当04<<-x π时，x x tan <，故④说法正确；⑤曲线C ：ln y x =在点()0,1P 处的切线为1-=x y ，令x x x h ln 1)(--=，xx h 11)(-='，当10<<x 时，当011)(<-='x x h ，当1>x 时，011)(>-='xx h ，所以x x x h ln 1)(--=在)10(，单调递减，在)1(∞+，单调递增，且0)1(=h ，所以曲线C 在切线同一侧，故⑤说法错误.综上可得正确的是①③④.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）解：由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯⋅=，故sin A =.因为22sin cos 1A A +=. 所以1cos 3A ===±.①当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =②当1cos 3A =-时，由余弦定理得2222212cos 31213()123a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以a =.17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）45003009015000⨯=，所以应收集90位女生的样本数据. （Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（Ⅲ）由（II ）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得22300(2250)1004.762 3.841752252109021K ⨯==≈>⨯⨯⨯.所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 18. （本小题满分12分） （Ⅰ）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+， 所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列.（Ⅱ）解：由（I ）得1(1)1na n n n=+-⋅=，所以2n a n =. 从而3n n b n =⋅， 1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅. ①23131323(1)33n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅. ②①-②得 12123333n n n S n +-=+++-⋅=113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅--⋅=- 所以1(21)334n n n S +-⋅+=.19. （本小题满分13分）（Ⅰ）证：因为//BC GEFH 平面，BC PBC ⊂平面，且PBC GEFH GH =平面平面， 所以//GH BC . 同理可证//EF BC ， 因此//GH EF .（Ⅱ）解：连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为PA PC =，O 是AC 的中点，所以PO AC ⊥，同理可得PO BD ⊥. 又BD AC O =，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ABCD ⊥底面， 又因为GEFH ABCD ⊥平面平面，且PO GEFH ⊄平面， 所以//PO GEFH 平面，因为PBD GEFH GK =平面平面，所以//PO GK ，且GK ABCD ⊥底面，从而GK EF ⊥，所以GK 是梯形GEFH 的高.第（19）题图kH F OBCDAP GE由82AB EB ==，得::1:4EB AB KB DB == 从而1142KB DB OB ==，即K 为OB 的中点，再由//PO GK 得12GK PO =，即G 是PB 的中点，且142GH BC ==.由已知可得OB =6PO ===，所以=3GK . 故四边形GEFH 的面积48=31822GH EF S GK ++=⋅⨯=. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） ()f x 的定义域为().-∞+∞，2()123f x a x x '=+--令()0f x '=，得1x =，212x x x =< 所以12()3()()f x x x x x '=---当12x x x x <>或时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>. 故()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞内单调递减，在()12,x x 内单调递增. （Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <>.（i ）当4a ≥时，21x ≥由（I ）知，()f x 在[]0,1上单调递增， 所以()f x 在0x =和1x =处分别取 得最小值和最大值.(ii)当04a <<时，21x <，由（I ）知，()f x 在[]20,x 上单调递增，在[]2,1x 上单调递减，因此()f x 在2x x ==处取得最大值. 又(0)1,(1)f f a ==，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值； 当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值； 当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值.21. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由113AF F B =, 4AB =，得 113,1AF F B == 因为2ABF 的周长为16，所以由椭圆定义得416a =， 1228AF AF a +==a故212835AF a AF =-=-=.（Ⅱ）设1F B k =，则0k >且13AF k =，4AB k =. 由椭圆定义可得223AF a k =-，22BF a k =-,在2ABF 中，由余弦定理可得 222222222cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠, 即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅- 化简得()(3)0a k a k +-=， 而()0a k +>，故3a k =.于是有213AF k AF == ,25BF k =. 因此22222BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥， 故12AF F 为等腰直角三角形.从而c =，所以椭圆E 的离心率c e a ==.。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（ ）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（ ）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
【推荐】2014年安徽省高考数学试卷(文科)
2014年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设i 是虚数单位，复数i 3+=（ ）A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．12．（5分）命题“∀∈R ，||+2≥0”的否定是（ ） A ．∀∈R ，||+2＜0 B ．∀∈R ，||+2≤0 C ．∃0∈R ，|0|+02＜0 D ．∃0∈R ，|0|+02≥0 3．（5分）抛物线y=2的准线方程是（ ）A ．y=﹣1B ．y=﹣2C ．=﹣1D ．=﹣24．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．895．（5分）设a=log 37，b=23.3，c=0.81.1，则（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b6．（5分）过点P （﹣，﹣1）的直线l 与圆2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[0，] D ．[0，]7．（5分）若将函数f （）=sin2+cos2的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．6D ．79．（5分）若函数f （）=|+1|+|2+a|的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．﹣1或5 C ．﹣1或﹣4 D ．﹣4或8 10．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（ ） A ． B ．C ．D ．0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（）+log 3+log 3= ．12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2，过点A 作BC的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2，过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3…，依此类推，设BA=a 1，AA 1=a 2，A 1A 2=a 3，…，A 5A 6=a 7，则a 7= ．13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为 ．14．（5分）若函数f （）（∈R ）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f （）=，则f （）+f （）= ．15．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点P （0，y 0）处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ． 下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①直线l ：y=0在点P （0，0）处“切过”曲线C ：y=3②直线l ：=﹣1在点P （﹣1，0）处“切过”曲线C ：y=（+1）2 ③直线l ：y=在点P （0，0）处“切过”曲线C ：y=sin ④直线l ：y=在点P （0，0）处“切过”曲线C ：y=tan ⑤直线l ：y=﹣1在点P （1，0）处“切过”曲线C ：y=ln ．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且b=3，c=1，△ABC 的面积为，求cosA 与a 的值．17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：2=．18．（12分）数列{an }满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设bn =3n•，求数列{bn}的前n项和Sn．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．20．（13分）设函数f（）=1+（1+a）﹣2﹣3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当∈[0，1]时，求f（）取得最大值和最小值时的的值．21．（13分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．2014年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设i 是虚数单位，复数i 3+=（ ）A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．1【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：复数i 3+=﹣i+=﹣i+=1，故选：D ．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）命题“∀∈R ，||+2≥0”的否定是（ ） A ．∀∈R ，||+2＜0 B ．∀∈R ，||+2≤0 C ．∃0∈R ，|0|+02＜0 D ．∃0∈R ，|0|+02≥0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀∈R ，||+2≥0”的否定∃0∈R ，|0|+02＜0， 故选：C ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）抛物线y=2的准线方程是（ ）A ．y=﹣1B ．y=﹣2C ．=﹣1D ．=﹣2【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=2的标准方程为2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程y=﹣=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出的值．【解答】解：第一次循环得=2，=1，y=2；第二次循环得=3，=2，y=3；第三次循环得=5，=3，y=5；第四次循环得=8，=5，y=8；第五次循环得=13，=8，y=13；第六次循环得=21，=13，y=21；第七次循环得=34，=21，y=34；第八次循环得=55，=34，y=55；退出循环，输出55，【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．7，b=23.3，c=0.81.1，则（）5．（5分）设a=log3A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1＜log7＜2，b=23.3＞2，c=0.81.1＜1，3则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．6．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为y+1=（+），即﹣y+﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即32﹣2+1≤2+1，解得0≤≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．7．（5分）若将函数f（）=sin2+cos2的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．【解答】解：函数f（）=sin2+cos2=sin（2+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=π+，即φ=﹣，当=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A ．B ．C ．6D ．7【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V 正方体﹣2V 棱锥侧=．故选：A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．9．（5分）若函数f （）=|+1|+|2+a|的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．﹣1或5 C ．﹣1或﹣4 D ．﹣4或8【分析】分类讨论，利用f （）=|+1|+|2+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a 的值． 【解答】解：＜﹣1时，＜﹣，f （）=﹣﹣1﹣2﹣a=﹣3﹣a ﹣1＞﹣1；﹣≤≤﹣1，f（）=﹣﹣1+2+a=+a﹣1≥﹣1；＞﹣1，f（）=+1+2+a=3+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，＜﹣1，f（）=﹣﹣1﹣2﹣a=﹣3﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤≤﹣，f（）=+1﹣2﹣a=﹣﹣a+1≥﹣+1；＞﹣，f（）=+1+2+a=3+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．10．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A．B．C．D．0【分析】两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cos α，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cos α=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B ．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（）+log 3+log 3=．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（）+log 3+log 3=+log 35﹣log 34+log 34﹣log 35=．故答案为：．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC=2，过点A 作BC的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2，过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3…，依此类推，设BA=a 1，AA 1=a 2，A 1A 2=a 3，…，A 5A 6=a 7，则a 7=．【分析】根据条件确定数列{an}是等比数列，即可得到结论．【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，∴sin45°=，即=，同理=，=，由归纳推理可得{an }是公比q=的等比数列，首项a1=2，则a7==，故答案为：．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{an}是公比q=的等比数列是解决本题的关键．13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为 4 ．【分析】由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由不等式组作平面区域如图，由图可知A（2，0），C（0，2），联立，解得：B（8，﹣2）．∴|BC|=．点A到直线+2y﹣4=0的距离为d=．∴．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）若函数f（）（∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（）=，则f（）+f（）= ．【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．【解答】解：函数f（）（∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f （）﹣f （）===． 故答案为：．【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．15．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点P （0，y 0）处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是 ①③④ （写出所有正确命题的编号）． ①直线l ：y=0在点P （0，0）处“切过”曲线C ：y=3②直线l ：=﹣1在点P （﹣1，0）处“切过”曲线C ：y=（+1）2 ③直线l ：y=在点P （0，0）处“切过”曲线C ：y=sin ④直线l ：y=在点P （0，0）处“切过”曲线C ：y=tan ⑤直线l ：y=﹣1在点P （1，0）处“切过”曲线C ：y=ln ．【分析】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii ），则正确的选项可求．【解答】解：对于①，由y=3，得y ′=32，则y ′|=0=0，直线y=0是过点P （0，0）的曲线C 的切线，又当＞0时y ＞0，当＜0时y ＜0，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=0两侧，∴命题①正确；对于②，由y=（+1）2，得y ′=2（+1），则y ′|=﹣1=0，而直线l ：=﹣1的斜率不存在，在点P （﹣1，0）处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由y=sin，得y′=cos，则y′|=1，直线y=是过点P（0，0）的曲=0线的切线，又∈时＜sin，∈时＞sin，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=两侧，∴命题③正确；=1，直线y=是过点P（0，0）的对于④，由y=tan，得，则y′|=0曲线的切线，又∈时tan＜，∈时tan＞，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y=ln，得，则y′|=1，曲线在P（1，0）处的切线为y==1﹣1，设g（）=﹣1﹣ln，得，当∈（0，1）时，g′（）＜0，当∈（1，+∞）时，g′（）＞0．∴g（）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．∴y=﹣1恒在y=ln的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．故答案为：①③④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当∈时，tan＞＞sin，该题是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：2=．【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．（3）利用独立性检验进行求解即可【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得2==≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 【点评】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础18．（12分）数列{a n }满足a 1=1，na n+1=（n+1）a n +n （n+1），n ∈N *． （Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n =3n •，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】（Ⅰ）将na n+1=（n+1）a n +n （n+1）的两边同除以n （n+1）得，由等差数列的定义得证． （Ⅱ）由（Ⅰ）求出b n =3n •=n •3n ，利用错位相减求出数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】证明（Ⅰ）∵na n+1=（n+1）a n +n （n+1）， ∴， ∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴， b n =3n •=n •3n ，∴•3n ﹣1+n •3n ① •3n +n •3n+1②①﹣②得3n ﹣n •3n+1==∴【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．【分析】（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC ⊂平面ABCD，∴BC∥EF，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，∵平面EFGH∩平面PBC=GH，∴EF∥GH；（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点，连接OP，G．∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，∴PO∥平面GEFH，∵平面PBD∩平面GEFH=G，∴PO∥G，且G⊥底面ABCD∴G是梯形GEFH的高∵AB=8，EB=2，∴，∴B=，即为OB中点，又∵PO∥G，∴G=PO，即G为PB中点，且GH=，由已知可得OB=4，PO===6，∴G=3，故四边形GEFH的面积S===18．【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．20．（13分）设函数f （）=1+（1+a ）﹣2﹣3，其中a ＞0．（Ⅰ）讨论f （）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当∈[0，1]时，求f （）取得最大值和最小值时的的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的的取值．【解答】解：（Ⅰ）f （）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（）=1+a ﹣2﹣32， 由f ′（）=0，得1=，2=，1＜2， ∴由f ′（）＜0得＜，＞； 由f ′（）＞0得＜＜； 故f （）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减， 在（，）上单调递增； （Ⅱ）∵a ＞0，∴1＜0，2＞0，∵∈[0，1]，当时，即a ≥4 ①当a ≥4时，2≥1，由（Ⅰ）知，f （）在[0，1]上单调递增，∴f （）在=0和=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，2＜1，由（Ⅰ）知，f （）在[0，2]单调递增，在[2，1]上单调递减，因此f （）在=2=处取得最大值，又f （0）=1，f （1）=a ， ∴当0＜a ＜1时，f （）在=1处取得最小值；当a=1时，f （）在=0和=1处取得最小值；当1＜a ＜4时，f （）在=0处取得最小值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．21．（13分）设F 1，F 2分别是椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|F 1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；（Ⅱ）若cos ∠AF 2B=，求椭圆E 的离心率．【分析】（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF 2的周长为16，|AF 1|=3|F 1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF 2|；（Ⅱ）设|F 1B|=（＞0），则|AF 1|=3，|AB|=4，由cos ∠AF 2B=，利用余弦定理，可得a=3，从而△AF 1F 2是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率．【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF 1|=3|F 1B|，∴|AF 1|=3，|F 1B|=1，∵△ABF 2的周长为16，∴4a=16，∴|AF 1|+|AF 2|=2a=8，∴|AF 2|=5；（Ⅱ）设|F 1B|=（＞0），则|AF 1|=3，|AB|=4，∴|AF 2|=2a ﹣3，|BF 2|=2a ﹣∵cos ∠AF 2B=，在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF 2|2+|BF 2|2﹣2|AF 2|•|BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴（4）2=（2a ﹣3）2+（2a ﹣）2﹣（2a ﹣3）（2a ﹣），化简可得（a+）（a ﹣3）=0，而a+＞0，故a=3，∴|AF 2|=|AF 1|=3，|BF 2|=5，∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB|2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形，∴c=a ，∴e==． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．7【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxc osφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB 角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年安徽省高考数学试卷(文科)最新修正版
2014年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．12．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣24．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．895．（5分）设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b6．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0，]D．[0，]7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C． D．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6 D．79．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或810．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A． B．C．D．0二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（）+log3+log3=．12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2，过点A2作A1C的垂线，垂足为A3…，依此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7=．13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为．14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l 的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2=．18．（12分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．21．（13分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．2014年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：复数i3+=﹣i+=﹣i+=1，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程y=﹣=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选：B．【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．5．（5分）设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=23.3＞2，c=0.81.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．6．（5分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0，]D．[0，]【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．【解答】解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C． D．【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6 D．7【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．10．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（）A． B．C．D．0【分析】两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，设与的夹角为α，分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴与的夹角为．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（）+log3+log3=．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：（）+log3+log3=+log35﹣log34+log34﹣log35=．故答案为：．【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2，过点A2作A1C的垂线，垂足为A3…，依此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7=．【分析】根据条件确定数列{a n}是等比数列，即可得到结论．【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，∴sin45°=，即=，同理=，=，由归纳推理可得{a n}是公比q=的等比数列，首项a1=2，则a7==，故答案为：．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{a n}是公比q=的等比数列是解决本题的关键．13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为4．【分析】由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B 的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由不等式组作平面区域如图，由图可知A（2，0），C（0，2），联立，解得：B（8，﹣2）．∴|BC|=．点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=．∴．故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l 的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．【解答】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，∴命题①正确；=0，对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，∴命题②错误；对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时x＜sinx，x∈时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题③正确；对于④，由y=tanx，得，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时tanx＜x，x∈时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y=lnx，得，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，设g（x）=x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．故答案为：①③④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K2=．【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．（3）利用独立性检验进行求解即可【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【点评】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础18．（12分）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．=（n+1）a n+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，【分析】（Ⅰ）将na n+1由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b n=3n•=n•3n，利用错位相减求出数列{b n}的前n项和S n．=（n+1）a n+n（n+1），【解答】证明（Ⅰ）∵na n+1∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，b n=3n•=n•3n，∴•3n﹣1+n•3n①•3n+n•3n+1②①﹣②得3n﹣n•3n+1==∴【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．【分析】（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，∴BC∥EF，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，∵平面EFGH∩平面PBC=GH，∴EF∥GH；（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，∴PO∥平面GEFH，∵平面PBD∩平面GEFH=GK，∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD∴GK是梯形GEFH的高∵AB=8，EB=2，∴，∴KB=，即K为OB中点，又∵PO∥GK，∴GK=PO，即G为PB中点，且GH=，由已知可得OB=4，PO===6，∴GK=3，故四边形GEFH的面积S===18．【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．21．（13分）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．【分析】（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF2的周长为16，|AF1|=3|F1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k∵cos∠AF2B=，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），化简可得（a+k）（a﹣3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=a，∴e==．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2014高考文数安徽卷 附答案解析
8-
7 6
=f
-3
4
+f
-7
6
=-f
3 4
-f
7 6
=-34
1-
3 4
-sin76π=-136
+
1 2
156.
15.【答案】①③④
【解析】由题意结合函数的图象知,①③④满足条件,而②⑤中曲线在点 P 附近都在切线
的同一边,故不满足条件.
三、解答题
16.分析:分析给出的条件,因已知 b 和 c,故先利用三角形面积公式 S△ABC=12bcsin A 求出
(2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所
示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平
均体育运动时间超过 4 小时的概率;
(3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体
3.【答案】A
【解析】抛物线 x2=4y 的准线方程为 y=-1.
4.【答案】B
【解析】由程序框图,知依次为:x=1,y=1,z=2;x=1,y=2,z=3;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;
x=5,y=8,z=13;x=8,y=13,z=21;x=13,y=21,z=34;x=21,y=34,z=55>50,故输出 55.
综上所述,a=-4 或 8.
10.【答案】B
【解析】设 a 与 b 的夹角为θ.x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4 有以下三种可能:
①2a·a+2b·b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;
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2014年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案和试题分析一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，复数i3+=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：复数i3+=﹣i+=﹣i+=1，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2014•安徽）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）（2014•安徽）抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．解答：解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程y=﹣=﹣1．故选：A．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．4．（5分）（2014•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的使用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．5．（5分）（2014•安徽）设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及使用．分析：分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．解答：解：1＜log37＜2，b=23.3＞2，c=0.81.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．6．（5分）（2014•安徽）过点P（﹣，﹣1）的直线l和圆x2+y2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[0，]D．[0，]考点：直线和圆的位置关系．分析：用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围．解答：解：由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D．点评：本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的使用，体现了转化的数学思想，属于中档题．7．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对分析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．8．（5分）（2014•安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6D．7考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系和距离．分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．解答：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧=．故选：A．点评：本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．9．（5分）（2014•安徽）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8考点：带绝对值的函数；函数最值的使用．专题：选作题；不等式．分析：分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．解答：解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．点本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．评：10．（5分）（2014•安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所有可能取值中的最小值为4||2，则和的夹角为（）A．B．C．D．0数量积表示两个向量的夹角．考点：专综合题；平面向量及使用．题：分两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，结析：合其数量积组合情况，即可得出结论．解解：由题意，设和的夹角为α，答：分类讨论可得①•+•+•+•=•+•+•+•=10||2，不满足②•+•+•+•=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满足；③•+•+•+•=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时cosα=∴和的夹角为．故选：B．本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．点评：二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2014•安徽）（）+log3+log3=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及使用．分析：直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可．解答：解：（）+log3+log3==．故答案为：．点评：本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．12．（5分）（2014•安徽）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC 的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2，过点A2作A1C的垂线，垂足为A3…，依此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7=．考点：归纳推理．专题：等差数列和等比数列．分析：根据条件确定数列{a n}是等比数列，即可得到结论．解答：解：∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，∴sin45°=，即=，同理=，=，由归纳推理可得{a n}是公比q=的等比数列，首项a1=2，则a7==，故答案为：．点评：本题主要考查归纳推理的使用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{a n}是公比q=的等比数列是解决本题的关键．13．（5分）（2014•安徽）不等式组表示的平面区域的面积为4．考点：二元一次不等式（组）和平面区域．专题：数形结合．分析：由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案．解答：解：由不等式组作平面区域如图，由图可知A（2，0），C（0，2），联立，解得：B（8，﹣2）．∴|BC|=．点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=．∴．故答案为：4．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）（2014•安徽）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的分析式为f（x）=，则f（）+f（）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及使用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的分析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的使用，考查计算能力．15．（5分）（2014•安徽）若直线l和曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处和曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．考点：命题的真假判断和使用；曲线和方程．专题：简易逻辑．分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值和对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．解答：解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C 的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，∴命题①正确；对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不和曲线C相切，∴命题②错误；对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时x＜sinx，x∈时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题③正确；对于④，由y=tanx，得，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈时tanx＜x，x∈时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y=lnx，得，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，设g（x）=x﹣1﹣lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．故答案为：①③④．点评：本题考查命题的真假判断和使用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA和a的值．考点：余弦定理的使用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）（2014•安徽）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间和性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间和性别有关”．P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879附：K2=．考点：独立性检验；频率分布直方图．专题：使用题；概率和统计．分析：（Ⅰ）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据；（Ⅱ）由频率分布直方图可得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）写出2×2列联表，求出K2，和临界值比较，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）300×=90，∴应收集90位女生的样本数据；（Ⅱ）由频率分布直方图可得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有300×0.75=225人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间和性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时45 30 75每周平均体育运动时间超过4小时165 60 225总计210 90 300∴K2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间和性别有关”．点评：本题主要考查独立性检验等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及使用用意识，考查必然和或然思想等，属于中档题．18．（12分）（2014•安徽）数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n=3n•，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．分析：（Ⅰ）将na n+1=（n+1）a n+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b n=3n•=n•3n，利用错位相减求出数列{b n}的前n项和S n．解答：证明（Ⅰ）∵na n+1=（n+1）a n+n（n+1），∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，b n=3n•=n•3n，∴•3n﹣1+n•3n①•3n+n•3n+1②①﹣②得3n﹣n•3n+1==∴点评：本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．19．（13分）（2014•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．考点：直线和平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系和距离．分析：（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．解答：（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD，∴BC∥EF，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，∵平面EFGH∩平面PBC=GH，∴EF∥GH；（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK．∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH，∴PO∥平面GEFH，∵平面PBD∩平面GEFH=GK，∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD∴GK是梯形GEFH的高∵AB=8，EB=2，∴，∴KB=，即K为OB中点，又∵PO∥GK，∴GK=PO，即G为PB中点，且GH=，由已知可得OB=4，PO===6，∴GK=3，故四边形GEFH的面积S===18．点评：本题考查线面平行的判定和性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定和性质是关键．20．（13分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合使用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根和1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．21．（13分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|．（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；（Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．考点：椭圆的简单性质；三角形的面积公式．专题：圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF2的周长为16，|AF1|=3|F1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．解答：解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k∵cos∠AF2B=，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k），化简可得（a+k）（a﹣3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=a，∴e==．点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。