概率论与数理统计第2章 基本定理

(1)求此数能被2或3整除的概率 p？
(2)若已知此数是偶数，问这个数能被3整除的概率 p1？
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事件A
事件B
{10,11,12,,99}
A {10,12,14,,98}
容易求得P( A) 1 2
P( AB) 1 6
p P(A B) 2
p1
P(B)
1 3
3
把 p1称作是已知 A发生的条件下, B发生的条件概率,
P( Bk )| A) P(BPk()Bk | A)
k 1
k 1 k 1
例1 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活 过25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概 率是多少？
解： 以A表示某该种动物“能活过20岁”的事件； 以 B 表示某该种动物“能活过25岁”的事件；
事件A 解: 设 A {任取一个两位数能被2整除}，
B {任取一个两位数能被3整除}， 问题(1)的样本空间为 {10,11,12,,99}
问题(2)的样本空间为 A {10,12,14,,98}
相对于问题(1)，称 A为缩减样本空间,
即由于事件 A发生而限制了的样本空间.
例4续 在所有的两位数10到99中任取一个数，
相对地，有时把概率P( A、) P称(B作)无条件概率.
条件概率的性质
性质1：非负性 对任意事件 AB，必有 P(BA)| A)0. 0.
性质2：规范性 对若必A然，事B必件有，必P有(B.P| A(). )11
特别地，有P( | A) P(A. | A) 1
性质3：可加性 若 B1, B2 , ,两B两n ,互不相容，则必有
50 3
0.2760
例1 一批产品50件,其中45件是合格品而5件是次品.今从中 抽出3件,求这抽出3件中至少有1件是次品的概率是多少?
解: 设 A {抽出3件中至少有1件是次品}
法二: 记 Ai {抽出的3件中有 i件次品}, i 1,2,3. 则有 A A1 A2 A3
于是 P( A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ( A1, A2 , A3 不相容)
P(A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P( AC) P(BC) P( ABC)
推论2′：对任意 个n事件 A1, A2，, 有, An
n
n
P( Ai ) P(Ai )
P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
记为 P(B | A) .
从以上数据上看,有 P(B | A) P( AB) P( A)
条件概率(2)
定义1：对事件A、B，若 P( A)，则0把 P(B | A) P( AB) P( A)
称为在事件A发生的条件下事件 B发生的概率，
简称条件概率.
事实上，P(A | ) ，P(A) P(B. | ) P(B)
第2章 基本定理
2.1 加法定理
加法定理(1)
性质3：可加性 事件 A,互B不相容，则有 P(A B) P(A) P(B)
定理1：两事件之和的概率等于其概率之和减去积的概率，即
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
A
B
SA B SA SB SAB
加法定理(2)
推论1：对任意事件A，必有 P( A) 1. P( A) 推论2：对任意事件A, B，, C必有
2.2 乘法定理
条件概率(1)
A AB B
AB A A AB AB
SA P(A) S SAB P( AB) S SAB P( AB) ? SA P( A)
例4续 在所有的两位数10到99中任取一个数，
(1)求此数能被2或3整除的概率 p？ (2)若已知此数是偶数，问这个数能被3整除的概率 p1？
A B1 B2 B3
把45件合格品及5件次品看作是各不相同的(即可辩的), 则有
P(B1 ) P(B2 ) P(B3 )
5 50
0.1
(参考P18例12)
54 P(B1B2 ) 50 49
P ( B1 B3
)
P ( B2 B3
)
5 50
4 49
543 P(B1B2B3 ) 50 49 48
例4 在所有的两位数10到99中任取一个数,求此数能被 2或3整除的概率 p?
解: 设 A {任取一个两位数能被2整除}
B {任取一个两位数能被3整除}, 则有 p P( A B)
按加法定理,有 p P(A B)
P( A) P(B) P( AB)
45 90
30 15 90 90
0.6667
由已知,有：
P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
于是，所求概率
P( AB)
P(B | A)
P(B)
0.4 0.5
P( A) P( A) 0.8
乘法定理
根据条件概率的定义，若P( A)， 则0 P(B | A) P( AB) P( A)
(1)n1 P( A1A2 An )
例1 一批产品50件,其中45件是合格品而5件是次品.今从中 抽出3件,求这抽出3件中至少有1件是次品的概率是多少?
解: 设 A {抽出3件中至少有1件是次品}
法一: 利用对立事件 A {抽出3件中没有次品}, 有
45 P( A) 1 P( A) 1 3
5 45 1 2
50 3
5 45 2 1
50 3
5
3 0.2760 50 3
例1 一批产品50件,其中45件是合格品而5件是次品.今从中 抽出3件,求这抽出3件中至少有1件是次品的概率是多少?
解: 设 A {抽出3件中至少有1件是次品}
法三: 记 Bi {抽出的第 i 件是次品}, i 1,2,3. 则有
例1 一批产品50件,其中45件是合格品而5件是次品.今从中 抽出3件,求这抽出3件中至少有1件是次品的概率是多少?
解: 设 A {抽出3件中至少有1件是次品}
于是 P( A) P(B1 B2 B3 ) P(B1) P(B2 ) P(B3 ) P(B1B2 ) P(B1B3 ) P(B2B3 ) P(B1B2B3 ) 3 0.1 3 5 4 5 4 3 50 49 50 49 48 0.2760