人教版高中数学必修二圆的标准方程教学设计

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人教版高中数学《圆的标准方程》教学设计

课题：“圆的标准方程”教材：高中数学第二册（上册）第七章《直线和圆的方程》中的第六节“圆的方程”的第一课时一、教材分析在学习了“曲线与方程“之后，作为一般曲线典型的例子，安排了本节的“圆的方程”圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，圆与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用同时，由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程和一般方程的要求层次是“掌握”。

遵循从特殊到一般的原则，只有把圆的标准方程学透了，再过渡到学圆的一般方程也就不难了，它们可以通过形式上的互相转化而解决。

可见圆的标准方程在“圆的方程”一节中非常重要。

依照大纲，本节分为三个课时进行教学第一课时讲解圆的标准方程结合本节的内容的特点，和对学生的初步了解，我准备将这个课时分解为两个课时来完成。

第一课时主要是以轨迹思想探讨圆的标准方程，再以待定系数法求解圆方程为核心，让学生从中去体会数与形之间的关系，强化数形结合思想的运用。

二、学情分析此前，学生已经学习了“曲线的方程”和“方程的曲线”、直线方程等内容，对运用代数的方法来解决几何的问题（即解析法）有了一定的了解。

现在要运用解析法来研究另一种（学生熟悉的）几何图形——圆，自然是水到渠成，对学生而言难度不会太大。

因此老师在教学中可以大胆的引导学生独立自主的去探索、发现所要学习的知识。

学生对待定系数法的运用会感到困难，因为圆的标准方程中的三个参数a，b，r （尤其是r）的给出形式变化很多，再加上学生对圆的许多几何性质可能都忘记了，不能灵活运用几何性质优化运算，所以通过对“待定系数法”的讲解，一方面可以复习圆的一些主要性质；另一方面还可以对代数法与几何法进行比较，使学生从中数与形的和谐美。

人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程课程设计 (2)

人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程课程设计一、课程背景及教学目的圆是初中数学中学习的图形之一，也是初中数学重要内容。

在高中数学中，圆的知识会更深入的学习和应用，并将涉及到圆的标准方程。

因此，本次课程的主要教学内容为圆的标准方程。

本套课程旨在帮助学生深刻理解圆的标准方程，掌握圆的基本属性与性质，培养学生的逻辑思维能力和数学推导能力。

二、教学内容及教学活动设计1. 教学内容圆的标准方程的含义、推导方法及其应用。

2. 教学活动设计活动1：引入教师通过展示一系列圆形图片及其实例，引入圆的概念。

学生表达对于圆形的看法。

活动2：探究圆的标准方程的定义及意义•教师出示一张已知圆的图形和其半径，引导学生思考如何描述这个圆的位置以及如何表示这个圆。

•教师让学生尝试给出一个圆的标准方程及其解释。

学生可以自由组成小组进行练习，并记录下每组学生给出的解法。

•教师组织学生逐一发言，介绍自己学习过程中给出的解法，分析其优缺点，并给学生讲解圆的标准方程的定义及意义。

活动3：掌握圆的标准方程的求解方法•教师会讲解圆的标准方程的求解方法，并通过小组练习的方式进行实操。

•学生可以自由组成3-5人的小组，小组内的成员可以相互辅助，尝试解决提出的题目。

•每个小组解决完后，老师会讲解解题的详细过程。

随着讲解的深入，学生们将逐渐掌握圆的标准方程的求解方法。

活动4：运用所学知识解决实际问题•教师为学生提供一些更加具体的实例，辅助学生运用所学知识求解实际问题。

•学生分组，解决所提供的问题，以增强他们的运用能力。

•每个小组解决完后，老师会就解决方案进行讲解，并与学生分析解题思路和方法。

活动5：梳理所学内容，进行总结归纳•教师让学生把学习过程中遇到的一些难题进行总结，对学习中出现的问题进行归纳，以加深学生对所学内容的理解。

•教师告诉学生圆方程的定义及其应用都是现代科学、工程技术的基础，梳理学习所掌握的知识，为将来的学习及生活做好准备。

人教A版高中数学必修二《圆的标准方程》教学设计

《圆的标准方程》教学设计
一、内容及其解析
本节课的教学内容是圆的标准方程，圆是平面解析几何中重要的几何模型，是研究圆锥曲线与方程的重要基础.
坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过建立平面直角坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系起来.因此在教学过程中，要始终贯穿坐标法中一重要思想,在学习圆与方程这一章节后,使学生初步形成坐标法的基本思想和步骤.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后将代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。
解此方程组,得
所以的外接圆的方程是
练习2：已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程.
设计意图：进一步强化圆的标准方程的运用，使学生在不同的背景中熟悉常见的几何模型，能根据题设条件选择适当的方法来解决问题.
师生活动：激活学生思维，借助图形，让学生分析题设的几何特征，描述本题的算法，教师同步展示解答过程.启发引导学生思考教科书第120页的问题，归纳求圆的标准方程的两种方法.最后可以让学生尝试运用另一种方法解答问题7和问题8.
半径的大小等于圆上任意一点到圆心的距离,
圆心为的圆就是集合
由两点间距离公式,点的坐标适合的条件可以表示为
式两边平方,得
(1)
若点在圆上,则由上述讨论知,点的坐标适合方程(1);反之,若点的坐标适合方程(1),这说明点与圆心的距离为 ,即点在圆心为的圆上.我们把方程(1)称为圆心为 ,半径为的圆的方程,把它叫做圆的标准方程.
3.能力素养：重点提升学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力。通过具体事例，让学生在自己的操作与思考中，抽象并概括圆的标准方程的概念、建立圆的标准方程的代数模型，学会利用几何图形理解和解决数学问题.关注现代信息技术工具的运用.

圆的标准方程

《圆的标准方程》的课堂教学设计人教A版数学必修二第四章第1节一、教材分析《圆的标准方程》选自数学必修2第四章第一节第一课时。

圆是解析几何中一类重要的曲线而圆的标准方程的学习是在学生学习了直线与方程的基础知识之后,知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质这一基础上进行展开的在学习中充分体现了数形结合的思想，以及用代数方法解决几何问题的思想,是进一步学习圆锥曲线的基础二、学情分析授课对象是高一文科学生。

在知识上，初中时已经对圆有所接触，学习了圆的一些基础知识。

在平时的生活中，学生对圆的接触也比较多，因此对推导圆方程的过程较易接受。

在能力上学生已经掌握了图像观察能力和分析能力，也基本了解了数形结合的思想方法和用代数法解决几何问题的思想。

但是学生平时较重视课本知识的学习，缺乏探究能力，因此对圆的标准方程的推导有一定的弊端。

三、教学目标(1)知识与技能：掌握圆的标准方程的结构特征；会判断点与圆的位置关系；用待定系数法和数形结合法求圆的标准方程；。

(2)过程与方法：在平面直角坐标系中，探索圆的标准方程，进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力，体会数形结合的思想(3)情感、态度与价值观：通过主动探究、交流合作的学习方式，激发学生的求知欲和学习数学的热情。

四、教学重难点重点：圆的标准方程结构特征的正确认识与理解，方程的求法难点：会根据不同的已知条件利用待定系数法或数形结合法求圆的标准方程教具准备：圆规、直尺学具准备：数学书、笔记本教学课时:1课时五、教学过程：1、揭示课题,明确思想①点题今天我们来学习4.1.1节圆的标准方程---板书课题②引入一提到圆，可能很多同学脑海里都会浮现出许多圆形物体，比如自行车轮子、水桶底、摩天轮等，可以说圆与我们的生活息息相关。

在小学和初中我们都学过圆的知识，当时所关注的是圆的形状大小等几何特征，而今天我们将要从一个新的角度继续来学习。

③明确思想师：在上一章我们通过用坐标表示点，把直线和一元二次方程联系起来，紧接着通过方程来研究了两直线位置关系、点到直线距离公式等问题。

高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计

4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。

内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。

其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。

圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。

学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。

也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。

从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。

2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

高中圆的标准方程教案文档

高中圆的标准方程教案文档一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆的定义及相关概念；（2）掌握圆的标准方程及其推导过程；（3）能够运用圆的标准方程解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）运用数学符号、图形等工具，表示圆的位置和大小；（3）培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的精神；（3）培养学生合作交流的能力。

二、教学内容1. 圆的定义及相关概念：（1）圆的定义；（2）圆心、半径、直径等概念；（3）圆的性质。

2. 圆的标准方程：（1）圆的标准方程的推导；（2）圆的标准方程的形式；（3）圆的标准方程的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆的定义及相关概念的理解；（2）圆的标准方程的推导和应用。

2. 教学难点：（1）圆的标准方程的推导过程；（2）圆的标准方程在实际问题中的应用。

四、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生主动探究；（2）运用分组讨论法，培养学生的合作能力；（3）采用案例分析法，让学生感受数学与生活的联系。

2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，直观展示圆的定义和性质；（2）运用几何画板，动态演示圆的标准方程的形成；（3）提供实际问题，引导学生运用圆的标准方程解决。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：点、线、角等；（2）引入圆的定义，引导学生观察生活中的圆；（3）提出问题：如何用数学语言表示圆的位置和大小？2. 探究圆的标准方程：（1）引导学生通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）讲解圆的标准方程的推导过程，引导学生理解并掌握；（3）让学生运用圆的标准方程，解决实际问题。

3. 巩固练习：（1）提供一些有关圆的标准方程的练习题，让学生独立完成；（2）组织学生进行小组讨论，共同解答练习题；（3）教师对学生的解答进行点评和指导。

人教高中数学必修二 4.1.1圆的标准方程(公开课教案)

《4.1.1 圆的标准方程》教案
授课时间：授课地点：授课教师：
一、教材分析:圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义.
二、教学目标：
1、知识与技能：①掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;反之，
会根据圆的标方程，求圆心和半径;
②会判断点和圆的位置关系;
③会用待定系数法和几何法求圆的标准方程;
2、过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思
想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问
题、发现问题和解决问题的能力.
3、情感态度和价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习
数学的热情和兴趣.
三、内容分析：
重点：圆的标准方程的求法及其应用
难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
四、教具学具的选择：多媒体、圆规、直尺、课件.
五、教学方法：采用“问题－探究”教学法.
六、教学过程：。

人教课标版高中数学必修2《圆的标准方程》教学设计

4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，掌握圆的定义，并根据此定义得出圆的标准方程.（二）学习目标掌握圆的定义及圆的标准方程，会利用条件求圆的标准方程.（三）学习重点利用各种条件求圆的标准方程.（四）学习难点根据圆的定义推导圆的标准方程以及求圆的标准方程.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：阅读教材第118页到119页，填空：确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径；圆心为点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2.预习自测（1）圆心在点(1,2)，半径为5的圆的标准方程为（）A.22(1)(2)5x y +++=B.22(1)(2)25x y +++=C.22(1)(2)5x y -+-=D.22(1)(2)25x y -+-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由条件知1,2,5a b r ===，代入标准方程得：22(1)(2)25x y -+-=【思路点拨】熟记圆的标准方程，明确各字母的具体含义.【答案】D（2）若点(15,)M a a +在圆22(1)26x y -+=上，则实数a =（）A.1B. 1±C.2D.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件，将点M 的坐标代入圆的方程得21a =，故1a =±【思路点拨】点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上⇔22200()()x a y b r -+-=；（2）点0M 在圆C 内⇔22200()()x a y b r -+-<；（3）点0M 在圆C 外⇔22200()()x a y b r -+->；【答案】B（3）已知点(1,1),(1,1)A B --，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（）A.221x y +=B. 22x y +=C. 222x y +=D. 224x y +=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由线段AB 为直径，所以圆心为(0,0)，半径12r AB ==圆的标准方程为222x y +=【思路点拨】求圆的标准方程就是要找出圆心坐标和半径.【答案】C（二）课堂设计1.知识回顾：（1）在直角坐标平面中确定一条直线的方法有哪些？两点可以确定一条直线；一点和倾斜角可以确定一条直线；横、纵截距可以确定一条直线等等. （2）直角坐标平面中两点间的距离公式：设点1122(,)(,)A x y B x y 、，则这两点间的距离AB =2.问题探究探究一圆的定义•活动① 在直角坐标平面中，如何确定一个圆？显然，当圆心位置和半径大小确定后，这个圆也就唯一确定了.因此，确定一个圆的最基本的要素就是圆心和半径.【设计意图】通过和直线的类比，引导学生分析出圆的基本要素，为后面圆的定义打基础.•活动② 当圆心位置C 和半径r 的大小确定后，如何定义一个圆？平面上到定点C 的距离等于半径r 的点M 的集合，叫做以C 为圆心，为半r 径的圆.【设计意图】从理性分析到感性认识，得出圆的定义.探究二圆的标准方程•活动① 如果圆心C 的坐标为(a,b )，半径大小为r ，那么圆的方程是什么？设圆上任意一点M (x,y )，则M 到圆心C 的距离等于半径r ，圆心为C 的集合就是{}P M MC r ==，由两点间的距离公式，点M 适合的条件可以表示为22()()x a y b r -+-=两边平方，得：222()()x a y b r -+-=……………………⑴ 若点M (x,y )在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程(1)；反之，若点M (x,y )的坐标适合方程(1)，这说明点M 到圆心C 的距离等于半径r ，即点M 在圆心为C 的圆上.我们就把方程(1)称为圆心为C (a,b )，半径为r 的圆的标准方程.【设计意图】利用两点间的距离公式和圆的定义推导出圆的标准方程，实现从几何到代数的转化.探究三点和圆的位置关系•活动① 由探究二我们知道，如果点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=上，则满足22200()()x a y b r -+-=.那么点000(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=内又要满足什么条件呢？在圆222()()x a y b r -+-=外呢？点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=；（2）点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<；（3）点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->；【设计意图】掌握点与圆的位置关系和刻化方法.巩固基础，检查反馈例1. 圆22(2)(3)2x y ++-=的圆心坐标和半径分别为（）A. (2,3),-B. (2,3),2-C. (2,3),-D. (2,3),2-【知识点】圆的圆心坐标和半径.【解题过程】由圆的标准方程可知圆心坐标为(2,3)-，半径r =【思路点拨】比较该方程与圆的标准方程即可.【答案】A同类训练圆22(1)(2)5x y -++=的圆心到直线y x =的距离为（）A. B. C. D. 5 【知识点】由圆的方程得圆的圆心坐标以及点到直线距离公式的使用.【解题过程】由圆的方程可知该圆的圆心为(1,2)-，由点到直线的距离公式得所.【思路点拨】比较方程和圆的标准方程得出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式即可求解.【答案】C例2.已知点A (0,-1)，B (2,1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（）A.22(1)1x y -+=B.221)1x y ++=（C.221)2x y -+=（D.22(1)2x y ++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】因为线段AB 为直径，所以圆心坐标为(1,0)，半径12r AB ==所以圆的方程为221)2x y -+=（【思路点拨】找圆心坐标和半径大小是求得方程的关键.【答案】C同类训练圆心在直线:230l x y --=上，且过点(5,2)(3,2)A B -和的圆的标准方程为（）A.22(2)(1)10x y -+-=B.22(2)(1)x y -+-=C.22(2)(1)10x y +++=D. 22(2)(1)x y +++=【知识点】求出圆心坐标和半径，进而写出圆的标准方程.【解题过程】∵圆过点(5,2)(3,2)A B -和，所以圆心必在线段AB 的垂直平分线上，即在直线:24l x y '+=上. 由条件圆心必为l 与l '的交点，所以由23022401x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以圆心为(2,1)C ，半径r AC ==，所以所求圆的方程为22(2)(1)10x y -+-=【思路点拨】如果圆过两个点，那么圆心一定在过这两点的弦的中垂线上.【答案】A强化提升、灵活应用例3、已知圆与x 轴相切，圆心在直线y =2x 上，且被直线x +y -3=0平分周长，求该圆的标准方程.【知识点】由条件确定圆心坐标和半径大小，进而确定圆的方程.【解题过程】∵圆被直线平分周长，∴圆心必在直线x +y -3=0上，所以由条件可知圆心为直线y =2x 和x +y -3=0的交点，即圆心C (1,2)；又圆与x 轴相切，所以半径即为圆心纵坐标，即r =2，故圆的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=【思路点拨】直线平分圆周长，则圆心必在该直线上.【答案】22(1)(2)4x y -+-=例4. 已知点1)A 在圆22()(1)15x m y m ++-=-的外部，则实数m 的取值范围是( )A.32m -<<-B.23m <<C.32m m <->-或D.1325m m <--<<或【知识点】圆的标准方程以及点与圆的位置关系. 【解题过程】条件等价于2150715m m m->⎧⎨+>-⎩，解得：1325m m <--<<或【思路点拨】要注意圆的标准方程中等号后面是半径的平方（容易遗漏）【答案】D同类练习已知过点(1,2)A 的直线始终与圆222()()2C x a y a a -++=：相交，则实数a 的取值范围是___________.【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】条件等价于点A 在圆C 的内部，所以有222(1)(2)2a a a -++<，解得52a -≤ 【思路点拨】过定点的直线始终与圆相交等价于定点必在圆内部. 【答案】52a -≤ 3.课堂总结知识梳理（1）确定圆的基本要素是圆心和半径；（2）圆心为C (a,b )，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= （3）点000(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=的位置关系：点0M 在圆C 上22200()()x a y b r ⇔-+-=；点0M 在圆C 内22200()()x a y b r ⇔-+-<；点0M 在圆C 外22200()()x a y b r ⇔-+->重难点归纳（1）圆的标准方程的推导思想和过程；（2）在各种条件下会求圆的圆心坐标和半径大小，进而求出圆的方程.（三）课后作业基础性自主突破1.经过点(5,1)P ，圆心为(8,3)C -的圆的方程为（）A.22(8)(3)25x y +++=B.22(8)(3)25x y -++=C.22(8)(3)25x y -+-=D.22(8)(3)25x y ++-=【知识点】圆的标准方程【解题过程】有条件知，圆的半径为5r PC ==，所以圆的方程为22(8)(3)25x y -++=【思路点拨】圆上一点到圆心的距离即为半径.【答案】B2.已知圆22(1)(2)5x y -++=，则点(1,0)M 与该圆的位置关系是（）A.M 在圆内B. M 在圆上C. M 在圆外D.以上都不对【知识点】点和圆的位置关系.【解题过程】由于22(11)(02)45-++=<，所以M 在圆内.【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】A3.圆22(3)(2)5x y -+-=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（）A.22(3)(2)5x y -+-=B.22(3)(2)5x y ++-=C.22(3)(2)5x y +++=D.22(3)(2)5x y -++=【知识点】圆关于点的对称圆.【解题过程】圆22(3)(2)5x y -+-=的圆心(3,2)关于原点(0,0)的对称点(3,2)--即为所求圆的圆心，半径保持不变任为，故所求圆的方程为22(3)(2)5x y +++=【思路点拨】圆关于点的对称圆只是圆心对称，半径不变.【答案】C4.已知点(51,12)A a a +在圆22(1)1x y -+=的内部，则（） A.1a < B.113a < C.15a < D. 113a < 【知识点】点与圆的位置关系【解题过程】由点与圆的位置关系可知221(5)(12)113a a a +<⇒< 【思路点拨】点和圆的位置关系由点到圆心的距离和半径的关系决定.【答案】D5.已知圆C 的圆心在直线270x y --=上，且圆C 与y 轴交于两点(04)(02)A B --，、，，则圆C 的标准方程为（）A.22(2)(3)5x y -++=B.22(2)(3)25x y -++=C.22(3)(2)5x y ++-=D.22(3)(2)25x y ++-=【知识点】圆的标准方程【解题过程】∵线段AB 为圆的弦，∴圆心C 在线段AB 的中垂线3y =-上，又圆心C 在直线270x y --=上，∴圆心为(2,3)C -，半径r AC ==，∴圆C 的标准方程为22(2)(3)5x y -++=【思路点拨】求圆的方程就是想办法确定圆心坐标和半径大小.【答案】A6.已知ABC ∆的三个顶点分别为(05),(12),(34)A B C ---，，，，则ABC ∆的外接圆的方程为（）A.22(3)(1)25x y -++=B.22(3)(1)5x y -++=C.22(3)(1)25x y ++-=D.22(3)(1)5x y ++-=【知识点】线段的垂直平分线和圆的标准方程.【解题过程】∵线段AB BC 、为所求圆的两条弦，∴圆心在AB BC 、的垂直平分线的交点，即在直线7100x y -+=和250x y ++=的交点(3,1)M -，半径5r AM ==，所以所求圆的方程为22(3)(1)25x y ++-=【思路点拨】圆的圆心必在弦的垂直平分线上.【答案】C能力型师生共研7.与圆22(2)(3)16x y -++=有相同的圆心，且过点(11)P -，的圆的标准方程为（）A.22(2)(3)25x y ++-=B.22(2)(3)25x y -++=C.22(2)(3)16x y ++-=D.22(2)(3)16x y -++=【知识点】同心圆问题.【解题过程】由条件知所求圆的圆心为(2,3)C -，半径为5r PC ==另解：由条件设圆的方程为222(2)(3)x y r -++=，将点(11)P -，代入可求得225r = 【思路点拨】同心圆问题可以直接找圆心和半径求解，也可以用同心圆系方程222(2)(3)x y r -++=解决.【答案】B8.圆22:(3)(1)10M x y -++=关于直线20x y -=的对称圆的方程为（）A.22(1)(3)10x y -+-=B.22(1)(3)x y -+-=C.22(1)(3)10x y -++=D.22(1)(3)x y -++=【知识点】圆关于直线的对称圆问题.【解题过程】设对称圆的圆心为(,)a b ，则由条件有31201221323a b a b b a +-⎧-=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪-⎩，【思路点拨】圆关于直线的对称圆，只需将圆心对称，半径不变.【答案】A探究型多维突破9.已知圆C 过点(12)P ，和(23)Q -，，且圆C 在两坐标轴上的截得的弦长相等，则圆C 的方程为（）A.22(1)(1)5x y ++-=B.22(2)(2)25x y +++=C.22(1)(1)5x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=D.22(1)(1)25x y ++-=或22(2)(2)25x y +++=【知识点】圆的标准方程和弦长问题.【解题过程】如图，由于截得的弦长相等，即AD EG =，所以它们的一半也相等，即AB GF =，又AC GC =，所以直角ABC GFC ∆∆≌，BC FC =∴，设圆心(,)C a b ，则a b =……①，又圆心(,)C a b 在线段PQ 的垂直平分线34y x =+上，所以34b a =+……②，联立①②解得：11a b =-⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩，半径r =或5.【思路点拨】根据几何关系，用待定系数法求圆心坐标是关键.【答案】C10.已知四点(20),(100),(113),(61)M N P Q ，，，，，那么这四点共圆吗？如果共圆，求出圆的方程；如果不共圆，说明理由.【知识点】圆的方程和点共圆问题.【解题过程】设MNP ∆的外接圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，把点,,M N P 的坐标代入得到：222222222(2)()6(10)()3(11)(3)5a b r a a b r b a b r r ⎧-+-==⎧⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-+-==⎩⎩，即外接圆为22(6)(3)25x y -+-=，将(6,1)Q 代入圆的方程得22(66)(13)425-+-=≠，即点Q 不在圆上，故,,,M N P Q 四点不共圆.【思路点拨】多点共圆问题可以先求三点所共的圆的方程，在用点与圆的位置关系判断其他的点在不在圆上.【答案】不共圆自助餐1.已知点(32),(54)A B --，，，则以线段AB 为直径的圆的方程为（） A.22(1)(1)25x y -++= B.22(1)(1)25x y ++-=C.22(1)(1)100x y -++=D.22(1)(1)100x y ++-=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】由于线段AB 为直径，所以圆心为(32),(54)A B --，，的中点即(1,1)-，半径152r AB ==，所以圆的方程为22(1)(1)25x y ++-= 【思路点拨】【答案】B2.过点(11),(11)A B --，，，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为（） A.22(3)(1)4x y -++= B.22(3)(1)4x y ++-=C.22(1)(1)4x y -+-=D.22(1)(1)4x y +++=【知识点】圆的标准方程.【解题过程】线段AB 的垂直平分线y x =与直线20x y +-=的交点(1,1)M 即为所求圆的圆心，半径2r AM ==，所以圆的方程为22(1)(1)4x y -+-=【思路点拨】圆的弦的垂直平分线必过圆心.【答案】C3.若点(2,2)在圆22()()16x a y a ++-=的内部，则实数a 的取值范围是（）A.22a -<<B. 02a <<C. 2a <-或2a >D.2a =±【知识点】点与圆的位置关系.【解题过程】由条件有22(2)(2)1622a a a ++-<⇒-<<【思路点拨】点在圆内即点到圆心的距离小于半径.【答案】A4.已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（）A.22(2)(2)1x y ++-=B.22(2)(2)1x y -++=C.22(2)(2)1x y +++=D.22(2)(2)1x y -+-=【知识点】圆关于直线的对称圆.【解题过程】设圆2C 的圆心为(,)a b ，则依题意有11102221211a b a b b a -+⎧--=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=-⎩⎪=-⎪+⎩，对称圆的半径保持不变任为1，故圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=【思路点拨】圆关于直线的对称圆，即为圆心的对称，半径不变.【答案】B5.设点(00),(11),(42)A B C ，，，，若线段AD 为ABC ∆外接圆的直径，则点D 的坐标为（）A.(8,6)-B. (8,6)-C. (4,6)-D. (4,3)-【知识点】圆的标准方程和点与圆的位置关系.【数学思想】【解题过程】线段AB 的垂直平分线10x y +-=与线段AC 的垂直平分线250x y +-=的交点即为圆心(4,3)-，直径为10，易得点D 的坐标为(8,6)-【思路点拨】圆的弦的垂直平分线一定过圆心.【答案】B6.若圆22()()8x a y a -+-=，则实数a 的取值范围是（）A.(3,1)(1,3)--B.(3,3)-C. [1,1]-D. (3,1][1,3)--【知识点】圆的定义.【解题过程】若0a ≥，由条件可知圆上距原点最近点d <，最远点d <<，∴最近点(2,2)a a --，最远点(2,2)a a ++，<，<<，解得13a <<；同理当0a <时有31a -<<-【思路点拨】根据圆的定义把存在为题转化为距离问题.【答案】A。

高中数学必修2《圆的标准方程》教案共5页

【教案设计】课题：《圆的标准方程》教材：普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修2 §4.1.1一、教学目标：(1) 知识目标：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据不同条件写出圆的标准方程；③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.(2) 能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；③增强学生用数学的意识.(3) 情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.三、教学方法与手段1.教学方法采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入.2.教学手段多媒体课件进行辅助教学.四、教学过程整个教学过程是由八个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申（一）创设情境——启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？通过对这个实际问题的探究，根据半圆的对称性建立平面直角坐标系,构建数学模型.把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程求D点的纵坐标来解决．同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题．【设计意图】用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.（二）深入探究——获得新知问题二 1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？a b，半径为时圆的方程又如何呢？2．如果圆心为(,)这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，由勾股定理得到圆心在原点、半径为4的圆的标准方程2224x y +=后，引导学生归纳出圆心在原点、半径为r 的圆的标准方程222x y r +=.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、勾股定理法、图形变换法.坐标法：引导学生根据圆的定义，圆上的点到圆心的距离等于常数,即两点距离公式推导圆心不在原点的标准方程.推导过程：圆是这样一些点的集合P=｛M|︱MC ︱=r ｝已知圆心Ｃ(,)a b 半径r根据两点间的距离公式，圆上任意一点M 的坐标（x, y ）满足的关系式()()22x a y b r -+-=化简，得到圆的标准方程 ()()222x a y b r -+-=图形变换法:借助多媒体的演示,让学生体会平移的过程，让学生了解利用图像平移的知识也可推导圆心不在坐标原点的标准方程.得出圆的标准方程后,我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节..（三）应用举例——巩固提高I ．直接应用内化新知问题三 1．写出下列各圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为3；（2）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,3).2．写出圆22(2)36x y ++=的圆心坐标和半径.我设计了两个比较简单的小问题，可以安排学生口答完成.【设计意图】目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为形成待定系数法求圆的标准方程打下基础,并为后续探究圆的切线问题作准备.II ．灵活应用提升能力问题四求过原点O 和点P(1,1)，且圆心在直线l:2310x y ++=上的圆的标准方程.设计这一题难度明显增大，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆. 教学中应该突出对问题的分析过程，在分析过程中，要强调图形在分析问题中的辅助作用，引导学生根据题意画出图形.根据确定圆的要素-----圆心位置和半径长,借助图形,结合题设条件可以发现关键是找出圆心位置.圆心位置一旦确定,就可以利用距离公y x O P ． l l ′ OP ⊥ l ′式确定半径大小,从而求出圆的标准方程.让学生自主探究出圆心位置，最后可得出：直线l 与线段OP 垂直平分线l ＇的交点即为圆心位置.解题过程：∵O （0，0），P （1，1）∴线段OP 的中点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭直线OP 的斜率10110op k -==- 因此线段OP 的垂直平分线 l ′的方程是111022y x x y ⎛⎫-=--+-= ⎪⎝⎭即 102310x y x y +-=++= 的解圆心C 的坐标是方程组 43x y ==- 所以圆心C 的坐标是(4,3)- 解此方程组，得圆Ｃ的半径 ()()2240305r OC ==-+--= 所求圆的标准方程是()()224325x y -++=【设计意图】有利于培养学生逻辑思维能力和加深对数形结合思想的理解,提高分析问题、解决问题的能力，养成良好的解题习惯,并且对数学思维的严谨性具有良好的效果.再一次为学生的发散思维创设了空间,又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮. III ．实际应用回归自然问题五如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m ，拱高OP=4m ，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01m ）.由于圆拱是圆的一段弧,引导学生根据对称性建立直角坐标系,构建数学模型,再应用待定系数法求出圆的三个参数a 、b 、r ,继而确定圆的方程,从而求出点2P 的纵坐标.要想求出22A P 的长度,还要求出O 点的纵坐标.这样问题就会迎刃而解.但为使求解过程简单,圆心最好设在坐标原点.解题过程: 由题意建立直角坐标系,设圆心C 在坐标原点,如图所示设圆的半径为r 即CA=r由已知得AO=10，CO=r-OP=r-42P 点的横坐标为-2，代入圆C 方程可得2P 点纵坐标为14.36∵CO=14.5-4=10.5 即2A 点的纵坐标为10.5∴ 22A P =14.36-10.5=3.86 所以,支柱22A P 的长度大约为3.86米.【设计意图】问题五同时与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生数学建模的习惯和用数学的意识.在教学中,我力求从生活走进数学，使数学回归生活.（四）反馈训练——形成方法问题六求以点C(1 ,3)为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的标准方程.【设计意图】接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计一个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地,一个展示自己的舞台.让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.（五）小结反思——拓展引申1．课堂小结问题七通过本节的学习，你学到了哪些内容？最大的体验是什么？掌握了哪些学习数学的方法？【设计意图】为了发挥学生的主体作用,通过三个小问题让学生从知识、方法、体验三方面,自己对圆的标准方程的形式加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法.2．分层作业（A ）巩固型作业：教材P120：练习1.（B ）思维拓展型作业：已知圆的方程为2225x y +=，求过圆上一点A(4,-3)的切线方程.3．激发新疑问题八 1．把圆的标准方程展开后是什么形式？2．方程2268200x y x y +-++=表示什么图形？【设计意图】在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.(六)板书设计【设计意图】遵循简洁、明显,突出重点的设计意图,板书演示如下: 五、教学反思在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合.灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标.这堂课展示了一个完整的数学探究过程，提出问题、自主探究，让学生经历了知问题二问题四投影区yx O P． ll ′ 4.1.1圆的标准方程识再发现的过程，促进了个性化学习.在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识圆及现实意义，这对接受和理解圆的方程大有裨益！【教案说明】（一）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心.最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题——问题五.这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破.（二）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的.另外，我重点设计了两次思维发散点，分别是问题二和问题四，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动，高效的完成本节的学习任务.（三）培养思维提升能力激励创新为了培养学生的理性思维，我在问题一中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，分层次探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神.本节是一个“动眼观察，动脑思考，动手做题，共同提高”的动态生成过程.对生成性课堂的突出事件,因势利导,随机应变,适当调整教学环节；同时,教学反应性评价与反馈性评价相结合,促进学生的自我评价,勇于贯彻“成功教育，一贯教育”的理念，把握评价时机、评价主体和形式的多样化，从而结合课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态.。

人教版高中必修2《圆的方程》教学设计

人教版高中必修2《圆的方程》教学设计《人教版高中必修2《圆的方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教材分析1.教学内容普通高中课程标准实验教科书《数学》必修2第二章平面解析几何初步中2﹒2节圆与方程。

本节主要研究圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，以及他们在生活中的简单运用。

2.教材的地位与作用圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论为后继学习作好准备。

同时有关圆的问题，特别是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

应此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的知识和方法。

初中教材中对圆的内容降低最低要求。

本课是单元的第一课，和直线方程一样，教学中先设计一个问题情景，让学生讨论，并引导学生观察圆上点在运动时，不变的是什么，抓住圆的本质，突破难点。

3.三维目标(1)知识与技能A.掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B.会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

4.教学重点圆的标准方程及运用5.教学难点求圆的标准方程的条件的确定。

二.教法分析高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力。

所以在设计问题时应考虑周全和灵活性，采用启发式探索式教学，师生共同探讨，共同研究，让学生积极思考，主动学习。

在教学过程中采用讨论法，向学生提供具备启发式和思考性的问题。

因此，要求学生在课上讨论，提高学生的探索，推理，想象，分析和总结归纳等方面的能力。

三.学法分析从高考发展的趋势看，高考越来重视学生的分析问题解决问题的能力。

因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想，数形结合的思想，选择最佳方案加以解决“瞎撞，乱撞”的不良思想。

人教版高中数学必修二《圆的标准方程》教案

教案说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。

一、设计理念设计的根本出发点是促进学生的发展。

教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。

二、设计思路（1）突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路。

在例题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成。

（2）学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终。

从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的。

另外，我在例题2的教学，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动并走向成功，他们体验到成功的快乐，感受到数学的魅力。

在一个个问题的驱动下，高效的完成本节的学习任务。

三、媒体设计本节采用powerpoint媒体，知识容量大，同时又有图形。

为了在短时间内完成教学内容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，节省时间。

同时动态演示图形，刺激学生的感官，引起更强的注意，提高课堂教学效率。

4.1.1圆的标准方程教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学（必修2）第四章第一节一、教学目标1、知识目标（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

人教版高中数学2.4.1圆的标准方程教学案

2.4.1圆的标准方程
一、学习目标：1会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.
2.能根据所给条件求圆的标准方程.
3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.
学习重点：圆的标准方程，点与圆的位置关系
学习难点：圆的标准方程，点与圆的位置关系
二、导学指导与检测
【A 层】
1、求圆心在直线032=--y x 上,且过点)52()32(---，，，B A 的圆的标准方程.
【B 层】
2、若点(1,1)在圆4)()22=++-a y a x C ：（的内部,求a 的取值范围.
【C 层】
3、已知AOB ∆的顶点坐标分别是)0,0()3,0()0,4(O B A ，，，求AOB ∆外接圆的方程.
闯关题：设定点)4,3(-M ，动点N 在圆422=+y x 上运动，以ON OM ，为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.。

人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计

人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计教学目标1.掌握圆的标准方程的概念及其应用。

2.能够通过已知圆心坐标和半径求解圆的标准方程。

3.能够利用圆的标准方程解决实际问题。

教学重点1.圆心坐标及半径的概念。

2.圆的标准方程的推导及应用。

3.实际问题的解决。

教学难点1.圆的标准方程的推导。

2.实际问题的解决。

教学准备1.教学PPT。

2.教案。

3.圆板、圆规、直尺等几何工具。

4.笔、纸等文具。

教学步骤步骤一：引入通过PPT展示圆的图片及其应用场景，引出本次授课的主题：圆的标准方程。

让学生了解圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。

步骤二：概念讲解1.通过PPT讲解圆心的概念，引导学生认识圆心在圆上的位置关系，并在黑板上画出圆心的示意图。

2.通过PPT讲解半径的概念，引导学生从几何角度认识“半径”这个概念，并在黑板上画出半径的示意图。

3.通过PPT介绍圆的标准方程的概念及应用场景，引导学生了解这一概念与几何学中圆的相关问题的解决有着密切的联系。

步骤三：标准方程的推导1.通过PPT讲解圆的标准方程的定义，即：以圆心为原点，半径为r的圆所对应的点的坐标满足x^2 + y^2 = r^2，引导学生根据定义推导出圆的标准方程的数学表达式。

2.在黑板上进行推导，让学生理解标准方程的求解过程。

步骤四：标准方程的应用1.引导学生使用标准方程求解已知圆心坐标和半径的圆的方程。

2.调动学生的学科知识，结合相关实例进行讲解，让学生感知标准方程在解决实际问题中的应用。

3.引导学生掌握使用标准方程解决实际问题的基本方法和技巧，以及提高学生对几何思维的理解和应用能力。

教学方法1.让学生主动参与课堂讨论，边讲解边呈现相关习题和实际问题的解决方案。

2.引导学生多思考、多探究，开展适当形式的小组活动，提高学生的动手实践能力。

3.针对学生的不同程度，采取灵活多样的教学方法，如“三人小组集训法”，“错题集法”，“比赛法”等等，使每位学生都能够有效参与课堂，并在圆的标准方程学习过程中有所收获。

人教版高中数学教案圆的标准方程

人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。

2. 学会运用圆的标准方程解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 圆的标准方程的概念和意义。

2. 运用圆的标准方程解决实际问题。

教学难点：1. 圆的标准方程的推导和理解。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入圆的概念，复习已学过的圆的性质。

2. 提问：我们已经学过圆的方程了，圆的方程有哪些形式呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解圆的标准方程的概念和意义。

2. 通过示例展示圆的标准方程的推导过程。

3. 解释圆的标准方程中的各个符号的含义。

三、例题解析（10分钟）1. 给出一个实际的例题，让学生尝试运用圆的标准方程解决。

2. 引导学生思考并解答例题，解释解题思路和方法。

四、课堂练习（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生独立完成。

2. 引导学生运用圆的标准方程解决实际问题。

2. 让学生反思自己在解题过程中的优点和不足，提出问题并讨论解决方法。

教学延伸：1. 进一步学习圆的方程的其他形式。

2. 探索圆的方程在实际问题中的应用。

教学反思：六、课堂互动（10分钟）1. 教师提出问题：“圆的标准方程能否表示所有的圆？”引导学生进行思考和讨论。

2. 学生分组进行讨论，分享各自观点和理由。

七、拓展学习（10分钟）1. 教师介绍圆的一般方程，即圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²的形式。

2. 学生跟随教师一起推导一般方程，理解其中各个参数的含义。

3. 教师给出一些例子，让学生运用一般方程解决圆的相关问题。

八、练习与巩固（10分钟）1. 学生独立完成一些关于圆的标准方程的练习题，巩固所学知识。

2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出其中的错误和不足之处，并进行讲解。

九、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学的圆的标准方程的概念、推导过程和应用。

人教版高中必修2圆的标准方程教学设计

人教版高中必修2圆的标准方程教学设计《人教版高中必修2圆的标准方程教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学目标知识和能力1.学会圆的标准方程的推导方法。

2.掌握圆的标准方程并掌握其求法。

3.掌握点与圆的位置关系的判定方法。

过程和方法1.通过五个问题，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳整理知识的能力。

2.通过电脑演示，引导学生探究、分析图形的几何特征，再用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何的问题转化为代数问题，体现数形结合的数学思想。

3.通过具体情景，使学生逐步形成在坐标系下用坐标法解几何问题的能力，掌握自主学习的方法和形成合作学习的习惯。

情感态度和价值观1.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。

2.培养学生勇于探索、坚韧不拔的意志品质。

二、教学重点难点重点：圆的标准方程的推导。

难点：圆的标准方程的求法。

三、教学对象分析圆是学生比较熟悉的曲线。

在初中几何课中已经学习过圆的性质，这里只是用解析法研究它的方程与其它图形的位置关系及一些应用。

对此，教师可在课堂上通过各种教学方法，帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

四、教学内容分析本节内容首先研究圆的标准方程的特点，和怎样根据不同条件建立圆的标准方程。

由于圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定a、b、r，可以根据条件利用待定系数法解决。

还可通过分析图形的几何特征寻找圆心和半径，从而获得圆的标准方程。

点与圆的位置关系可通过点与圆心的距离判定。

以上的方法应尽可能在老师的启发引导下，由学生自己比较、归纳得到。

圆的标准方程教案

圆的标准方程教案【篇一：《圆的标准方程》教学设计】《圆的标准方程》教学设计（教师用）成都市洛带中学刘德军一、教材分析学习了“曲线与方程”之后，作为一般曲线典型例子，安排了本节的“圆的方程”。

圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。

二、学情分析学生在初中的学习中已初步了解了圆的有关知识，本节将在上章学习了曲线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

三、教学目标(一)知识与技能目标（1）会推导圆的标准方程。

（2）能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径。

（3）掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程。

(二)过程与方法目标（1）体会数形结合思想，初步形成代数方法处理几何问题能力。

（2）能根据不同的条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

(三)情感与态度目标圆是基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；圆在生活中很常见，通过圆的标准方程，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．四、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

2、难点：圆的标准方程的应用。

3、解决办法：充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

五、教学过程首先通过课件展示生活中的圆，那么我们今天从另一个角度来研究圆。

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4.1.1圆的标准方程
教学目标：
(1)掌握圆的标准方程，会由标准方程得出圆心与半径，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．
(2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程．
(3)培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，
(4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美．教学重点：圆的标准方程的得出与应用．
教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程
教学方法: 启发、引导、讨论．
教学过程：
一、新课引入
1.引入语：
通过上一章的学习，我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示，称此方程为直线的方程。

从而，通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。

事实上，这种方法是解析几何解决问题的基本方法，我们还可以采用它研究其他的一些平面图形，比如：圆。

在直角坐标系中，两点确定一条直线，或者一点和倾斜角也能确定一条直线。

圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
（圆心，半径。

圆心决定位置，半径决定大小）
那么我们能否在圆心与半径确定的条件下，找到一个方程与圆对应呢？这就是我们这节课的主要任务。

（书写标题）
回顾直线方程得出的过程：在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式，通过验证，称此方程为直线的方程。

类似的，我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。

二、讲授新课
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r ）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点，
那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条
件r =①
引导学生自己
证明r =为圆的方程，得出结论．
1.若点),(00y x M 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程①．
2.若),(00y x 是方程①的一组解，则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．
故方
程r =为圆的一个方程。

方程①可等价变为：222()()x a y b r -+-= ② 方程②形式较①式更为和谐美观。

方程②也是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程．
特别地,若圆心为O （0，0），则圆的标准方程为：222r y x =+ 练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径
(1)、422=+y x (2)、1)1(22=+-y x
练习2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3； 922=+y x
（2）、圆心在(-3、4),半径为5 5)4()3(22=+++y x
三、例题解析
例1 已知两点A(4,9)、B(6,3)，求以AB 为直径的圆的方程分析：可以从计算圆心与半径．
解：解:圆心C （5，6）半径r=10
所求的圆的标准方程是10)6()5(22=-+-y x
把点)7,8(1M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边相等，点1M 的坐标适合圆的方程，所以点1M 在这个圆上；把点)5,3(2M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ，左右两边不相等，点2M 的坐标不适合圆的方
程，所以点2M 不在这个圆上．
是否在这个圆上？并判断点
)5,3(),7,8(21M M
探究：点00(,)M x y 在圆222()()x a y b r -+-=的内部的条件是什么？在
圆的外部呢？
点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系的判断方法：
（1）22200()()x a y b r -+->，点在圆外
（2）22200()()x a y b r -+-=，点在圆上
（3）22200()()x a y b r -+-<，点在圆内
练习3.已知圆O 的标准方程为4)2()1(22=-+-y x 判断A(0,3); B(-3,2);C(2,1)与圆O 的位置关系。

(A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外)
例2：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --,求它的外接圆的方程．
分析：外接圆过三角形的三个顶点，从圆的方程222
()()x a y b r -+-=可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数．
解：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-=． ①
因为(5,1),(7,3),(2,8A B C --都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是
解此方程组，得a=2, b=-3, r=5
所以ABC ∆的外接圆的方程是 22(2)(3)25x y -++=．
解法二：分析：圆心为弦AB 的中垂线与弦AC 的中垂线的交点。

半径为圆心到A,B,C 三点中任一点的距离
设外接圆圆心为O,半径为r
弦AB 的中点为（6,1），所在直线的斜率为：-2
则，弦AB 的中垂线方程为：)6(211-=
-x y 即082=--y x 弦AB 的中点为（2
7,27-），所在直线的斜率为：3
则，弦AB 的中垂线方程为：)2
7(3127--=+x y 即01462=++y x 联立⎩⎨⎧=++=--01462082y x y x 解得⎩
⎨⎧-==32y x 则，外接圆圆心坐标为（2，-3）半径r=|OA|=5
所以ABC ∆的外接圆圆O 的方程是 22(2)(3)25x y -++=．
练习4、已知△ABO 的顶点坐标分别为A(8,0);B(0,6);O(0,0),求△ABO 外接圆的方程.
25)3()4(22=-+-y x
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2的两种解法，可得出圆的标准方程的两种求法：
①待定系数法：根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、r 得值，写出圆的标准方程．
②数形结合法：确定圆的要素，圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
四、课堂小结
(1)、牢记: 圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=。

(2)、明确：三个条件a 、b 、r 确定一个圆。

(3)、方法：①待定系数法
②数形结合法
五、课后作业
P120,练习1,2,3,4 P124习题1，2，3。