基于二维各向同性和各向异性弹性材料的本征方程

基于二维各向同性和各向异性弹性材料的本征方程以及位移和界面端附近的奇异应力场的奇异点附近的渐近场任意各向异性材料各向异性/各向同性双向楔角，材料，制定明确的。

发达国家的做法的好处是本征方程，不仅是直接给出了一个简单的形式，而且特征向量将不再需要接口边缘附近的渐近领域的决心。

这种做法不断表示特征方程的矩阵的行列式，特征向量所需为渐近领域的决心，从已知的方法不同。

因此，本文提出的解决方案是更加方便和有效各向异性/各向同性双材料界面边缘附近的奇异应力分析。

为了证明所提出的公式的有效性，例如分析和有限元计算结果进行比较选择。

根据理论分析，楔角和界面边缘附近的奇异应力各向异性材料的材料常数的影响，发现清楚。

得到的结果可能会给一些，如结构修理或加强某些工程设计参考。

A，B，C后式定义。

（3）AIJ，bij定义了后式。

（16）C11，C12，C22，C66正交各向异性材料的弹性参数DIJ（I，J= 1，2）后式的定义。

（17A）和（17B）frij（θ），fθij（θ），frθij（θ）（I =1，2，J = 1，2，3）式中定义。

（9A）（9B），（9C），（9D），（9E），（9F），（9G），（9H）（9I）ŕ径向坐标S1，S2的方程根。

（3）UR，uθ参考极坐标系统的位移分量直角坐标X，Yaij，bij，CIJ（I，J= 1，2）待定系数C1，C2，公式定义后。

（23A）和（466）é各向同性材料的杨氏模量EII（I =1，2，3）的正交各向异性材料的弹性模量角函数定义式。

（24A），（24B），（25A），（25B）（25C），（26A），（26B），（27A），（27B）（27C）GIJ（θ），（I，J= 1，2）式中定义。

（7A）及（7B）G12的各向异性材料的剪切模量K时，K1，K2的界面边缘应力强度因子α楔角（见图1）α1，α2定义式。

（6）θ切线坐标θ1，θ2定义式。

（8）κ表示平面应变4ν3 - （3 - ν）/（1ν）为平面应力λ，λ1，λ2的应力奇异性的特征值各向同性材料的剪切模量μ的各向同性材料的泊松比νν12，ν13，ν23泊松比各向异性材料σR，σθ，τrθ参考的极坐标系的应力分量1。

介绍在受到机械和/或热负荷的保税结构，接口边缘，由于存在应力奇异有最失败发起。

从威廉姆斯（1952）开发板在角落的应力奇异性的开创性工作，许多研究人员研究在保税各向同性双材料和各向异性的界面边缘应力奇异性。

为各向同性双材料，Mellin变换方法和Airy应力函数的变量分离以前用于研究（[妖怪，1971]，[Dempsey和辛克莱，1981]和[海恩和埃尔多安，在界面边缘应力强度1971年]），其中的各种条件以及边界和接口的几何形状和材料的组合被认为是推断其特征方程。

随后，Muskhelishvili复杂的潜力（Muskhelishvili，1953年），计算奇异应力场附近的一个接口边缘（陈Nisitani，1992年）。

最近，黄和Leissa（2008年）已经扩大了他们以前的工作（黄和Leissa，2007年）发展的特征方程和界面边缘附近的双材料自由边界条件下，沿着边缘的身体是革命的渐近领域。

各向异性双向材料，用人首先考虑一个对称的孪生他们共同面对并在其边界牵引保税沿两个相同的各向异性楔楔组成的各向异性材料和Mellin变换，郭和妖怪（1974）复变函数表示为面孔。

，然后Delale（1984）讨论在保税各向异性材料应力奇异使用Lekhnitskii的制定和威廉姆斯的方法，并从12×12的12个未知数，即特征值的齐次方程系统的特征方程。

Stroh理论形式主义（[场Eshelby等人，1953年]和[Stroh说，1958年]）是一种各向异性问题的调查的有效工具。

采用这种形式主义的各向异性界面边缘附近的渐近解处理婷（1996）和林和宋（1998）表示，在3×3行列式通常是复杂的元素，其中获得本征方程。

最近，Labossiere 和邓恩，1999年]和[Labossiere和邓恩，2002]使用的Stroh理论形式主义和威廉姆斯的本征函数展开法计算各向异性双材料界面边缘附近的奇异的位移和应力场的组合，和路径独立研制的H-积分计算应力强度因子。

近年来，先进的各向异性或正交各向异性材料，如纤维增强塑料（玻璃钢）板或片，被广泛用于航空航天，汽车，桥梁结构，强化/修复效率。

然而，传统的材料，这是常用的各向同性，仍在使用中的大多数工程结构。

因此，它必然要考虑各向异性/各向同性或正交各向异性/双向各向同性材料，尤其是在这种双材料结构的界面边缘应力奇异保税结构。

由于各向同性材料的应力- 应变关系，可以很容易地从各向异性或各向异性的收购，各向同性材料的一些解决方案可能获得直接从各向异性的那些只能通过更换与各向同性各向异性常数。

因此，该解决方案之一，另一方面，由于这一事实Muskhelishvili复杂的潜力非常强大获得各向同性问题的解决方案和各向异性的Stroh理论形式主义，希望肯定Stroh理论形式主义可能沦为Muskhelishvili复杂的潜力，各向异性双材料可以很容易地使用为各向异性/各向同性双向的材料。

但Choi等。

（2003）指出，上述关系中的困难和建议各向同性弹性配方，可以在Stroh理论形式主义的各向异性弹性相同的形式构建，即扩大Stroh理论形式主义。

然后他们解决各种双向材料组合界面裂纹。

Stroh理论形式主义上述扩大使用，Shin等人，2004]和[Shin等人，2007年]获得的特征值和对应的特征向量的各向异性/各向同性双材料界面边缘，渐近应力场和位移场获得其后。

在上述研究中，虽然一些研究人员研究了各向异性/各向异性和各向异性/各向同性双材料界面边缘应力奇异性，特征值和特征向量有之前的界面边缘附近的渐近场计算确定。

因此，这些接口边缘附近的奇异应力场的完全明确的解决方案都没有被提出。

最近，一些学者采用位移函数的方法来研究界面边缘附近的渐近领域，位移和奇异应力场，都明确提出了相应的特征函数。

例如，通过使用两个位移函数，刘某等人的调和函数。

（1999年）获得了一个相当简单的形式各向同性弹性轴对称界面右下角附近的奇异的位移和应力场。

吴和刘（2008）最近，两个准谐函数作为位移函数，推导出二维各向异性材料奇异点附近的奇异应力场的位移，和渐近领域的在封闭的形式表达。

在本文中，我们将集中于明确解决方案的界面边缘附近的渐近领域的调查，与各向异性材料的任意正交各向异性/各向同性双向的材料，楔角。

渐近场，四个附近的未知系数在二维各向同性的奇异点（威廉姆斯，1952年）和各向异性材料（吴，刘，2008），对于这一点，首先介绍了在第2节。

根据接口边缘的边界和界面的连续性条件，一个简单的特征方程得到明确，所有的未知系数终于由任意选择常数表示，即应力强度因子。

作为上述程序的结果，界面边缘附近的位移和奇异应力场得到完全明确的表达。

虽然路径独立的H-积分，这是由许多作者（Labossiere和邓恩，1999年][Labossiere和邓恩，2002][Shin等人，2007年），是最有效的方法之一，我们这里用一个简单的和非常有效的数值方法，刘等人提出的。

（2008年），以测定应力强度因子。

按照这种方法，可以数值计算的应力奇异性，以及相关的应力强度因子的订单，同时采用奇异应力场有限元计算结果的渐近解。

因此，正确的理论特征值可以验证数值应力强度因子的测定方法。

第4节中，介绍了一个例子来证明本文得到的公式的有效性。

通过改变楔角和材料的各向异性材料常数，楔角和界面边缘附近的奇异应力各向异性材料的材料常数的影响，给出了在第5。

2。

在各向同性和各向异性材料奇异点附近的渐近领域为了获得各向异性/各向同性双材料界面边缘附近的奇异应力场，我们将采用二维各向同性和正交各向异性弹性材料中的奇异点附近的渐近领域。

设（R，θ）的极坐标系统在奇点为中心。

二维各向同性材料中的奇异点附近奇异的位移和应力场可以发现从威廉斯（1952年）如下：其中，λ（0<回复[λ]<1）是1待定特征值，μ和ν是的剪切模量和泊松比，分别为，κ= 3 - 4ν平面应变和（3 - ν）/（1+ν），平面应力和A1，A2，B1和B2是从边界和载荷条件决定的系数。

至于各向异性材料，让（R，θ）是极坐标系统在奇点为中心，方向沿各向异性原则材料轴θ=0。

根据S1和S2的特征参数之间的关系，在二维正交各向异性材料奇异点附近的位移和奇异应力场可以表示为两个不同的形式（吴，刘，2008）。

S1和S2两个特征参数与弹性参数C11，C12，C22，C66为各向异性材料，以及SI（I =1,2），即平方，有下列方程式的两个根：(3) as4-bs2+c=0,where a = c22c66, , c = c11c66一般来说，这两个特征参数是不相同的，即S1≠S2。

在这种情况下，二维各向异性材料奇异点附近的位移和奇异应力场其中λ（0<RE [λ<1）是一个待定的特征值，CIJ（I，J= 1,2）是从边界和载荷条件确定的系数，素数的表示方面的分化θ，并3。

二维各向异性/各向同性双材料界面端附近的奇异应力场在结构修理/加强的问题，我们经常遇到这样的保税图所示的界面边缘的配置双向材料。

1，在其中一个材料是各向同性的，另一种是正交异性或各向异性。

图。

1，坐标原点O接口边缘放置在X轴是沿界面。

材料1是各向同性的，并占据该地区0⩽θ⩽π。

材料2各向异性XY轴的轴的主要材料，并占据区域α⩽θ⩽0，其中α是任意。

保税固体装在牵引或流离失所的远程边界。

调查界面边缘附近的奇异应力场，边界条件以及位移和牵引连续性条件被聘用。

为方便起见，我们引进上标1和2圆括号参考材料1和2，分别。

因此，我们有边界条件和接口上的位移和牵引连续性条件θ= 0应用式。

（13A）和（13B）代入。

（1A），（1B），（2A），（2B）及（2C），内部材料界面边缘附近的位移和奇异应力场的推导代入。

（4A），（4B），（5B），（5C），（14A），（14B），（15B）（15C）代入式。

（12a）和（12B），并采取了一些代数计算，我们得到以下形式的系数关系：代入。

（5B）（5C）代入式。

（11），然后聘请式。

（16），获得两个齐次线性代数方程组的两名身份不明的系数A2和B2如下：对于方程的非平凡解。

（17A）及（17B），有解的条件很简单，系数矩阵的行列式必须等于零。

条件很容易导致以下特征方程在λ：（18）d11d22+ d12d21=0。

特征方程（18）是一个复杂的超越方程，可以通过使用像枫叶或数学数学软件得到的特征值λ。

在一般情况下，一个或两个实特征值λ（0<λ<1）可以得到式。