七年级上册数学《整式的加减》整式加减知识点整理

整式加减
一．知识框架
二、知识要点
1、单项式
（1）、都是数或字母的积的式子叫做单项式。

（单独的一个数或一个字母也是单项式。

）
如：2,2bc,3m,a,都是单项式。

（2）、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

如：2ab中2是这个单项式的系数。

（3）、单项式系数应注意的问题：
① 单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面；
② 当单项式的系数是带分数时，要把带分数化成假分数；
③ 当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
④ 圆周率π是常数；
⑤ 单项式的系数应包括它前面的“正”、“负”符号。

（4）、一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如：xy2,这个单项式的次数是 3 次，而不是2次。

（单独的一个数的次数是0.）
2、多项式
（1）、几个单项的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

多项式的每一项都包含它前面的符号。

如：2a2+3b-5 是一个多项式，2a2,3b,-5是这个多项式项，-5是常数项。

（2）、多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

如：2a2+3b-5的次数是2.
（3）、单项式与多项式统称整式。

3、合并同类项
（1）、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

如：2a+3a-a+3a2中2a,3a,a是同类项，而2a,3a2则不是同类项。

（2）、把多项式里的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

（3）、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

如：2a+3a-a 合并同类项得：4a,数字相加或相减，字母不变。

4、去括号
（1）、去括号法则：
① 如果括号外的因数是正数，去括号后括号内每一项的符号都不变。

（“+”不变）
如：（2a+5）去括号后不变：2a+5
② 如果括号外的因数是负数，去括号后括号内每一项的符号都变。

（“-”全变）
如：-（2a+5）去括号后变成：-2a-5
（2）、去括号应注意：
① 去括号应考虑括号内的每一项的符号，做的要变都变，要不变都不变；
② 括号内原来有几项，去掉括号后仍有几项，同时括号前的符号也要去掉。

（3）、当括号前的因数是1或-1时：
① 先把数字与括号内的每一项相乘； ② 再根据去括号法则去括号。

（4）、一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项
初中整式乘法、因式分解
一. 教学内容：
幂的运算和整式乘法
二. 学习要点：
1. 掌握幂的三种运算，并能灵活运用其解决一些数学问题。

2. 掌握进行整式乘法的方法。

三. 知识讲解：
（一）幂的运算
1. 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

（m 、n 为正整数）； n m n m a a a ⋅=+。

推广：（m 、n 、p 为正整数）
2. 幂的乘方
幂的乘方底数不变，指数相乘。

（m 、n 为正整数）；n m mn a a )(=
推广：（m 、n 、p 为正整数）
3. 积的乘方
积的乘方是把积中每一个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

（m 为正整数）；m m m ab b a )(=
推广：（m 为正整数）
（二）整式的乘法
1. 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘，用它们系数的积作为积的系数，相同字母的幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

2. 单项式乘以多项式
单项式乘以多项式就用这个单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，如。

3. 多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

如：
（三）乘法公式
重点：理解掌握平方差公式，两数和的完全平方公式的结构特征，正确地应用公式。

1. 平方差公式：
它的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一个完全相同，另一个互为相反数。

②右边是乘式中两个项的平方差。

③公式中的a ，b 可以是任意一个整式（数、字母、单项式或多项式） 2. 两数和的完全平方公式：
两数差的完全平方公式：
它们的结构特征是：
①左边是两个相同的二项式相乘。

②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式中两项积的2倍。

③式中的a ，b 可以是数，单项式或多项式。

（四）因式分解
重点：理解因式分解的含义，会用提公因式法和公式法进行因式分解。

1. 因式分解
把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。

因式分解与整式乘法互为逆运算。

2. 提公因式法
多项式ma ＋mb ＋mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。

把公因式提出来，多项式ma ＋mb ＋mc 就可以分解为两个因式m 和（a ＋b ＋c ）的乘积了，像这样因式分解的方法，叫提公因式法。

注意：⑴ 提公因式时，必须是所有项的因式。

⑵ 公因式的系数是多项式中各因式系数的最大公约数。

⑶ 公因式中字母的指数应是各因式中相同字母的指数的最低次。

3. 公式法
利用乘法公式对多项式进行因式分解的方法，叫公式法。

注意：⑴ 总项数（三项、两项）、以及平方项的系数符号（同号、异号）
⑵ 平方数 培养数感：能认出题中的平方数（１，４，９，
41……） ⑶ 分清公式中的a 、b （可以是数，单项式或多项式）
4. 分组分解法
要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一组，并提出公因式a ，把它的后两项分成另一组，提出公因式b ，从而得到，这时又有公因式，于是提出，从而得到
，这种方法叫分组分解法。

注意：⑴ 总项数（四项或四项以上）
⑵ 常见题多为四项，
二四分：两两分组，再提公因式。

一三分：一个三项一组（用完全平方公式），另一个一项一组（平方项），这 两组再用平方公式。

5. 十字相乘：
对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab=q ，a+b=p 的a ，b ，如 有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足 a 1a 2=a ，c 1c 2=c,a 1c 2+a 2c 1=b 的a 1，a 2，c 1，c 2，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++
6. 分解的步骤一般是：（一提、二套、三检查）
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
【典型例题】
例1. 分解因式
（1）
（2）
（3）
分析：（1）先提公因式5x ，提公因式后另一个因式为
，仍可用平方差公式继续分解。

解：
分析：（2）可直接用平方差公式 解：
分析：（3）各项都含有公因式a ，应先提公因式，再用完全平方公式继续分解。

解：
例2. 下列式子中，总能成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，
，，故A、B、C均不正确；D中将化为，符合平方差公式的结构特征。

答案：D
方法提炼：例题是让同学们把握平方差公式与两数和的完全平方公式的项和结构特征，能正确地应用公式，同时提醒只有符合公式的特征，才能运用公式，不可滥用公式。

难点：正确的应用公式进行简便计算：注意有的学生容易把平方差公式：
与完全平方公式：混淆，这两个公式左边不一样，完全平方公式的左边是两个相同的二项式，而平方差公式左边两个二项式不一样，里面有一项相同，另一项互为相反数。