直线与平面垂直的判定练习题

直线、平面垂直的判定与性质

(时间：45分钟分值：100分)

基础热身

1．[2013·太原一模] 设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β

B．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

C．若l∥α，α∥β，则l⊂β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

2．[2013·沈阳一模] 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b ⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是()

A．①②B．②③C．①④D．③④

3．[教材改编试题] 如图K41－1，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC 的中点，则下列命题中正确的为(

A. 平面ABC⊥平面ABD

B. 平面ABD⊥平面BCD

C. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D. 平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

4．[2013·长春三模] P A垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()

①平面P AB⊥平面PBC；②平面P AB⊥平面P AD；

③平面P AB⊥平面PCD；④平面P AB⊥平面P AC.

A．①②B．①③C．②③D．②④

能力提升

5．[2013·济南三模] 如图K41－2，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()

A．PB⊥AD

B．平面P AB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面P AE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

6．[2013·石家庄三模] 一直线和平面α所成的角为π3

，则这条直线和平面内的直线所成角的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫0，π3

B.⎣⎡⎦

⎤π3，π2 C.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 D.⎣⎡⎦

⎤π3，π

7．如图K41－3，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，P A ＝AB ，则直线PB 与平面ABC 所成的角是( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

8．[2013·郑州一模] 设a ，b ，c 表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )

A. ⎭

⎪⎬⎪⎫c ⊥αα∥β ⇒c ⊥β B.

⎭

⎪⎬⎪⎫b ⊂β，a ⊥b c 是a 在β内的射影 ⇒b ⊥c C. b ∥c ，b ⊂α，c ⊄α⇒c ∥α

D. ⎭

⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α 9．[2013·西安三模] 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是( )

A ．①④

B ．②④

C ．①

D ．④

10．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l 为直线，给出下列命题：

①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；

②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l ，则l ⊥γ；

③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α垂直；

④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.

上面命题中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)

11．[2013·武汉三模] 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝____________．

12．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题为__________________．

13．[2013·南昌三模] 球O 与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1各面都相切，P 是球O 上一动点，AP 与平面ABCD 所成的角为α，则α最大时，其正切值为__________．

14．(10分)如图K41－4所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1， AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点．

(1)求证：A 1E ⊥平面ADE ；

(2)求三棱锥A 1－ADE 的体积．

15．(13分)如图K41－5，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD ＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面P AD.

难点突破

16．(12分)如图K41－6，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

课时作业(四十一)

【基础热身】

1．B [解析] 对于选项A ，C ，可能l ∥β，所以A ，C 均不正确．对于选项D ，可能l ∥β或l ⊂β或l 与β相交，所以D 不正确．

2．C [解析] 由公理4知①是真命题．在空间内a ⊥b ，b ⊥c ，直线a ，c 的关系不确定，故②是假命题．由a ∥γ，b ∥γ，不能判定a ，b 的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．

3．C [解析] 因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故C 正确．

4．A [解析] 易证BC ⊥平面P AB ，则平面P AB ⊥平面PBC ，又AD ∥BC ，故AD ⊥平面P AB ，则平面P AD ⊥平面P AB ，因此选A.

【能力提升】

5．D [解析] ∵AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，

∴A 不成立；又平面P AB ⊥平面P AE ，∴平面P AB ⊥平面PBC 也不成立；∵BC ∥AD ，∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 不成立．在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°.∴D 正确．

6．B [解析] 由最小角定理，知这条直线和平面内的直线所成角中最小角为π3

，最大角是当斜线与平面α内的一条直线垂直时所成的角，它为π2

. 7．C [解析] ∵P A ⊥平面ABC ，∴PB 在平面ABC 上的射影是AB ，∴∠PBA 是直线PB 与平面ABC 所成的角．又在△P AB 中，∠BAP ＝90°，P A ＝AB ，∴∠PBA ＝45°，∴直线PB 与平面ABC 所成的角是45°.

8．D [解析] 由a ∥α，b ⊥a 可得b 与α的位置关系有b ∥α，b ⊂α，b 与α相交，所以D 不正确．

9．A [解析] 我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m ⊥α，α∥β可得m ⊥β，因为n ∥β，所以过n 作平面γ，且γ∩β＝g ，如图(4)所示，所以n 与交线g 平行，因为m ⊥g ，所以m ⊥n .

10．①② [解析] 由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线，所以③

错，④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交也可能平行，故填①②.

11．90° [解析] 在正方体中，C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，而MN ⊂平面ABB 1A 1，∴C 1B 1⊥MN .又∠B 1MN 是直角，即MN ⊥MB 1，而MB 1∩C 1B 1＝B 1，∴MN ⊥平面MB 1C 1，∴MN ⊥MC 1，即∠C 1MN ＝90°.

12．②③④⇒①(或①③④⇒②) [解析] 根据线面、面面垂直的定义、判定定理和性质可知，正确的有②③④⇒①或①③④⇒②.

13．22 [解析] 过正方体的对角面ACC 1A 1作截面，如图所示，

M ，N 为切点，当AP 与平面ABCD 所成的角最大时，AP 为圆O 的切线．

设正方体的棱长为2，则OM ＝1，AM ＝2，tan ∠OAM ＝22

， tan α＝tan2∠OAM ＝2tan ∠OAM 1－tan 2∠OAM

＝2 2.