数学分析课件：19-2有势场和势函数

rotF x
y
z 0.
PQR
由 1 1 y , 得
x
yz
( x,
y, z)
x(1
1 y
y z
)
1
(
y, z),
代入
y
x z
x y2 ,
z
xy z2
,
得 1 0, 1 0.
y
z
所以 1( y, z) C, ( x, y, z) x(1 1 y) C.
yz
也可以按照一般的方法求解, 注意起点的选取.
z
R.
注 : 求势函数的方法
(1) 第18章定理中的方法 ,选择特殊路径;
(2) 根据 P, Q, R 之一,
x y z
解出一个 (含有待定的一个二元函 数),
然后逐个代入剩下的两个方程, 解出 .
例1求F
(1
1 y
y, z
x z
x y2
,
xy z2
)
的势函数.
解：先验证是有势场
i jk
故 ( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz ( x1 , y1 .z1 )
? ( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 )
F( x2 ) G( y2 ) H(z2 ) (F( x1 ) G( y1 ) H(z1 ))
x2 f (t )dt y2 g(t )dt z2 h(t)dt
( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz. ( x1 , y1 .z1 )
解 : 因为f , g, h是单变量的连续函数 , 所以它们 的原函数存在, 分别记为 F ,G, H . 则 (x, y, z) F(x) G( y) H(z) 满足
d( x, y, z) f ( x)dx g( y)dy h(z)dz.
再计算
( x,y,z)
( x, y, z)
F ds
( x0 , y0 ,z0 )
( x,y,z)
(Pdx Qdy Rdz)
( x0 , y0 ,z0 )
选择合适的路径, 得出结果
( x, y, z) x2 yz xy2z xyz2 C.
也可以采用例1中类似的方法,求出 .
例 3 设f , g, h是单变量的连续函数 , 计算
x1
y1
z1
例 4 设f是单变量的连续函数 , 计算
( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x y z)(dx dy dz). ( x1 , y1 ,z1 )
解 : 因为f是单变量的连续函数 , 所以它的原函数 存在, 记为 F . 设 ( x, y, z) F ( x y z), 可见 d( x, y, z) f ( x y z)(dx dy dz),
2008／06／05
§19.2 有势场和势函数
定义 1 设V R3 为一区域, 在V上定义了一个 向量场 F (P,Q, R). 如果存在V上的一个数量 场 ( x, y, z), 使得 grad F (P,Q, R) 在V上 恒成立, 则称向量场 F 是有势场, 数量场 称 为向量场 F 的一个势函数.
作业(习题集)
习题19-4 1(2); 2(3); 4(2); 5.
F ds rotF dS 0. S
故 F (P,Q, R) 是 保守场.
(3) (1)设 F (P,Q, R) 是 保守场, F ds 0.
根据第18章的积分与路径无关性定理, 知
在V内存在( x, y, z),使d Pdx Qdy Rdz ,
即存在
满足
x
P,
y
Q,
故 ( x2 ,y2 ,z2 ) f ( x y z)(dx dy dz) ( x1 , y1 ,z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) ( x1, y1, z1 ) F( x2 y2 z2 ) F( x1 y1 z1 ) x2 y2z2 f (t )dt. x1 y1 z1
例 2 证明向量场 F ( yz(2x y z), xz( x 2 y z), xy( x y 2z)) 是有势场, 并求其势函数.
解：先验证是有势场 rotF
i
x yz(2x y z)
j
y xz( x 2 y z)
k
0.
z
xy( x y 2z)
故 F 是有势场.
grad F (P,Q, R) P, Q, R.
x y z
定义 2 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 如果对含于V 中的任一条封闭曲线 , 都有
F ds 0, 则称 F 是V上的一 个 保守场.
定义 3 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 如果 rotF F 0 在V上 恒成立, 则称 F 是V上的一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ旋场.
构造
求偏导 斯托克斯公式
证 : (1) (2)
由(1)知, 存在函数 使得 P, Q, R.
x y z 于是有 :
i jk
rotF x
y
z
0
x y z
故 F (P,Q, R) 是 无旋场.
(2) (3) 设 F (P,Q, R) 是 无旋场, 在V 中任取一条封闭曲线 , 并在V 内做一个 以 为边界的曲面 S, 则由斯托克斯公式可知:
定理 1 设 F 是定义在区域V R3 上的一个向量 场, 则如下三个论断等价:
(1) F (P,Q, R) 是 有势场;
(2) F (P,Q, R) 是 无旋场;
(3) F (P,Q, R) 是 保守场.
分析 : (1) (2) (3) (1).
grad F (P,Q, R) rotF 0 F ds 0