相似三角形专题复习——几个常用图形的简单
相似形与相似三角形专题复习(精编题目)说课讲解
第一节：相似形与相似三角形基本概念：1. 相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
1 •几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理)(1) 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例已知 a // b // c,(2 )推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.(3)推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例•那么这条直 线平行于三角形的第三边•此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线•(4) 定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成 比例•(5 ［①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
a c②比例线段：四条线段 a , b , c , d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即一=—，那么这四条b d线段a, b , c , d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2 •比例的有关性质精品文档AB 可得BCDEf AB 或EF ACDE 或 BCDF 或 ABDF 或 AC 評DE EF 等.AD AE 亠 BD或 由 DE // BC 可得：DB EC ADAC•此推论较原定理应用更加广泛，条件是平行 ①比例的基本性质:如果②合比性质：如果③等比性质：如果a cad=bc 。
如果 ad=bc (a , b , c , d 都不等于 0),那么一 一。
b da b c 那么 -d b cm …a c ??? m a = ???=(b+d+???+ n 半 0)，那么——dnb d ??? nb-，那么da bb ④b 是线段a 、d 的比例中项，贝U b 2= ad.典例剖析例1:①在比例尺是 1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm,则它的实际长度约为Km ②若a=-则9 b= .b 3b③若a 2b9U2a b53 •相似三角形的判定(1) 如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的几种基本图形复习
相似三角形的几种基本图形：（1）称为“平行线型”的相似三角形.（2）其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形.ABCDABCDE（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形.（4）一线三等角型1、矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E重合，若AD=10, AB= 8,则EF=______2、如图，在矩形ABCD中，E在AD上，连结BE、EF、BF。
已知AE=4，ED=2，AB=3，若△ABE和△EDF相似，则DF=__________。
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=900，AD=3，BC=6，点P在AB上滑动。
若△DAP与△PBC相似，且AP=4.5 ，求PB的长。
4、如图,在△ABC中，∠C=90°，BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC 方向点C以2cm/s的速度移动；点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/s的速度移动。
如果P、Q分别从B、C同时出发，问：经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似？5、如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动．（1）求BD的长；（2）已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒，5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；（3）设（2）中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与（2）中的△AMN相似，试求a的值．如图, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交ACABFCDEG于E, 交BC于F, 则图中所有相似三角形有( )对。
（A）4 对（B） 5对（C）6对（D） 7对。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
模型05 相似三角形中的常见五种基本模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。
相似三角形的专题复习课
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与
CB边上的点E重合，若A善D于=1在0复, A杂B图=形8,
则EF=___5___
中寻找基本型
D
A
F
C
EE
B
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
长线于点E.
求证：OC2＝OA·OE.
旋转型
例3. D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1＝
∠2，∠3＝∠4.
求证：(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠1＝∠2，∠3＝∠4(已知)， ∴△ABD∽△CBE.
双垂直型 例4：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于 点D.
A
D E
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
∴△AED∽ △ABC（两角对 应相等，两三角形相似）
B
C
∴ AD DE
AC BC
∴ AD·BC=AC·DE
练1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判 定△ADC∽△ACB．
①
∠ACD=∠B
，
②
∠ACB=∠ADC
，
D
③
AD AC
AC 或AC2 AB
AD• AB。
学习目标
1、进一步熟练相似三角形的性质与判定。 2、归纳总结相似三角形的几种基本图形， 能利用这些基本图形进行相关的计算与证明。
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理一、定义
相似三角形是指两个三角形之间的几何关系，它们的边都是可以比拟的，只不过比例不同，这个比例就是相似比例。
二、定理
1、相似三角形定理：同一个平面中的两个三角形如果它们的两个角的对应边比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
2、两相似三角形的比例定理：同一个平面上的两个相似三角形，只要知道它们两个角的对应边比例，那么它们其他的边的比例也可以由此求出。
三、性质
1、锐角相似三角形的性质：两个锐角相似的三角形，它们的锐角相同，其余两个角也相同。
2、直角相似三角形的性质：两个直角相似的三角形，它们的直角相同，其余两个角也相同。
3、相似三角形中边及面积之间的关系：两个三角形相似，那么它们的三个边比例也一定是相等的，两个三角形的面积之比等于它们两个侧面的比例之平方。
四、进一步推广
1、直线及平面之间的相似：两条线段之间也有相似性，即它们的比例也可以求出，同样的，两个平面也有相似性，它们的比例也可以求出。
2、圆锥及圆柱之间的相似：圆锥和圆柱是两种各有特点的几何体，它们之间当然也有相似性，它们的比例也可以求出。
3、圆面积的相似：圆的面积之比可以求出。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。
数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
相似三角形中考考点归纳与典型例题
相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。
掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。
相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
记作ΔABC ~ ΔDEF。
其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。
2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。
3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。
(4) 相似三角形的高线间成比例。
相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。
解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。
所以∠ABC ~ ∠CBM。
根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。
例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。
解：由AE = CD可得∠A = ∠C。
又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。
所以∠AFB ~ ∠ACD。
根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。
相似三角形知识点归纳(全)
相似三角形知识点归纳(全)相似三角形知识点归纳相似形的概念相似图形是指形状相同的图形，其中最简单的是相似三角形。
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。
相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段的相关概念和性质比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段就是成比例线段。
比例线段是有顺序的，如果a是b、c、d的第四比例项，那么应得比例式为b/c=d/a。
比例线段有一些性质，例如黄金分割，其中线段AB被分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AC²=AB×BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC≈0.618AB。
还有合、分比性质和等比性质。
比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理是指三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
在三角形中，由DE∥BC可得AD/DB=AE/EC或者AD/AE=DB/EC，还有其他类似的定理。
注：本文已删除明显有问题的段落，并进行了小幅度的改写。
的三角形，尝试找出它们之间的相似关系。
3)利用相似性质：根据相似三角形的性质，利用对应角相等、对应边成比例等关系进行推导证明。
4)注意细节：在使用相似性质进行证明时，需要注意各个角度、边长的对应关系，以及相似比的顺序等细节问题。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形，用符号“∽”表示。
相似三角形对应边的比叫做相似比，对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有对应性和顺序性，即把表示对应顶点的字母写在对应位置上，相似三角形的相似比是有顺序的。
需要注意的是，两个三角形形状一样，但大小不一定一样，全等三角形是相似比为1的相似三角形。
判定相似三角形的方法有平行法、AA、SAS、SSS、HL 等。
其中，平行法是指平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E BD DB C(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形专题复习(共66张PPT)
2.右图中,若D,E分别是AB,AC
DE
边上的中点,且DE=4则BC= ＿＿＿＿8
B
C
3.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=＿＿1:＿3 ＿＿
相似三角形专题复习(共66张PPT)
相似三角形专题复习(共66张PPT)
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是AC上一动点, 且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,写出y与x之间 的函数关系式.试确定x的取值范围.
相似三角形专题复习(共66张PPT)
相似三角形专题复习(共66张PPT)
三、基本图形的形成、变化及发展过程：
平行型
.
旋转
∽
斜交型
.
.
.
平移
特 殊 垂直型
平移
.. 特 殊
相似三角形专题复习(共66张PPT)
相似三角形专题复习(共66张PPT)
四、运用 ☞
1.添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
A
B
E
C
A
A
A
FF F
α66α00°°
BBB
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
相似三角形专题复习(共66张PPT)
相似三角形专题复习(共66张PPT)
α
B
α
B
D
A
F
α
E
问题2：
（12）延长BA、CF相交于点 D点,且D,E且善为E于B为运CB的用C类的中比点中、，点若，若 ∠B=∠迁C=移α的,数∠学AE方F法= ∠ C,连 α C 结 当A∠AF.EF旋解转决问到题如图位置时， ① 上找 述出 关图 系中 还的 成相立似吗三？角形
相似三角形复习
相似三角形复习相似三角形是初中数学中的重要知识点，在几何问题的解决中有着广泛的应用。
为了更好地掌握这一内容，让我们一起来进行系统的复习。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形的对应边的比值称为相似比。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'，且 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C'，那么三角形ABC 和三角形 A'B'C' 就是相似三角形。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果 AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，则三角形 ABC 与三角形 A'B'C' 相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)
九年级数学相似三角形知识点汇总参考一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l 1//l 2//l 3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC ，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD ，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC. 基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB.4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.二、黄金分割 1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC 2＝AB·BC)，C 点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C.分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC 2＝AB·CB，设AB ＝，AC ＝x ，那么 CB ＝－x ， 由AC 2＝AB·CB，得：x 2＝·(－x)＝0， 根据求根公式，得：x ＝整理后，得：x 2＋x －∴(不合题意，舍去)，即AC ＝AB≈0.618AB， 则C 点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB ， 求作：线段AB 的黄金分割点C. 作法：如图：(1)过B 点作BD ⊥AB ，使BD ＝AB.(2)连结AD ，在AD 上截取DE ＝DB.(3)在AB 上截取AC ＝AE. 则点C 就是所求的黄金分割点.证明：∵AC ＝AE ＝AD －AB ，而AD ＝∴AC ＝.5-1三、相似三角形 1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC 和△DEF 相似，可以写成△ABC ∽△DEF ，也可以写成△DEF ∽△ABC ，读作△ABC 相似于△DEF. （3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. （4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.四、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 诠释：设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.n a a nn a a n -n -m a m n a mnk a ka k 0,a 0且≠≠ka ||||||ka k a =ka 0k >ka a 0k <ka a k 0,a=0=或0ka =ka k a（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A 、B 、C 三点的共线若存在实数λ，使 .要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.ka m n 、()()m na mn a =()m n a ma na +=+m （+b）=m a a mb +a 0a 0a a a =01a a a=b a m b ma =b m a=m b a a 0≠a 0=b 0=m b ma =a m b ma =b a b a m b ma =⇔AB //BC ⇔AB BC λ=12,e e a 12,λλ1122a e e λλ=+（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题 （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系.12,e e 12,e e 1122a e e λλ=+12,e e。
相似三角形(考点清单,知识导图+2个考点清单+4种题型解读)(教师版) 25学年九年级数学上学期期中
专题02相似三角形（考点清单，知识导图+2个考点清单+4种题型解读）【清单01】相似三角形的判定相似三角形的123Rt .⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪∆⎪⎩预备定理：平行于三角形的直线截其它两边所在的直线， 与；判定定理：，两个三角形；判定定理：且截得的三角形原三角形相似两角对应相等相似角判定定理：，两个三角形；相似的判定：似和对应成比例，两相三边对应成比例相斜三个边直角边直角角形相似【清单02】相似三角形的性质123⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩基本性质：相似三角形的，；性质定理：相似三角形、和都等于；性质定理：相似三角形的等对对于；分性质比定应理应角相等对应边成比例对似：相似三角形高的比应中线的比对应角平线的相比周长的比相似比面积比的等于.的比相似的平方注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.【考点题型一】相似三角形的性质（共8小题）【例1】（2023秋•浦东新区校级月考）如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应中线的比为()A ．1:16B ．1:2C ．1:4D ．【分析】据相似三角形的周长的比等于它们的相似比1:4，然后再利用对应中线的比等于相似比求解即可．【解答】解： 两个相似三角形的周长比为1:4，∴它们的相似比为1:4．∴它们的对应中线的比为1:4，故选：C ．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长的比等于相似比是解答此题的关键．【变式1-1】（2024•崇明区）如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为()A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解： 两个相似三角形的周长比为1:4，∴它们的对应边的比1:4=．故选：B ．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【变式1-2】（2023秋•黄浦区期末）已知：△111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为4，那么△111A B C 与△333A B C 的相似比为()A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解： △111A B C ∽△222A B C ∽△333A B C ，如果△111A B C 与△222A B C 的相似比为2，△222A B C 与△333A B C 相似比为41122:2:1A B A B ∴=，2233:4:1A B A B =，设33A B x =，则221148A B xA B x ==，1133:8:1A B A B ∴=，∴△111A B C 与△333A B C 的相似比为8．故选：D ．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出11A B 与33A B 的比值，也就是两三角形的相似比．【变式1-3】（2023秋•浦东新区校级月考）两个相似三角形的相似比是5:7，小三角形的周长为20cm，大三角形的周长是cm．【分析】根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求解．【解答】解：根据题意得，相似比为5:7，∴大三角形的周长是52028()7cm÷=，故答案为：28．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．【变式1-4】（2023秋•闵行区校级月考）已知两个相似三角形的周长比为4:9，那么这两个相似三角形的面积比为．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比求解．【解答】解： 两个相似三角形的周长比为4:9，∴相似比为4:9，∴这两个相似三角形的面积比为16:81，故答案为：16:81．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-5】（2023秋•虹口区期末）一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是平方分米．【分析】由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，面积最大，设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是a分米，b分米，3:64:5:a b∴==，8a∴=，10b=，∴其他两条边的长分别是8分米，10分米，2226810+=，∴做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，∴做出的三角形的面积为168242⨯⨯=（平方分米）．故答案为：24．【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的一条边是对应边时，做出的三角形的三边最大，是解决问题的关键．【变式1-6】（2023秋•金山区期末）在ABC ∆中，6AC =，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把ABC ∆分成面积相等的两部分，且APQ ∆和ABC ∆相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是．【分析】分两种情况进行讨论，画出图形，根据面积之比等于相似比的平方即可解答．【解答】解：如图，当APQ ABC ∆∆∽时，∴21(2APQABC S AP S AB ∆∆==，∴只要满足2AP AQ AB AC ==，都能满足题意，如图，当APQ ABC ∆∆∽时，直线PQ 把ABC ∆分成面积相等的两部分，12APQ ABC S S ∆∆∴=，∴21(2APQ ABC S APS AC ∆∆==，∴2AP AQ AC AB ==，AP ∴==AQ AB =，AP AB ，AQ AC ，AB ∴6，AB ∴，当6AB AC ==时，金字塔型和子母型完全重合，此时只有一种情况，6AB ∴≠，综上所述，直线PQ 把ABC ∆分成面积相等的两部分，且APQ ∆和ABC ∆相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是AB 且6AB ≠．故答案为：AB 且6AB ≠．【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【变式1-7】（2023秋•普陀区期末）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，如果5AC =，4CD =，那么ACD ∆与CBD ∆的相似比k =．【分析】相似三角形对应边的比叫相似比，由此即即可求解．【解答】解：CD 是AB 边上的高，90ADC ∴∠=︒，5AC = ，4CD =，3AD ∴==，90ACB ∠=︒ ，CD 是AB 边上的高，90ADC BDC ∴∠=∠=︒，90A ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=︒ ，A BCD ∴∠=∠，ACD CBD ∴∆∆∽，ACD ∴∆与CBD ∆的相似比34AD k CD ==．故答案为：34．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形相似比的定义．【考点题型二】相似三角形的判定（共7小题）【例2】（2023秋•金山区期末）如图在41⨯的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，ABC ∆就是一个格点三角形，现从ABC ∆的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与ABC ∆相似的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据“三边对应成比例的两个三角形相似”求解即可．【解答】解：如图，根据勾股定理得，22112AD =+=，223110AC =+=，22112BC =+=，22215BE =+=，22215CF =+=，又2AB = ，2CD =，1BF =，∴1AD CB =，1CD AB =，1AC AC =，222AB BC ==，1025AC BE ==，221BC CE ==，2BC BF =，222AB BC ==，1025AC CF ==，∴AD CD AC CB AB AC ==，AB AC BC BC BE CE ==，BC AB AC BF BC CF==，ABC CDA ∴∆∆∽，ABC BCE ∆∆∽，ABC CBF ∆∆∽，故选：C ．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-1】（2023秋•奉贤区期末）如图，将ABC ∆绕点B 顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A 、C 的对应点分别为D 、E ，边DE 交BC 于点F ，联结CE ．下列两个三角形不一定相似的是()A ．BAD ∆与BCE ∆B ．BDF ∆与ECF ∆C ．DCF ∆与BEF ∆D ．DBF ∆与DEB∆【分析】根据旋转的性质得到AB DB =，ABC DBE ∠=∠，BC BE =，A BDD ∠=∠，ACB DEB ∠=∠，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【解答】解：如图，根据旋转的性质得，ABC DBE ∆≅∆，AB DB ∴=，ABC DBE ∠=∠，BC BE =，A BDD ∠=∠，ACB DEB ∠=∠，ABD CBE ∴∠=∠，AB DB BC BE=，BAD BCE ∴∆∆∽，故A 不符合题意；ABD CBE ∠=∠ ，AB AD =，BC BE =，A BDA BCE BEC ∴∠=∠=∠=∠，BDF ECF ∴∠=∠，又BFD EFC ∠=∠ ，BDF ECF ∴∆∆∽，故B 不符合题意；DCF BEF ∠=∠ ，DFC BFE ∠=∠，DCF BEF ∴∆∆∽，故C 不符合题意；根据题意，无法求解DBF ∆与DEB ∆相似，故D 符合题意；故选：D ．【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023秋•徐汇区期末）下列两个三角形一定相似的是()A ．两个直角三角形B ．两个等腰三角形C ．两个等边三角形D ．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A 、B 、D 中的两个三角形不一定相似，故A 、B 、D 不符合题意；C 、两个等边三角形相似，故C 符合题意．故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-3】（2024•静安区校级模拟）如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ，那么与BDF ∆相似的三角形是()A ．BEF ∆B ．BDA ∆C ．BDC ∆D ．AFD∆【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：ABC ∆ 与BDE ∆都是等边三角形，60E BDE EBD ∴∠=∠=∠=︒，C A ABC ∠=∠=∠．A 、只有60E BDF ∠=∠=︒，BEF ∆和BDF ∆不一定相似，故A 不符合题意；B 、由60BDF A ∠=∠=︒，DBF ABD ∠=∠，推出BDF BAD ∆∆∽，故B 符合题意；C 、只有60BDF C ∠=∠=︒，BDF ∆和BCD ∆不一定相似，故C 不符合题意；D 、只有60BDF A ∠=∠=︒，BDF ∆和AFD ∆不一定相似，故D 不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形，关键是掌握相似三角形的判定方法．【变式2-4】（2023秋•宝山区期末）如图，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与AMN ∆相似的三角形，某同学得到两个三角形：①ABC ∆；②ABD ∆．关于这两个三角形，下列判断正确的是()A ．只有①是B ．只有②是C ．①和②都是D ．①和②都不是【分析】根据勾股定理求出ABD ∆、ABC ∆、AMN ∆的三边长，再根据相似三角形的对应边成比例判断即可．【解答】解：由图形可知，2AM =，4AN =，MN ==，AB ==AC =，BC =，AD ==，BD ==，AB BD AD AM AN MN===，ABD MAN ∴∆∆∽；AB AC AM AN ≠，ABC ∴∆与AMN ∆不相似，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式2-5】（2024•闵行区三模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =⋅．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ⋅=⋅，求证：ABE ACD ∆∆∽．【分析】（1）由已知得出OE OD OD OB =，由平行线得出AOD COB ∆∆∽，得出OA OD OC OB =，证出OA OE OC OD=，得出//AF CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出AED BDC ∠=∠，BEF BDC ∆∆∽，得出BE BF BD BC =，证出AEB ADC ∠=∠．由已知得出AE AD BF AF =，由平行四边形的性质得出AF CD =，得出AE AD BE DC=，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）证明：2OD OE OB =⋅ ，∴OE OD OD OB=，//AD BC ，AOD COB ∴∆∆∽，∴OA OD OC OB =∴OA OE OC OD=//AF CD ∴，∴四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：//AF CD ，AED BDC ∴∠=∠，BEF BDC ∆∆∽，∴BE BF BD BC=，BC BD = ，BE BF ∴=，BDC BCD ∠=∠，AED BCD ∴∠=∠．180AEB AED ∠=︒-∠ ，180ADC BCD ∠=︒-∠，AEB ADC ∴∠=∠．AE AF AD BF ⋅=⋅ ，∴AE AD BF AF=， 四边形AFCD 是平行四边形，AF CD ∴=，∴AE AD BE DC=，ABE ADC ∴∆∆∽．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．【变式2-6】（2023秋•杨浦区期中）已知：如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，EB 平分DEC ∠．（1）求证：AE AB ED BD=；（2）如果22BE AE BC AC=，求证：ABE ACB ∆∆∽．【分析】（1）根据平行线的性质得出AE AD CE BD =，BED CBE ∠=∠，则AC AB CE BD=，根据角平分线定义及平行线的性质得到CBE BEC ∠=∠，则BC CE =，根据相似三角形的判定与性质得出AE DE DE AC BC CE ==，根据比例的性质及等量代换即可得解；（2）结合（1）及题意推出BE DE CE BE=，结合BED BEC ∠=∠，推出BED CEB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得出DBE BCE ∠=∠，结合BAE CAB ∠=∠，即可判定ABE ACB ∆∆∽．【解答】证明：（1）//DE BC ，∴AE AD CE BD =，BED CBE ∠=∠，∴11AE AD CE BD +=+，∴AC AB CE BD=，EB 平分DEC ∠，BED BEC ∴∠=∠，CBE BEC ∴∠=∠，BC CE ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∽，∴AE DE DE AC BC CE ==，∴AE AC DE CE=， AC AB CE BD=，∴AE AB DE BD =；（2） 22BE AE BC AC =，BC CE =，AE DE AC CE=，∴22BE DE CE CE=，∴BE DE CE BE=，又BED BEC ∠=∠，BED CEB ∴∆∆∽，DBE BCE ∴∠=∠，即ABE ACB ∠=∠，又BAE CAB ∠=∠，ABE ACB ∴∆∆∽．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【考点题型三】相似三角形的判定与性质（共13小题）【例3】（2023秋•长宁区期末）如果点D 、E 分别在ABC ∆的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出//(DE BC )A ．23AD BD =，23CE AE =B ．22,33AD DE AB BC ==C ．32AB AD =，12EC AE =D ．44,33AB AE AD EC ==【分析】对于选项C ，证明DAE BAC ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到ADE ABC ∠=∠，根据平行线的判定定理证明．【解答】解：A 、不能推出//DE BC ，不符合题意；B 、不能推出//DE BC ，不符合题意；C 、12EC AE =，∴32AC AE =，32AB AD =，∴AC AB AE AD=，A A∠=∠，DAE BAC∴∆∆∽，ADE ABC∴∠=∠，//DE BC∴，本选项符合题意；D、不能推出//DE BC，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．【变式3-1】（2023秋•长宁区期末）已知在ABC∆与△A B C'''中，点D、D'分别在边BC、B C''上，（点D 不与点B、C重合，点D'不与点B'、C'重合）．如果ADC∆与△A D C'''相似，点A、D分别对应点A'、D'，那么添加下列条件可以证明ABC∆与△A B C'''相似的是()①AD、A D''分别是ABC∆与△A B C'''的角平分线；②AD、A D''分别是ABC∆与△A B C'''的中线；③AD、A D''分别是ABC∆与△A B C'''的高．A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得出结论．【解答】解：如图，①AD、A D''分别是ABC∆与△A B C'''的角平分线，BAD CAD ∴∠=∠，B A D C A D ''''''∠=∠，又ADC ∆ ∽△A D C '''，CAD C A D '''∴∠=∠，C C '∠=∠，BAC B A C '''∴∠=∠，BAC ∴∆∽△B A C '''，故添加条件①可以证明ABC ∆与△A B C '''相似；②AD 、A D ''分别是ABC ∆与△A B C '''的中线，BD CD ∴=，B D C D ''''=，又ADC ∆ ∽△A D C '''，ADC A D C '''∴∠=∠，AD CD A D C D =''''，∴AD A D BD B D ''=''，ADB A D B '''∠=∠，ABD ∴∆∽△A B D '''，B B '∴∠=∠，又C C '∠=∠ ，BAC ∴∆∽△B A C '''，故添加条件②可以证明ABC ∆与△A B C '''相似；③AD 、A D ''分别是ABC ∆与△A B C '''的高，ADC ∆∽△A D C '''，由图形可知，ABC ∆与△A B C '''不相似，故选：A ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-2】（2023秋•静安区期末）在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，联结DE 、DF ，如果//DE AC ，//DF AB ，且:1:2AE EB =，那么:AF FC 的值是()A ．3B ．13C ．2D ．12【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：如图：//DE AC ，:1:2AE EB =，∴12AE CD BE BD ==，∴2BD CD=，//DF AB ，∴2AF BD FC CD ==，故选：C ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例这个基本事实是解题的关键．【变式3-3】（2023秋•金山区期末）已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果:1:2AE ED =，那么:DF FB 为()A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:5【分析】由平行四边形的性质得//AD CB ，AD CB =，由:1:2AE ED =，得23ED ED CB AD ==，再证明DFE BFC ∆∆∽，得23DF ED FB CB ==，于是得到问题的答案．【解答】解： 四边形ABCD 是平行四边形，//AD CB ∴，AD CB =，:1:2AE ED = ，∴23ED ED CB AD ==，//ED CB ，DFE BFC ∴∆∆∽，∴23DF ED FB CB ==，故选：C ．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明DFE BFC ∆∆∽是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC 三边上点D 、E 、F ，满足//DE BC ，//EF AB ，那么下列等式中，成立的是()A ．DE AE EF EC =B ．AD BF DB FC =C ．DE AB EF BC =D ．AD BF DB BC=【分析】由题意可证四边形BDEF 是平行四边形，可得BD EF =，DE BF =，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：//DE BC 、//EF AB ，ADE B EFC ∴∠=∠=∠，AED C ∠=∠，∴△ADE ∽△EFC ，∴DE AE CF EC =，故A 错误；AD DE EF CF=，//DE BC 、//EF AB ，∴四边形BDEF 是平行四边形，BD EF ∴=，DE BF =，∴AD BF BD FC =，故B 正确；∴AB AD BC DE=，故C 错误；AD AE BF DB CE CF==，故D 错误，故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．【变式3-5】（2023秋•徐汇区期末）如图，点D 是ABC ∆内一点，点E 在线段BD 的延长线上，BE 与AC 交于点O ，分别联结AD 、AE 、CE ，如果AD AE DE AB AC BC ==，那么下列结论正确的是()A ．//CE ADB ．BD AD =C ．ABE CBE ∠=∠D ．BO AE AO BC ⋅=⋅．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解： AD AE DE AB AC BC==，ADE ABC ∴∆∆∽，ACB AED ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AOE BOC ∠=∠ ，AOE BOC ∴∆∆∽，∴AO BO AE BC=，BO AE AO BC ∴⋅=⋅．D ∴选项的结论正确． AD AE AB AC=，BAD CAE ∴∆∆∽，ABE ACE ∴∠=∠，显然OE 与OC 不一定相等，ACE ∴∠与BEC ∠不一定相等，CE ∴与BD 不一定平行，A ∴，C 不一定正确，BD 与AD 不一定相等，B ∴不一定正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•虹口区期末）如图，点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，3AB AE AD CE==，且AED B ∠=∠，那么AD AC 的值为()A ．12B ．13C ．14D ．23【分析】根据题意，可以先设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，再根据题意可以得到DAE CAB ∆∆∽，然后即可得到AD AC的值．【解答】解：3AB AE AD CE ==，∴设3AB a =，AD a =，3AE b =，CE b =，则4AC b =，AED B ∠=∠ ，DAE CAB ∠=∠，DAE CAB ∴∆∆∽，∴AD AE AC AB=，即343a b b a=，解得2a b =，∴112442AD a AC b ==⨯=，故选：A ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-7】（2023秋•浦东新区校级月考）如图所示，过△ABC 的顶点C 作任一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，过点D 作//DM FC 交AB 于点M ．（1）若:2:3AEF MDEF S S = 四边形，求:AE ED ．（2）试说明2AE FB AF ED ⋅=⋅．【分析】（1）利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）利用平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质证明即可．【解答】（1）解：//EF DM ，∴△AEF ∽△ADM ，:2:3AEF MDEF S S = 四边形，∴AE AD ==∴23AE DE +==．（2）证明：DC DB = ，12FM MB FB ∴==，//DM CF ，::AE ED AF FM ∴=，即1::2AE ED AF FB =，:2:AE ED AF FB ∴=，2AE FB AF ED ∴⋅=⋅．【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．【变式3-8】（2022秋•长宁区期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且AD AB =，边BC 的垂直平分线EF 交边AC 于点E ，BE 交AD 于点G ．（1）求证：△BDG ∽△CBA ；（2）如果△ADC 的面积为180，且18AB =，6DG =，求△ABG的面积．【分析】（1）由AB AD =得到ABD ADB ∠=∠，根据线段垂直平分线的性质得到EB EC =，则EBC C ∠=∠，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）由（1）知△BDG ∽△CBA ，可得DG BD AB BC =，而18AB =，6DG =，即可得12BD CD =，12ABD ACD S S = ，又180ADC S = ，故90ABD S = ，因12AG =，12DG AG =，即得22906033ABG ABD S S ==⨯= ．【解答】（1）证明：AB AD = ，ABD ADB ∴∠=∠，EF 垂直平分BC ，EB EC ∴=，EBC C ∴∠=∠，GBD C ∠=∠ ，BDG CBA ∠=∠，∴△BDG ∽△CBA ；（2）解：由（1）知△BDG ∽△CBA ，∴DG BD AB BC=，18AB = ，6DG =，∴61183BD BC ==，∴12BD CD =，∴12ABD ACD S S = ，180ADC S = ，90ABD S ∴= ，18AD AB == ，6DG =，12AG ∴=，∴12DG AG =，∴12BDG ABG S S = ，22906033ABG ABD S S ∴==⨯= ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．【变式3-9】（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且2AC CE CB =⋅．（1）求证：AE CD ⊥；（2）连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：EBF EAB ∠=∠．【分析】（1）先根据题意得出ACB ECA ∆∆∽，再由直角三角形的性质得出CD AD =，由90CAD ABC ∠+∠=︒可得出90ACD EAC ∠+∠=︒，进而可得出90AFC ∠=︒；（2）根据AE CD ⊥可得出90EFC ∠=︒，ACE EFC ∠=∠，故可得出ECF EAC ∆∆∽，再由点E 是BC 的中点可知CE BE =，故BE EF EA BE=，根据BEF AEB ∠=∠得出BEF AEB ∆∆∽，进而可得出结论．【解答】证明：（1）2AC CE CB =⋅ ，∴AC CB CE AC=．又90ACB ECA ∠=∠=︒ACB ECA ∴∆∆∽，ABC EAC ∴∠=∠．点D 是AB 的中点，CD AD ∴=，ACD CAD∴∠=∠90CAD ABC ∠+∠=︒ ，90ACD EAC ∴∠+∠=︒90AFC ∴∠=︒，AE CD∴⊥（2）AE CD ⊥ ，90EFC ∴∠=︒，ACE EFC∴∠=∠又AEC CEF ∠=∠ ，ECF EAC∴∆∆∽∴EC EF EA EC= 点E 是BC 的中点，CE BE ∴=，∴BE EF EA BE=BEF AEB ∠=∠ ，BEF AEB∴∆∆∽EBF EAB ∴∠=∠．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．【变式3-10】（2022秋•嘉定区期末）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别在边CB 、AC 的延长线上，且DAB EBC ∠=∠，EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求证：DBF EBC ∆∆∽；（2）如果AB BC =，求证：2EC DF DA =⋅．【分析】（1）先根据三角形外角的定义得到D E ∠=∠，即可证明DBF EBC ∆∆∽；（2）先证明DBF DAB ∆∆∽得到2DB DA DF =⋅，再根据AAS 证明ADB BEC ∆≅∆，即可证明．【解答】证明：（1）AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠．ABC ∠ 、ACB ∠分别是ADB ∆和BCE ∆的外角，ABC DAB D ∴∠=∠+∠，ACB EBC E ∠=∠+∠，DAB EBC ∠=∠ ，D E ∴∠=∠．又DBF EBC ∠=∠，DBF EBC ∴∆∆∽．（2）DBF EBC ∠=∠ ，DAB EBC ∠=∠，DBF DAB ∴∠=∠．D D ∠=∠ ，DBF DAB ∴∆∆∽，∴DB DF DA DB=，即2DB DA DF =⋅．在ADB ∆和BEC ∆中，D E DAB EBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB BEC AAS ∴∆≅∆，BD EC ∴=，2EC DF DA ∴=⋅．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．【变式3-11】（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF AC ⊥，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：ABD ACE ∠=∠；（2）求证：2CD DG BD =⋅．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（2）利用线段垂直平分线的性质和（1）的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】证明：（1） 点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，12AE AB ∴=，12AD AC =，AB AC = ，AD AE ∴=．在ADB ∆和AEC ∆中，AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB AEC SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠；（2）DF AC ⊥ ，点D 是边AC 的中点，DF ∴是AC 的垂直平分线，FA FC ∴=，FAC ACE ∴∠=∠．由（1）知：ABD ACE ∠=∠，FAC ABD ∴∠=∠．ADG BDA ∠=∠ ，ADG BDA ∴∆∆∽，∴AD BD DG AD=，2AD DG BD ∴=⋅．点D 是边的中点，12AD AC CD ∴==，2CD DG BD ∴=⋅．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【变式3-12】（2023秋•静安区期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE AB =，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ．联结BD ．（1）求证：BND CNM ∆∆∽；（2）如果2AD AB AF =⋅，求证：CM AB DM CN ⋅=⋅．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB CD =，//AB CD ，再证明四边形BECD 为平行四边形得到//BD CE ，根据相似三角形的判定方法，由//CM DB 可判断BND CNM ∆∆∽；（2）先利用2AD AB AF =⋅可证明ADB AFD ∆∆∽，则1F ∠=∠，再根据平行线的性质得4F ∠=∠，23∠=∠，所以34∠=∠，加上NMC CMD ∠=∠，于是可判断MNC MCD ∆∆∽，所以::MC MD CN CD =，然后利用CD AB =和比例的性质即可得到结论．【解答】证明：（1） 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，//AB CD ，而BE AB =，BE CD ∴=，而//BE CD ，∴四边形BECD 为平行四边形，//BD CE ∴，//CM DB ，BND CNM ∴∆∆∽；（2）2AD AB AF =⋅ ，::AD AB AF AD ∴=，而DAB FAD ∠=∠，ADB AFD ∴∆∆∽，1F ∴∠=∠，//CD AF ，//BD CE ，4F ∴∠=∠，23∠=∠，34∴∠=∠，而NMC CMD ∠=∠，MNC MCD ∴∆∆∽，::MC MD CN CD ∴=，MC CD MD CN ∴⋅=⋅，而CD AB =，CM AB DM CN ∴⋅=⋅．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．【考点题型四】相似三角形的应用（共8小题）【例4】（2024秋•静安区校级月考）某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m ，影长是1m ，旗杆的影长是8m ，则旗杆的高度是m ．【分析】因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．【解答】解：设旗杆的高度为x ，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：1.518x =，1.58121x m ⨯∴==，∴旗杆的高度是12m ．故答案为：12．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．【变式4-1】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板(Rt ACB)∆上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若:1:3AF AC =，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为．【分析】设AF x =，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明AEF ABC ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF x =，则3AC x =，四边形CDEF 为正方形，2EF CF x ∴==，//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽，∴13EF AF BC AC ==，6BC x ∴=，在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，即22230(3)(6)x x =+，解得，x =，AC ∴=，BC =，∴剩余部分的面积21100()2cm =⨯-=，故答案为：2100cm ．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式4-2】（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳1(,)3OC OD AD BC OB OA ===测量某个零件的内孔直径AB ，量得CD 长度为6cm ，则AB 等于cm ．【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB 的长．【解答】解： 13OC OD OB OA ==，COD AOB ∠=∠，COD AOB ∴∆∆∽，:3AB CD ∴=，6CD cm = ，6318()AB cm∴=⨯=，故答案为：18．【点评】本题考查相似三角形的应用，求出AB的值是解答本题的关键．【变式4-2】（2023秋•浦东新区校级期中）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=．【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．【解答】解：如图：过O作OM CD⊥，垂足为M，过O作ON AB⊥，垂足为N，//CD AB，CDO ABO∴∆∽，即相似比为CDAB，∴CD OMAB ON=，1578() OM cm=-=，1174()ON cm=-=，∴684 AB=，3 AB cm∴=，故答案为：3cm．【点评】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．【变式4-3】（2023秋•松江区校级月考）如图，有一块面积等于21200cm的三角形纸片ABC，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．（1）求BC 和底边上的高；（2）求加工成的正方形纸片DEFG 的边长．【分析】（1）设BC a =cm ，BC 边上的高AH 为b cm ，根据题意得出方程组求出BC 和AH ；（2）设DG DE x ==cm ，再由平行线得出ADG ABC ∆∆∽，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．【解答】解：（1）设BC a =cm ，BC 边上的高AH 为b cm ，DG DE x ==cm ，根据题意得：1001200a b ab +=⎧⎨=⎩，解得：6040a b =⎧⎨=⎩，或4060a b =⎧⎨=⎩（不合题意，舍去），60BC cm ∴=，40AH b cm ==；（2）//DG BC ，ADG ABC ∴∆∆∽，∴AN DG AM BC =，即404060x x -=，解得：24x =，即加工成的正方形铁片DEFG 的边长为24cm ．【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．【变式4-4】（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m 、n 之间的距离为9米，ABC ∆表示这块空地，36BC =米．现要在空地内划出一个矩形DGHE 区域建造花坛，使它的一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上．（1）如果矩形花坛的边:1:2DG DE =，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的59？请作出判断并说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
CB CD CA
2
3、如图，∠ABC=90°， BD⊥AC于D，DC=4 ，AD=9， C 则BD的长为（ ） （A）36 （B）16 16 . （C） 6 （D） A
9
D
C
B
BD AD
CD BD
2
(或BD AD CD)
3、如图，∠ABC=90°， BD⊥AC于D，DC=4 ，AD=9， B C 则BD的长为（ ） （A）36 （B）16 16 . （C） 6 （D） A C
9
D
C
BD AD
CD BD
2
D
BA
(或BD AD CD)
E
B
C
F
D
A
4、如图，F、C、D共线，BD⊥FD, EF⊥FD ， BC⊥EC ,若DC=2 ，BD=3，FC=9,则EF的长为（ A ） （A）6 （B）16 27 FC CD EF （C） 26 （D）2 . CD BD ，即EF FC BD
C
O
D
B
A 例1如图，四边形ABCD中,AD∥BC， ∠ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10， 在线段BC上任取一点P，作射线 E PE⊥PD，与线段AB交于点E. B （1）试确定CP=3时点E的位置； （2）若设CP=x，BE=y，试写出y关 于自变量x的函数关系式，并求出自 变量x的取值范围.
相似中常用基本图形：
A字型 8字型 公共边角型 三垂直型 （K型图）
双垂直型
小组比赛 1.如图，已知⊙O的两条弦AB、 CD交于E，AE=BE=6,ED=4，则 9 CE=____.
CE AE
C
BE ED
E
A
B D
(或DE CE AE BE )
2.如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆 上一点，且CD⊥AB于D,AD=12,BD=3， 6 则CD=____. A 2 CD AD BD
D
P
C
A 例1如图，四边形ABCD中,AD∥BC， ∠ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10， 在线段BC上任取一点P，作射线 E PE⊥PD，与线段AB交于点E. ( B) （1）试确定CP=3时点E的位置； 过D作DH⊥BC于H， 由题意，得CH=3, 又CP=3 ∴P与H重合, 从而E与B重合
如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E， ⌒ ⌒ ， ⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F. BC=BD (1)求证：CD∥BF; (2)连接BC,若⊙O的半径为4，cos∠BCD= 3 , 4 求线段AD，CD的长。
A
O C E
D
B
F
相似基本图形 的运用
已知相似图形直接求
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
相似三角形专题复习 --------几个基本图形的简单应用
1、如图，已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4 2.5 (1)若CE= 3，则DE=____.
10 16 (2)若CE= 3 ，则DE=____. 3
2、如图，在⊿ABC中，D为 AC边上一点，∠DBC= ∠A， BC= 6，AC=3，则CD的长 为（ B ） （A）1 （B）2 （C） （D） .
D
P(
)
C
A
D
例1如图，四边形ABCD中,AD∥BC， ∠ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10， 在线段BC上任取一点P，作射线 E PE⊥PD，与线段AB交于点E. B P H C （1）试确定CP=3时点E的位置； （2）若设CP=x，BE=y，试写出y关 过D作DH⊥BC于H， 于自变量x的函数关系式，并求出自 由题意，得CH=3, 变量x的取值范围. 又CP=3 3 18 1 2 y ∴ x x P10 与H重合,2 5 3 x 从而 E12 与B重合 点拨：要善于构造基本图形，对你的解 题会起到事半功倍的效果！
构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
如图，已知抛物线与x轴交于A、B X=4 两点，与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) y （1）求此抛物线的解析式； P 3 （2）抛物线上有一点P，满足 C ∠PBC=90°，求点P的坐标； 2 6 x O A B Q （3）在（2）的条件下，问在y轴 上是否存在点E，使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似？若 存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.（在x轴上呢？）