错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项

错位相减法求和适用于{a n`b n }型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：

项的对应需正确；

相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；

若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1

1. 已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求．

[解析]考察专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般

[答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

则设，，

∴，∴，

又点均在函数的图象上，

∴．

∴当时，，

又，适合上式，

∴．．．．．．．．．．．．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

∴，

上面两式相减得：

．

整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分）

2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且

．

（1）求数列的通项公式；

（2）的值.

[答案]查看解析

[解析] （1）当n = 1时，解出a1 = 3, 又4S n = a n2 + 2a n－3 ①

当时 4s n－1 = + 2a n-1－

3 ②

①－②, 即

，

∴ ,

（），

是以3为首项，2为公差的等差数列， 6分

．

（2）③

又④

④－③

=

12分

3.（2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，

，数列，满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明： .

[答案] (Ⅰ) 由，得

是以为公比的等比数列，故.

（Ⅱ）由，得

…，

记…+，

用错位相减法可求得：

. （注：此题用到了不等式：进行放大. ）

4.已知等差数列中，；是与的等比中项．（Ⅰ）求数列的通项公式：

（Ⅱ）若．求数列的前项和

[解析]（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，

又因为，设公差为，则，

所以，解得或，

当时, ，；

当时，.

所以或. （6分)

（Ⅱ）因为，所以，所以，

所以，

所以

两式相减得，

所以. （13分）

5.已知数列的前项和，，，等差数列中，且公差.

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

[解析]（Ⅰ）时，相减得：

，又，，

数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.

又，，. （6分）

（Ⅱ）

令

………………①

…………………

②

①－②得：

，，即，当，，当。

的最小正整数为4. （12分）

6. 数列满足，等比数列满足

.

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

[解析] （Ⅰ）由，所以数列是等差数列，又，

所以，

由，所以，，所以，即，

所以. （6分)

（Ⅱ）因为，所以，

则，

所以，

两式相减的，

所以. (12分）

7. 已知数列满足，其中为数列的前项和．

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 若数列满足： () ，求的前项和公式.

[解析]Ⅰ) ∵，①

∴②

②－①得，，又时，，，

. （5分）

(Ⅱ) ∵，

，

，

两式相减得，

. （13分）

8.设d为非零实数, a n=[d+2d2+…+(n-1) d n-1+n

d n](n∈N*) .

(Ⅰ) 写出a1, a2, a3并判断{a n}是否为等比数列. 若是,

给出证明;若不是, 说明理由;

(Ⅱ) 设b n=nda n(n∈N*) , 求数列{b n}的前n项和S n. [答案] (Ⅰ) 由已知可得a1=d, a2=d(1+d) , a3=d(1+d) 2. 当n≥2, k≥1时, =, 因此

a n=.

由此可见, 当d≠-1时, {a n}是以d为首项, d+1为公比的等比数列;

当d=-1时, a1=-1, a n=0(n≥2) , 此时{a n}不是等比数列. (7分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, a n=d(d+1) n-1,

从而b n=nd2(d+1) n-1,

S n=d2[1+2(d+1) +3(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-2+n(d+1) n-1]. ①

当d=-1时, S n=d2=1.

当d≠-1时, ①式两边同乘d+1得

(d+1) S n=d2[(d+1) +2(d+1) 2+…+(n-1) (d+1) n-1+n(d+1) n]. ②

①, ②式相减可得

-dS n=d2[1+(d+1) +(d+1) 2+…+(d+1) n-1-n(d+1) n]

=d2.

化简即得S n=(d+1) n(nd-1) +1.

综上, S n=(d+1) n(nd-1) +1. (12分)

9. 已知数列{a n}满足a1=0, a2=2, 且对任意m, n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2a m+n-1+2(m-n) 2.

(Ⅰ) 求a3, a5;

(Ⅱ) 设b n=a2n+1-a2n-1(n∈N*) , 证明:{b n}是等差数列;

(Ⅲ) 设c n=(a n+1-a n) q n-1(q≠0, n∈N*) , 求数列{c n}的前n项和S n.

[答案] (Ⅰ) 由题意, 令m=2, n=1可得a3=2a2-a1+2=6.

再令m=3, n=1可得a5=2a3-a1+8=20. (2分)

(Ⅱ) 证明:当n∈N*时, 由已知(以n+2代替m) 可得