MSDC[1].初中数学.圆B级.第01讲.学生版

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MSDC.初中数学.中考冲刺.第01讲.学生版

题型一：动点与函数图象☞动点与线段长度【例1】如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止.设2y PC =,运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之间函数关系的大致图象是（）【例2】在正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点F 在对角线AC 上，连接FB 、FE ．当点F 在AC上运动时，设AF x =，BEF ∆的周长为y ，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）【例3】如图，矩形纸片ABCD 中，4BC =，3AB =，点P 是BC 边上的动点(点P 不与点B 、C 重合)．现将PCD △沿PD 翻折，得到'PC D △；作'BPC ∠的角平分线，交AB 于点E ．设BP x =，BE y =，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )y xFEDC BACA B D例题精讲选择压轴题C'E PDCBA【例4】如图,点E 、F 是以线段BC 为公共弦的两条圆弧的中点，6BC =.点A 、D 分别为线段EF 、BC 上的动点.连接AB 、AD ，设BD x =，22AB AD y -=，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象是（）【例5】如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点（C与点A 、B 不重合），过点C 作弦CD AB ⊥，垂足为E ，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，设,CE x AP y ==，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（）A B C D【例6】如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，90=∠B ，1=AD ，2,23==BC AB ，P 是边上的一个动点（点P 与点B 不重合，可以与点C 重合），AP DE ⊥于点E ．设x AP =，y DE =．在下列图象中，能正确反映y 与的函数关系的是( )A.B.C.D.DCBAE FDCBA E PO CBDPE D CBA【例7】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是( ) A.222+ B ．52 C.62D ．6☞动点与点的坐标【例8】一电工沿着如图所示的梯子NL 往上爬，当他爬到中点M 处时，由于地面太滑，梯子沿墙面与地面滑下，设点M 的坐标为(,)x y （0x >）,则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．【例9】如右图，在平面直角坐标系xOy 中，点A的坐标为（1点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边三角形ABC . 当()C x y ，在第一象限内时，下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的是( )A. B. C. D.NM L x☞动点与几何图形面积【例10】如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥,60B ∠=︒,4AB AD BO ===,8OC =,点P 从B 点出发，沿四边形ABCD 的边BA →AD →DC 以每分钟一个单位长度的速度匀速运动，若运动的时间为t ,POD ∆的面积为S ，则S 与t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【例11】如图，矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，则APM △的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( )【例12】如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE PB =.设AP x =,PBE ∆则能够正确反映与之间的函数关系的图象是（）【例13】矩形ABCD 中，8AD =cm ，6AB =cm ．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）y x O D C B AD CBPDC【例14】如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.动点R 从点B 出发，沿B →C →D →F 方向运动至点F 处停止．设点R 运动的路程为x ，EFR △的面积为y ，当y 取到最大值时，点R 应运动到( )A ．BC 的中点处B ．C 点处C ．CD 的中点处D ．D 点处☞动点与其他问题【例15】如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---的路线作匀速运动．设运动时间为t 秒,APB ∠的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（）【例16】如图，平面直角坐标系中，在边长为1的菱形ABCD 的边上有一动点P 从点A 出发沿A B C D A →→→→匀速运动一周，则点P 的纵坐标y 与点P 走过的路程S 之间的函数关系用图象表示大致是（）CBA1.521BA 1221Oyx题型二：空间几何体问题☞最短路径问题【例17】如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B的最短路程是（）A. 3B.22+C.10D.4【例18】如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到1D点，蚂蚁爬行的最短距离是( )AB.3C.5D.2【例19】如图，A是高为10cm的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（）A.10cmB. 20cmC.30cmD. 40cm☞展开图问题【例20】将圆柱形纸筒沿AB剪开铺平，得到一个矩形（如图）．如果将这个纸筒沿线路B M A→→剪开铺平，得到的图形是（）A．平行四边形B．矩形C．三角形D．半圆【例21】下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是（）1BBAB()A)B图2A．．．【例22】如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，以AB 的中点O 为顶点，把平角AOB ∠三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的平面图形一定是（）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【例23】小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示，小明所用正方形包装纸的边长至少为（） A ．40 B．30+C．D．10+【例24】如图1是一个小正方体的平面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（） A ．生 B ．态 C ．家 D ．园【例25】如图，一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态所显示的数字，可以推断出“？”表示的数字是（） A ．1 B ．2 C ．4D ．6【例26】如图所示的正方体的展开图是（）A. B. C. D.图1图2B')图3图4图5图6图2图115 41 2335？321生建设生态园图1建题型三：创新题型【例27】用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数22min{1,1}y x x =--，则y 的图象为（）【例28】用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，若{}2min ,2,10(0)y x x x x =+-≥，则y 的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7【例29】定义新运算：1()(0)a a b a b a a b b b⎧-⎪⊕=⎨->≠⎪⎩且≤，则函数3y x =⊕的图象大致是（）题型四：其他题型【例30】如图，已知O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与O 有公共点, 设OP x =，则x 的取值范围是（） A ．11x -≤≤ B．x C．0x ≤D．x >【例31】如图①，将一块正方形木板用虚线划分成36形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是整个图案面积的（） A ．18B ．17C ．14D A BC DD ．C ． B ．A ．【例32】如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（） A ．6cm B ．C ．8cmD ．【例33】如图,长方形ABCD 中,2AB =，3BC =;E 是AB 的中点,F 是BC 上的一点,且13CF BC =, 则图中线段AC 与EF 之间的最短距离是（） A.0.5B.C.1D.【例34】如图：已知P 是线段AB 上的动点（P不与A 、B 重合），分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边AEP∆和等边PFB ∆，连结EF ，设EF 的中点为G ；点C 、D 在线段AB 上且AC BD =，当点P 从点C 运动到点D 时，设点G 到直线AB 的距离为y ，则能表示y 与P 点移动的时间x之间函数关系的大致图象是（）【例35】某仓储系统有3条输入传送带，3条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(2)．若该日，仓库在0时至5时货物存量变化情况如图(3)所示，则下列正确说法共有（）①该日0时仓库中有货物2吨；②该日5时仓库中有货物5吨；③在0时至2时有2条输入传送带和1条输出传送带在工作；④在2时至4时有2条输入传送带和2条输出传送带在工作；⑤在4时至5时有2条输入传送带和3条输出传送带在工作；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个132313132DC（1）（2）（3）FDA。

MSDC.初中数学.平面直角坐标系C级.第01讲.学生版

一、平面直角坐标系1．有序实数对有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，．注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2．平面直角坐标系在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．3．象限x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 4．点的坐标对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．二、坐标平面内特殊点的坐标特征1．各象限内点的坐标特征点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，；知识点睛平面直角坐标系点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，；点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，；点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，．2．坐标轴上点的坐标特征点()P x y ，在x 轴上⇔0y =，x 为任意实数；点()P x y ，在y 轴上⇔0x =，y 为任意实数；点()P x y ，即在x 轴上，又在y 轴上⇔00x y ==，，即点P 的坐标为()00，．3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点()P x y ，在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x y =；点()P x y ，在第二、四象限夹角的角平分线上⇔0x y +=．4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．5．坐标平面内对称点的坐标特征点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点是()22M m a n b --，．三、用坐标表示地理位置1．直角坐标系法先确定原点，然后画出x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．2．方位角法从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．四、中点坐标公式已知坐标系中两点()()1122A a b B a b ，，，.则A 、B 的中点C 坐标为121222a a b b ++⎛⎫⎪⎝⎭，设点()C x y ，,则12a x a x -=-即()2a b ，12x a a x -=-,所以122a a x +=.同理求出122b by +=一、点位置的确定与坐标特征【例1】在y 轴上且到点()04A ，的线段长度为5的点B 的坐标是（） A ．()09，B ．()01-，C ．()90，或()10-， D ．()09，或()01-，【例2】由坐标平面内的三点()()()113113A B C --，，，，，构成的ABC ∆是（） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【例3】如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1A ，2A ，3A ，4A ，…表示，则顶点55A 的坐标是（）A.(1313)，B.(1313)--，C.(1414)，D.(1414)--，【例4】点1A ，2A ，3A ，…，n A （n 为正整数）都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且344A A =；…，依照上述规律，点2008A ，2009A 所表示的数分别为（）A 、2008，-2009B 、-2008，2009C 、1004，-1005D 、1004，-1004【例5】在平面直角坐标系中，点(721)m --+，在第三象限，则m 的取值范围是（） A.12m <B.12m >-C.12m <-D.12m >【例6】在平面直角坐标系中，如果0mn >，那么点（m ，n ）一定在（）A.第一象限或第二象限B.第一象限或第三象限例题精讲C.第二象限或第四象限D.第三象限或第四象限【例7】已知：点P(24m-)．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．m+，1⑴点P在y轴上；⑵点P在x轴上；⑶点P的纵坐标比横坐标大3；⑷点P在过(23)，点，且与x轴平行的直线上．A-二、坐标与面积、对称问题【例8】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt AOB∆关于直线m对Rt A OB∆与''称，已知(12)A，，则点'A的坐标为（）A.(12)--，， D.(21)---， C.(12)-， B.(12)【例9】方格中有一点P和ABC∆，第一步：作点P关于点A的对称点P1；第二步：作点P1关于点B的对称点P2；第三步：作点P2关于点C的对称点P3；第四步：作点P3关于点A的对称点P4…；如此一直对称下去．问：第2009次对称后，求点这P2009与P之间的距离为（）．（每一方格的边长为1）．【例10】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再到点N关于点C的对称点处，…，如此下去．则经过第2009次跳动之后，棋子落点的坐标为．三、与坐标相关的综合问题【例11】如下右图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2011次，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，4P，…2011P 的位置，则2011P 的横坐标2011x _______．【例12】一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(10)，，而后接着按如图所示方式在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在1989min 后，求这个粒子所处的位置坐标．【例13】在平面直角坐标系，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．（1）画出由里向外的第四个正方形，在第四个正方形上有多少个整点？（2）请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少个？（3）探究点（﹣4，3）在第几个正方形的边上（﹣2n ，2n ）在第几个正方形边上（n 为正整数）．【例14】阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点()11P x y ，、()22Q x y ，的对称中心的坐标为121222x xy y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，．观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P 1（0，﹣1）、P 2（2，3）的对称中心是点A ，则点A 的坐标为；（2）另取两点B （﹣1.6，2.1）、C （﹣1，0）．有一电子青蛙从点P 1处开始依次关于点A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 1关于点A 的对称点P 2处，接着跳到点P 2关于点B 的对称点P 3处，第三次再跳到点P 3关于点C 的对称点P 4处，第四次再跳到点P 4关于点A 的对称点P 5处，…则点P 3、P 8的坐标分别为、．拓展延伸：（3）求出点P 2012的坐标．【例15】一个机器人从平面直角坐标系原点出发，按下列程序运动：第一次先沿x 轴正方向前进3步，再沿y 轴正方向前进3步到达1(33)A ，点；第二次运动是由1A 点先沿x 轴的负方向前进2步，再沿y 轴负方向前进2步到达2(11)A ，点；第三次运动是由2A 点先沿x 轴正方向前进3步，再沿y 轴正方向前进3个步到达3A 点；第四次运动是由3A 点先沿x 轴的负方向前进2步，再沿y 轴负方向前进2步到达4A 点；…，以后的运动按上述程序交替进行．已知该机器人每秒走1步，且每步的距离为1个单位⑴若第30秒时它到达点k A ，则_____k =⑵该机器人到达点99A 时，一共运动了_____秒，99A 的坐标是________【例16】读一读，想一想，做一做：国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种．国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．如图甲是一个44⨯的小方格棋盘，图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格．⑴在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”，她所在的位置可用“(23)，”来表示，请说明“皇后Q ”所在的位置“(23)，”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置．⑵如图所示的是一长方形纸板，请你把它裁成两块，然后拼成一个正方形，你能做到吗？请画图说明．课后作业1. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()m n ，，规定以下两种变换①()()f m n m n =-，，，如(21)(21)f =-，，；②()()g m n m n =--，，，如(21)(2g =--，，．按照以上变换有：[(34)](34)(34)f g f =--=-，，，，那么[(32)]g f -，等于（）A.(32)，B.(32)-，C.(32)-，D.(32)--，2.由坐标平面内的三点()()()113113A B C --，，，，，构成的ABC ∆是（） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3.如图：在直角坐标系中，第一次将AOB ∆变换成11OA B ∆，第二次将三角形变换成22OA B ∆，第三次将22OA B ∆，变换成33OA B ∆，已知(13)A ，，1(33)A ，，2(53)A ，，3(73)A ，；(20)B ，，1(40)B ，，2(80)B ，，3(160)B ，．（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是，B 4的坐标是．（2）若按（1）找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测n A 的坐标是，n B 的坐标是．4.如图表示赵明同学家所在社区的主要服务办公网点．点O 表示赵明同学家，点A 表示存车处，点B 表示副食店．点C 表示健身中心，点D 表示商场，点E 表示医院，点F 表示邮电局，点H 表示银行，点L 表示派出所，点G 表示幼儿园．(1)请以赵明同学家为坐标原点，建立平面直角坐标系，并用坐标分别表示社区的主要服务网点的位置．(图中的1个单位表示50m)(2)利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程是①建立______选择一个____________为原点，确定x轴、y轴的____________；②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．。

MSDC[1].初中数学.相似三角形B级.第01讲.学生版

1．相似定义，性质，判定，应用和位似 2．相似的判定和证明 3．相似比的转化相似三角形的由来两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的实际高度，于是，命令祭司们中考要求重难点课前预习比例线段与相似三角形性质去丈量．可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策．既然，人是不可能爬到那么高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题．国王一气之下，杀死了几个祭司，同时悬赏求解答．有一个叫法涅斯的学者，看到国王的招字后，决心解決这个难题．他想了好几个解题的方案，但都行不通．失败并没使他灰心．法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解決的辦法，以致撞到树上．于是，他转了个圈，又走下去．太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里．这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向，法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那么，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？﹁他自言自语起来．想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起來．经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度．于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来．然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的招字．国王得到“有人揭下招字”的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待，一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式．测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁．看热闹的人黑压压一片，喧闹着，拥挤著，他们等待着壮观的一刻到来，法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视着自己的影子．看看时间快到了，太阳光给每一个在旁的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子．当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。

MSDC.初中数学.一元二次方程C级.第01讲.学生版

知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题板块一一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．一元二次方程的识别：要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．中考要求例题精讲一元二次方程关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程【例1】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【巩固】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【例2】若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【巩固】已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．☞一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。

MSDC.初中数学.图形初步B级.立体图与平面图基础第01讲.学生版

正方形展开图的知识要点：第一类：有6种。

特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类：有3种。

特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”中考要求例题精讲立体图形与平面图形基础第三类：仅有一种。

特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”正方形展开图的识别方法：1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图（2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。

直线、射线、线段的概念：①在直线的基础上定义射线、线段：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点．②在线段的基础上定义直线、射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线．点与直线的关系：点在直线上；点在直线外．两个重要公理：①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”．②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”．两点之间的距离：两点确定的线段的长度．⑴ 点的表示方法：我们经常用一个大写的英文字母表示点：A ，B ，C ，D ，…… ⑵ 直线的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB ，如下图⑴ 也可以写作直线BA ．(1) (2)lA B② 用一个小写字母来表示，如直线l ，如上图⑵．注意：在直线的表示前面必须加上“直线”二字；用两个大写字母表示时字母不分先后顺序． ⑶ 射线的表示方法：① 用两个大写字母来表示．第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点．如射线OA ，如图⑶，但不能写作射线AO ． ② 用一个小写字母来表示，如射线l ，如图⑷．(3) (4)lAO注意：在射线的表示前面必须加上“射线”二字．用两个大写字母表示射线时字母有先后顺序，射线的端点在前．⑷ 线段的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．(5) (6)AB注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．直线、射线、线段的主要区别：中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．模块一立体图形【例1】如图，正方体的下半部分漆上了黑色，在如图的正方体表面展开图上把漆油漆的部分涂黑（图中涂黑部分是正方体的下底面）．【巩固】将一正方体纸盒沿下如图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）A B C D【巩固】如图是一个正方体的平面展开图，这个正方体是（）A B C D【例2】下列图形中，恰好能与右图拼成一个矩形的是（）A B C D【巩固】一个几何体的展开图如图所示，则该几何体的顶点有（）A.10 B．8 C．6 D．4【例3】如图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）A B C D【巩固】如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．【巩固】芳芳制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（）A B C D【例4】在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是（如果没把握，还可以动手试一试噢！）（）A B C D【巩固】如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）Ａ.Ｂ．Ｃ．Ｄ．【例5】如图是一个多面体的展开图，每个面上都标注了字母，请你根据回答问题：（1）这个多面体是一个什么物体？（2）如果D是多面体的底部，那么哪一面会在上面？（3）如果B在前面，C在左面，那么哪一面在上面？（4）如果E在右面，F在后面，那么哪一面会在上面？【巩固】如图六个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱（它的底面是三边相等的三角形）的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连起来．模块二直线、射线、线段【例7】平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?【巩固】已知平面上任意四点A 、B 、C 、D 过其中每两点画一条直线，最多可以画（）A ．6条B ．4条C ．1条D ．6条，4条或1条【例8】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为多少个？最多为多少个？【巩固】如图，图中有条直线，有条射线，有条线段，E DF CBA【例9】如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，求:MN PQ 的值.【例10】如图，A ，B ，C ，D 为4个居民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由．DCBA【巩固】线段A B 上有两点P 、Q ，26A B =，14A P =，11PQ =，求B Q 的长．【例11】已知A B C ，，三点在同一条直线上，若2B C A B =，点D 平分线段A C ，21B D c m =，求B C 的长.【巩固】已知：A ，B ，C ，D 四点共线，若3cm AB =，2cm BC =，4cm CD =，画出图形，求AD 长.【例12】同一直线上有A 、B 、C 、四点，已知59AD DB =，95AC C B =且4CD c m =，求A B 的长.1.指出下列平面图形是什么几何体的展开图．2. 如图，已知B C ，是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN a =，BC b =，求线段A D 的长.C3. 如图，在河里有A B ，两岛，一次划船比赛从A 岛出发划向B岛，赛程规定必须先划到北岸，然后再划到南岸，最后再划向B 岛，问应该怎样选择路线，才能使路程最短？B南岸课后作业。

MSDC.初中数学.二元一次方程组C级.第01讲.学生版

板块一二元一次方程（组）的基本概念☞二元一次方程1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”.2.二元一次方程的一般形式：0ax byc ++=(0a ≠，0b ≠)3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.【例1】若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.【巩固】已知方程11(2)2m n m x ym ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值.模块二二元一次方程组的解法例题精讲中考要求二元一次方程组☞代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y ax b=+的形式；②y ax b=+代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x的值；④回代求解：把求得的x的值代入y ax b=+中求出y的值，从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.【例2】用代入法解下列方程组⑴2328y xy x=⎧⎨+=⎩⑵22314m nm n-=⎧⎨+=⎩⑶20328x yx y-=⎧⎨+=⎩⑷41216x yx y-=-⎧⎨+=⎩⑸23405x yx y+=⎧⎨-=-⎩⑹233511x yx y+=⎧⎨-=⎩⑺1232(1)11xyx y+⎧=⎪⎨⎪+-=⎩☞加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.☞加减消元方法的选择：①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例3】用加减消元法解下列方程⑴37528x yx y-=⎧⎨+=⎩⑵451413x yx y-=⎧⎨-=⎩⑶328237x yx y+=⎧⎨+=⎩⑷425645x yx y+=⎧⎨-=-⎩☞选用恰当的方法解方程：【例4】解下列方程组：(1)3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩；(2)2132245313245yxyx--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩；(3)2153224111466x yx y⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩；(4)35724310()4(1)3x y yxx y xy-+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩【巩固】解方程组：231763 172357 x yx y+=⎧⎨+=⎩【巩固】解方程组：254 323625323x yx y⎧+=-⎪-+⎪⎨⎪-=⎪-+⎩【例5】若方程组23133530.9a ba b-=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2ab=⎧⎨=⎩则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x yx y+--=⎧⎨++-=⎩的解是（）A.6.32.2xy=⎧⎨=⎩B.8.31.2xy=⎧⎨=⎩C.10.32.2xy=⎧⎨=⎩D.10.30.2xy=⎧⎨=⎩板块三含参数方程组【例6】若方程组431(1)3x yax a y+=⎧⎨+-=⎩的解x与y相等，则a的值等于_________【巩固】若方程组35223x y kx y k+=+⎧⎨+=⎩的解x、y的值和为2，试求k的值【例7】已知两组x、y的二元一次方程组2320x yax by-=-⎧⎨-=⎩与923ax byx y+=⎧⎨-=⎩有相同的解，试求a、b的值【例8】甲、乙二生同解关于x、y的二元一次方程组278ax bycx y+=⎧⎨-=⎩，甲生得正确解为32xy=⎧⎨=-⎩；乙生将c看错，得其解为22xy=-⎧⎨=⎩，求a、b、c的值【例9】解下列方程组4562343x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+-=-⎩板块四二元一次方程组解的讨论☞二元一次方程组解的三种情况二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩⑴若1122a ba b ≠，则该方程组有唯一解⑵若111222a b ca b c =≠，则该方程组无解⑶若111222a b ca b c ==，则该方程组有无数组解【例10】解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 、均不为0）【巩固】k 、b 满足什么条件时，方程组(31)2y kx by k x =+⎧⎨=-+⎩（1）有唯一一组解（2）无解（3）有无穷组解【巩固】已知关于x 、y 的方程组2122(1)3ax y ax a y +=+⎧⎨+-=⎩，分别求出当a 满足什么条件时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解【例11】已知关于x 、y 的二元一次方程(2)(2)520a x a y a -+++-=，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解【巩固】已知关于x 的方程(3)(31)5(1)a x b x x -++=+有无穷多个解，则____a =，____b =板块五不定方程☞不定方程整数解这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）．初中范围内通常只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解．不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解. 【例12】方程310x y +=的正整数解有几组？（）A.1组B.3组C.4组D.无数组【巩固】⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵ 设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶ 设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解板块六二元一次方程组的应用【例13】某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告，15秒广告每播一次收费0.6万元，30秒广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次 ⑴两种广告的播放次数有几种安排方式 ⑵电视台选择哪种播放方式收益较大【巩固】某电脑公司有A、B、C三种型号的电脑，价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C 型每台2500元。

MSDC[1].初中数学.圆A级.第01讲.学生版

有一天，她失掉了一小片，使自己不完整了，这对她来说是个天大的打击，她为了寻找那一小块碎片，用自己残缺的身子继续滚动，由于缺了一小片，她的滚动力比以前慢了好多，她开始憎恶自己的无能；然而她却慢慢发现，自己滚动的慢了，却正好可以领略沿路的风光：向花儿问好，与虫儿聊天，度过了一般美好的时光。

当然，她最终找到了自己的那一小块碎片。

当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时，却因为太快，再也看不到那些花儿、虫儿。

尽管现在，她又完美了，可实际呢？有人认为，失去完美是世界最大的挫折。

由此，我想到维纳斯。

她失去双臂，这是一个巨大的挫折，可她，却被誉为“美神”、“完美之神”，或许在她丧失双臂，遭受挫折，失去所谓“完美”的同时，又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。

由此，我想到贝多芬。

对于一位音乐巨匠，失去听力和死亡几乎可以划等号。

但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。

我想：如果贝多芬没有失聪，没有遭受挫折，他的交响是否还会如此的意味深远呢？其实相较之下，我更喜欢另一个有关圆的故事——中考要求重难点课前预习圆的基本概念（一）一个圆，不小心掉了一小片，这一小片是她最美丽的部分。

她对于这个打击，自然是悲痛欲绝，穷其全部精力寻找。

她边找边努力让现在的自己具有那一小片的色泽。

她实现了。

尽管由于缺了一小片滚动的不快，却滚出了比原先更绚丽的色彩。

这个故事是我编的。

我给它起了个名字：挫折洗礼后的完美。

MSDC[1].初中数学.有理数C级.第01讲.学生版

内容基本要求略高要求较高要求有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应相反数会用有理数表示具有相反意义的量；借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质有理数的运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、除及乘方和简单的混合运算（以三步为主）能用有理数的运算解决简单问题近似数、有效数字和科学计数法了解近似数和有效数字的概念；会用科学计数法表示数在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值；能对含有较大数值的信息作出合理的解释和推断1．掌握有理数有关分类、数轴、相反数、近似数、有效数字和科学计数法等有关概念 2．熟练去括号法则，以及有理数的有关运算数学符号的由来在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性。

纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展，历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步步继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随中考要求重难点课前预习有理数着新的数学符号的产生。

“+”是15世纪德国数学家魏德美所创造的。

它的意思是：在横线上加上一竖，表示增加“-”也是德国数学家魏德美创造的。

它的意思是：从加号中减去一竖，表示减少“⨯”是18世纪美国数学家欧德莱最先使用的。

它的意思是：表示增加的另一种方法，因而把加好斜过来写“÷”是18世纪瑞士人哈纳创造的。

它的含义是分解的意思，因此用一条横线把两个原点分开“=”是16世纪英国学者列科尔德创造的。

列科尔德认为世界上再也没有比两条平行而相等的直线更相同了，所以用来表示两数相等。

17世纪初，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中，第一次使用“”表示根号17世纪德国数学家莱布尼茨在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”全等。

例题精讲模块一正负数与有理数的分类1.对于正负数的理解不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数。

MSDC.初中数学.勾股定理B级.第01讲.学生版

内容基本要求略高要求较高要求勾股定理及逆定理已知直角三角形两边长，求第三条边会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形会运用勾股定理解决有关的实际问题。

1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CAB cba（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形DCB A（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：知识点睛中考要求勾股定理()22222142.S c a b aba b c =-+⨯∴+=正方形EFGHGFEH（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形 222.a b c ∴+=cb a cba ED CBA3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17【例1】如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．【例2】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高．例题精讲【例3】在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?【例4】如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为______米．【例5】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m，那么15m长的梯子可以达到的高度为．【例6】长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．【例7】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例8】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?【例9】一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动．【例10】如图，ON 是垂直于地面OM 的前面，AB 是一根斜靠在墙面上长为a 的木条，当木条端点A 沿墙面下滑时，B 沿地面向右滑行⑴设木条AB 的中点为P ，试判断木条滑行过程中，墙角处点O 到P 的距离怎样变化？说明理由 ⑵木条在什么位置时，ABO ∆的面积最大？最大面积为多少？HP N MOBA【例11】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例12】如图，两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．【例13】已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是．【例14】若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于．2求AB 【例15】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝10的长．【例16】如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD 的长．【例17】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．【例18】如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．【例19】正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD上的点．若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为．FEDCBA【例20】已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：222AE BF EF+=．【例21】如图，已知ABC△中，90ABC∠=︒，AB BC=，三角形的顶点在相互平行的三条直线123l l l，，上，且123l l l，，之间的距离为2，23l l，之间的距离为3，求AC的长是多少?【例22】如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．IJHGFED CBA【例23】如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．（1）记正方形ABCD的边长为11a=，按上述方法所作的正方形的边长依次为234.....na a a a，，，，请求出234a a a ，，的值；（2）根据以上规律写出n a 的表达式．IJHGF EDC BA【例24】如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求DE 的长.ECBA【例25】已知钝角三角形的三边为2、3、4，求该三角形的面积．432ACB。

MSDC .初中数学.分式B级.第01讲.学生版

1.分式概念，能确定分式有意义或值为零的条件；2.利用分式的基本性质进行约分和通分；3.会进行简单的分式化简及加减乘除混合运算.趣味小故事：《诗中存在的错误》有个数学家读了英国诗人捷尼逊的一首诗中的一段“每分钟都有个人死亡，每分钟都有一个人诞生……”时，去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢您的诗，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。

据您的算法，世界人数是永恒不变的。

可世界人数是不停增长的，每分钟相应的有1.16749人诞生，这与您在诗中提供的数据出入甚多，为了符合实际，我建议您使用7/6这个分数，即改为：每分钟都有一个人死亡，每分钟都有一又六分之一的人在诞生…….”中考要求重难点课前预习分式的概念及运算模块一分式的基本概念☞分式定义【例1】下列各式：（1）2x y ，（2）223x y ，（3）38a +,（4） 4x y -,（5）214y x -，（6）3231()a a b b a-+，（7）44x x --中，整式有，分式有 .【巩固】下面的说法中正确的是（）A .有除法运算的式子就是分式B .有分母的式子就是分式C .若A 、B 为整式，式子A B 叫分式D .若A 、B 为整式且B 中含有字母，式子AB叫分式【巩固】下面的说法正确的是（）A .35是分式 B .22513x x -+是分式 C .2125x x -+是分式 D . 2132x +是分式☞分式有无意义【例2】使分式1(1)(1)x x +-有意义的x 的值是【巩固】当x = ，分式26x x --无意义.例题精讲【巩固】当x 取什么值时，分式234x x --有意义？【巩固】当x 取什么值时，分式332312x x +--有意义？☞分式值为零【例3】（08丰台二模，4题）若分式2362x xx --的值为0,则x 的值为【巩固】当x = ，分式363x x--的值为零.【巩固】当x ，分式41x xx ++的值为零.模块二分式的基本性质☞扩大与缩小【例4】（09东城二模，4题）如果把分式2xx y+中的x 和y 都扩大原来的3倍，那么分式的值（） A .扩大为原来的3倍 B .缩小为原来的3倍C .缩小为原来的6倍D .不变【巩固】若分式22(a ba b a b ++、为正数）中，字母a b 、的值分别扩大原来的2倍，则分式值（） A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的12C .缩小为原来的14D .不变☞系数化整与变号【例5】不改变分式的值，是下列分式的分子、分母均不含“-”号，且系数为整数.（1）23b a --- （2）2(2)x y - （3）11314a b - （4）0.60.70.20.3x y x y -+【巩固】不改变分式的值，是下列分式的分子、分母均不含“-”号，且系数为整数.（1）35m n -- （2）237(2)m n ---- （3）0.213m n （4）0.20.30.010.1a ba b +-模块三分式计算☞分式乘除运算【例6】计算：22222)x xy y x y xy xxy x-+--÷⋅（【巩固】计算：22225434668 a a a aa a a a+++-÷+--+.【巩固】计算：22 2222322442221()2a x a ax xa x x a a ax x⎛⎫-++⎛⎫÷⋅⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭☞分式加减运算【例7】（09，大兴二模，13题）化简：311(1)(2)xx x x----+，并指出x的取值范围.【巩固】计算：221144424x x x x x -+-+-+.【巩固】计算：222299369x x x x x x x +-++++.☞分式混合运算【例8】（08朝阳二模，14题）化简：221111a a a a a a -÷----【巩固】（2010红河州）计算：22453262a a a a a --÷-+++.【巩固】已知：2x =，求22211(1)22x x x x x-÷++-+的值.【例9】计算：22214)244x x x x x x x x+---÷--+（．【巩固】计算：44()()xy xyx y x y x y x y-++--+.【巩固】计算：(1)(1)n m n mm m n m m n+-÷---+.☞分式化简求值【例10】（08，东城二模，14题）先化简，然后请你选择一个合适的x 值代入求值：24433x x xx x --÷++【巩固】先化简，再求值：22222()a ab b a b a ba b a b a b++-+-÷-+-，其中1,2a b =-=.【巩固】化简求值：3222222232a b a b a abab a ab b a b+--÷++-，其中1,1a b ==.【例11】（09，石景山二模，16题）已知2244(0)a b ab ab +=≠，求22225369a b a b b a b a ab b a b--÷-++++的值.【巩固】已知：11553,x xy yx y x xy y+--=---则的值为 .【巩固】已知x y 、是方程245x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解，求332232212x x y x xy y x x y xy x y -⋅+-+++-的值.【例12】（08，顺义一模，13题）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并将得到的分式化简，再求当4,2x y ==-时分式的值.2222,,x y xy y y xy --+【巩固】（2010，河南）已知212,,242xA B C x x x ===--+，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值.其中3x =【例13】（2010，凉山州）已知：2441x x y -+-与互为相反数，则式子()()x yx y y x-÷+的值等于 .【巩固】（2010，襄樊）已知222[()()2()]41x y x y y x y y +--+-÷=，求224142x x y x y--+的值.【练习1】使分式121x x -+无意义的条件是课堂检测【练习2】（2010，延庆一模，14题）计算：21211x x ---【练习3】（2010，黄冈）1,2ab a b =-+=，则式子b aa b+= .【练习4】计算：23211(1)(1)211x x x x x ++-÷+--+-【练习5】化简求值：2223352x xy x xy y -+-，其中21,32x y =-=.【练习6】（2010，东城二模，15题）已知：2220,()2x y xyx y y x x xy y -=-⋅-+求的值.1.通过本堂课你学会了．2.掌握的不太好的部分．3.老师点评：① ．② ． ③ ．1.（2010，淄博）下列运算正确的是（） .1a b A a b b a -=-- .m n m n B a b a b --=- 11.b b C a a a +-= 2221.a b D a b a b a b +-=---2.（09，平谷二模，15题）化简：22142a a a +--.3.（08中考，17题）已知30x y -=，求222()2x y x y x xy y +⋅--+的值。

MSDC.初中数学. 因式分解B级.第01讲.学生版

一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：例题精讲中考要求换元法及主元法①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a a b b-=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b a b b-=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++四、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解五、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【例1】将x m +3﹣xm +1分解因式，结果是（）A ．x m（x 3﹣x ）B ．x m（x 3﹣1） C ．xm +1（x 2﹣1） D ．xm +1（x ﹣1）（x +1）【例2】将4x 3y ﹣8x 2y 2+4xy 3分解因式，结果为（） A ．xy （2x ﹣2y ）2B ．2xy （x ﹣y ）2C ．4xy （x 2﹣2xy +y 2）D ．4xy （x ﹣y ）2【例3】已知2011200920102010201020092011x =⨯⨯﹣，那么x 的值是（）A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011【例4】因式分解：⑴ 22()a b c +-⑵224(2)y z x --⑵ 481y -⑷229()4()m n m n --+⑸22122x y -+⑹22(32)16x y y --⑺44()()a x a x +--【例5】分解因式：（x ﹣2）3﹣（y ﹣2）3﹣（x ﹣y ）3= ．【巩固】分解因式：44222()4p q p q +-【例6】分解因式：24()520(1)x y x y ++-+-【例7】化简：22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+-+++-☞主元法在出现较多未知量时候可以用主元法．把一个字母看成主要元素，其他的都看成是常量，按降幂排列之后，可以用十字相乘，或提取公因式法等其他方法进行因式分解．【例8】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【例9】分解因式：2222a b ab bc ac --++【例10】分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++--【例11】分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++【例12】多项式2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-因式分解后的结果是．【例13】分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++【补充】分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++☞立方公式熟练掌握立方和与立方差公式：()()3322x y x y x xy y +=+-+，()()3322x y x y x xy y -=-++ 【例14】⑴分解因式：523972x x y -⑶ 分解因式：66a b +【例15】因式分解：3333a b c abc ++-【例16】分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【例17】(第十五届“五羊杯”第15题)333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________.【巩固】分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++☞换元法所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成了一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．【例18】分解因式：()221999199911999x x ---【例19】分解因式：()()42423410x x x x +++-+= ．【例20】分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【例21】分解因式：四个连续整数的乘积加1【例22】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++【巩固】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【例23】分解因式：()()()()21236x x x x x +++++【例24】分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【例25】在有理数范围内分解因式：()()()()166********x x x x --+-+=【例26】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【巩固】分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【巩固】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【例27】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【例28】分解因式：4444(4)a a ++-【例29】分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【例30】分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【巩固】分解因式：()()()2113212xy xy xy x y x y ⎛⎫+++-++-+- ⎪⎝⎭【例31】分解因式：43241x x x x +-++【例32】分解因式：()()4413272x x +++- 【例33】。

MSDC.初中数学.一次函数B级.第01讲.学生版

一、函数的相关概念1．常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．如在圆的面积公式2πS R =中，π是常数，是一个常量，而S 随R 的变化而变化，所以S 、R 是变量． 2．自变量、因变量与函数在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．注意：⑴对于每一个给定的x 值，y 有一个唯一确定的值与之对应，否则y 就不是x 的函数．例如2y x =就不是函数，因为当4x =时，2y =±，即y 有两个值与x 对应．⑵对于每一个给定的y 值，x 可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．二、函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数． ⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．知识点睛函数及图像注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．三、函数的表示方法1．函数的三种表示方法：⑴列表法：通过列表表示函数的方法．⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 2．对函数的关系式（即解析式）的理解：⑴函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． ⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数．⑶函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数．求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．三、函数的图象1．函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象． 2．函数图象的画法⑴列表； ⑵描点； ⑶连线． 3．函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j 解析式，如果满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．模块一、函数及其自变量取值范围【例1】判断下列式子中y 是否是x 的函数．⑴22(35)y x =- ⑵315y x = ⑶12y x =- ⑷8y x =-【例2】下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是( )O xyO xyO x yyx OA B C D【例3】求下列函数中自变量x 的取值范围：⑴3231y x x =++ ⑵223x y x -=- ⑶72y x =-⑷2373y x x =-+- ⑸243x y x -=- ⑹211y x=+【例4】等腰ABC ∆周长为10cm ，底边BC 长为cm y ，腰长为cm x 。