1432(1)运用平方差公式因式分解课件--人教版八年级数学上册
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人教版初二数学上册《因式分解平方差公式PPT课件》
(2)16(x+y)2 -25(x-y)2
例4 分解因式: (1)x4-y4; (2) a3b – ab.
分解因式:
(1) a2b— b (2) a2(x-y)-x+y (3) –a4+16
分解因式： （1）-4x2y2-6x3y2 (2)a2(x-1)+b2(1-x) (3) x3-9x
1．如果多项式各 项含有公因式，则第一步是提出 这个公因式． 2．如果多项式各 项没有公因式，则第一步考虑用 公式分解因式 3．第一步分解因 式以后，所含的多项式还可以继 续分解， 则需要进一步分解因
都可以写成平方的形式，那
么这个多项式可以运用平方 差公式分解因式．
[例1]分解因式：
（1）4x2-9 （2）(x+p)2-(x+q)2
1、下列多项式中，能用 平方差分解因式的是( )
A、x2 -xy B、x2 +xy C、-x2 +y2 D、x2+y2 2、分解因式： （1）a2 -144b2
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式．直到每个多项式因式都不能 分解为止．
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人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
人教部初二八年级数学上册 平方差公式因式分解 名师教学PPT课件
3、分解因式，必须进行到每一个多项式都 不能再分解为止。
P117 练习2 （1）（2）（3）（4）
（5）952 - 25
简 解：
单 原式= (95+5) ×(95-5)
计
=100 ×90
算
=9000
返回
(6)（2a+b)2 - (2a-b)2
简 解：
单 原式= [(2a+b)+(2a-b)][(2a+b)-(2a-b)]
计
= 8ab
算
返回 幻灯 片8返回返回谈谈这节课有什么收获？
1、平方差公式中的a与b 既可以是单项 式，又可以是多项式 2、分解因式的一般步骤：一提二套
返回
（3）9x3-xy²
分
解：
解
原式=x(9x²-y²)
因
=x(3x+y)(3x-y)
式
结论： （1）分解因式的一般步骤：一提二套
（2）多项式的因式分解，要分解到不能再分解为止。
返回
（4）552 - 452
简 解：
单
原式= (55+45) × (55 – 45)
计
=100 ×10 =1000
算
返回
1
2
3
4
5
6
7
8
总结
（1）4x²- 25
分 解：
解 因
原式= (2x)²- 5²
式
= (2x + 5 )(2x - 5)
返回
（2）p4 -16
分 解：原式=(p2)2- 4²
解
=(p2 +4)(p2 - 4)
因
=(p2 +4)(p + 2)(p - 2)
P117 练习2 （1）（2）（3）（4）
（5）952 - 25
简 解：
单 原式= (95+5) ×(95-5)
计
=100 ×90
算
=9000
返回
(6)（2a+b)2 - (2a-b)2
简 解：
单 原式= [(2a+b)+(2a-b)][(2a+b)-(2a-b)]
计
= 8ab
算
返回 幻灯 片8返回返回谈谈这节课有什么收获？
1、平方差公式中的a与b 既可以是单项 式，又可以是多项式 2、分解因式的一般步骤：一提二套
返回
（3）9x3-xy²
分
解：
解
原式=x(9x²-y²)
因
=x(3x+y)(3x-y)
式
结论： （1）分解因式的一般步骤：一提二套
（2）多项式的因式分解，要分解到不能再分解为止。
返回
（4）552 - 452
简 解：
单
原式= (55+45) × (55 – 45)
计
=100 ×10 =1000
算
返回
1
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8
总结
（1）4x²- 25
分 解：
解 因
原式= (2x)²- 5²
式
= (2x + 5 )(2x - 5)
返回
（2）p4 -16
分 解：原式=(p2)2- 4²
解
=(p2 +4)(p2 - 4)
因
=(p2 +4)(p + 2)(p - 2)
人教版八年级数学上册教学平方差公式精品课件PPT
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分析:
（2）(3x2)(3x2)
（3
2
x）
2
2
(3)(x12y)(x12y)
（ x）2
（1
2
y ）2
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
四、公式运用
练习：第108页的练习第1题.
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x2)(x2)x22 ( 3 a 2 ) ( 3 a 2 ) ( 3 a ) 2 2 2 9 a 2 4
设计意图：考查学生对平方差公式的结构的掌握情况
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
五、“最强大脑”秘密
设计意图：进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，
并为下一节内容的学习埋下伏笔。
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
九、牛刀小试
1、作业P112 第1题 2、 数学探究 天龙住宅小区的花园，起初被设计为边长为 a 米的正方形， 后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移 x(x a)米， 而西边往西平移 x 米. 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a 的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a 的圆的面积，正六边形的面积。由此 你有什么新的发现？
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
人教版八年级数学上册《14.3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解》教学课件
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整 式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
课堂小结
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
平方差 公式分 解因式
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
针对训练 分解因式： (1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
解：(1)原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
(1) x4 y4 ;
(2) a3 b ab.
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是 否还有能继续分解的因式， 若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1).
分解因式时，一般先用提公 因式法进行分解，然后再用 公式法.最后进行检查.
Hale Waihona Puke √的多项式才能用平方
（3）-x2-y2 （4）-x2+y2
-(x×2+y2) y√2-x2
差公式进行因式分解， 即能写成: ( )2( )2的形式.
（5）x2-25y2 (√x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m√+1)(m-1)
两数是平方， 减号在中央．
典例精析
例1 分解因式：
(1) 4x2 9; (2) (x p)2 (x q)2.
课堂小结
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
平方差 公式分 解因式
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
针对训练 分解因式： (1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
解：(1)原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
(1) x4 y4 ;
(2) a3 b ab.
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2 ＝(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后，一定要检查是 否还有能继续分解的因式， 若有，则需继续分解.
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1) ＝ab(a+1)(a-1).
分解因式时，一般先用提公 因式法进行分解，然后再用 公式法.最后进行检查.
Hale Waihona Puke √的多项式才能用平方
（3）-x2-y2 （4）-x2+y2
-(x×2+y2) y√2-x2
差公式进行因式分解， 即能写成: ( )2( )2的形式.
（5）x2-25y2 (√x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m√+1)(m-1)
两数是平方， 减号在中央．
典例精析
例1 分解因式：
(1) 4x2 9; (2) (x p)2 (x q)2.
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》 课件第1课时(共17张PPT)
3．因式分解与整式乘法有着怎样的关系？ 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，把整式 乘法的平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 的等号两 边互换位置，就得到 a2 b2 (a b)(a b) ．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
人教版八年级上册 14.3.2 利用平方差公式分解因式 课件 (共16张PPT)
5、计算下列各式：
（1）(a b)(a b)=______a_2____b_2__
（2）（x 5）(x 5) =_____x__2___2_5___
（3）(3x y)(3x y)=______9_x_2___y_2__
情5境、计创算设下列：各式：
（1）(a b)(a -=_b_)____a_2____b_2__
14.3.2公式法
利用平方差公式分解因式
• （一）教学目标： 知识与技能：1。能说出平方差公式的特点。 2.能较熟练的应用平方差公式分解因式。 过程与方法：1.运用平方差公式进行因式分解的同时培养学 生观 察、比较、判断能力及运算能力。 2.进一步体验 “整体”思想，培养“换元”意识 情感态度与价值观：培养学生观察、联想能力，进一步了解换 元思想。
解：（1） 4x2 -9=（2x+3）（2x-3）；
（2）（x+p）2 （x+q）2 =（x+p+x+q）（x+p-x-q） =（2x+p+q）（p-q）．
应用平方差公式
练习1 将下列多项式分解因式：
（1） a2 - 1 b2； （2）9a2 -4b2；
25
（3） -1+36b2；（4（）2x+y）2 -（x+2 y）2．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.1221.8.1210:18:5710:18:57August 12, 2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月12日星期四上午10时18分57秒10:18:5721.8.12 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月上午10时18分21.8.1210:18August 12, 2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月12日星期四10时18分57秒10:18:5712 August 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。上午10时18分57秒上午10时18分10:18:5721.8.12
人教版数学八年级上册 《14.2.1平方差公式》优质课件
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=1002－22
= y2－22－y2-5y+y&3;1.
=9 996.
【跟踪训练】
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） )
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
归纳
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 .
平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
验证
请从这个正方形纸板上，剪下一
个边长为b的小正方形，如图1，拼成
如图2的长方形，你能根据图中的面
图1
积说明平方差公式吗？
A．3a 2a 5a2
B．(2a b)(2a b) 4a2 b2
C．2a2 a3 2a6
D．(2a b)2 4a2 b2
【解析】选B. 在A中3a＋2a＝5a；C中2a2 a3 2a23； 2a5
D中 (2a b)2 4a2. 4ab b2
2.(威海·中考)已知a-b=1,则a2－b2－2b的值为( )
14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式. 2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
人教版八年级数学上册课件：14.3.2公式法(第一课时)
解：(1)72-52=8×3，152-132=8×7． (2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
(3)证明这个规律的正确性．
(3)设两奇数为2m+1和2n+1，则 (2m+1)2-(2n+1)2 =(2m+2n+2)(2m-2n) =4(m+n+1)(m-n)． 当m、n同为奇数或偶数时，4(m-n)一定为8的倍数； 当m、n为一奇一偶时，m+n+1为偶数， 4(m+n+1)一定为8的倍数． 综上，任意两奇数的平方差是8的倍数．
(2x+5y)(2x-5y)
12．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2b2c2=a2b2-a4，则△ABC的形状是 等腰三角．形
13．老师在黑板上写出几个算式： 52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112-52=8×12，152-72=8×22，… (1)请再写出两个具有上述规律的算式(不同于上面算式)； (2)用文字写出上述算式的规律；
(2)m3-m； 解：原式=m(； 解：原式=(4m2+3n)(4m2-3n);
(4)3ax2-3ay2； 解：原式=3a(x+y)(x-y);
(5)(x+2)2-9． 解：原式=(x+5)(x-1)．
10．将下列各式因式分解． (1)(2x+3)2-25x2; 解：原式=(2x+3+5x)(2x+3-5x) =(7x+3)(3-3x) =-3(x-1)(7x+3);
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
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施秉县第三中学2020—2021学年度第一学期集体备课
探索平方差公式
你能将多项式 y2-25 与多项式 x2-4 分解因式吗？
y2 -25=（y+5）（y-5） x2 -4=（x+2）（x-2） 你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概 括你的发现.
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(1) (a 1 b)(a 1 b) 55
(3) (6b1b)(6b 1)
(2) (3a 2b)(3a 2b) (4) 3(x y)(x y)
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综合运用平方差公式
例2 分解因式： （1）x4 -y4；（2）a3b-ab.
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应用平方差公式
例1 分解因式： （1） 4x2 -9 ； （2）（x+p）2-（x+q）2 ．
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应用平方差公式
练习1 将下列多项式分解因式： （1） a2 - 1 b2； （2）9a2 -4b2；
25 （3） -1+36b2； （4）（2x+y）2-（x+2y）2．
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综合运用平方差公2） -a4+16 ．
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课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的平方差公式的结构特征是什么？ （3）综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解
综合运用平方差公式
例2 分解因式： （1）x4 -y4；（2）a3b-ab.
施施秉县秉第县三第中学三2中018学7-2200192学0年—度2集0体21备学课年度第一学期集体备课
综合运用平方差公式
通过对例2的学习，你有什么收获？ （1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解
为止； （2）对具体问题选准方法加以解决．
时要注意什么？
√
（3） -x2+y2； √
（4） -x2 -y2． ×
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理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项 式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
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探索平方差公式
把整式的乘法公式——平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 反过来就得到因式分解的平方差公 式：
a2 -b2 =（a+b）（a-b）
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理解平方差公式
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什
么？
（1） x2+y2；
×
（2） x2 -y2；
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14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
教研组：数学组 制作人：
时间：2020年7月
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探索平方差公式
你能将多项式 y2-25 与多项式 x2-4 分解因式吗？
（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？ （3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 来解决这个问题吗？