(详细解析)2001年上海高考数学(文科)

2001年上海高考数学试题

（文科）

一、填空题

1．设函数9()log f x x =，则满足1

()2

f x =的x 值为 ． 【答案】3

【解析】1

291

log 932

x x =⇒===．

2．设数列{}n a 的首项17a =-，且满足12()n n a a n N +=+∈，则1217a a a ++⋅⋅⋅+= ． 【答案】153

【解析】由题设可得数列{}n a 是以17a =-为首项，公比为2的等差数列，即29n a n =-，所以17117(171)17(171)

1717(7)215322

S a d --=+⨯=⨯-+⨯=．

3．设P 为双曲线2

214

x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的 轨迹方程是 _____ ． 【答案】2

2

41x y -=

【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2

214

x y -=得2241x y -=，即为所求．

【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．

4．设集合{}

2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫

==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭

||，则A B 的元素 个数为 _____ 个． 【答案】1

【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得2

8150x x -+=，∴

3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos

02x >；5x =时，5

cos 02

<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．

【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ． 【答案】1(0,)4

【解析】由2

430x y --=得，2

34()4x y =+，表示顶点在3(0,)4

-，开口向上的抛物线，

2p =，∴故焦点坐标是1

(0,)4

．

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．

6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞

=，则此数列

的首项1a 的取值范围为 _____ ． 【答案】(0,7)

【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩

等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)

1n n a q S q

-=-，

因此lim 0n

x q →∞

=，而根据极限的四项运算法则有，1

lim 71n x a S q

→∞

=

=-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．

【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力． 7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现 在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示） 【答案】7

【解析】设素菜n 种，则22

5200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．

【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．

8．在代数式6

2

1()x x -的展开式中，常数项为 ． 【答案】15

【解析】通项公式66316621()

()(1)()r

r

r r r r r T C x C x x

--+=-

=-，令630r -=得2r =，常数项为22

6(1)15C -=．

9．设sin x α=，且5[,]66

ππ

α∈-，则cos arc x 的取值范围是 ____ ．

【答案】2[0,

]3

π 【解析】由题意可得1

12x -

≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,

]3

π

． 【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．

10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 ____ ．

【答案】3A

【解析】方案1A 盈利的数学期望1500.25650.30260.4543.7EA =⨯+⨯+⨯=；同理可求得23432.5,45.7,44.6EA EA EA ===，易知应选择的方案是3A ．

11．已知两个圆：2

2

1x y +=①；2

2

(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆 的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．

【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222

()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，