利用角平分线构造全等三角形

善于构造

活用性质

安徽张雷

几何问题中,若出现角平分线这一条件时，可联想角平分线得特性，灵活利用角平分线

得特性来解决问题、

1、显"距离”，用性质

很多时候，题意中只给角平分线这个条件，图上并没有出现“距离”，而角平分线性质得运用又离不开这个“距离”，所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上得一点向角得两边作垂线段）

例:三角形得三条角平分线交于一点,您知道这就就是为什么吗？

分析：我们知道两条直线就就是交于一点得，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线得交点、

已知:如图.AABC得角平分线AD与BE交于点I,求证：点I在ZACB得平分线上、证明:过点I作IH丄AB、IG丄AC、IF丄BC,垂足分別就就是点H、G、F、

T点I在ZBAC得角平分线A D±,K 1 H丄AB、IG丄AC

.•.III=IG（角平分线上得点到角得两边距离相等）

同理IH=1F 「.IGhlF （等量代换）

又IG丄AC、! F丄BC

二点1在ZACB得平分线上（到一个角得两边得距离相等得点，在这个角得平分线上）、即:三角形得三条角平分线交于一点、

【例2】已知:如图,PA、PC分别就就是△ABC外角ZMAC与ZNCA得平分线，•它们交于点R P D丄BM于D. PF亠BN于F、

求证：BP为ZMBN得平分线、

【分析】要证BP为ZMBN得平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线,・故可过P作PE丄AC于E、根据角平分线性质楚理有PD=PE.PF=PE,则有PD=PF,故问题得证、【证明】过P作PE丄AC于E、

TPA、PC分别为ZMAC与ZNCA得平分线、且PD丄BM.PF丄B N PD=PE.PF=PE J.PD=PF

又TPD丄BM-PF丄BN-A点P在ZMBN得平分线上，

即BP就就是ZMBN得平分线、

2、构距离，造全等

有角平分线时常过角平分线上得点向角两边引垂线，根据角平分线上得点到角两边距离

相等，可构造处相应得全等三角形而巧妙解决问题、

例3、△ABC中，ZC=90° , AC=BC,DA平分ZCAB交BC于D点，问能否在AB上确宦一点E使△BDE得周长等于AB得长、请说明理由、

解:过D作DE丄AB,交AB于E点，则E点即可满足要求、

因为ZC=9(r , AC=BC, 又DE丄AB, ADE=EB.

•••AD 平分ZCAB 且CD 丄AC、ED 丄AB, ACD=D E、

由“HL” 可证RtAACD^RtAAED、AAC=AE.

Lg=B D +DE+EB =BD+D C *EB = B OEB = A C+E B =AE 宁E B = AB、

例4、如图，ZB=ZC=9 0° r M就就是BC上一点，且DH平分ZADC, AM平分ZD A B.

求证：AD=CD+AB、

证明:过M作ME丄AD,交AD于E、

■••DM平分ZADC, ZC=9 0°、

HOME、根据“Hl/ 可以证得RtAMCD^R t AMED. ACD=ED.

同理可得AB=AE. •••CD十AB=ED +AE=AD.即AD=CD+AB、

3、巧翻折，造全等

以角平分线为对称轴，构造两三角形全等、即在角两边截取相等得线段，构造全等三角形、例5、如图•已知^ABC中Z BAC=90° .AB=ACC D•垂宜于ZABO得平分线BD 于D .BD 交AC 于E，求证:BE=2 C D、

分析:要证BE=2CD.想到要构造等于2CD得线段，结合角平分线，•利用翻折得方法把△CBD沿BD翻折，使B C重叠到B A所在得直线上，即构造全等三角形(△B C D丝△B FD).然后证明BE与CF(2CD)所在得三角形全等、

证明:延长BA、CD交于点F

VBD丄CF (已知)•••ZBDC=ZBDF=90°

7BD 平分ZABC (已知)•••Zl = Z2 在^BCD与△BFD中

AABCD^ABFD(ASA)

••• C D=FD・即CF= 2 C D

YZ 5=Z4=90° ,ZBDF=90"AZ3+ZF=90" ,Z1 + ZF=9O"…••Z1=Z3。

在△A BE与△ACF中

A △ A

B E^A ACF （ASA） ABE =CE A B E=2CD。

例6、如图•已知AC〃BD、EA、EB分别平分ZCAB与△DBA, CD过点E,则AB 与AOBD

相等吗？请说明理由、

【分析】要证明两条线段得与与一条线段相等时常用得两种方法、

1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等得一段，然后证明剩余得线段与另一

条线段相等、（割）

2、把一个三角形移到外一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等、（补）

证法一:如图（1）在AB H截取AF=AC,连结EF、在^ACE AAFE中

•••△ACEMAFE (SAS) 又，•••Z6=ZD 在△EFB与△BDE中

A AEF

B 丝△ E DB (AAS) AFB =DB /. AC+BD=AF+FB=AB

证法二：如图(2),延长BE,与AC得延长线相交于点F

Z F=Z3

在^AEF与△AEB中

AAAEF^AAEB(AAS), AAB=AF,BE=FE

在△BED与△FEC中

•••△ B ED丝△FEC(ASA) ABD=FC, AAB=AF=AC+CF=AC+BD .