利用角平分线构造全等三角形
构造全等三角形的四种技巧
构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。
全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。
理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。
以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。
这个公理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。
这两个三角形的形状和大小将会完全相同。
利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。
通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。
利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。
这样，你就可以得到两个全等的三角形。
利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。
这个定理可以用来构造全等三角形。
确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。
由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。
如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。
以上就是构造全等三角形的四种技巧。
理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。
已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。
两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。
已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。
构造全等三角形的方法技巧
方法1 角形
利用“角平分线”构造全等三ห้องสมุดไป่ตู้
【方法归纳】 因角平分线本身已经具备 全等的三个条件中的两个(角相等和公共 边相等)，故在处理角平分线问题时，常 作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
思1．如图，AB∥CD，BE平分 ∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD 上，求证：BC＝AB＋CD. 考
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是 ∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点 P在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA，OB交于点C，D，求证：PC＝ PD.
方法2 利用“截长补短法”构造全等 三角形
【方法归纳】 截长补短法的具体做法 ：在某一条线段上截取一条线段与特定 线段相等，或将某条线段延长，使之与 特定线段相等，再利用三角形全等的有 关性质加以说明．这种方法适用于证明 线段的和、差、倍、分等类的题目．
3．如图，在△ABC中，AD平分 ∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB， AC，CD三者之间的数量关系，并 说明理由．(想一想，你会几种方法)
方法3 利用“倍长中线法”构造全 等三角形
【方法归纳】 将中点处的线段延长 一倍，然后利用SAS证三角形全等．
6．已知：如图，AD，AE分别是 △ABC和△ABD的中线，且BA＝ BD.求证：AE＝AC.
全等三角形中角平分线问题的处理方法
全等三角形中角平分线问题的处理方法【全等三角形中角平分线问题的处理方法】1. 引言全等三角形中角平分线问题是几何学中的一个经典问题，旨在探讨如何将一个三角形的角平分线构造出来并求解相关问题。
这个问题在几何学中具有重要的应用价值和理论意义。
本文将从简单到复杂、由浅入深地介绍全等三角形中角平分线的处理方法，以帮助读者更全面、深刻和灵活地理解这一问题。
2. 基本定义与性质我们来回顾一下全等三角形的基本定义与性质。
全等三角形是指具有完全相同的大小和形状的三角形。
根据全等三角形的定义，对于两个全等三角形来说，它们的对应边长相等，对应角度相等。
这一性质是我们处理全等三角形中角平分线问题的基础。
3. 三角形角平分线的构造下面，我们开始介绍全等三角形中角平分线的构造方法。
考虑一个任意三角形ABC，我们的目标是构造出三角形ABC的角B的平分线。
（1）方法一：直接角平分线法我们可以借助直尺和圆规，以及平行线的性质来构造角平分线。
具体的步骤如下：a. 以顶点B为圆心，做一个与边AC相交于点D的圆；b. 以点D为圆心，与圆交于点E，连接BE；c. 连接线段BC和BA；根据圆周角的性质，角EBD是角ABC的一条平分线。
（2）方法二：割取角平分线法除了直接角平分线法之外，我们还可以使用割取角平分线的方法构造角平分线。
具体步骤如下：a. 过顶点B做一条与边AC相交于点F的直线；b. 以BF为半径，顶点B为圆心画一个圆；c. 连接圆与边BC、BA的交点分别为点D和点E，连接线段ED；根据圆内接四边形对角相等的性质，角BED是角ABC的一条平分线。
4. 角平分线的性质与应用了解了全等三角形中角平分线的构造方法之后，我们来探讨一些与角平分线相关的性质与应用。
（1）性质一：角平分线相交于三角形内心不仅在全等三角形中，对于任意三角形来说，角平分线的三条线段的交点恰好是三角形的内心。
这个性质是由角平分线与三角形内接圆的性质相关联的。
（2）性质二：角平分线的长度关系若一个角的平分线将另外两个角的平分线相交于点P，那么点P到三角形各边的距离满足以下关系：AP：BP：CP＝AB：BC：CA。
(完整版)利用角平分线构造全等三角形
善于构造 活用性质安徽 张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。
全等三角形的构造技巧(2020版)
全等三角形的构造技巧一、利用角平分线，构造全等三角形【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；（3）延长角平分线的垂线.（一）在角两边截取相等线段例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.练习：1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。
也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。
（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.图1 图2分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P BA E F O P G AB C E DA B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。
由角平分线构造对称全等三角形解题
由角平分线构造对称全等三角形解题
多年来，依据角平分线构造对称全等三角形这一数学、几何知识点一直是高中
数学教学的重点。
而其核心内容是根据规定的角和边，求一个等边三角形，以准确解答对称全等三角形题目。
第一步，要把题目中给定的角、边、绳子长度这些要素陈列出来。
确定绳子的
长度，是关键的步骤。
使用绳子绘制角平分线，然后根据角平分线的作用，计算出其它不同点的位置。
第二步，在第一步的基础上，要解决的是怎样构造一个对称全等三角形。
我们
可以根据前面步骤的结果，依次求出各边的长度。
当长度全部求出时，我们就可以依据角平分线将顶点连接起来，构造出一个对称全等三角形。
最后，结合题目给出的图形，通过比较来验证我们解答的准确性。
通过衡量等
边三角形各个边长度、外角大小等特征，可以判断出解决方案是否正确。
从而彰显出角平分线定理在构造对称全等三角形这一具有重要解题价值的应用。
总之，根据角平分线构造对称全等三角形的技巧是高中数学中的重要教学内容，对高中数学的学习有着积极、重要的意义。
只要认真按照所讲解的步骤做，加强理解，坚持练习，就能够较为轻松的应用角平分线构造对称全等三角形，解决一些有关此课题的考题。
2023年中考数学常见几何模型之角平分线全等类模型
专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.图121．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，如图①，当∠C ＝90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，在AB 上截取AE ＝AC ，连结DE ，易证AB ＝AC ＋CD ．（1）如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD =+；证明见解析；（2）AB AC CD +=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC （SAS ），则可得∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，又由∠AED ＝∠ACB ，∠ACB ＝2∠B ，所以∠AED ＝2∠B ，即∠B ＝∠BDE ，易证DE ＝CD ，则可求得AB ＝AC ＋CD ；（2）首先在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED ，易证△EAD ≌△CAD ，可得ED ＝CD ，∠AED ＝∠ACD ，又由∠ACB ＝2∠B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+．证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，∵AD 为ABC V 的角平分线时，∴BAD CAD ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ADE ADC ≌△△，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠．∵B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．∵AD 平分FAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠．在EAD V 与CAD V 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴EAD CAD ≌△△．∴ED CD =，AED ACD ∠=∠．∴FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．∴EB ED =．∴EA AB EB ED CD +===．∴AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC V 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC V 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．（1）证明：∵AD 为BAC ∠的角平分线，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，又∵90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，∴45B ∠=︒，90AED ∠=︒，∴45AED BDE B ∠=∠=∠−︒，∴B BDE ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵AD 为BAC ∠的角平分线时，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠，又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD=，∴AB AE EB AC CD =+=+．（3）解：猜想AB AC CD +=，证明如下：∵AD 平分EAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中,AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，如图，∴180180AED ACD ︒−∠=︒−∠，即FED ACB ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FED B ∠=∠，又∵FED B EDB ∠=∠+∠，∴EDB B ∠=∠，∴EB ED =，∴AB AE EB ED CD +===，∴AB AC CD +=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，∠C ＝90°，AD 为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD =∠CAD ．在△ACD 和△AED 中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△AED （SAS ）．∴∠AED =∠C =90°，CD =ED ，又∵∠ACB =2∠B ，∠C =90°，∴∠B =45°． ∴∠EDB =∠B =45°．∴DE =BE ， ∴CD =BE ．∵AB =AE ＋BE ， ∴AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, ∴△ACD ≌△AED ，∴∠C=∠AED ，CD=DE ，又∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ，∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDB=∠B ，∴ED=EB ，∴CD=EB ，∴AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （SAS ），∴∠ACD =∠AED ，CD =DE ，∴∠ACB =∠FED ，又∵∠ACB =2∠B∴∠FED =2∠B ，又∵∠FED =∠B ＋∠EDB ，∴∠EDB =∠B ，∴DE =BE ，∴BE =CD ，∵AB =BE -AE∴AB =CD ﹣AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 图1 图2图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+=1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==， ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．B2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PA PM PF==， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD Y 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD Y 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD Y 中，∵//AB CD ，∴BAE DCG ∠=∠，∵BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，∴ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，∵BAE DCG AB CDABE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CDG ASA ∆≅∆，∴BE DG AEB CGD =∠=∠，，∴BE DG ∥．（2）如图，作EQ BC ⊥，∵ABCD Y 的周长为56，∴28AB BC +=，4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB =120°，∴CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC =∠BOC =60°（角平分线的性质），∵∠DCE =∠AOC ，∴∠AOC =∠BOC =∠DCE =60°，∴∠MCO =90°-60° =30°，∠NCO =90°-60° =30°，∴∠MCN =30°+30°=60°，∴∠MCN =∠DCE ，∵∠MCF =∠MCN -∠DCN ，∠NCG =∠DCE -∠DCN ，∴∠MCF =∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。
角平分线模型构造三角形全等
角平分线模型构造三角形全等
一、作垂线构造AAS型全等
1、如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD 的中点，且AO平分∠BAC.
求证∶（1）CO平分∠ACD；（2）0A⊥OC；（3）AB＋CD=AC.
2、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD⊥AB于点E，∠B+∠ADC=180°.
求证：（1）BC=CD；（2）AB+AD=2AE.
3、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF=∠BAE.求证：AF=BC+FC.
二、截长补短构造SAS型全等
4、如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE=AD，连接EC，求证：AB+CE=BC.
5、如图，AD∥BC，E是CD上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC.
三、角平分线+垂线——延长法构造ASA型全等
6、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，探究∠ACE，∠B和∠ECD之间的数量关系.
7、如图，在△ABC中，AB<BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC，若△ABC的面积为4，求△BPC的面积.
8、如图，在△AOB中，AO=BO，∠AOB=90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD交BD延长线于点E，求证：BD=2AE.。
运用角平分线构造全等优秀教学设计
运用角平分线构造全等教学内容：利用角平分线构造全等三角形教学目标：通过对角平分线的研究使学生能利用角平分线的性质构造全等三角形解决问题教学重点：构造全等三角形中的辅助线教学过程：一．回顾问题1：如图，已知∠AOB，请你利用直尺和圆规作出它的角平分线OP问题2：你能说说角平分线具有哪些性质？1.___________________________________________2.____________________________________________3.___________________________________________二．合作探究问题3：：如图，点E是∠AOB的平分线OP上一点，分别在OA、OB上确定一点F、G，使⊿OEF≌⊿OEG，你有几种确定的方法，并说明理由。
方法1：方法2：方法3：三．典例精讲例1.如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C=180°，BD平分∠ABC. 求证：AD=CD方法一：截长法证明：方法二：补短法证明：方法三：向角两边作垂线证明：EEE 四．课堂小结：通过对角平分线的研究过程，你从中有哪些收获？得到了哪些解决问题的方法。
五、巩固提升1.已知R t ⊿ABC 中，∠B=90°，BD 是∠B 的平分线，点Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＢＣ上的点，满足DE ⊥DF ，你能判断DE 与DF 的数量关系吗？证明你的结论。
方法1：截长法方法2：补短法方法3：作垂足法AA 2.在⊿ABC 中，∠BAC 与∠BCA 的角平分线AD ，CE 交于点O ，∠AOC=120°，猜想OE 与OD 的数量关系，并证明你的结论。
方法1：截长补短法2：做垂足法。
专题07 利用角的平分线构造全等三角形(解析版)
专题07 利用角的平分线构造全等三角形参考答案与解析【例1】（2018秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD．【答案】略【典例分析】【直击考点】【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．【变式1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【答案】略【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．【变式2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝4．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【例2】（2019秋•奉化区期末）如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．【答案】（1）∠AEB＝90°（2）ED＝CE【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．【变式1】（2020秋•渑池县期末）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为；（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．【答案】（1）AB＝AC+CD（2）略【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，在△CAD和△EAD中，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD＝DE，AC＝AE，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴DE＝EB，∴DC＝BE，∴AE+BE＝AC+DC＝AB；故答案为：AB＝AC+CD．（2）成立．证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．∵在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD＝ED，∠C＝∠AED，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，∴AB＝AC+CD．【例3】（2019秋•广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D．（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）连接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度数．【答案】（1）略（2）∠DAC＝50°【解答】（1）证明：如图，过点D作三边AB、BC、CA所在直线的垂线，垂足分别是Q、M、N．则垂线段DQ、DM、DN，即为D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离．∵D是∠ABC的平分线BD上的一点，∴DM＝DQ．∵D是∠ACM的平分线CD上的一点，∴DM＝DN．∴DQ＝DM＝DN．∴D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．（2）解：连接AD，∵∠DCG是△BCD的外角，∴∠DCG＝∠DBC+∠BDC，∵∠ACG△ABC的外角∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝40°，∴∠BAC＝80°，∠EAC＝100°，由（1）可得DQ＝DN，∴AD平分∠EAC，∴∠DAC＝EAC＝50°．【变式3】（2020秋•贵港期中）如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：∠BDC＝；（2）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论．【答案】（1）略（2）△ABD是等腰三角形【解答】（1）证明：∵BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∵∠ACE＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴2∠DCE＝2∠BDC+2∠DBC，∴∠BAC＝2∠BDC，即∠BDC＝∠BAC；（2）△ABD是等腰三角形，证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，过D作DQ⊥AB于Q，DR⊥BC于R，DW⊥AC于W，∵BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，∴DQ＝DR，DW＝DR，∴DQ＝DW，∵DQ⊥AB，DW⊥AC，∴∠GAC＝2∠GAD＝2∠CAD，∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形．【跟踪训练】1．（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【答案】略【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠F AD＝∠C，∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠F AD＝180°．2．（2018秋•镇原县期中）如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．【答案】（1）略（2）略（3）略【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC．3．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）略（2）略【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．4．（2020秋•常熟市期中）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．【答案】（1）略（2）△ABE的面积＝．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠F AE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．5．（2013•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）略（2）略（3）略【解答】解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝DC，则AB＝BE+AE＝CD+AC；（2）AB＝CD+AC，理由为：在AB上截取AG＝AC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BE＝DG＝DC，则AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG＝AC，如图3所示，∵AD为∠F AC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．。
初中数学58种模型之角平分线截取构造对称全等模型
初中数学58种模型之角平分线模型截取构造对称全等模型 2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的角平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△OPB≌△OPA。
模型证明：∵O P 是∠MON 的角平分线∴∠AOP=∠BOP，OP=OP又OA=AB∴△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。
解:（1）如图在BA的延长线上取点E使AE=AC，连接PC由角平分线模型2可证△APC≌△APE∴PC=PE∴在△PBE中有PC+PE>BE=AB+AE∴PB+PC>AB+AC（2）如图在AC上取一点E使AE=AB，连接PE∵∠BAP=∠EAP,AP=AP,AE=AB∴△BAP≌△EAP∴PB=PE在△PEC中，PC-PB=PC-PE>EC=AC-AE=AC-AB∴PC-PB>AC-AB模型练习1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段 BC 的长。
解：如图在CB上取一点E使CE=CA，则有CD=CD，∠ACD=∠ECD∴△ACD≌ECD∴AD=DE=8∴∠A=∠CED=2∠B又∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴△BDE为等腰三角形∴DE=BE=8又CE=CA=16∴BC=BE+EC=242．已知，在△ABC 中，AB=AC，∠A=108°，BD 平分∠ABC。
小专题(三) 构造全等三角形的常用方法
AB＝FB， ∠ABE＝∠FBE， BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE(SAS)． ∴∠A＝∠BFE.
∵AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180°. ∴∠BFE＋∠D＝180°. ∵∠BFE＋∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝∠D. 在△FCE和△DCE中，
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线 段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段 相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法 适用于证明线段的和、差、倍、分等题目．
2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点 E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
∠CFE＝∠D， ∠FCE＝∠DCE， CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE(AAS)． ∴CF＝CD. ∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
3．(德州中考)问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°， ∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点，且 ∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使 DG＝BE，连接AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明 △AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE＋DF；
(2) 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB＝AD， ∠B＋∠D＝180°.E，F 分别是 BC，CD 上的点，
且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由． 解：EF＝BE＋DF仍然成立． 理由：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°， ∴∠B＝∠ADG. 在△ABE和△ADG中，
利用角平分线构造全等三角形典型题
利用角平分线构造全等三角形典型题在数学的世界里，角平分线可真是个神奇的家伙。
你知道吗？它不仅仅是个线段，还能帮我们构造全等三角形，简直是数学界的“万金油”。
想象一下，有一天你在班里听到老师讲这个话题，心里可能会想：“这玩意儿跟我有什么关系？”但慢慢地，你就会发现，角平分线就像是一个聪明的小精灵，能把那些复杂的三角形问题变得简单易懂。
说到角平分线，首先得弄明白它是什么。
简单来说，角平分线就是从一个角的顶点出发，把这个角一分为二的那条线。
嘿，这可是个了不起的角色。
无论你是在解题，还是在做几何图形，角平分线总能让你变得轻松自如。
你可以把它想象成一个把复杂事物变简单的法宝，真的是一举两得。
当我们用角平分线来构造全等三角形时，别急，先来个小热身。
想象一下，两个三角形，A、B，分别有角A和角B。
我们只需要一条角平分线，把这个角平分成两个小角。
好啦，这时候就能看到两个小三角形在争先恐后地跑出来了，简直可爱得不行！这些小家伙的特征可多了：它们的边长一样，角度也相同，真是如同孪生兄弟。
想想看，这样的构造不仅好看，还特别实用。
咱们来聊聊具体的步骤。
找好一个角，拿起你的直尺，轻轻一划，就得到了那条神秘的角平分线。
然后，你可以利用这个角平分线分别连接角的两边，形成两条新的边，乖乖，这时候，你就会发现两个全等的三角形在眼前逐渐成型，简直像是魔术表演一样，令人目不暇接！这不就是数学中的“变魔术”吗？这个过程还不止于此。
我们可以用角平分线来解决很多问题，比如测量、绘图等等。
听着都觉得高大上，对吧？想象一下，今天你在做家庭作业，正遇到一道棘手的几何题，心里就像打翻了五味瓶，百感交集。
这时，突然想到用角平分线，哇，恍若拨云见日，前路明朗，简直就是“豁然开朗”啊！利用这条线，能把你的思路理顺，真是一箭双雕。
在做这些的时候，偶尔也会有些小插曲。
比如，手一抖，角平分线画得不太好，搞得自己“心烦意乱”。
这时候，你得提醒自己，慢慢来，别急。
初中数学 巧借角的平分线构造全等三角形 学法指导
初中数学 巧借角的平分线构造全等三角形 学法指导翟作凤在“三角形”一章中，有许多证明题在证明时需要添加辅助线。
当条件中有角的平分线时，我们可以利用角的平分线的对称性来构造全等三角形，从而使问题易于解决。
下面介绍这种方法在证明各类问题中的应用。
一、证明线段相等例1. 如图1，A ,AC AB ∠>的平分线与BC 的垂直平分线MD 相交于D ，自D 作AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E 、F 。
求证：BE=CF 。
分析：连结DB 、DC ，由AD 是∠A 的平分线可得DF DE =；由CMD BMD ∆≅∆可得CD BD =；再由CDF Rt BDE Rt ∆≅∆可得CF BE =。
二、证明线段不等例2. 如图2，ABC ∆中，AB AC >，AD 为角平分线，求证：CD BD <。
分析：在AC 上截取AE=AB ，利用AE D ABD ∆≅∆，可得ED BD =，在DEC ∆中运用大角对大边可得DC DE <。
例3. 如图3，ABC ∆中，AC AB >，AD 是∠BAC 的平分线，P 是AD 上的一点，求证：PC PB AC AB ->-。
分析：欲证PC PB AC AB ->-，可设法将AB 、AC 、PB 、PC 放到一个三角形中考虑。
根据AD 是∠BAC 的平分线，可在AB 上截取AE=AC ，连结PE ，则得到APC APE ∆≅∆，所以PC PE =，AC AB -即可转化为BE 。
在PBE ∆中，根据两边之差小于第三边即可得证。
三、证明角不等例4. 如图4，BD 平分∠ABC ，AB BC >，求证：∠A C ∠>。
分析：延长BA 至点E ，使BC BE =，连结DE 。
则BDC BDE ∆≅∆，所以C E ∠=∠。
因为E BAD ∠>∠，所以C BAD ∠>∠。
本题还有另一种辅助线的方法，即在BC 上截取AB BE =，连结DE 。
__利用角平分线__构造全等三角形教学设计_
方法1
在BC上截取BG=BE，连接GD
因为BD是∠B的平分线，∠EBD=∠GBD，
在△DBE和△DBG中
BG=BE
∠EBD=∠GBD，
PE=PD
所以△DBE≌Rt△DBG（SAS），
所以DE=DG。
∠DEB=∠DGB，
∠EBG=∠EDF=90°
∠DEB＋∠DFB=180°
∠DGB＋∠DGF=180°
∠DGF=∠DFG，
DG=DF
DE=DF
方法2
在BA上截取BG，使BG=BF，连接GD
方法3
过D点作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H
如果有时间画思维导图，谈自己收获
作业超市：
A
1．如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，
求证：CD＝BE
B
2．已知：如图1，00字内）
本节课的教学设计围绕教学目标，运用全等判定及性质相关知识，角平分线性质综合应用的重点，运用类比联想，激发学生的积极性主动探究知识解决问题。学会添加辅助线。同时渗透爱家、爱国的教育，同时渗透青春期教育，让同学们友好相处，让他们树立远大志向，共同度过快乐时光。
板书设计
例1：
如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，变式训练：
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一：
情景引入
环节二
小组合作集思广益
环节三合作探究
环节四
拓展提高
环节五
你的收获
环节六
作业
布置
问题1:见到这幅图片你有什么想法？
问题2:见到角平分线你有什么想法？
15 专题 利用角平分线作垂线构造AAS型全等
专题 利用角平分线作垂线构造AAS 型全等
【方法技巧】：因角平分线本身已具备全等的三个条件中的两个（角等和公共边等），故在处理角平分线问题时，常作出全等的第三个条件：在角的两边截取两条相等的线段，构造AAS 全等三角形．
1．如图，在四边形OACB 中，CM ⊥OA 于M ，现有：①∠1=∠2；② CA=CB ；③∠3+∠4=180°；④ OA+OB=2OM ，若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论．
(1)已知：①②，求证：③④；
(2)在①③⇒②④，①④⇒②③，②③⇒①④中，请同学们任选一组予以证明．
2．如图，点P 为△AEF 外一点，P A 平分∠EAF ，PD ⊥EF 于D ，且DE=DF ，PB ⊥AE 于B ． 求证：AF －AB=BE 2
1D B A P
F
3．如图，CA=CB,CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，AD 、BE 交于点H ，连CH ．
（1）求证：△ACD ≌△BCE ；
（2）求证：CH 平分∠AHE ；
（3）求∠CHE 的度数．（用含α的式子表示）。
利用角平分线构造全等三角形
数量关系吗？你是如何证明？
截长 补短 垂直
例1变式：一题多解
截长：
G
在BC上截取BG=BE，连接GD
返回
例1变式：一题多解
补短： G
延长BG至G点，使BG=BF，连接GD
返回
例1变式：一题多解
作垂直：
截长 补短 垂直
例1：一题多解 截长：
E
在BC上截取BE=AB，连接ED
返回
例1：一ห้องสมุดไป่ตู้多解
补短：
E
延长BA至E点，使BE=BC，连接ED
返回
例1：一题多解
作垂直：
F
E
过D点作DE⊥BC于E， 作DF⊥AB，交AB延长线于F
返回
二.方法指引
变式训练： 已知Rt△ABC中，∠B=90°,BD是∠B的平分线，
返回
G
H
过D点作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H
返回
二.方法指引 例2：
在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线AD、CE交 于点O，∠AOC＝120°，猜想OE与OD的大小关 系并证明。
截长 垂直
例2：一题多解
截长补短：
G
在AC上截取AG=AE，连接GO
返回
例2：一题多解
作垂直：
过O点作OF⊥BC于F，OG⊥AB于G， OH⊥AC于H
—— 构造全等三角形
一.复习巩固
问题1:
你能说说角平分线具有哪些性质？
一.复习巩固
问题2
如图，E是∠AOB的平分线OP上一点，分别在 OA,OB上确定一点F、G，使△OEF≌△OEG你有几种 确定的方法，并说明理由。
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善于构造
活用性质
安徽张雷
几何问题中,若出现角平分线这一条件时，可联想角平分线得特性，灵活利用角平分线
得特性来解决问题、
1、显"距离”，用性质
很多时候，题意中只给角平分线这个条件，图上并没有出现“距离”，而角平分线性质得运用又离不开这个“距离”，所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上得一点向角得两边作垂线段）
例:三角形得三条角平分线交于一点,您知道这就就是为什么吗？
分析：我们知道两条直线就就是交于一点得，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线得交点、
已知:如图.AABC得角平分线AD与BE交于点I,求证：点I在ZACB得平分线上、证明:过点I作IH丄AB、IG丄AC、IF丄BC,垂足分別就就是点H、G、F、
T点I在ZBAC得角平分线A D±,K 1 H丄AB、IG丄AC
.•.III=IG（角平分线上得点到角得两边距离相等）
同理IH=1F 「.IGhlF （等量代换）
又IG丄AC、! F丄BC
二点1在ZACB得平分线上（到一个角得两边得距离相等得点，在这个角得平分线上）、即:三角形得三条角平分线交于一点、
【例2】已知:如图,PA、PC分别就就是△ABC外角ZMAC与ZNCA得平分线，•它们交于点R P D丄BM于D. PF亠BN于F、
求证：BP为ZMBN得平分线、
【分析】要证BP为ZMBN得平分线，只需证PD=PF，而PA、PC为外角平分线,・故可过P作PE丄AC于E、根据角平分线性质楚理有PD=PE.PF=PE,则有PD=PF,故问题得证、【证明】过P作PE丄AC于E、
TPA、PC分别为ZMAC与ZNCA得平分线、且PD丄BM.PF丄B N PD=PE.PF=PE J.PD=PF
又TPD丄BM-PF丄BN-A点P在ZMBN得平分线上，
即BP就就是ZMBN得平分线、
2、构距离，造全等
有角平分线时常过角平分线上得点向角两边引垂线，根据角平分线上得点到角两边距离
相等，可构造处相应得全等三角形而巧妙解决问题、
例3、△ABC中，ZC=90° , AC=BC,DA平分ZCAB交BC于D点，问能否在AB上确宦一点E使△BDE得周长等于AB得长、请说明理由、
解:过D作DE丄AB,交AB于E点，则E点即可满足要求、
因为ZC=9(r , AC=BC, 又DE丄AB, ADE=EB.
•••AD 平分ZCAB 且CD 丄AC、ED 丄AB, ACD=D E、
由“HL” 可证RtAACD^RtAAED、AAC=AE.
Lg=B D +DE+EB =BD+D C *EB = B OEB = A C+E B =AE 宁E B = AB、
例4、如图，ZB=ZC=9 0° r M就就是BC上一点，且DH平分ZADC, AM平分ZD A B.
求证：AD=CD+AB、
证明:过M作ME丄AD,交AD于E、
■••DM平分ZADC, ZC=9 0°、
HOME、根据“Hl/ 可以证得RtAMCD^R t AMED. ACD=ED.
同理可得AB=AE. •••CD十AB=ED +AE=AD.即AD=CD+AB、
3、巧翻折，造全等
以角平分线为对称轴，构造两三角形全等、即在角两边截取相等得线段，构造全等三角形、例5、如图•已知^ABC中Z BAC=90° .AB=ACC D•垂宜于ZABO得平分线BD 于D .BD 交AC 于E，求证:BE=2 C D、
分析:要证BE=2CD.想到要构造等于2CD得线段，结合角平分线，•利用翻折得方法把△CBD沿BD翻折，使B C重叠到B A所在得直线上，即构造全等三角形(△B C D丝△B FD).然后证明BE与CF(2CD)所在得三角形全等、
证明:延长BA、CD交于点F
VBD丄CF (已知)•••ZBDC=ZBDF=90°
7BD 平分ZABC (已知)•••Zl = Z2 在^BCD与△BFD中
AABCD^ABFD(ASA)
••• C D=FD・即CF= 2 C D
YZ 5=Z4=90° ,ZBDF=90"AZ3+ZF=90" ,Z1 + ZF=9O"…••Z1=Z3。
在△A BE与△ACF中
A △ A
B E^A ACF （ASA） ABE =CE A B E=2CD。
例6、如图•已知AC〃BD、EA、EB分别平分ZCAB与△DBA, CD过点E,则AB 与AOBD
相等吗？请说明理由、
【分析】要证明两条线段得与与一条线段相等时常用得两种方法、
1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等得一段，然后证明剩余得线段与另一
条线段相等、（割）
2、把一个三角形移到外一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等、（补）
证法一:如图（1）在AB H截取AF=AC,连结EF、在^ACE AAFE中
•••△ACEMAFE (SAS) 又，•••Z6=ZD 在△EFB与△BDE中
A AEF
B 丝△ E DB (AAS) AFB =DB /. AC+BD=AF+FB=AB
证法二：如图(2),延长BE,与AC得延长线相交于点F
Z F=Z3
在^AEF与△AEB中
AAAEF^AAEB(AAS), AAB=AF,BE=FE
在△BED与△FEC中
•••△ B ED丝△FEC(ASA) ABD=FC, AAB=AF=AC+CF=AC+BD .。