高考总复习：函数的极值和最值(理提高) 巩固练习

【巩固练习】
1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值， 则函数()y xf x '=的图象可能是
2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数
A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b
B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b
C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b
D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.设函数f （x ）=2
x
+lnx 则 （ ） A ．x=
12为f(x)的极大值点 B ．x=1
2
为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.函数y=
12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C[1，+∞） D （0，+∞）
5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。

7．函数y=1+3x-x 3
的极大值是_______，极小值是________。

8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。

9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。

10．函数y=x+2cosx 在区间1
[0,
]2
上的最大值是________ 。

11．已知函数f(x)=xe x ．
(1)求函数f(x)的单调递增区间
(2)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程。

12．设函数f(x)=ln(2x+3)+x 2
； (Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)求f(x)在区间31
[-,
]44
的最大值。

13．设x=-2与x=4是函数f(x)=x 3
+ax 2
+bx 的两个极值点。

(1)求常数a 、b 的值；
(2)判断函数在x=-2，x=4处的值是函数的极大值还是极小值，并说明理由。

14．设函数f(x)=2x 3
+3ax 2
+3bx+8c 在x=1及x=2时取得极值。

(Ⅰ)求a 、b 的值；
(Ⅱ)若对于任意的x ∈[0，3]，都有f(x)<c 2
成立，求c 的取值范围。

15.设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2
{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =.
（1）求集合D （用区间表示）
（2）求函数3
2
()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 16.设1
()(0)x x
f x ae b a ae =+
+> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;
(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3
2
y x =;求,a b 的值. 17．已知函数323()31f x ax x a
=-+-
． （Ｉ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若曲线()y f x =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围．
【参考答案与解析】
1． C 2． A 3． D 4． B 5． C
6．1
(+)e
∞， 7．3，-1； 8．-16； 9．0； 10． 6
π
+11．（１）(-1，+∞) ；（２）y=2ex-e
12．（I ）在区间31(--1)(-+)22∞，，，单调递增，在区间1
(-1,-
)2
单调递减； (Ⅱ)最大值为117
f()=ln 4162
+
13．(1)a=-3，b=-24 (2)f(-2)为极大值，f(4)为极小值. 14． 【解析】 （I ）a=-3，b=4
(Ⅱ)当x ∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c
因为对于任意的x ∈[0，3]，有f(x)<c 2
恒成立， 所以9+8c<c 2
，解得c<-1或c>9， 因此c 的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞)
15．【解析】（1）令2
()23(1)6g x x a x a =-++，
229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--。

① 当1
03
a <≤
时，0∆≥， 方程()0g x =的两个根分别为
1x =，2x =，
所以()0g x >的解集为
(()-∞+∞。

因为12,0x x >，所以
D A B ==()+∞。

② 当
1
13
a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立， 所以D A B ==(0,)+∞，
综上所述，当1
03
a <≤
时，
D =3333(0,
(,)44
a a +-+++∞； 当
1
13
a <<时，D =(0,)+∞。

（2）2
()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =。

① 当1
03
a <≤
时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞， 因为2
()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，
(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤，
所以1201a x x <<<≤，
所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点。

② 当
1
13
a <<时，由（1）知D =(0,)+∞， 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：
所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =。

综上所述，当1
03
a <≤
时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当
1
13
a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。

16．【解析】(I)设(1)x
t e t =≥;则2222111a t y at b y a at at at -'=++⇒=-= ①当1a ≥时,0y '>⇒1
y at b at
=+
+在1t ≥上是增函数 得:当1(0)t x ==时,()f x 的最小值为1
a b a
++
②当01a <<时,1
2y at b b at =++≥+
当且仅当1
1(,ln )x at t e x a a ====-时,()f x 的最小值为2b +
(II)11
()()x x x x f x ae b f x ae ae ae
'=++⇒=-
由题意得:222
22
12(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ⎧⎧
=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨
⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩
17．【解析】
（Ⅰ）由题设知220,()363()a f x ax x ax x a
'≠=-=-．
令122()00,f x x x a
'===得． （i ）当a>0时，
若(,0)x ∈-∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间)0,(-∞上是增函数；
若2(0,)x a ∈，则()0f x '<，所以()f x 在区间2(0,)a
上是减函数； 若2(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,)a
+∞上是增函数； （ii ）当a ＜0时，
若2(,)x a ∈-∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间2(,)a
-∞上是减函数； 若2(,0)x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,0)a
上是增函数； 若(0,)x ∈+∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间(0,)+∞上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线()y f x =上的两点A 、B 的纵坐标为函数的极值，
且函数()y f x =在20,x x a ==
处分别是取得极值3(0)1f a =-，2243
()1f a a a
=--+． 因为线段AB 与x 轴有公共点，所以2
(0)()0f f a
⋅≤， 即2433(1)(1)0a a a -
-+-≤，所以2
(1)(3)(4)
0a a a a +--≤．
故(1)(3)(4)0,0a a a a +--≤≠且． 解得－1≤a ＜0或3≤a ≤4．
即所求实数a 的取值范围是[-1，0)∪[3，4]．。