高等数学一期末复习题及答案

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大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷(一)一、选择题(共12分)x,2,0,ex,fx(),1. (3分)若为连续函数,则的值为( ). a,axx,,,0,(A)1 (B)2 (C)3 (D)—1fhf(3)(3),,,2。

(3分)已知则的值为( ). limf(3)2,,h,02h1(A)1 (B)3 (C)-1 (D) 2,223. (3分)定积分的值为( )。

1cos,xdx,,,2(A)0 (B)—2 (C)1 (D)2 4。

(3分)若在处不连续,则在该点处()。

xx,fx()fx()0(A)必不可导(B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)23x1((3分)平面上过点,且在任意一点处的切线斜率为的曲线方程(0,1)(,)xy为。

124(sin)xxxdx,,2. (3分) . ,,112xlimsin3. (3分) = 。

x,0x324. (3分) 的极大值为。

yxx,,23三、计算题(共42分)xxln(15),lim。

1. (6分)求 2x,0sin3xxe,y,,2. (6分)设求y. 2x,12xxdxln(1)。

,3。

(6分)求不定积分,x,3,1,x,,fxdx(1),,4。

(6分)求其中()fx,1cos,x,,0x,1,1.ex,,,1yxt5. (6分)设函数由方程所确定,求 edttdt,,cos0yfx,()dy.,,00 26。

(6分)设求 fxdxxC()sin,,,fxdx(23)。

,,,n3,,7。

(6分)求极限 lim1。

,,,,,nn2,,四、解答题(共28分),1. (7分)设且求 fxx(ln)1,,,f(0)1,,fx()。

,,,,2。

(7分)求由曲线与轴所围成图形绕着轴旋转一周所得旋xxyxxcos,,,,,,22,,转体的体积。

323. (7分)求曲线在拐点处的切线方程. yxxx,,,,324194. (7分)求函数在上的最小值和最大值。

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一(第一学期)高数期末考试题及答案

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。

期末高等数学(上)试题及答案

期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答以下各题(本大题共 16 小题,总计 80 分 )1、(本小题 5 分)求极限limx 3 12 x 163 9x 212x 4x 22x2、 (本小题 5 分 )求x2 2dx. (1 x )3、(本小题 5 分)求极限 limarctan x arcsin1xx4、(本小题 5 分)求x d x.1 x5、 (本小题 5 分 )求 dx 21 t 2dt .dx6、 (本小题 5 分 )求 cot 6 x csc 4 x d x.7、(本小题 5 分)21 cos 1dx .求 1 x 2 x 8、 (本小题 5 分 )xe t cost 2y( x), 求dy.设确立了函数 y ye 2t sin tdx9、 (本小题 5 分 )3求 x 1x dx .10、 (本小题 5 分 )求函数 y 4 2 x x 2 的单一区间 11、 (本小题 5 分 )求 2sin x dx .sin 2 x0 812、 (本小题 5 分 )设 x t) e kt(3cos t4 sint ,求 dx .()13、 (本小题 5 分 )设函数 yy x 由方程 y 2ln y 2x 6 所确立 , 求 dy .( )dx14、 (本小题 5 分 )求函数 yexe x的极值215、 (本小题 5 分 )求极限 lim( x1)2(2x 1)2 ( 3x 1) 2(10x 1)2x16、 (本小题 5 分 )(10x 1)(11x 1)求cos2x d x. sin xcos x 1二、解答以下各题(本大题共 2 小题,总计 14 分 )1、(本小题 7 分)某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 ,一边可用本来的石条围 沿,另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时 ,才能使资料最省 .2、(本小题 7 分)求由曲线 yx 2 和 y x 3 所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 体积 .28三、解答以下各题 (本大题6分 )设 f (x)x(x 1)( x 2)( x 3), 证明 f ( x) 0有且仅有三个实根 .一学期期末高数考试 (答案 )一、解答以下各题(本大题共 16 小题,总计 77 分 )1、(本小题 3 分)解:原式lim 3x 2 12218x 12x 2 6x6xlimx 212 x 1822、(本小题 3 分)xd x(1 x 2 )21 d(1 x2 ) 2(1x 2 ) 2112 1 x 2c.3、(本小题 3 分)因为 arctan x2而 limarcsinx故 limarctan x arcsin1xx4、(本小题 3 分)x d x1 x1 x 1 d x 1 xd xd x1 xx ln 1 x c.5、(本小题 3 分)原式2 x 1 x 46、(本小题 4 分)cot 6 x csc 4 x d xcot 6 x(1cot 2 x) d(cot x)1 0x1cot 7 x 1cot 9x c.797、 (本小题 4 分 )211原式1 cos d ()x x1 sin2 118、 (本小题 4分 )解:dy e2t (2 sin t cost)dx e t (cos t 22t sin t 2 )e t (2 sin t cost)(cost 22t sin t 2 ) 9、 (本小题 4分 )令 1 x u2原式 2 (u4u2 ) du12( u5u3) 12531161510、 (本小题 5 分 )函数定义域 (,)y 2 2 x2(1x)当 x 1, y 0当x,y函数单一增区间为,1 10当x,y函数的单一减区间为1,1011、 (本小题5 分 )原式2d cos x09cos2x13cosx 2lncosx 0631ln 2612、 (本小题 6 分 )dx x (t) dte kt(43k ) cos t ( 4k 3 ) sin t dt13、 (本小题 6 分 )2yy2y6x5yy 3yx5 y2114、 (本小题 6 分 )定义域 (,), 且连续y2e x (e2 x1)2驻点: x1 ln 12 2因为 y2e xe x故函数有极小值 ,, y( 1ln 1 ) 2215、 (本小题 8 分 ) 22(1 1 ) 2 ( 2 1 )2 ( 3 1 ) 2(10 1 ) 2原式lim x x xxx(10 1)(11 1)10 11 21x x 6 10 117216、 (本小题 10 分)解 :cos2x dxcos2x dx1 sin x cos x11sin 2xd(12sin 2x 1)2 11sin 2x1 2sin 2xcln 12二、解答以下各题(本大题共 2 小题,总计 13 分 )1、 (本小题 5 分 )设晒谷场宽为 x, 则长为512米 ,新砌石条围沿的总长为x L2x512(x0)xL2512 独一驻点x 16x 2L10240 即 x 16 为极小值点x 3故晒谷场宽为 16米 , 长为51232米时 , 可使新砌石条围沿16所用资料最省2、(本小题 8 分)解:x 2x 3 , 22x3x 1,.28x0 x 148V x4 x 2 ) 2 (x 3 2dx 4 x 4x 6() 0()dx28464(11 x 541 1 x 7 ) 4 564 7 044 ( 11 ) 51257 35三、解答以下各题 (本大题10分)证明 : f (x)在 ( , ) 连续 , 可导 , 进而在 [ 0,3]; 连续 , 可导 .又 f (0) f (1) f (2) f (3) 0则分别在 [0,1],[ 1,2],[2,3] 上对 f ( x) 应用罗尔定理得, 起码存在1 (0,1),2(1,2), 3(2,3)使 f ( 1 ) f (2 ) f (3 ) 0即 f (x) 0起码有三个实根 , 又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述 f ( x) 有且仅有三个实根参照答案一。

高数一期末考试题及答案

高数一期末考试题及答案

高数一期末考试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2+3x+2的导数?A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案:A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少?A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B3. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分?A. e^x + CB. e^xC. ln(e^x) + CD. x*e^x + C答案:A4. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点?A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案:B二、填空题(每题5分,共20分)5. 求定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是______。

答案:1/36. 函数y=x^3-3x+2的拐点是x=______。

答案:07. 函数f(x)=ln(x)在x=1处的切线斜率是______。

答案:18. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是______。

答案:0三、解答题(每题10分,共60分)9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

答案:单调增区间为(3, +∞)和(-∞, 1);单调减区间为(1, 3)。

10. 求函数f(x)=x^2-4x+3的极值。

答案:当x=2时,函数取得极小值f(2)=-1。

11. 求函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的切线方程。

答案:切线方程为y=5x-2。

12. 求定积分∫(0 to 2) (x^2-2x+1) dx的值。

答案:413. 求函数f(x)=e^x-x-1的零点。

答案:函数f(x)=e^x-x-1的零点为x=0。

14. 求函数f(x)=ln(x)+x^2在x=1处的切线方程。

答案:切线方程为y=2x-1。

四、证明题(每题10分,共20分)15. 证明:函数f(x)=x^3+3x^2-2x+1在(-∞, -2)上是单调递减的。

答案:首先求导f'(x)=3x^2+6x-2,令f'(x)<0,解得x<-2,因此函数在(-∞, -2)上单调递减。

高数一期末试题及答案

高数一期末试题及答案

高数一期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列函数中,哪一个是奇函数?A. \( y = x^2 \)B. \( y = x^3 \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \cos(x) \)答案:C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少?A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案:B3. 微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解是:A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)C. \( y = e^{2x} \)D. \( y = x^2 \)答案:B4. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是:B. 1C. 3D. 27答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 设 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \),则 \( f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案:\( 2x - 4 \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的不定积分是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案:\( x\ln(x) - x + C \)3. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 2x \) 的交点坐标是\( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案:\( (0,0) \) 和 \( (2,4) \)4. 函数 \( y = e^{3x} \) 的二阶导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_\_ \)。

答案:\( 9e^{3x} \)三、计算题(每题15分,共30分)1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。

\[\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx = \left[ x^3 - x^2 + x\right]_{0}^{1} = (1 - 1 + 1) - (0 - 0 + 0) = 1\]2. 求函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值。

《高等数学(一)》期末复习题(答案)

《高等数学(一)》期末复习题(答案)

《高等数学(一)》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 ( C ).(A )0 (B ) ∞ (C ) 12(D )不存在 2. 设()xxx f +-=11ln,则)(x f 是 ( A ). (A )奇函数 (B) 偶函数 (C )非奇非偶函数 (D )既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . (A )0 (B) 1 (C )+∞ (D )-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内( B ).(A )无实根 (B )有唯一实根 (C )有两个实根 (D )有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+,g (x )=x ,则当0x →时,()f x 是()g x 的( A ).(A )等价无穷小 (B) 低阶无穷小(C )高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中,是无穷小量的为( A ).(A ))1(ln →x x (B ))0(1ln +→x x (C )cos (0)x x → (D ))2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是( C ).(A )0 (B ) 1 (C ) 1- (D )不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).(A )()2,[0,1]f x x x =-∈ (B) 3(),[0,1]f x x x =∈ (C )(),[1,1]f x x x =∈- (D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是( C ).(A )奇函数 (B )偶函数 (C )非奇非偶函数 (D )既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时, 下列是无穷小量的是( B ).(A )1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时,下列函数中有极限的是( A ).(A )211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 ( B ).(A )零个 (B )一个 (C )二个 (D )三个 13.21()1dx x '=+⎰( B ).(A )211x + (B )211C x++ (C ) arctan x (D ) arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是( A ).(A )一个函数族 (B )()f x 的的一个原函数 (C )一个常数 (D )一个非负常数15.函数(ln y x =+是( A ).(A )奇函数 (B )偶函数 (C ) 非奇非偶函数 (D )既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续,在开区间内可导,且,则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-,则下列选项成立的是( C ). (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数,则等式( D )成立.(A )(B) (C ) (D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(,则⎰=dx x f )(1( B ). (A )C x +--32)1(43 (B )C x +--32)1(31 (C )C x +-322)1(43 (D )C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为( A ).(A )1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是( B ).(A )有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量(B )有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 (C )两无穷大量的和仍为无穷大量 (D )两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=,则下列式子一定成立的有( C ).(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x ( B ).(A )是奇函数 (B )是偶函数(C )既奇函数又是偶函数 (D )是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).(A )]1,0[,1)(∈-=x x x f (B)]1,0[,)(2∈=x x x f (C )()sin ,[1,1]f x x x =∈- (D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+,则=)(x f ( B ). (A )2x (B )22-x (C )2)1(-x (D )12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).(A )在(0,e 1)内单调递减 (B)在(+∞,1e)内单调递减 (C )在(0,+∞)内单调递减 (D)(0,+∞)在内单调递增28. 设1)(+=x x f ,则)1)((+x f f =( D ).(A )x (B )x + 1 (C )x + 2 (D )x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ,其中a ,b 是常数,则( C ).(A )1,1==b a , (B )1,1=-=b a (C )1,1-==b a (D )1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中,( B )是无穷小量.(A ) (B )(C ) (D )31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .(A )在(0,)+∞内单调递减 (B)在(,0)-∞内单调递减 (C )在(,0)-∞内单调递增 (D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中,在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是( C ).(A ))(1sin∞→=x xx y (B )())(1∞→=-n n y n (C ))0(ln +→=x x y (D ))0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ,则)(x f 在0=x 处( B ). (A )连续且可导(B )连续但不可导 (C )不连续但可导(D )既不连续又不可导34. 在下列等式中,正确的是( C ).(A )()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C )()()df x dx f x dx=⎰ (D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点(1,0)处的切线是( A ).(A )22-=x y(B )22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()(C )22+=x y(D )22--=x y36. 已知441x y =,则y ''=( B ). (A ) 3x (B )23x (C )x 6 (D ) 6 37. 若x xf =)1(,则=')(x f ( D ).(A )x 1 (B )21x (C )x 1- (D )21x-38. 下列各组函数中,是相同的函数的是( B ).(A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()g x =(C )()f x x = 和 ()2g x =(D )()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续,则a =( B ).(A )0 (B )14(C )1 (D )240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( A ).(A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 41. 设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( C ).(A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 42. 设()f x 可微,则0()(2)limh f x f x h h→--=( D ).(A )()f x '- (B)1()2f x ' (C )2()f x '- (D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的( D ).(A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是( C ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线(C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是( D ). (A )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(B )1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(C )1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(D )1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是( A ).(A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ (D )ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩,则()1lim x f x →=( D ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+,则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导,且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为( C ). (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+,则1x =是函数的( A ).(A )可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).(A )连续且可导 (B) 不连续且不可导 (C) 不连续但可导 (D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是( C ).(A ) []1,2- (B ) [)1,2- (C )(]1,2- (D )()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是( D ).(A )∞+ (B ) 0 (C )∞- (D )不存在 60. =--→211)1sin(limx x x ( C ).(A )1 (B ) 0 (C )21-(D )2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是( B ).(A ) )1(2-=x y (B ))1(4-=x y (C )14-=x y (D ))1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). (A )连续且可导 (B) 不连续且不可导 (C) 不连续但可导 (D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是( C ).(A ))(2x d xdx = (B ))2(sin 2cos x d xdx = (C ))5(x d dx --= (D )22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ,则 =)(x f ( B ). (A )2sin x (B ) 2sin x - (C )C x +2sin (D )2sin 2x-65. 设()f x 可微,则0(2)()limh f x h f x h→+-=( D ).(A )()f x '- (B)1()2f x ' (C)2()f x '- (D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2( B ).(A )Cx x ++-22ln 212 (B )C x ++2)ln 2(21(C )C x ++ln 2ln (D )C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是( B ).(A )()()+∞--,01,2 (B )()),0(0,1+∞- (C )),0()0,1(+∞- (D )),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=,则0()lim x f x x→=( B ) .(A )1 (B )2 (C )6 (D )24 69. 下列各式中,极限存在的是( A ).(A ) x x cos lim 0→ (B )x x arctan lim ∞→ (C )x x sin lim ∞→ (D )x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim ( D ). (A )e (B )2e (C )1 (D )e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=,则0()lim x f x x→=( B ) .(A )0 (B )1 (C )5 (D )2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是( C ).(A )x y = (B ))1)(1(ln --=x x y (C )1-=x y (D ))1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ,则=dy ( B ).(A )dx x x )3sin 33cos (+- (B )dx x x x )3cos 33(sin + (C )dx x x )3sin 3(cos + (D )dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是( C ).(A )⎰++=-C x dx x 111ααα (B )⎰+=C x a dx a x x ln (C )⎰+=C x xdx sin cos (D )⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . (A ) 0 (B) 1 (C )+∞ (D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-,()2g x x =,则当0x →时,()f x 是()g x 的( D ).(A )等价无穷小 (B) 低阶无穷小 (C ) 高阶无穷小 (D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是( D ).(A )C e x +sin (B )C x e x +cos sin (C )C x e x +sin sin (D )C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是( D ).(A )()),5(5,+∞∞- (B )()),6(6,+∞∞-(C )()),4(4,+∞∞- (D )())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1,2],则函数f (x )+f (x 2)的定义域是( B ).(A )[1,2] (B )[1,2] (C )]2,2[- (D )]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).(A )是奇函数,非偶函数 (B )是偶函数,非奇函数 (C )既非奇函数,又非偶函数 (D )既是奇函数,又是偶函数 81. 设()sin f x x x =,则)(x f 是( C ).(A )非奇非偶函数 (B) 奇函数 (C)偶函数 (D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f( C ).(A )21x - (B )21x --(C ))01(12≤≤--x x (D ))01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是( C ).(A )1)1()(1+-=+n n n f n (B )⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)((C )⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( (D )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =,则当∞→n 时,该数列( C ).(A )收敛于0.1 (B )收敛于0.2 (C )收敛于91(D )发散 85. 下列极限存在的是( A ).(A )2)1(lim x x x x +∞→ (B )121lim -∞→x x (C )x x e 10lim → (D )x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=( A ).(A )21(B )2 (C )0 (D )不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x ( B ).(A )1 (B )2 (C )21(D )0 88. 下列极限中结果等于e 的是( B ).(A )xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ (B )x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ (C )xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- (D )xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有( C )个. (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 90. 下列结论错误的是( A ).(A )如果函数f (x )在点x =x 0处连续,则f (x )在点x =x 0处可导; (B )如果函数f (x )在点x =x 0处不连续,则f (x )在点x =x 0处不可导; (C )如果函数f (x )在点x =x 0处可导,则f (x )在点x =x 0处连续; (D )如果函数f (x )在点x =x 0处不可导,则f (x )在点x =x 0处也可能连续。

《高等数学一》期末复习题及答案

《高等数学一》期末复习题及答案

《高等数学(一)》期末复习题 一、选择题 1、极限2lim()xxxx 的结果是 ( C ) (A)0 (B) (C) 12 (D)不存在 2、方程3310xx在区间(0,1)内 ( B ) (A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有两个实根 (D)有三个实根 3、)(xf是连续函数, 则 dxxf)(是)(xf的 ( C ) (A)一个原函数; (B) 一个导函数; (C) 全体原函数; (D) 全体导函数; 4、由曲线)0(sinxxy和直线0y所围的面积是 ( C ) (A)2/1 (B) 1 (C) 2 (D) 5、微分方程2xy满足初始条件2|0xy的特解是 ( D ) (A)3x (B)331x (C)23x (D)2313x 6、下列变量中,是无穷小量的为( A ) (A) )1(lnxx (B) )0(1lnxx (C) cos (0)xx (D) )2(422xxx 7、极限011lim(sinsin)xxxxx 的结果是( C ) (A)0 (B) 1 (C) 1 (D)不存在 8、函数arctanxyex在区间1,1上 ( A ) (A)单调增加 (B)单调减小 (C)无最大值 (D)无最小值 9、不定积分 dxxx12= ( D ) (A)2arctanxC (B)2ln(1)xC (C)1arctan2xC (D) 21ln(1)2xC 10、由曲线)10(xeyx和直线0y所围的面积是 ( A ) (A)1e (B) 1 (C) 2 (D) e
8、设sin1,yxx则()2f 1 9、 11(cos1)xxdx 2 10、 231dxx 3arctanxC 11、微分方程ydyxdx的通解为 22yxC 12、1415xdx 2 13、 sin2limxxxx 1 14、设2cosyx,则dy 22sinxxdx 15、设cos3,yxx则()f -1 16、不定积分xxdee Cx2e21 17、微分方程2xye的通解为 212xyeC 22222222222111120,201122xxxxxxxdyyyeyedyedxdxydyedxeCyyxyCeyey代入上式可得到所求的特解为或者 18、微分方程xyln的通解是 xyeC 19、xxx3)21(lim= 6e 20、,xyxy设函数则(ln1)xxx 21、)21(lim222nnnnn的值是 12

高等数学复习期末试题含答案

高等数学复习期末试题含答案

高等数学试题(一)(含答案)一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在题干的括号内。

第1—10题,每小题1分,第11—20小题,每小题2分,共30分) 1.函数y=5-x +ln(x -1)的定义域是( )A. (0,5]B. (1,5]C. (1,5)D. (1,+∞) 2. limsin 2x xx →∞等于( ) A. 0 B. 1 C.12D. 23.二元函数f(x,y)=ln(x -y)的定义域为( ) A. x -y>0 B. x>0, y>0 C. x<0, y<0 D. x>0, y>0及x<0, y<04.函数y=2|x |-1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导5.设函数f(x)=e 1-2x,则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. -2e 6.函数y=x -arctanx 在[-1,1]上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值7.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f ′(x)>0,则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 8.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=-cosx B. dsinx=-cosxdx C. dcosx=-sinxdx D. dcosx=-sinx 9.下列级数中,条件收敛的级数是( )A. n nn n =∞∑-+111()B. n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()10.方程y ′—y=0的通解为( )A. y=ce xB. y=ce -xC. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e -x11.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续,则k 等于( )A. 0B. 14C.12D. 212.设F(x)是f(x)的一个原函数,则∫e -x f(e -x )dx 等于( ) A. F(e -x )+c B. -F(e -x )+c C. F(e x )+c D. -F(e x )+c13.下列函数中在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理条件的是( ) A. y=1xB. y=|x|C. y=1-x 2D. y=x -1 14.设f t dt x ()0⎰=a 2x -a 2,f(x)为连续函数,则f(x)等于( )A. 2a 2xB. a 2x lnaC. 2xa 2x -1D. 2a 2x lna 15.下列式子中正确的是( )A. e dx edx xx112⎰⎰≤B.e dx edx xx112⎰⎰≥C.e dx edx xx0112⎰⎰=D.以上都不对16.下列广义积分收敛的是( ) A. cos 1+∞⎰xdxB. sin 1+∞⎰xdxC.ln xdx1+∞⎰D.121xdx+∞⎰17.设f(x)=e x --21,g(x)=x 2,当x →0时( ) A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 B. f(x)是g(x)的低阶无穷小C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D. f(x)与g(x)是等价无穷小18.交换二次积分dy f x y dx yy (,)⎰⎰01的积分次序,它等于()A. dxf x y dyxx(,)⎰⎰1B. dxf x y dy xx (,)201⎰⎰C.dxf x y dy xx (,)⎰⎰1D.dxf x y dy xx(,)21⎰⎰19.若级数n n u =∞∑1收敛,记S n =i i u =∞∑1,则( )A. lim n n S →∞=0B.lim n n S S→∞=存在C.lim n nS →∞可能不存在D. {S n }为单调数列20.对于微分方程y ″+3y ′+2y=e -x ,利用待定系数法求其特解y *时,下面特解设法正确的是( )A. y *=ae -xB. y *=(ax+b)e -xC. y *=axe -xD. y *=ax 2e -x 二、填空题(每小题2分,共20分)1. lim x x x →∞+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=121______。

大一高数 期末考试题及答案

大一高数 期末考试题及答案

f ( x ) cos
x dx
0 .
证明:在 0, 内至少存在两个不同的点1 ,2 ,使 f (1 ) f (2 ) 0.(提
x
F ( x ) f ( x )dx
示:设
0

解答
一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
M (x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x x0 所围成
面积的 2 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.
五、解答题(本大题 10 分)
15. 过坐标原点作曲线 y ln x 的切线,该切线与曲线 y ln x 及 x 轴围成
平面图形 D.
(1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积
大一上学期 高数期末试题
一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)
1. 设 f ( x ) cos x ( x sin x ), 则在 x 0处有 (
) .
(A) f (0) 2 (B) f (0) 1 (C) f (0) 0 (D) f ( x) 不可导.
证:构造辅助函数:
0
,0 x 。其满足在[0, ] 上连续,在 (0, )
上可导。 F ( x) f ( x) ,且 F (0) F ( ) 0
0
f ( x)cos xdx
cos
xdF ( x)
F ( x)cos
x | 0
sin
x F ( x)dx
由题设,有 0
0
0

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷一、选择题共12分1. 3分若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为 .A1 B2 C3 D-12. 3分已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为 . A1 B3 C-1 D123. 3分定积分22ππ-⎰的值为 . A0 B-2 C1 D24. 3分若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处 .A 必不可导B 一定可导C 可能可导D 必无极限二、填空题共12分1.3分 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. 3分 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. 3分 201lim sin x x x→= . 4. 3分 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题共42分1. 6分求20ln(15)lim .sin 3x x x x→+ 2. 6分设2,1y x =+求.y ' 3. 6分求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. 6分求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. 6分设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. 6分设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. 6分求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题共28分1. 7分设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. 7分求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. 7分求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. 7分求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题6分设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0.三、 1 解 原式205lim3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t t dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分210[]t e t =++ 1分21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y xy e '=- 1分cos sin 1xx =- 1分cos sin 1xdy dx x ∴=- 2分6 解 1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2x C =++ 4分 7 解 原式=23323lim 12nn n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 4分=32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分 ()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分(0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos x V xdx πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π= 2分3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分 4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分 ∴最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()bb a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷及答案详解大一高等数学期末考试试卷一、选择题(共12分)2ex,x0,1. (3分)若f(x)为连续函数,则a的值为( ).a x,x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. (3分)已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3)的值为(). 2h(A)1 (B)3 (C)-1 (D)1 23. (3分)定积分2的值为(). 2(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. (3分)若f(x)在x x0处不连续,则f(x)在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题(共12分)1.(3分)平面上过点(0,1),且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. (3分)(x2x4sinx)dx . 113. (3分) limx2sinx01= . x4. (3分) y2x33x2的极大值为三、计算题(共42分)1. (6分)求limx0xln(15x). sin3x22. (6分)设y求y. 3. (6分)求不定积分xln(1x2)dx.4. (6分)求 30x,x1, f(x1)dx,其中f(x)1cosx ex1,x 1.5. (6分)设函数y f(x)由方程edt costdt0所确定,求dy. 00ytx6. (6分)设f(x)dx sinx2C,求f(2x3)dx.37. (6分)求极限lim1. n2n四、解答题(共28分)1. (7分)设f(lnx)1x,且f(0)1,求f(x). n2. (7分)求由曲线y cosx x与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2 2所得旋转体的体积.3. (7分)求曲线y x33x224x19在拐点处的切线方程.4. (7分)求函数y x[5,1]上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设f(x)在区间[a,b]上连续,证明baf(x)dx b a1b[f(a)f(b)](x a)(x b)f(x)dx. 22a 标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 y x1; 2 32; 3 0; 4 0. 3三、 1 解原式limx5x 5分 x03x25 1分 32分 2 x lxn2(解lny l2x1212x[2] 4分y2x12x 13 解原式1ln(1x2)d(1x2) 3分 212x[(1x2)ln(1x2)(1x2)dx2分 221x1[(1x2)ln(1x2)x2] C 1分 24 解令x1t,则 2分03f(x)dx1f(t)dt 1分122t11(et1)dt 1分 1cost2 1分0[et t]1e2e 1 1分5 两边求导得ey y cosx0, 2分ycosx 1分 ye cosx 1分 sinx 1cosx dy dx 2分 sinx 16 解f(2x3)dx 12f(2x3)d(2x 2分1sin(2x3)2 C 4分 27 3lim1解原式=n2n322n332 4分 =e 2分四、1 解令lnx t,则x et,f(t)1et, 3分f(t)(1et)dt=t et C. 2分f(0)1,C0, 2分f(x)x ex. 1分2 解 Vx22cosxdx 3分 2202cos2xdx 2分3 解22. 2分6x 6 1分 y3x26x24,y 令y0,得x 1. 1分当x1时,y0; 当1x时,y0, 2分(1,3)为拐点, 1分该点处的切线为y321(x1). 2分 4 解y1 2分令y0,得x3. 1分435y(5)5 2.55,y,y(1)1, 2分4 435y(5)5y最大值为. 分最小值为4 4五、证明ba(x a)(x b)f(x)(x a)(x b)df(x)分 ab[(x a)(x b)f(x)]a af(x)[2x(a b)dx分a[2x(a b)df(x)分 bbb[2x(a b)]f(x)a2af(x)dx分(b a)[f(a)f(b)]2af(x)dx,分移项即得所证分 bbb。

高等数学(1)专科 期末考试试题及参考答案

高等数学(1)专科 期末考试试题及参考答案

高等数学(1)(专科)复习题(一)一、填空题)1、设f(x)的定义域为(0,1),则)x 1(f 2-的定义域为0<|x|<1。

解:0<2x 1-<1⇒0<1-x 2<1⇒0<x 2<1⇒0<|x|<12、当x →0时,无穷小量1-cosx 与mx n 等价(其中m,n 为常数),则m=21,n=23、曲线y=xe -x 的拐点坐标是(2,2e -2)4、⎰-+-2121dx x 1x1ln =05、设⎰dx )x (f =F(x)+C ,则⎰--dx )e (f e x x =-F(e x )+C 。

解:⎰--dx )e (f e x x =C )e (F de )e (f x x x +-=----⎰二、计算下列极限1、⎪⎭⎫⎝⎛-→x sin x 1x 1sin x lim 0x =-12、求极限220x x tan )x sin 1ln(lim +→解:1x xsin lim x tan )x sin 1ln(lim220x 220x ==+→→3、4n412n 1lim 4n )n 21(lim 22n 22n =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∞→∞→ 4、e x x x xx x x =⎪⎭⎫⎝⎛-=--∞→∞→11lim )1(lim三、求导数与微分1、设x arccos y =,求dy 解:dx xx 21dx x21x 11x d x11x arccos d dy 2--=⋅--=--==2、设y=e 2x sinx+e 2,求y ''.解:y '=2e 2x sinx+e 2x cosx,y "=4e 2x sinx+2e 2x cosx+2e 2x cosx+e 2x (-sinx)=e 2x (3sinx+4cosx) 3、求由方程ysinx-cos(x+y)=0所确定的隐函数y=y(x)的导数y '.解:0)dx dy1)(y x sin(x cos y x sin dx dy =++++)y x sin(x sin ))y x sin(x cos y (dx dy ++++-=4、设y=(1+x 2)sinx ,求dxdy 解:y=(1+x 2)sinx =)x 1ln(x sin 2e +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+22x sin 222)x 1ln(x sin x 1x sin x 2)x 1ln(x cos )x 1(x 1x 2x sin )x 1ln(x cos e dx dy 2四、计算下列积分 1、C )x x (tan 21dx )1x (sec 21dx x 2cos 1x cos 122++=+=++⎰⎰2、求⎰π+20xdx cos )x cos 1(⎰⎰⎰ππππ++=+=202020220dx 2x2cos 1x sin x dx cos x dx cos =1+4π3、求⎰dx x sec x tan 25.解:⎰dx x sec x tan 25=C x tan 61x tan d x tan 65+=⎰[][]139444)42()24(|42||42|4245222025225225=+=-+-=-+-=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x dx x dx x 、五、确定函数y=(x-1)3+1在其定义域内的增减性及凹凸区间,并求拐点坐标。

高等数学(一)复习题参考答案

高等数学(一)复习题参考答案

高等数学(一)复习题参考答案一、选择题1A 2B 3C 4C 5C 6A 7B 8C 9A 10A 二、填空题1、x>32、e x-23、-2xsinx 44、-cos (x+5)5、36、67、2x+y+3z=0 三、计算解答题1、1、f (x )在x=0处有定义,且f (0)=0,(x 0=0,Δx=x )当x →0时,Δy=f (x )-f (0)=(x )αsin x 1只有当α>0时,有0lim →x Δy=0,故当α>0时f (x )在x=0处连续;又当x →0时,x y x ∆∆→∆0lim=x α-1sin x1只有当α>1时,x y x ∆∆→∆0lim =x α-1sin x1存在,故当α>1时f (x )在x=0处连续可导。

2、原式=5406sin 2lim xx x x →=313、原式=20sin 2lim x e e x x x -+-→=20cos 2lim x x e e x x x -→-=2220sin 4cos 2lim x x x e e x x x -+-→=14、由于x 1→时,1-x 0→,故0lim21=++→)(b ax x x ∴a=-b-1,代入原极限有:511lim21=-+--+→xbx b x x )( 即511lim1=----→xb x x x ))((解得:b=6,a=-75、由x 2-5x+6=0得x 1=2,x 2=3为其间断点在x=2处,)(x f x 2lim →=))((322lim 2---→x x x x =-1在x=3处,)(x f x 2lim →=))((322lim 2---→x x x x =∞∴x=2为可去间断点,x=3为无穷型间断点补充定义:f (2)=-1,则f (x )在x=2处连续6、y '=221a x x ++(x+22a x +)ˊ=221ax x ++(1+221ax +)=221ax +7、提示:1。

《高等数学一》期末复习题及答案

《高等数学一》期末复习题及答案

《高等数学(一)》期末复习题一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 ( C )(A )0 (B ) ∞ (C )12(D )不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内 ( B ) (A )无实根 (B )有唯一实根 (C )有两个实根 (D )有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ⎰dx x f )(是)(x f 的 ( C )(A )一个原函数; (B) 一个导函数; (C) 全体原函数; (D) 全体导函数; 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 ( C )(A )2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D )(A )3x (B )331x + (C )23+x (D )2313+x6、下列变量中,是无穷小量的为( A ) (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln+→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sin sin )x x x x x→- 的结果是( C )(A )0 (B ) 1 (C ) 1- (D )不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 ( A )(A )单调增加 (B )单调减小 (C )无最大值 (D )无最小值 9、不定积分 ⎰+dx x x12= ( D ) (A)2arctan x C + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21ln(1)2x C ++10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 ( A )(A )1-e (B) 1 (C) 2 (D) e 11、微分方程dyxy dx=的通解为 ( B )(A )2xy Ce= (B )212x y Ce= (C )Cx y e = (D )2x y Ce =12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( D ) (A )2x y = (B ) 3x y -= (C )23x y -= (D )3x y = 13、 函数1cos sin ++=x x y 是 ( C )(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C)非奇非偶函数; (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x 时, 下列是无穷小量的是 ( B )(A ) 1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x 15、当x →∞时,下列函数中有极限的是 ( A ) (A )211x x +- (B) cos x (C) 1xe (D)arctan x16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 ( B ) (A )零个 (B )一个 (C )二个 (D )三个17、21()1dx x '=+⎰( B )(A )211x + (B )211C x ++ (C ) arctan x (D ) arctan x c +18、定积分()baf x dx ⎰是 ( C )(A )一个函数族 (B )()f x 的的一个原函数 (C )一个常数 (D )一个非负常数19、 函数(ln y x =+是( A ) (A )奇函数 (B )偶函数 (C ) 非奇非偶函数(D )既是奇函数又是偶函数20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且()0f x '>,则( B )(A)()00f < (B) ()()10f f > (C) ()10f > (D)()()10f f < 21、设曲线221x y e-=-,则下列选项成立的是( C ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cos sin )x x dx -=⎰( D )(A ) sin cos x x C -++ (B ) sin cos x x C -+ (C ) sin cos x x C --+ (D ) sin cos x x C ++23、数列})1({n n n-+的极限为( A ) (A )1 (B) 1-(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是( B )(A )有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量(B )有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 (C )两无穷大量的和仍为无穷大量 (D )两无穷大量的差为零 25、若()()f x g x ''=,则下列式子一定成立的有( C )(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰ (C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰ (D)()()1f x g x =+ 26、下列曲线有斜渐近线的是 ( C )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+(C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos limx x x →-=122、 若2)(2+=x e x f ,则=)0('f 23、 131(cos 51)x x x dx --+=⎰ 24、 =⎰dx e t t e x C +5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为 2x y e =6、224lim 3x x x →-=+ 0 7、 极限 =---→42lim 222x x x x 438、设sin 1,y x x =+则()2f π'= 19、 11(cos 1)x x dx -+=⎰ 210、 231dx x =+⎰3arctan x C +11、微分方程ydy xdx =的通解为 22y x C =+12、1415x dx -=⎰ 213、 sin 2limx x xx→∞+= 1 14、设2cos y x =,则dy 22sin x x dx - 15、设cos 3,y x x =-则()f π'= -116、不定积分⎰=x x de e C x +2e 2117、微分方程2x y e -'=的通解为 212x y e C -=-+18、微分方程x y ='ln 的通解是 x y e C =+19、xx x3)21(lim -∞→= 6e-20、,x y x y '==设函数则x 21、)21(lim 222nnn n n +++∞→ 的值是 1222、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+- 1223、,x y x dy ==设函数则(ln 1)x x x dx +24、 20231lim 4x x x x →-+=+ 1425、若2()sin 6x f x e π=-,则=)0('f 226、25(1sin )a ax dx π++=⎰2π ().a 为任意实数27、设ln(1)xy e =-,则微分dy =______1xxe dx e -__________. 28、 3222(cos )d 1x x x x ππ-+=-⎰ 2三、解答题1、(本题满分9分)求函数y =的定义域。

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《高等数学(一)》期末复习题一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 ( C )(A )0 (B ) ∞ (C )12(D )不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内 ( B ) (A )无实根 (B )有唯一实根 (C )有两个实根 (D )有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ⎰dx x f )(是)(x f 的 ( C )(A )一个原函数; (B) 一个导函数; (C) 全体原函数; (D) 全体导函数; 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 ( C )(A )2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D )(A )3x (B )331x + (C )23+x (D )2313+x6、下列变量中,是无穷小量的为( A ) (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln+→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sin sin )x x x x x→- 的结果是( C )(A )0 (B ) 1 (C ) 1- (D )不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 ( A )(A )单调增加 (B )单调减小 (C )无最大值 (D )无最小值 9、不定积分 ⎰+dx x x12= ( D ) (A)2arctan x C + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21ln(1)2x C ++10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 ( A )(A )1-e (B) 1 (C) 2 (D) e 11、微分方程dyxy dx=的通解为 ( B )(A )2xy Ce= (B )212x y Ce= (C )Cx y e = (D )2x y Ce =12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( D ) (A )2x y = (B ) 3x y -= (C )23x y -= (D )3x y = 13、 函数1cos sin ++=x x y 是 ( C )(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C)非奇非偶函数; (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x 时, 下列是无穷小量的是 ( B )(A ) 1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x 15、当x →∞时,下列函数中有极限的是 ( A ) (A )211x x +- (B) cos x (C) 1xe (D)arctan x16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 ( B ) (A )零个 (B )一个 (C )二个 (D )三个17、21()1dx x '=+⎰( B ) (A )211x + (B )211C x ++ (C ) arctan x (D ) arctan x c +18、定积分()baf x dx ⎰是 ( C )(A )一个函数族 (B )()f x 的的一个原函数 (C )一个常数 (D )一个非负常数19、 函数(ln y x =+是( A ) (A )奇函数 (B )偶函数 (C ) 非奇非偶函数(D )既是奇函数又是偶函数20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且()0f x '>,则( B )(A)()00f < (B) ()()10f f > (C) ()10f > (D)()()10f f < 21、设曲线221x y e-=-,则下列选项成立的是( C ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cos sin )x x dx -=⎰( D )(A ) sin cos x x C -++ (B ) sin cos x x C -+ (C ) sin cos x x C --+ (D ) sin cos x x C ++23、数列})1({n n n-+的极限为( A ) (A )1 (B) 1-(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是( B )(A )有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量(B )有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 (C )两无穷大量的和仍为无穷大量 (D )两无穷大量的差为零 25、若()()f x g x ''=,则下列式子一定成立的有( C )(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰ (C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰ (D)()()1f x g x =+ 26、下列曲线有斜渐近线的是 ( C )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+(C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos limx x x →-=122、 若2)(2+=x e x f ,则=)0('f 23、 131(cos 51)x x x dx --+=⎰ 24、 =⎰dx e t t e x C +5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为 2x y e =6、224lim 3x x x →-=+ 0 7、 极限 =---→42lim 222x x x x 438、设sin 1,y x x =+则()2f π'= 19、 11(cos 1)x x dx -+=⎰ 210、 231dx x =+⎰3arctan x C +11、微分方程ydy xdx =的通解为 22y x C =+12、1415x dx -=⎰ 213、 sin 2limx x xx→∞+= 1 14、设2cos y x =,则dy 22sin x x dx - 15、设cos 3,y x x =-则()f π'= -116、不定积分⎰=x x de e C x +2e 2117、微分方程2x y e -'=的通解为 212x y e C -=-+18、微分方程x y ='ln 的通解是 x y e C =+19、xx x3)21(lim -∞→= 6e-20、,x y x y '==设函数则x 21、)21(lim 222nnn n n +++∞→Λ的值是 1222、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+- 1223、,x y x dy ==设函数则(ln 1)x x x dx +24、 20231lim 4x x x x →-+=+ 1425、若2()sin 6x f x e π=-,则=)0('f 226、25(1sin )a ax dx π++=⎰2π ().a 为任意实数27、设ln(1)xy e =-,则微分dy =______1xxe dx e -__________. 28、 3222(cos )d 1x x x x ππ-+=-⎰ 2三、解答题1、(本题满分9分)求函数y =的定义域。

解:由题意可得,1020x x -≥⎧⎨-≥⎩解得12x x ≥⎧⎨≤⎩所以函数的定义域为 [1,2]2、(本题满分10分)设()(1)(2)(2014)f x x x x x =---L ,求(0)f '。

解:)0(f '000--=→x f x f x )()(lim3、(本题满分10分)设曲线方程为16213123+++=x x x y ,求曲线在点)1,0(处的切线方程。

解:方程两端对x 求导,得26y x x '=++将0x =代入上式,得(0,1)6y '=从而可得:切线方程为16(0)y x -=- 即61y x =+4、(本题满分10分)求由直线x y =及抛物线2x y =所围成的平面区域的面积。

解:作平面区域,如图示y解方程组⎩⎨⎧==2x y xy 得交点坐标:(0,0),(1,1) 所求阴影部分的面积为:dx x x S )(⎰-=102=103232⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x =61 5、(本题满分10分)讨论函数2 1()3 1x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩在 1x = 处的连续性。

解: 11lim ()lim 23(1)x x f x x f ++→→=+==Q ∴()f x 在1x = 处是连续的6、(本题满分10分)求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=+==3321x y x dx dy|的特解。

解:将原方程化为 dx x dy )(32+=两边求不定积分,得 dx x dy ⎰⎰+=)(32,于是23y x x C =++ 将31==x y |代入上式,有313C =++,所以1C =-, 故原方程的特解为132-+=x x y 。

7、(本题满分9分)求函数y =的定义域。

解:由题意可得,4050x x -≥⎧⎨-≥⎩解得45x x ≥⎧⎨≤⎩所以函数的定义域为 [4,5]8、(本题满分10分)设()(1)(2)()(2)f x x x x x n n =+++≥L ,求(0)f '。

解:)0(f '000--=→x f x f x )()(lim9、(本题满分10分)设平面曲线方程为33222=+-y xy x ,求曲线在点(2,1)处的切线方程。

解:方程两端对x 求导,得0622='+'+-y y y x y x )( 将点(2,1)代入上式,得112-='),(y 从而可得:切线方程为)(21--=-x y 即03=-+y x10、(本题满分10分)求由曲线x y e =及直线1=y 和1=x 所围成的平面图形的面积(如下图).解:所求阴影部分的面积为10(1)x S e dx =-⎰11、(本题满分10分)讨论函数 0() 1 0x x x f x e x <⎧=⎨-≥⎩ 在 0x = 处的连续性。

解: 0lim ()lim 10(0)xx x f x e f ++→→=-==Q∴()f x 在0x = 处是连续的。

12、(本题满分10分)求方程0)1()1(22=+-+dy x dx y 的通解。

解:由方程0)1()1(22=+-+dy x dx y ,得两边积分:⎰⎰+=+2211xdxy dy 得C x y +=arctan arctan所以原方程的通解为:C x y +=arctan arctan 或)tan(arctan C x y += 13、(本题满分10分)证明方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。

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