新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂
新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 教案
第四章 指数函数与对数函数4.1 指数【素养目标】1．弄清nn 次方根的运算．(数学抽象)2．能够利用m na=(数学运算)3．通过对根指数n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理) 【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4.1.1 n 次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识提示：不一定．当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，且互为相反数，当n 为奇数时，正数a 的n 次方根只有一个且仍为正数．知识点二 根式(1)定义：式子叫做根式，这里n 叫做___根指数__，a 叫做___被开方数__. (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ∈(na )n ＝a .∈na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.思考2：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R .思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：(1)当a <0时，若n 为偶数，m 为奇数，则m na ，m na -无意义；(2)当a ＝0时，a 0无意义．知识点四 有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r ，s∈Q) (1)r s r s a a a +=. (2)()r srsa a =. (3)()rr rab a b =.思考4：同底数幂相除a r÷a s，同次的指数相除a rbr 分别等于什么？提示：(1)a r ÷a s ＝a r －s ； (2)a r b r ＝(a b )r .基础自测1.3－8等于( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．－8[解析]3－8＝3(－2)3＝－2.2．下列各式正确的是( A )A．3a = B．47=-C．5||a =Da =[解析] (3a )3＝a ，(47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)，故选A ．3．324-可化为( C )A ．8B ．432 C ．18D ．342[解析] 3233322211114284(2)-====. 4．若a >0，n ，m 为实数，则下列各式中正确的是( D ) A ．m m nna a a ÷= B ．n m m n a a a ⋅⋅= C ．( )n mm na a+=D ．01n n a a -÷=[解析] 由指数幂的运算法则知1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0－n正确，故选D ．5．若66－x 有意义，则实数x 的取值范围为_____(－∞，6]___. [解析] 要使式子66－x 有意义，应满足6－x ≥0， ∴x ≤6.关键能力·攻重难题型探究题型一n次方根的概念例1(1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为___5－27__；(2)已知x7＝6，则x＝__76__；(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)∈(±4)2＝16，∈16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∈x7＝6，∈x＝7 6.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[归纳提升](1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【对点练习】∈ 计算下列各值：(1)27的立方根是__3___；(2)256的4次算术方根是__4___；(3)32的5次方根是__2___.[解析](1)∈33＝27，∈27的立方根是3.(2)∈(±4)4＝256，∈256的4次算术方根为4.(3)∈25＝32，∈32的5次方根为2.题型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)3＋22＋3－22；(2)5＋26－6－42＋7－43；(3)32＋5＋32－ 5.[分析](1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．[解析](1)原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.(2)原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.(3)令x＝32＋5＋32－5，两边立方，得x3＝2＋5＋2－5＋3·32＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，所以x 3＋3x －4＝0，所以(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0，x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154>0，所以x －1＝0，x ＝1，所以32＋5＋32－5＝1.[归纳提升] 形如A ±B 的双重根式，当A 2－B 是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．【对点练习】❷ 计算下列各式： (1)5(－a )5＝_______； (2)6(3－π)6＝________； (3)614－3338－30.125＝______. [解析] (1)5(－a )5＝－a . (2)6(3－π)6＝6(π－3)6＝π－3. (3)614－3338－30.125＝(52)2－3(32)3－3(12)3＝52－32－12＝12.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂表示下列各式：(1)a 3·3a 2； (2)b 3a·a 2b 6(a >0，b >0)； (3)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析](1)a 3·3a 2＝a 3·a23 ＝a 3＋23 ＝a 113 .(2)∵a >0，b >0， ∴b 3a ·a 2b 6＝(a－1b 3)12 ·(a 2b －6)12＝(a －12 b 32 )·(ab －3)＝a 12b －32 ＝(a 12 b －32 )12 ＝a 14 b －34 . (3)∵a >0，b >0，∴a－4b 23ab 2＝a－4b 2a13 b 23 ＝a －113 ·b 83 ＝(a －113 b 83 )12 ＝a －116b 43 .[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N ＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式． (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．【对点练习】❸ (1)5－211 化为根式形式为____；(2)4b －23 (b >0)化为分数指数幂的形式为____16b -____；(3)13x (5x 2)2(x ≠0)化为分数指数幂的形式为____53x-____.[解析] (1)原式＝15211 ＝11152＝11125. (2)原式＝(b －23 )14 ＝b －23 ×14 ＝b －16 .(3)原式＝13x ·(x 25 )2＝13x ·x 45 ＝13x 95＝1(x 95 )13 ＝1x 35＝x －35 .题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 (1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12 －(0.01)0.5＝______；(2)化简：3a 72 a －3÷3a－83a 15÷3a－3a －1.[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝3a 72 a －32 ÷a －83 a 153 ÷3a －32 a －12＝3a 2÷a 73 ÷3a －2＝a 23 ÷(a 73 )12 ÷(a －2)13 ＝a 23 ÷a 76 ÷a －23＝a 23 －76 ÷a －23 ＝a －12 ＋23 ＝a 16 .[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．【对点练习】❹ 化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23÷(1－23b a )×3a .[解析] 原式＝a 13 (a －8b )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ÷a 13 －2·b 13 a 13·a 13＝a 13 (a 13 －2b 13 )(a 23 ＋2a 13 b 13 ＋4b 23 )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ·a 13a 13 －2b 13 ·a 13＝a 13 ·a 13 ·a 13 ＝a .课堂检测·固双基1．化简[(－3)2]－12的结果是( C )A ．－33B ．3C ．33D ．－3[解析] [(－3)2]－12＝3－12＝1312＝13＝33.2．已知m <23，则化简4(3m －2)2的结果为( C )A ．3m －2B ．－3m －2C ．2－3mD ．－2－3m[解析] ∵m <23，∴3m －2<0，排除A ，B ，又(3m－2)2>0，所以4(3m－2)2为正，所以选C．3．若2＜a＜3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．4．以下说法正确的是(C)A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)D．负数没有n次方根[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，∴B错误；对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，∴C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：4(－43)4＝__43__.[解析]4(－43)4＝4(43)4＝43.素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．－416的结果是(B)A．2B．－2C．±2D．以上都不对[解析]－416＝－424＝－2.故选B．2．下列各式正确的是(C)A．6(－3)2＝3(－3)B．4a4＝aC．622＝32D．a0＝1[解析]6(－3)2＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．3．若2 019<m <2 020，则(3m －2 019)3＋4(m －2 020)4等于( A ) A ．1 B ．4 031－2m C ．4 031D ．2m －4 031[解析] 因为2 019<m <2 020，所以m －2 020<0. 故原式＝m －2 019＋|m －2 020| ＝m －2 019＋2 020－m ＝1. 故选A ．4．若6x －2·43－x 有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≥2 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤3D ．x ∈R[解析] 由题意，知x －2≥0，且3－x ≥0，所以2≤x ≤3. 二、填空题5．64的6次方根是__±2__，计算64－23的值是__116__.[解析] ∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－23＝13642＝13(43)2＝13(42)3＝142＝116.6．已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)[解析] ③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义． 三、解答题7．写出使下列各式成立的实数x 的取值范围：(1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3；(2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.[解析] (1)由于根指数是3，故x 只需使1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3.故实数x 的取值范围是x ≠3.(2)∵(x －5)(x 2－25)＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )·x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，∴－5≤x ≤5. ∴实数x 的取值范围是－5≤x ≤5.B 组·素养提升一、选择题1．化简(－x )2－1x的结果是( B ) A ．x B ．－x －x C ．x x D ．x －x[解析] 由 －1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2－1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( CD ) A ．x 2＝x B ．6y2＝y 13C ．(x y )－52 ＝(yx)5(x 、y ≠0) D ．x－12＝1x[解析]x 2＝|x |，6y 2＝|y |13，(x y )－52 ＝(y x )52 ＝(yx)5(x 、y ≠0)， x－12＝1x 12＝1x ，故CD 正确．二、填空题3．若10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β等于3[解析] ∵10α＝2,100β＝102β＝3， ∴10β＝ 3.∴1 0002α－13β＝106α－β＝106α10β＝643＝6433.4．2723＋16－12－(12)－2－(827)－23 ＝__3__. [解析] 原式＝(33)23＋(42)－12－22－[(23)3]－23 ＝32＋4－1－4－94＝3. 三、解答题5．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y的值．[解析] 由x >0，y >0且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )得x ＋xy ＝3xy ＋15y ，即x －2xy －15y ＝0，整理有(x －5y )(x ＋3y )＝0，因为x >0，y >0，所以x ＝5y ，即x ＝25y ，11 所以2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3.。
4.1.1n次方根与分数指数幂-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
8
a3
；
1
4
41
2
a3 a a a3 a3 (a 3 )2 a 3 .
例题讲解
立德树人 和谐发展
题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值
例4.
计算:0.064-
1 3
-
7 8
0
[(-2)3]-
4
1
3 +16-0.75+|-0. 01|2
.
解:原式=(0.43)-
13-1+(-2)-4+(24)-
n 是 a>0
x>0
奇数 a<0
x<0
性
n
x 仅有一个值，记为 a
质 n是
a>0
n
x 有两个值，且互为相反数，记为 ± a
偶数
a<0 x 在实数范围内不存在
新知初探
立德树人 和谐发展
2．根式
(1)定义：式子
n
a
叫做根式，这里 n 叫做
根指数 ，a
叫做 被开方数 ．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
例题讲解
题型二 分数指数幂的简单计算问题
例2：求值。
82
；3
.
(16
)
3 4
81
解：8
2 3
2
(23)3
3 2
2 3
22
4
(16
)
3 4
(
2
)
4(
3 4
)
( 2)3 27
81
3
38
立德树人 和谐发展
立德树人 和谐发展
解题方法（分数指数幂的运算技巧）
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
第四章 4.1 4.1.1 4.1.2 第一课时 n次方根2019(秋)数学 必修 第一册 人教A版(新教材)
1
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
[读图探新]——发现现象背后的知识 1.细胞分裂的个数可以用指数函数模型来研究. 2.宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后
进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入.只要植物或动物生存着，它 们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平.
(3)3 a3＋4 （1－a）4.
7
解 (1) （－2）7＝－2.
4
(2) （3a－3）4＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
3
(3)
4
a3＋
（1－a）4＝a＋|1－a|＝12， a－a≤ 1，1， a>1.
21
课前预习
@《创新设计》
课堂互动
核心素养
题型三 有 限制条件的根式的化简 通常利用限制条件去绝对值号
解 （a－3）（a2－9）＝ （a－3）2（a＋3）＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立，需aa－ ＋33≤ ≥00， ，解得 a∈[－3，3].
16
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
规律方法 对于n a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有意义；(2)只 要n a有意义，n a必不为负.
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
7
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
1.n次方根，n次根式
(1)a的n次方根的定义
一般地，如果 >1，且n∈N*.
(2) a的n次方根的表示 求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论
人教版高中数学必修第一册4.1指数 课时1n次方根与分数指数幂【课件】
(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分
数，先化成假分数．
(4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用指数幂的形式表示，运用
指数幂的运算性质来解答．
【变式训练3】 计算下列各式：
【解】
【备选例题】
思路点拨：含字母的根式与分数指数幂的互化,从分数指数
15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？可否表示为S0·1.05715.5 hm2？
如果可以，数1.05715.5表示什么含义呢？
情境导学
2.初中我们已经学习过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把
正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝ 记作c＝ ，像 这样以
分数为指数的幂，叫做分数指数幂．
3.在初中，我们学习了平方根和立方根.4的平方根是多少？8
的立方根是多少？是不是任何数的平方根都有两个、立方根都只有
一个？若x5＝32，x可以取什么值？若x4＝16，x可以取什么值？你
能发现它们的共同特点吗？
初探新知
【活动1】探究n次方根的概念,深化对根式的认识和理解
【问题1】 我们知道:若x2=2,则x=± 2 ,± 2 称为2的平方根,(2)3=-8,-2称为-8的立方根.如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x称为a的什
化成自然对数或常用对数；通过具体实例，引导学生了解对数函数的概念，
并能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数
函数的单调性与特殊点；让学生知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax
互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识要点及教学要求
3. 结合指数函数与对数函数的图象，指导学生进一步了解函数的零点与方
新版高一数学必修第一册第四章全部课件
课堂小结
1、n次方根和根式的概念。
当
n
为奇数时，
a
的
n
次方根是
2、
n
。
a
当n为偶数时，正数a的n次方根是 a
n
负数没有偶次方根。
3、 0的任何次方根都是0
当n是奇数时， a a
n
n
当n是偶数时， a | a |
n
n
a , a 0
a , a 0
{
4.分数指数概念
一般地，如果 x n＝a，那么
x
叫做 a 的 n 次方根 ，
其中 n＞1，且 n∈N*
n 是奇数
a＞0
a＜0
个数
x＞0 x 仅有一个值，记
x＜0 为
n
a
x 有两个值，且互为相反数，
n 是偶数
a＞0
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
2．根式
(1)定义：式子
(2)已知 x6＝2 016，则 x＝________.
4
(3)若 x＋3有意义，求实数 x 的取值范围为________.
6
(1)3；±2 (2)± 2 016 (3)[－3，＋∞]
解析：(1)27 的立方根是 3；16 的 4 次方根是±2.
6
(2)因为 x ＝2 016，所以 x＝± 2 016.
【答案】－x
[∵x<0，∴－x>0，∴ －x2＝－x.]
6．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
－4
3
答案 1 a 3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
人教版数学必修一4.1.1分数指数幂
例4、计算下列各式（式中字母都是正数）
21Байду номын сангаас
11
15
(1)(2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25- 125) 4 25
a2
(2)
(a 0)
a 3 a2
三、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 a ( >0, 是
an 1 (a 0) an
am an amn ; (am )n amn
(an )m amn , (ab)n anbn
• 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
10
8
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 a8 (a4 )2 a4 a 2
12
10
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
1
1
1
1
a2 (1) 1
b2
1
a2 1
b2
1
a2 b2 a2 b2
(2)(a 2 2 a 2 ) (a 2 a 2 )
3、已知x x1 3，求下列各式的值
1
1
(1)x 2 x 2
1
1
(2)x 2 x 2
4、化简 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4的结果是（C）
A.a16 B. a8 C. a4 D. a2
3、n次方根的性质
①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有 两个(互为相反数)．
记作：x n a .
新教材4.1.1n次方根与分数指数幂教学设计（1）-人教A版高中数学必修第一册
第四章指数函数与对数函数教学过程教学设计意图核心素养目标4.1.1n次方根与分数指数幕本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幕》第1课时。
从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。
体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。
课程目标学科素养1.理解并掌握根式的概念、分数指数蓦的概念；2.理解根式与分数指数幕的互化；掌握有理数指数蓦的运算性质；3.培养勇于探索的精神,体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。
a.数学抽象：根式的概念；b.逻辑推理：根式与分数指数幕的互化；C.数学运算：根式的化简；d.直观想象：指数幕的运算法则；e.数学建模：将指数慕的运算性质推广到有理数的范围；重点：根式的概念、分数指数幕的概念;难点：根式与分数指数蓦的互化；有理数指数蓦的运算性质;多媒体(一)、温故知新1 .思考辨析(1)实数a 的奇次方根只有一个.()⑵当 n£N*时，2.()(3>\/(兀一4)2=兀一4.()[答案]⑴"⑵X⑶X4(—2. ^16的运算结果是()A. 2 B. —2C±2 D. ±^24— 4i —A [716=7?=2.]3. 秫是实数，则下列式子中可能没有意义的是()C [当所<0时，饥没有意义，其余各式均有意义.]4.若？ = 一5,则 x=.—y[5 [若尸=—5,则 x=\]—5= — y[5.](二)、探索新知探究1 "次方根的概念问题例1 (1)27的立方根是； 16的4次方根是(2) 已知 *6=2 016,则工=.(3) 若折与有意义，求实数x 的取值范围为.(1) 3； ±2 (2)土呀2 016 (3)[-3, +»]解析：(1)27的立方根是3； 16的4次方根是±2.(2) 因为 *6=2 016,所以 x=±»2 016.(3) 要使折有有意义，贝懦要x+3>0,即x>-3.所以实数x 的取值范围是[—3, +oo).[规律方法]n 次方根的个数及符号的确定1. n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；2. n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号.跟踪训练1.已知KR, neN*,给出下列4个式子：通过温故知新，帮助学生在学习了开平方和开立方概念的基础上，正确理解根式的概念，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂
不能.因为a为负数之后可能会分数指数幂没有意义，如 −
−
= −
= −
，而
− 在实数范围内无意义.
探究新知
运算性质
① = + > , , ∈
②
= > , , ∈
③
= > , ∈
巩固提升
−
= −
一定成立吗？
=
化简下列各式：
（ − ）
（ − ）
（ − ）
探究新知
化简下列各式：
（ − ） =
=
①当n为奇数时，
=
=
=
（ − ） = −
②当n为偶数时，
（ − ） =
3
3
25 32，（ 3）
27，（ a 2）
a6
= ,
− = −.
= .
探究新知
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.
正数的n次方根用 表示，负的n次方根用 − 表示.两者也可以合并成 ± （ > ）
4
4
例2 求下列各式的值.
(1)
【解】(1)
(2)
(2)
=
−
=
=
16
81
3
−4
=
4.1.1n次方根与分数指数幂.高中数学人教A版必修一
等于其绝对值.
4.填空 性质(当n>1，n∈N*时)：
(1)(n a)n＝__a___； (2)n an＝a_， __|a_n_|为_，奇n数为，偶数.
温馨提醒 (1) n an是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的 值受 n 的奇偶限制.
4.若 a>0，将
1
A.a2
7
C.a6
a2 表示成分数指数幂，其结果是( C )
a·3 a2
5
B.a6
3
D.a2
解析 由题意得
a2
11 7
＝a2－2－3＝a6.
a·3 a2
5.(多选)下列说法正确的是(CD )
A.4 81的运算结果是±3 B.16 的 4 次方根是 2
C.当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时才有意义
3 a2
解 (1) 1 ＝ 12＝a－23. 3 a2 a3
4
(2)
ab23＝ba3214＝b34a－24＝a－12b34.
2
2 11
(3)a3·3 a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
题型三 有理数指数幂的运算
例3 计算或化简下列各式：
1
(1)(3 2× 3)6－41469－2－4 2×80.25－(－2.015)0；
4.
3.填空 (1)分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：amn＝__n_a_m___ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数 指数 幂
负分数指数幂
1
规定：a－mn ＝__a_mn____＝n
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)(4)
规定：正数的正分数指数幂的意义是
m
n
n
a ＝ am (a>0，m，n ∈ N*，n>1).
正数的负分数指数幂的意义是
m
-n
1
1
a ＝ m＝ n (a>0，m，n ∈ N*，n>1).
an
am
例如：
4
－
3
1
1
5 ＝ 4＝ 3
53
54
－
2
3
1
1
a ＝ 2＝ 3
a3
a2
规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.
【2】 当a＜0且n为偶数时，
= −
在实数范围内没有意义.
【3】 当 有意义时， 是一
个实数，且它的n次方等于a.
探究
表示 的n次方根，
= 一定成立吗？ 不一定
①当n为奇数时， =
②当n为偶数时，
思考
和
, ≥ ,
= =
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
比如：
−
注：
一般读作“n次根号a”
= ，
【1】
=
(2) (m n
3
新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册
金版点睛
形如 m±2 n(m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为 a± b2的 形式后再化简．由于( a± b)2＝a＋b±2 ab，因此转化的方法就是寻找 a，b，
使得aa＋ b＝b＝ n，m， 即 a，b 是方程 x2－mx＋n＝0 的两个根．如化简 2－ 3，
首先化为 m－2 n的形式，即
【新知拓展】
n 1.
an与(n
a)n
的区别
n (1)
an是实数
an
的
n
次方根，是一个恒有意义的式子，不受
n
的奇偶限
制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制．其算法是对 a 先乘方，再开方(都是 n
次)，结果不一定等于 a，当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a| ＝a－，aa，≥a0<，0.
4－2 2
3，解方程 x2－4x＋3＝0，得 x＝3 或
x＝1，则 4－2 3＝( 3－1)2，所以 2－ 3＝
4－2 2
3＝
3－12＝ 3－1
2
2
＝
6－ 2
2 .
[跟踪训练3] 化简： 5＋2 6－ 6－4 2＋ 7－4 3. 解 原式＝ 3＋ 22－ 2－ 22＋ 2－ 32 ＝ 3＋ 2－(2－ 2)＋2－ 3＝2 2.
答案 (1)－5 (2)－b 解析 (1) 3 －53＝－3 53＝－5. (2)∵b<0，∴－b>0，∴( －b)2＝－b.
答案
解析
5.计算： e＋e－12－4＋ e－e－12＋4(e≈2.7)． 解 原式＝ e2＋2＋e－2－4＋ e2－2＋e－2＋4＝
e－e－12＋ e＋e－12＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
1、利用分数指数幂 进行根式运算时，其 顺序是先把根式化为 分数指数幂的运算性 质进行计算。
2、计算结果不强求 用什么形式来表示， 但结果不能同时含有 根号和分数指数幂， 也不能同时存在分式 和负分数指数幂。
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例题讲解
立德树人 和谐发展
题型三 根式与分数指数幂的互化 例3.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
a2 ；3 a2 . a a3
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
新知初探
探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
立德树人 和谐发展
0的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义.
且互为相反数；当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一
个且仍为正数．
2的字母
a
的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子(n a)n 中隐含 a 是有意义的，若 n
n
为偶数，则 a≥0，若 n 为奇数，a∈R ；式子 an中，a∈R .
例题讲解
题型一 根式的化简(求值)
例1 求下列各式的值
(1) 3 (8)3
【人教A版】数学必修一第四章 4.1.1n次方根与分数指数幂
A.2 2
√7 B. 8
7
C.－ 8
7
解析 因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 8.
7
D.± 8
4
(2)若
2x＋5有意义，则
x
的取值范围是__－__52_，__＋__∞____；
5
若 2x＋5有意义，则 x 的取值范围是____R____.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
4
(1) 3－π4；
第四章 4.1 指 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
知识点一 n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_7_或__－__1_1_.
解析 81的平方根为－9或9， 即a＝－9或9， －8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围.
4
解 ∵ x－2有意义，
∴x－2≥0， ∴x≥2， 即x的取值范围是[2，＋∞).
4
解 3－π4＝|3－π|＝π－3.
(2) a－b2(a>b)；
解 ∵a>b，∴ a－b2＝|a－b|＝a－b.
3
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 1－a3.
解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
人教版数学必修一4.1.1 n次方根与分数指数幂
定义2:
式子 n a叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被开方数
2、两个公式：
① (n a )n a
② 当n为奇数时, n a n a 当n为偶数时, n an | a | aa, a, a00
达标练习：
1. 求下列各式的值：
(1) 7 (2)7 ;
及时巩固，收获的东 西才真正属于你们！
;
4
③ 4 16
16
;
③ 3 33
3
;
3
④ 3 1
-1
;
④ 3 (3)3 -3
;
3
⑤ 3 8 -8
;
⑤ 4 (1)4 1
;
那么:
n
① n a a 一定成立吗？
② n an a 一定成立吗？
公式1：(n a )n a
2
① 4
4;
2
② 16
9
;
4
③ 4 16
16
;
3
(3) 4 (3 )4
(4) (a - b)2 (a b).
(5)5 a10 (a 0)
(6) 4 a12
练习: 求下列各式的值:
(1) 3 -8;
(2)
(3) ( 2 - 3)2; (4)
(-2)4;
4
(3a
-
1)4(a
1). 3
知识点小结：
1、两个定义
定义1:
若 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 , 其中 n 1 , 且 n N * .
－4 无
8
2
23 8Βιβλιοθήκη －9 无27 333 27
类比分析， 可是个好 方法哟！
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2.根式
(1)式子 n a 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:当n>1,n∈N*时,
① (_n_a__)n a;
②
_n_a_n_
a, n为奇数， | a |, n为偶数.
【思考】 (n a )n 与n an 中的字母a的取值范围是否一样? 提示:取值范围不同.式子 (n a )n中隐含a是有意义的,若n 为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子n an 中,a∈R.
2.若 (2a－1)2＝3 (1－2a)3，则实数a的取值范围为______. 【解析】 (2a－1)2＝| 2a－1|，
3 (1－2a)3＝ 1-2a. 所以|2a-1|=1-2a, 故2a-1≤0,
所以a≤ 1 .
2
答案: (－，1]
2
类型二 根式与分数指数幂的互化
【典例】1.根式 1 1 (式中a>0)的分数指数幂形式为
2.怎样求根式中变量的范围? 提示:根指数是偶数时,被开方数非负,根指数为奇数时, 被开方数为任意实数.
【类题·通】 1.n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数,任 意实数的奇次方根只有一个. (2)符号:根式 n a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方 数a的符号共同确定:
义;若n为奇数,则
a
m
n，a
m n
有意义.
(2)当a=0时,a0无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈Q) (1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars. (3)(ab)r=arbr.
【思考】
同底数幂相除ar÷as,同次的指数相除 ar 分别等于
br
什么?
提示:(1)ar÷as=ar-s;(2)
aa
________.
2.式子 a3 b 化为分数指数幂的形式为________.
ab3
【思维·引】1.由里向外逐层化指数,再利用运算性质 运算. 2.先将根式化为指数式,再利用同底数幂相除运算.
【解析】1.
答案:
3
a4
1
1
a
1a
1 2
3
3
a 2 a 4.
aa
1
2.
a3 b ab3
a 3b 2
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正分数指数幂
m
a n n am
负分数指数幂
m
an
1
m
an
1 n am
0的正分数指数幂等于
0的分数指数幂 0,0的负分数指数幂没
有意义
【思考】
为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示:(1)当a<0时,若n为偶数,m为奇数,则
a
m
n，a
mn 无意
(1)方法:根指数
分数指数的分母,
被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数 幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指 数幂写出.
【习练·破】
用分数指数幂表示 3 a2 (a>0)为 ( ) 1 a2 a
5
A．a 6
C．a
1 12
1
B．a 6
D．a
1 3
【解析】选B.
2
3 a2
1
a3 1
1
a6.
a2 a a2
【加练·固】
1. ag3 ag a 的分数指数幂表示为 ( )
3
A．a 2
B．a 3
3
C．a 4
D．都不对
【解析】选C.
ag3 ag a
3 3
ag a2
1
aga 2
3
3
a2 a4.
【习练·破】
1.已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:
① 4 22n；② 3 22n1；③ 4 22n；④ 3 a2，其中无意义的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【解析】选A.①中-22n<0,所以 4 22n 无意义, ②中根指数为3,有意义, ③中(-2)2n>0,有意义, ④中根指数为3,有意义.
【解析】1.选D. (3 )2 3 ( 3)3 =π-3-π-3=-6. 2.选A. 3 2 2 3 2 2 ( 2 1)2 ( 2 1)2
2 1 2 1 2 2.
3.由aa
2 3
0, 0,
得a≥2,且a≠3.
答案:[2,3)∪(3,+∞)
【内化·悟】 1.对于根式 n an 化简需要注意哪些问题? 提示:注意n的奇偶和a的符号.
①当n为偶数时,n a 为非负实数. ②当n为奇数时, n a 的符号与a的符号一致.
2.根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然 后运用根式的性质进行化简.
(2)注意点: ①正确区分 (n a )n 与n an 两式. ②运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和 完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.
ar br
(a )r. b
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
（1）（6 2）2 3 2.
()
(2)对于a∈R,(a2+a+1)0=1成立. ( )
1
（3）a3ga 3 a.
()
提示:(1)×. （6 2）2 3 2. (2)√.因为a2+a+1≠0,所以(a2+a+1)0=1成立.
n次方根与分数指数幂
1. n次方根 如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1,n∈N*.可用下 表表示:
n为奇数
n为偶数
a∈R a>0
a=0
a<0
_x_=_n_a x=_±__n _a
x=0
不存在
【思考】 正数a的n次方根一定有两个吗?
提示:不一定.当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,且 互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且 仍为正数.
2.设a>0,将 a2 表示成分数指数幂,其结果是
ag3 a2
()
1
A．a 2
5
B．a 6
7
C．a 6
3
D．a 2
【解析】选C.
a2
2 1 1
7
a 2 3 a6.
ag3 a2
【典例】1.化简 (3 )2 3 ( 3)3 ( )
A.-2π B.6
C.2π
D.-6
2. 3 2 2 3 2 2等于
A．2 2
B．2
（ C．6
） D．2
3.若 4 a 2+(a-3)0有意义,则a的取值范围是________. 世纪金榜导学号
【思维·引】1.根据根指数的奇偶、π和3的大小化简. 2.将被开方数配成完全平方后化简. 3.根据偶次方根的被开方数非负,0次幂的底数不等于0 求a的范围.
1 1化简（x
1 2
y
1
3）6
=____.
1
1
【解析】原式= (x 2 )6（g y3）6 x3y2.
答案:x3y2
3.若x<0,则 | x |＋ x2＋ x2 ＝_____.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
13
a2b2
5
a 2 b1.
答案:a
5 2
b1
【内化·悟】 1.分数指数化根式时需要注意什么? 提示:注意分数指数的分母为根指数,分子为被开方数 的指数,二者不能颠倒. 2.对于多层根号的根式,应该以什么样的顺序变形? 提示:应按照从里往外的顺序变形.
【类题·通】
根式与分数指数幂互化的方法及思路