新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂

义;若n为奇数,则
a
m
n，a
m n
有意义.
(2)当a=0时,a0无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈Q) (1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars. (3)(ab)r=arbr.
【思考】
同底数幂相除ar÷as,同次的指数相除 ar 分别等于
br
什么?
提示:(1)ar÷as=ar-s;(2)
3.分数指数幂的意义(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正分数指数幂
m
a n n am
负分数指数幂
m
an
1
m
an
1 n am
0的正分数指数幂等于
0的分数指数幂 0,0的负分数指数幂没
有意义
【思考】
为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示:(1)当a<0时,若n为偶数,m为奇数,则
a
m
n，a
mn 无意
2.怎样求根式中变量的范围? 提示:根指数是偶数时,被开方数非负,根指数为奇数时, 被开方数为任意实数.
【类题·通】 1.n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数,任 意实数的奇次方根只有一个. (2)符号:根式 n a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方 数a的符号共同确定:
13
a2b2
5
a 2 b1.
答案:a
5 2
b1
【内化·悟】 1.分数指数化根式时需要注意什么? 提示:注意分数指数的分母为根指数,分子为被开方数 的指数,二者不能颠倒. 2.对于多层根号的根式,应该以什么样的顺序变形? 提示:应按照从里往外的顺序变形.
【类题·通】
根式与分数指数幂互化的方法及思路
n次方根与分数指数幂
1. n次方根 如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1,n∈N*.可用下 表表示:
n为奇数
n为偶数
a∈R a>0
a=0
a<0
_x_=_n_a x=_±__n _a
x=0
不存在
【思考】 正数a的n次方根一定有两个吗?
提示:不一定.当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,且 互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且 仍为正数.
【习练·破】
1.已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子:
① 4 22n；② 3 22n1；③ 4 22n；④ 3 a2，其中无意义的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【解析】选A.①中-22n<0,所以 4 22n 无意义, ②中根指数为3,有意义, ③中(-2)2n>0,有意义, ④中根指数为3,有意义.
aa
________.
2.式子 a3 b 化为分数指数幂的形式为________.
ab3
【思维·引】1.由里向外逐层化指数,再利用运算性质 运算. 2.先将根式化为指数式,再利用同底数幂相除运算.
【解析】1.
答案:
3
a4
1
1
a
1a
来自百度文库
1 2
3
3
a 2 a 4.
aa
1
2.
a3 b ab3
a 3b 2
【解析】1.选D. (3 )2 3 ( 3)3 =π-3-π-3=-6. 2.选A. 3 2 2 3 2 2 ( 2 1)2 ( 2 1)2
2 1 2 1 2 2.
3.由aa
2 3
0, 0,
得a≥2,且a≠3.
答案:[2,3)∪(3,+∞)
【内化·悟】 1.对于根式 n an 化简需要注意哪些问题? 提示:注意n的奇偶和a的符号.
2.若 (2a－1)2＝3 (1－2a)3，则实数a的取值范围为______. 【解析】 (2a－1)2＝| 2a－1|，
3 (1－2a)3＝ 1-2a. 所以|2a-1|=1-2a, 故2a-1≤0,
所以a≤ 1 .
2
答案: (－，1]
2
类型二 根式与分数指数幂的互化
【典例】1.根式 1 1 (式中a>0)的分数指数幂形式为
【典例】1.化简 (3 )2 3 ( 3)3 ( )
A.-2π B.6
C.2π
D.-6
2. 3 2 2 3 2 2等于
A．2 2
B．2
（ C．6
） D．2
3.若 4 a 2+(a-3)0有意义,则a的取值范围是________. 世纪金榜导学号
【思维·引】1.根据根指数的奇偶、π和3的大小化简. 2.将被开方数配成完全平方后化简. 3.根据偶次方根的被开方数非负,0次幂的底数不等于0 求a的范围.
5
A．a 6
C．a
1 12
1
B．a 6
D．a
1 3
【解析】选B.
2
3 a2
1
a3 1
1
a6.
a2 a a2
【加练·固】
1. ag3 ag a 的分数指数幂表示为 ( )
3
A．a 2
B．a 3
3
C．a 4
D．都不对
【解析】选C.
ag3 ag a
3 3
ag a2
1
aga 2
3
3
a2 a4.
1 10
(3)×. a3ga3 =a 3 .
2.化简（x
1 2
y
1
3）6
=____.
1
1
【解析】原式= (x 2 )6（g y3）6 x3y2.
答案:x3y2
3.若x<0,则 | x |＋ x2＋ x2 ＝_____.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
2.根式
(1)式子 n a 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:当n>1,n∈N*时,
① (_n_a__)n a;
②
_n_a_n_
a, n为奇数， | a |, n为偶数.
【思考】 (n a )n 与n an 中的字母a的取值范围是否一样? 提示:取值范围不同.式子 (n a )n中隐含a是有意义的,若n 为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子n an 中,a∈R.
ar br
(a )r. b
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
（1）（6 2）2 3 2.
()
(2)对于a∈R,(a2+a+1)0=1成立. ( )
1
（3）a3ga 3 a.
()
提示:(1)×. （6 2）2 3 2. (2)√.因为a2+a+1≠0,所以(a2+a+1)0=1成立.
2.设a>0,将 a2 表示成分数指数幂,其结果是
ag3 a2
()
1
A．a 2
5
B．a 6
7
C．a 6
3
D．a 2
【解析】选C.
a2
2 1 1
7
a 2 3 a6.
ag3 a2
①当n为偶数时,n a 为非负实数. ②当n为奇数时, n a 的符号与a的符号一致.
2.根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然 后运用根式的性质进行化简.
(2)注意点: ①正确区分 (n a )n 与n an 两式. ②运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和 完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.
(1)方法:根指数
分数指数的分母,
被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数 幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指 数幂写出.
【习练·破】
用分数指数幂表示 3 a2 (a>0)为 ( ) 1 a2 a