推荐初中数学平方差公式(一)
平方差公式的高级应用
平方差公式的高级应用平方差公式是初中数学知识中的一个重要概念，广泛运用在数学的各个领域中。
本文将深入探讨平方差公式的高级应用，展示其在数学中的重要性和广泛应用。
一、平方差公式回顾在介绍平方差公式的高级应用之前，我们首先要回顾平方差公式的基本形式。
平方差公式表示如下：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$这个公式是一种乘法公式，用来快速计算两个数的平方差。
平方差公式在解决代数问题和简化计算中有着重要的作用。
二、平方差公式在因式分解中的应用平方差公式在因式分解中有着广泛的应用。
例如，对于一个二次多项式，可以利用平方差公式将其因式分解为两个一次多项式的乘积。
举例来说，对于多项式$x^2-9$，我们可以利用平方差公式得到：$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$这种运用平方差公式进行因式分解的方法，可以帮助我们简化计算，解决复杂的多项式展开和因式分解问题。
三、平方差公式在三角函数中的应用在三角函数中，平方差公式也有着重要的应用。
例如，在解决三角函数的恒等式和简化三角函数表达式时，平方差公式可以起到关键作用。
以$\sin^2x - \cos^2x$为例，我们可以利用平方差公式将其化简为：$$\sin^2x - \cos^2x = (\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x)$$这种应用方法可以帮助我们简化三角函数的表达式，解决三角函数运算中的复杂问题。
四、平方差公式在几何中的应用在几何学中，平方差公式也经常被用于计算和推导。
例如，在平面几何中，利用平方差公式可以推导出各种几何图形的性质和关系。
考虑一个正方形的对角线长度为$d$，我们可以利用平方差公式计算出正方形的边长。
设正方形的边长为$a$，则有：$$a^2 + a^2 = d^2$$通过这个等式，可以轻松求解出正方形的边长，展示出平方差公式在几何中的高级应用。
五、平方差公式在物理问题中的应用在物理学中，平方差公式也有着重要的应用。
初中数学《平方差公式》精讲PPT1
(2)(3a 2)(3a 2) 9a2 4.
2.下运用平方差公式计算： (1)(a 3b)(a 3b);
(2)(3 2a)(3 2a);
2
2
4
例 计算：
（1）( y 2)(y 2) ( y 1)(y 5);
（2）10298 ;
分析：（1）中只有前半部分符. 合公式条件，可以利用平方 差公式简便运算，其余的运算仍按照乘法法则进行.
解：(1) ( y 2)( y 2) ( y 1)( y 5) y24 ( y2 4 y 5) y24 y2 4 y 5 4y 1
阅读小故事，并回答问题：
计算下面多项式的积，你发现什么规律？
左边：a符号相同，b符号相反.
（1）
; （2）
;
例 计算：
（1）( y 2)(y 2) ( y 1)(y 5); （2）10298 ;
（3）(xn 4)( xn 4) ; （4）(3a2 1 b)(3a2 1 b)(9a4 1 b2 ) .
(2)(m 2)(m 2) __m_2__4____; (3)(2x 1)(2x 1) _4_x_2__1____.
两数的和与这两数 这两个数的平方差 的差的乘积
探究新知
.
已知：x2-y2=12, x-y=2 , 则 ________.
阅读小故事，并回答问题：
（3）
; （4）
计算下面. 多项式的积，你发现什么规律？
平方差公式
2021/11/26
阅读小故事，并回答问题：
a米的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长 加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们 换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对 吗？为什么？
七年级数学平方差公式
(a+b)(a-b)
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
想一想：
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
平方差公式(1)
平方
计算下列各题：
1. (x+2)(x-2) =x2-4 2. (1+3a)(1-3a) =1-9a2 3. (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 4. (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
；
把自已的理想告诉同伴时，立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，什么叫心比天高，这就是啊！”“真是异想天开！”┅┅这块石头不去理会同伴们的闲言碎语，仍然怀抱理想等时机。有一天，一个叫庄子的人路过这里，它知道这个人有非凡的智慧，就把自已的梦想告诉了他，庄子说：“我可以帮助你 实现，但你必须先长成一座大山，这可是要吃不少苦的。”石头说：“我不怕。”于是，石头拼命地吸取天地灵气，承接雨露惠泽，不知经过多少年，受了多少风雨的洗礼，它终于长成了一座大山。于是，庄子招来大鹏以翅膀击山，一时间天摇地动，一声巨响后，山炸开了，无数块石头飞向天空， 就在飞的一刹那，石头会心地笑了。但是不久，它从空中摔了下来，仍旧变成了当初的模样，落在原来的地方。庄子问：“你后
平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a －b)=a 2－b 2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧:1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b －3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解： 原式= (－3a)2 －(2b)2=9a 2－4b 2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x 2+4)(x －2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解： 原式=(x 2－4) (x 2+4)=x 4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b －c+6)(2a －b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b －c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b －c)][(2a+6)－(b －c)]=(2a+6)2 －(b －c)2=4a 2+24a+36－b 2+2bc －c 2.二．逆用技巧:灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算： (a+2)2－(a －2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009. 2.2提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；2.3分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028. 2.4指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mn n m a a =把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17.∴38－46能被17整除.2.5结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.2.6逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a 2－9b 2)÷(4a －3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a －3b)÷(4a －3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧:一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.3.1拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992， (2)(a+3)(a －1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a 2+2a+1－4= a 2+2a －3.3.2添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004.（2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1) =(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.3结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x －y)2(x+y)2(x 2+y 2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x －y)(x+y)(x 2+y 2)] 2=[(x 2－y 2)(x 2+y 2)] 2=(x 4－y 4)2=x 8－2x 4y 4+y 8.3.4结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a －b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b 看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a －b)[(a+b)+2]=(a －b)(a+b)+2(a －b)=a 2－b 2+2a －2b.。
初中数学必备公式
初中数学必备公式初中数学是建立在小学数学基础之上的，具有一定难度和抽象性质的学科。
在学习初中数学过程中，公式是必不可少的工具。
掌握了必备公式，可以帮助学生更好地理解数学概念，解决问题，提高解题能力。
下面将详细介绍一些初中数学必备公式。
1. 平方差公式(a+b)² = a² + 2ab + b²这是最常用的平方差公式，表示两个数相加后的平方可以展开为该数的平方、两倍乘积和另一个数的平方。
这个公式在解方程、因式分解等方面都有广泛应用。
2. 二次根式的加减法公式√a ± √b = √a ± √b二次根式的加减法公式用于化简含有二次根式的方程或表达式。
当二次根式内的数相同的时候，可以直接计算；当二次根式内的数不相同时，只能进行合并或拆分。
3. 三角函数的定义正弦函数：sinθ = 对边/斜边余弦函数：cosθ = 临边/斜边正切函数：tanθ = 对边/临边这些是最基本的三角函数定义公式，用于描述角度和三角形的关系。
通过这些公式，可以计算任意角的正弦、余弦和正切值。
4. 同角三角函数关系sinθ = 1/cscθ，cosθ = 1/secθ，tanθ = 1/cotθ这个公式描述了同一个角度的正弦、余弦和正切函数之间的关系。
通过这个公式，可以方便地计算三角函数的值。
5. 三角函数的和差化积公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这个公式用于将两个三角函数的和或差表示成乘积的形式。
它在三角恒等式的证明中非常常用。
6. 三角函数的倍角公式sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式用于将一个角的三角函数表示成两倍角的三角函数形式。
初中数学78个公式
初中数学78个公式以下是初中数学常见的78个公式（按照相关的知识点进行分类）：1. 平方差公式：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$2. 比例相等：$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$3. 二次根式：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$4. 平方根的开平方：$(\sqrt{a})^2 = a$5. 次方公式：$a^n \cdot a^m = a^{n + m}$6. 分指数：$\frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}$7. 平方和分解：$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$8. 平方差分解：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$9. 平方差和分解：$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$10. 一元一次方程：$ax + b = 0$11. 一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$12. 一元三次方程：$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$13. 直线方程：$y = kx + b$14. 平行线的性质：$k_1 = k_2$15. 垂直线的性质：$k_1 \cdot k_2 = -1$16. 直线的截距式：$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$17. 圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$18. 圆心坐标公式：$(a, b)$19. 圆的半径：$r$20. 弧长：$L = 2\pi r$21. 扇形面积公式：$S = \frac{\theta}{360^\circ} \pi r^2$22. 正方形的周长：$P = 4a$23. 正方形的面积：$S = a^2$24. 长方形的周长：$P = 2(a + b)$25. 长方形的面积：$S = ab$26. 三角形的周长：$P = a + b + c$27. 三角形的面积：$S = \frac{1}{2}bh$28. 直角三角形的勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$29. 等腰三角形的斜边：$2l = b$30. 锐角三角形的高：$h = b\sin A$31. 五边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$32. 正多边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$33. 两角之和的三角函数：$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm\cos A \sin B$34. 两角之差的三角函数：$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \pm\sin A \sin B$35. 两角之和的正切函数：$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm\tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$36. 同角三角函数之商：$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$37. 逆三角函数关系：$\sin^{-1} (\sin A) = A$，$\cos^{-1}(\cos A) = A$，$\tan^{-1} (\tan A) = A$38. 二项式定理：$(a + b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n - 1}b + \binom{n}{2} a^{n - 2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1} ab^{n - 1} + \binom{n}{n} b^n$39. 等比数列通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$40. 等差数列通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$41. 等差数列求和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$42. 任意项数列求和公式：$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$43. 数列首项：$a_1$44. 数列公差：$d$45. 直角坐标系中两点之间的距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2}$46. 连续整数的和：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$47. 无穷等差数列的和：$S = \frac{a_1}{1 - q}$48. 平行四边形的周长：$P = 2(a + b)$49. 平行四边形的面积：$S = bh$50. 梯形的面积：$S = \frac{1}{2}(a + b)h$51. 梯形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$52. 三角形内角和定理：$A + B + C = 180^\circ$53. 三角形外角和定理：$A' + B' + C' = 360^\circ$54. 三角形的内心：$(x, y)$55. 三角形的外心：$(x, y)$56. 三角形的重心：$(x, y)$57. 三角形的垂心：$(x, y)$58. 反比例函数：$y = \frac{k}{x}$59. 弧度与角度的转换：$360^\circ = 2\pi \ rad$60. 锐角三角函数的定义：$\sin x = \frac{y}{r}$，$\cos x =\frac{x}{r}$，$\tan x = \frac{y}{x}$61. 负数的平方：$(-a)^2 = a^2$62. 模的性质：$|x| = \begin{cases} x, &x \geq 0\\ -x, &x < 0 \end{cases}$63. 绝对值基本不等式：$|a + b| \leq |a| + |b|$64. 定义域：$x$65. 值域：$y$66. 最大值：$y_\text{max}$67. 最小值：$y_\text{min}$68. 直角三角形的面积：$S = \frac{1}{2}ab$69. 多边形的外角和：$360^\circ$70. 多边形的内角和：$(n - 2) \cdot 180^\circ$71. 渐进线：$y = ax + b$72. 正数的倒数：$\frac{1}{a}$73. 反函数的定义：$f(f^{-1}(x)) = x$，$f^{-1}(f(x)) = x$74. 递增函数：$x_1 < x_2, f(x_1) < f(x_2)$75. 递减函数：$x_1 < x_2, f(x_1) > f(x_2)$76. 弧长的比例：$\frac{S}{L} = \frac{\theta}{360^\circ}$77. 圆周角的比例：$\frac{\theta}{360^\circ} = \frac{L}{2\pi r}$78. 英寸与厘米的换算：$1 \text{ inch} = 2.54 \text{ cm}$这些公式在初中数学中是最常见和最基础的公式，希望对你的学习有所帮助。
初中七年级数学平方差公式
●内容全解
1.平方差公式
（1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(2)特征：
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.
②右边：这两数的平方差.
（3）找a与b的简便方法
由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)［a+(-b)］，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b 是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方.
因此，运用平方差公式进行运算,关键
．．是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.
如(3-m)(3+m)中，“3”与“3”相同，作为a,而“-m”与“m”相反，任选其一作为b,那么
(4)平方差公式中的a和b可以代表一个字母，一个数字或单项式.
注意：当a或b代表单项式时，进行平方时底数一定要打括号.
2.用拼图解释平方差公式
图1-4
左图阴影面积是a2-b2,而右图的阴影部分是长方形，长为(a+b),宽（a-b）,阴影面积为(a+b)(a-b),由于左右两图的阴影部分面积相同，所以a2-b2=(a+b)(a-b),再次验证了平方差公式.。
初中数学专题1.1 巧用平方差公式
1.1 巧用平方差公式我们把公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2称为乘法公式中的平方差公式；反过来a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )称之为因式分解中的平方差公式．在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式恒等变形，平方差公式是代数式恒等变形中的重要公式之一，它在数值运算、代数式的化简与求值、不定方程（组）的解法、代数不等式的证明、一元二次方程的解法等方面都有广泛的运用．例1 已知712—1可被40至50之间的一个素数整除，这个素数是( )．A ．41B ．43C ．47D ．49【解】用平方差公式作因式分解：712－1＝(76＋1)(76－1)＝(72＋1) (74－72＋1) (73＋1) (73－1)＝50(74－72＋1)(7＋1)(72－7＋1)(7－1)(72 ＋7＋1)＝43·48·50·57(74－72＋1)，而74－72＋1＝48·49＋1不能被41，49，47整除，故答案选B ．【注】 也可以用立方差公式分解76－1，如果先用立方差公式，那么76－1＝ (72－1)( 74 ＋72＋1)＝48(74＋72＋1)，而74＋72＋1的分解可以通过拆项完成，具体分解知下：74＋72 ＋1＝74＋2·72＋1－72＝(72＋1)2－72＝(72＋7＋1) (72—7＋1).例2已知对任意大于2的正整数n ，n 5－5n 3 ＋4n 都是正整数m 的倍数，求m 的最大值．【解】 n 5 －5n 3＋ 4n ＝n (n 4－5n 2＋4)＝n (n 2－4)(n 2 －1)＝n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)．因为n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5 !的倍数，又当n ＝3时，原式＝120，故m 的最大值是120.【注】这里用到了一个数论中的结论：连续的5个正整数的乘积是5!的倍数，事实上，连续的5个正整数中必有1个5的倍数，2个2的倍数（其中一个为4的倍数），1个3的倍数，顺便提一句，也可以利用组合数公式来证明连续n 个正整数的乘积是n ！的倍数，这是因为由!)1()2)(1(n n m m m m C n m +-⋅⋅⋅--=可知连续的n 正整数乘积n m C n n m m m m !)1()2)(1(=+-⋅⋅⋅--，从而结论成立，例3计算:)419)(417)(415)(413)(211()4110)(418)(416)(414)(212(4444444444++++++++++ 【分析】由于括号内的每一个式子代数结构都相同，因此考虑用414+x 来代替，再进行因式分解后找出规律．【解】 因为2222244214141x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212122x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4121412122x x 所以，原式＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛41221412194129412741254123222222· 122222241219412174127412541234121-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ＝221.例4若a 是非负整数，则a 4 －3a 2＋9是合数还是素数？【解】 由于a 4－3a 2＋9＝(a 2＋3)2－(3a )2＝(a 2－3a ＋3) (a 2＋3a ＋3)，下面对a 讨论：当a ＝0时，原式＝9，是一个合数；当a ＝1时，原式＝7，是一个素数；当a ＝2时，原式＝13，是一个素数；当a ＞2时，因a 2－3a ＋3与a 2 ＋3a ＋3都是大于1的整数，故原式是一个合数．综上所述，当a ＝0或a ＞2时，a 4 －3a 2＋9是合数；当a ＝1或2时，a 4－3a 2 ＋9是素数.【注】在将原式分解成(a 2－3a ＋3)(a 2＋3a ＋3)后，不能轻易下结论说它就是个合数，因为要保证a 2－3a ＋3与a 2＋3a ＋3都大于1才能是合数．通过运用平方差公式进行因式分解的训练，可以使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力得到锻炼与提高，而在条件中能否找出或构造出a 2－b 2的形式，然后用平方差公式进行分解成为解题的关键.例5 求证：若n 是正整数，则存在无穷多个正整数k ，使得n 4＋k 是合数．【证明】 令k ＝4a 4（a 为正整数），则n 4 ＋k ＝n 4＋4a 2n 2＋4a 4－4a 2n 2＝(n 2＋2a 2)2－(2an )2＝ (n 2＋2an ＋2a 2)(n 2－2an ＋2a 2).当a ≥2时，n 2＋ 2an ＋2a 2与n 2－2an ＋2a 2都是大于1的正整数，因为a 有无穷多个，故存在无穷多个k ，使得n 4＋k 是合数，【注】 本题的关键在于构造k ＝4a 4，这用到了本章节例题3的代数形式．例6 对于不超过50的正整数n ，满足：恰有一对非负整数（a ，b ），使得a 2－b 2＝n ，试求满足条件的n 的数目.【解】 由于n ＝(a ＋b )(a －b )，且a ＋b 与a －b 同奇偶，所以n ≠2(mod 4).(1)当n 为奇素数时，仅有一对()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 满足条件； (2)当n 为奇合数时，不妨设n ＝uv （u ≥v ＞1，u ，v 为奇数），那么至少有2组非负整数解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 或⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2,2v u v u ，不满足题意，因此奇数中满足题意的共有： 1,3,5,7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47共计15个；(3)当4|n 时，如果4n 为合数，至少有2组非负整数解，也不满足题意．因此偶数中满足条件的为4，8，12，20，28，44共6个．综上所述，一共有21个正整数n 满足题意.【注】本题如果一开始直接枚举容易产生错误，约束适当的范围再进行枚举是关键．例7试求关于m ，n 的不定方程m 2－1＝p 2（n 2－1）的所有正整数解，其中p 为素数．【解】 因为(m －1)(m ＋1)＝p 2(n 2－1)，下面按照p 作分类讨论：(1)若p 为奇素数，则p 2| m －1或p 2 | m ＋1．若p 2|m －1，设m ＝kp 2＋1(k 为非负整数），则n 2＝k 2p 2＋2k ＋1，但是k 2p 2＜k 2p 2＋2k ＋1≤(kp ＋1)2从而k ＝0，进而m ＝n ＝1;若p 2|m ＋1，设m ＝kp 2－1(k 为正整数)，则n 2＝k 2p 2－2k ＋1，但是(kp －1)2＜k 2p 2－2k ＋1＜k 2p 2矛盾！(2)若p 为2，则2|m －1，2|m ＋1，设m ＝2k －1(k 为正整数)，那么n 2＝k (k －1)＋1＝k 2－k ＋1但是(k －1)2＜k 2－k ＋1≤k 2，故k ＝1，进而m ＝1，由此可得n ＝1综上所述，m ＝n ＝1【注】 本题的因式分解体现了处理整除时候常见的转成两边均是乘积式的模式，并且利用了两个相邻平方数之间没有平方数这一个性质，通过不等式控制，实现了论证.练习1.11.计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222201111311211 2.已知：2122+=-b a ，2122-=-c b ，求222222444a c c b b a c b a ---++的值3.证明：存在无穷多个完全平方数，它们无论对怎样的素数p 及怎样的正整数n 、k ，都不能表示成p ＋n 2k 的形式4.证明：对每个正整数n ，均存在正整数m ，使得：()121++=+m m n5.试确定实数a 、b 、c 的值，使得对任何正整数n ，∑-=++-+++=10323231n k ck bk ak ck bk ak n恒成立.练习1.11.原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201111201111211211 2011100620112012201120105654454334322321=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 2.因为()()()][21222222222222222444a c c b b a a c c b b a c b a -+-+-=---++，又因为,21,212222-=-+=-c b b a 两式相加得a 2－c 2＝2，从而原式＝()()52212121222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++ 3.若p ＋n 2k ＝m 2，则由平方差公式可得(m －n k )(m ＋n k )＝p ，由于p 为质数，则必有⎩⎨⎧=+=-pn m n m k k 1，从而p ＝2n k ＋1，m ＝n k ＋1。
北师大版初中数学七年级第一章第9课时平方差公式(1)
第9课时 平方差公式(1)
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知 识 导 引
基础知识训练 思维拓展训练 综合能力提升
知
识
导
引
，即两数和与这两数
2－b2 a 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝
差的积，等于它们的 平方差
．
2．结构特点：左边是两个两项式，一项完全相同，另一项互为相 反数；右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项 的平方)
基础知识训练
一、选择题 1．计算(a＋3)(a－3)的结果是( D ) A．a ＋6 C．a ＋9
2 2
B．a －6 D．a －9
2
2
2．计算(x－2)(2＋x)的结果是( A ) A．x －4 C．x2＋4x＋4
2 2 2
B．4－x
2
D．x2－4x＋4
2
3．计算(3a－b)(－3a－b)等于( D ) A．3a －b C．9a －b
思维拓展训练
12．如果(2x＋3y)· M＝9y －4x ，那么 M 表示的式子为( D ) A．2x＋3y C．－2x－3y B．2x－3y D．－2x＋3y
2
2
1 1 13．若 a －b ＝4，a－b＝2，则 a＋b 的值为( B )
2 2
1 A．－2 C．1
1 B．2 D．2
1 1 2 1 4 2 14．计算：(3a －2b)(9a ＋4b )(3a ＋2b)
.
8．已知 a＋b＝－2，a－b＝3，则 a2－b2＝ －6 9．如果(x＋3)(x＋a)＝x2－9，则 a＝ －3 .
.
三、解答题 10．计算： (1)(3y－2)(3y＋2)；
解：原式＝9y －4
初中数学基本公式
（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
完全平方差公式的讲解
完全平方差公式的讲解完全平方差公式，这可是初中数学里的一个重要知识点呢！咱今天就来好好唠唠。
先给您瞅瞅完全平方差公式长啥样：(a - b)² = a² - 2ab + b²。
那这公式咋来的呢？咱们可以这样想。
假设我有一个边长为 a 的正方形，现在我要从这个正方形的一角裁去一个边长为 b 的小正方形，那剩下的图形面积不就是 (a - b)²嘛。
咱们再换个角度算，原来大正方形的面积是 a²，裁去的小正方形面积是 b²，那裁去的部分和剩下的部分挨着的那两条边的长度都是 b ，这两条边组成的长方形面积就是 2ab ，所以剩下的图形面积也可以表示成 a² - 2ab + b²。
您瞧，这不就得出完全平方差公式了嘛。
那这公式有啥用呢？我给您说个事儿。
有一次我去逛商场，看到一件衣服，标价是 200 元。
售货员说现在打八折，然后再减 30 元。
那这衣服实际价格是多少呢？咱就可以用完全平方差公式来算。
假设原价是 a ，折扣是 b ，那实际价格就是 (a - b)²。
这里 a = 200 ，b = 40 （200 的 20% ），所以实际价格就是 200² - 2×200×40 + 40² = 40000 - 16000 + 1600 = 25600 元，算出来实际价格是160 元。
再比如，计算 (3 - 2x)²。
咱就把 3 当成 a ，2x 当成 b ，那就是 3² -2×3×2x + (2x)² = 9 - 12x + 4x²。
在解题的时候，可得注意别弄混了完全平方差公式和完全平方和公式。
好多同学一不小心就记错啦，这可不行。
做练习题的时候，要认真分析题目，看看是不是要用完全平方差公式。
比如，已知一个长方形的长是 x + 3 ，宽是 x - 3 ，求面积。
平方差公式课件(市一等奖)
平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加 符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负 代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值 计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值 计算(2x+y)(2x-y)的值 计算(3a+2b)(3a-2b)的值 计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。 以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用 平方差公式对代数 式进行变形和化简
计算：利用平方差 公式计算一些数学 表达式的结果
证明：利用平方差 公式证明一些数学 命题
应用题：利用平方 差公式解决一些实 际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式 中的a和b的值
计算平方差公式 中的c的值
计算平方差公式 中的d的值
计算平方差公式 中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。
平方差公式优质课教学设计一等奖及点评
平方差公式优质课教学设计一等奖及点评本节课的教学内容是平方差公式，它是初中数学系统研究的第一个乘法公式，也是今后研究代数运算及变形的前提基础。
本节课的教学目标是让学生了解平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征，能够灵活运用平方差公式进行简单运算，并且能够创作平方差公式的变式题组。
针对学生的年龄特点、思维品质和认知基础，我们采用变式教学模式和开放式教学策略，设计了两条主线：“问题主线”和“情境主线”，并将其贯穿整个教学过程，旨在引导学生从问题中探究、在情境中实践，不断拓展思维，提高求简意识。
在教学过程中，我们首先进行了问题导入，通过一个土地租赁事件引出了平方差公式的问题。
接下来，我们将学生分成小组，进行新知探究和变式应用的环节，让学生自主发现平方差公式的结构和特征，并通过实际问题的应用来加深对公式的理解。
在思维拓展和问题创作的环节，我们引导学生通过变式思维来创作平方差公式的变式题组，并通过总结升华和课时检测来检验学生的研究成果。
通过本节课的教学设计，我们旨在让学生在实践中掌握平方差公式，提高求简意识和变式思维能力，为以后的数学研究打下坚实的基础。
设计说明：本节课板书设计分为三个部分，知识归纳、公式探究和公式应用。
知识归纳部分列出了平方差公式的表达式和方法；公式探究部分从“形”和“数”的角度来解释公式的本质；公式应用部分则分为直接应用和构造应用两个方面，列出了具体的例子和方法。
整个板书设计简洁明了，重点突出，便于学生理解和记忆。
知识归纳：1.公式：(a＋b)(a－b) = a2－b22.方法：直接应用、构造应用、拓展应用3.应用：解决各种数学问题公式探究：1.从“形”的角度：公式的形式和结构2.从“数”的角度：公式的意义和运算规律公式应用：一．直接应用：准确找出公式中的a,b，代入公式进行计算二．构造应用：构造出公式的结构，运用或多次运用公式三．拓展应用：掌握代数式变式策略，从正、逆两个角度创作变式题组设计说明：课后延伸部分为学生提供了更多的练和思考题目，既巩固了所学的知识，又拓展了学生的思维能力。
平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式（a+b)(a －b ）=a 2－b 2是恒等式,是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字， 也可以表示单项式、多项式等代数式。
在多项式的乘法计算过程中,只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧:一．正用技巧：1。
直接运用平方差公式 例1 计算：（－3a+2b)( －2b －3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力,从而 达到熟悉掌握平方差公式的目的。
解： 原式= （－3a ）2 －（2b)2=9a 2－4b 2。
2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2）（x 2+4)(x －2) 。
分析：此题若从左向右依次运算计算很繁,若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两 次运用平方差公式,就可以求到结果。
解： 原式=（x 2－4） （x 2+4）=x 4－16. 3．综合运用乘法公式例3计算:（2a+b －c+6)（2a －b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把（2a+6)、(b －c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解,避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +（b －c ）］［(2a+6）－（b －c ）]=（2a+6）2 －（b －c ）2=4a 2+24a+36－b 2+2bc －c 2。
二．逆用技巧：灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事 半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算： （a+2)2－(a －2)2。
分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点,直接逆用平方差公式,便可化繁为简，迅速求解。
解：原式=［（a+2)+(a －2）][ (a+2）－（a －2)］=2a×4=8a.例5 计算：（1－221）(1－231）（1－241） (1)220081）。
平方差公式
“平方差公式（第一课时）”说课赵洁：育英中学中学一级张洁：育英中学中学一级甲：各位领导、老师，大家好！乙：今天我们说课的内容是人教版，八年级数学上册第14 章《平方差公式》第一课时。
根据新课标的理念，对于本节课，我们将以教什么，怎样教，为什么这样教，以及如何检验和延伸教的效果为思路，从教材分析、教法分析、学法指导、教学程序及板书设计这五个方面来加以说明。
甲：要想回答“这节课要教给学生什么”这个问题，先要认清这节课的内容在教材中的地位和作用。
乙：“平方差公式”这一内容是在学生学习了多项式乘法的基础上，把具有特殊形式的多项式相乘的式子与其结果写成公式形式。
它在整式乘法、因式分解、分式化简及其它代数式的变形中无处不在，起着十分重要的作用。
甲：为了更好地把握教材，我们还进行了《课程标准》分析和教材对比分析。
《标准》要求：“能推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算。
”乙：在现有的各版本教材中我们发现，有的把重点放在代数角度，突出运算，比如北师大版教材。
甲：有的则把重点放在几何角度，突出了代数几何结合，比如人教版的教材。
乙：那么就代数和几何两种方法来说，我们认为代数方法是从式子本身的结构特征出发寻找规律，这部分的推理演算对于培养和提高学生的运算能力显得尤为重要。
甲：而几何图形在这里只是对式子进行了解释和验证，虽然它体现了数形结合思想，也能更好的帮助学生记忆公式，但我们还是觉得平方差公式是多项式运算的直接结果，字母的运算又是整个初中数学中最重要的基本功，还是应该把运算能力的提高作为学生在学习这部分内容时的落脚点。
乙：因此，我们在教学设计中重点强调了平方差公式代数方法的推导过程，并在这个过程中重点解释和说明了恒等变形在代数运算中的作用和意义。
而在习题中涉及到了几何背景的解法。
甲：根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我们制定如下教学目标：（1 ）知识与技能目标①经历探索平方差公式的过程；熟记平方差公式；②能说出平方差公式的结构特征，会用平方差公式进行简单运算。
平方差公式
平方差公式篇一：初中平方差公式平方差公式一、学习目标熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算二、学习要求1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。
2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。
3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。
4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。
三、例题分析第一阶梯[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a-ab+ab-b=a-b,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x+5y)(2x-5y) (4)(-a-b)(b-a) 323222222222提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（），第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
2参考答案：(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）-(3y)=4x-9y 2222(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)=1-4a 22(3)(2x+5y)(2x-5y)=(2x)-(5y)=4x-25y 3232322264(4)(-a-b)(b-a)=(-a-b)(-a+b)=(-a)-(b)=a-b 22222222222244说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a-b的特征是： 22（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
初中平方和与平方差的公式
初中平方和与平方差的公式
平方和与平方差公式是一种常用的数学公式，它是一些经常用于解决问题的简单但非常有用的数学工具。
它可以帮助我们解决复杂的数学问题，迅速解决问题，并更好地理解数学运算。
平方和公式是求和平方和的数学概念，它可以使我们求出一组数的和的平方总和。
它的公式为：
S = a1^2 + a2^2 + a3^2 + ... + an^2
其中，S是和的平方和，a1，a2，a3，…，an是给定的一组数。
平方差公式是求和平方差的数学概念，它可以使我们求出一组数的和的平方差。
它的公式为：
D = (a1 - a2)^2 + (a2 - a3)^2 + (a3 - a4)^2 + ... + (an-1 - an)^2
其中，D是和的平方差，a1，a2，a3，…，an是给定的一组数。
平方和与平方差公式在初中数学中是常用的公式，学生们在学习初中数学时可以熟练掌握这些公式，以便在日常学习中能够使用这些公式。
平方和与平方差公式的应用也非常广泛，它们可以用于解决复杂的数学问题，甚至可以用于实际应用中，例如统计分析、商业决策等。
总之，平方和与平方差公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决数学问题，也可以用于实际应用中，因此，学习平方和与平方差公式非常重要。
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平方差公式(一)一、教学目标(一)知识目标1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力目标1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的推导和应用.（二）教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.三、教具准备投影片四张第一张：做一做，记作(§1.7.1 A)第二张：例1，记作(§1.7.1 B)第三张：例2，记作(§1.7.1 C)第四张：练一练，记作(§1.7.1 D)四、教学过程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=2 0002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1= 1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.7.1 A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？［生］可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2①其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a2－b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.［师］大家同意吗？［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(§1.7.1 B)［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(b－a)C.(－a+b)(a－b)D.(x2－y)(x+y2)E.(－a－b)(a－b)F.(c2－d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);(－m+n)(－m－n).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(a +b )(b －a )利用加法交换律可得(a +b )(b －a )=(b +a )(b －a ),表示b 与a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b )(a －b ),同样可利用加法交换律得(－a －b )(a －b )=(－b －a )(－b +a ),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法交换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点. ［师］为什么A 、C 、D 不能用平方差公式呢？［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x )(5－6x )是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y )(x +2y )是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m +n )(－m －n )是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.［生］(5+6x )(5－6x )=52－(6x )2=25－36x 2;(x －2y )(x +2y )=x 2－(2y )2=x 2－4y 2;(－m +n )(－m －n )=(－m )2－n 2=m 2－n 2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作§1.7.1 C)［例2］利用平方差公式计算：(1)(－x －y )(－x +y );(2)(ab +8)(ab －8);(3)(m +n )(m －n )+3n 2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－x －y )(－x +y )——(－x )与y 的和与差的积=(－x )2－y 2——利用平方差公式得(－x )与y 的平方差 =x 2－y 2——运算至最后结果(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积=(ab)2－82——利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b2－64——运算至最后结果(3)(m+n)(m－n)+3n2——据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式=m2－n2+3n2——去括号=m2+2n2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.投影片(§1.7.1 D)1.计算：(1)(a+2)(a－2);(2)(3a+2b)(3a－2b);(3)(－x+1)(－x－1);(4)(－4k+3)(－4k－3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导) Ⅳ.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.Ⅴ.课后作业课本P30，习题1.11，第1题.Ⅵ.活动与探究有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,为什么？经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即x i+y i=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.［结果］由题意知x i+y i=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10(x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.五、板书设计§1.7.1 平方差公式(一)解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).。