因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
初中数学因式分解的概念及分解方法整理
初中数学因式分解的概念及分解方法整理什么是因式分解把一个多项式化为几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫作分解因式），它是中学数学中最重要的恒等变形之一．因式分解没有普遍适用的方法，往往需要观察题目中多项式的形式、次数、系数特征，具体问题具体来分析．初中数学教材中主要介绍了提公因式法和公式法，考试也以这两种方法为主。
当然除此之外，我们还有十字相乘法，分组分解法，拆项和添减项法，待定系数法，双十字相乘法，换元法等内容需要给大家介绍．因式分解的原则在学习方法之前我们先来介绍一下因式分解的原则：（1）结果一定是乘积的形式；（2）每一个因式都是整式；（3）相同因式的积要写成幂的形式；（4）每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；（5）没有大括号和中括号；（6）单项式因式写在多项式因式的前面；（7）多项式因式第一项系数一般不为负；（8）如无特别说明，因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止．接下来我们按照优先级来逐一介绍因式分解的几种方法。
因式分解具体方法一、提公因式法如果多项式的各项有公因式，将公因式提到括号外面．确定公因式的方法：（1）系数——取多项式各项系数的最大公约数；（2）字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂．易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项．例题口诀：找准公因式，全家都搬走，提负要变号，变形看奇偶。
二、公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
常用公式例题三、十字相乘法十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
十字相乘一般是两种形式：形式一形式二相关练习四、分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法．例题相关练习五、拆添项法拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式．常用思路：在按某一字母降幂排列的三项式中，拆开中项是最常见的．六、换元法换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．例题七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．例题八、双十字相乘法例题。
九年级数学分解因式法
立方差公式
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
识别立方和与立方差
观察多项式是否具备立方和或立方差公式的形式，即两个立方项相加或相减。
分解步骤
确定$a$和$b$的值，使得多项式可以表示为$(a+b)(a^2-ab+b^2)$或$(a-b)(a^2+ab+b^2)$的形式，然后进行因式分分组，找出各组间的公因式。 分组后，分别在各组中提取公因式。 最后将各组提取公因式后的结果相乘，得到最终分解结果。
综合运用各种方法进行因式分解
#O5
观察和判断适合的方法
观察多项式的形式和特点，判断适合使用哪种因式分解方法。 对于二次多项式，可以尝试完全平方公式或者平方差公式进行因式分解。 对于高次多项式，可以尝试分组分解法或者十字相乘法进行因式分解。
三项分组法
技巧
将多项式中的三项分为一组，考虑每组的公因式，提取公因式后进行化简。
实例
$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = x^2(x + 2) - (5x + 6) = x^2(x + 2) - (5 + 3)(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 5) = (x + 2)(x + sqrt{5})(x - sqrt{5})$
公式法分解因式技巧与实例
#O2
完全平方公式应用
完全平方公式
观察多项式是否具备完全平方公式的形式，特别是检查中间项的系数是否为$2ab$或$-2ab$。
识别完全平方
分解步骤
确定$a$和$b$的值，使得多项式可以表示为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式，然后进行因式分解。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
论文浅谈多项式因式分解的方法
浅谈多项式因式分解的方法重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学(师范) 2008级徐传华指导教师：赵振华中文摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用.本文通过对因式分解概念的阐述和方法的介绍来说明它在数学中的应用.关键词：多项式因式分解转化方法应用Chinese Abstract: polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical problems, is also the important means and tools.. Factorization in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application. Based on the factorization of concept and method are presented to illustrate its application in mathematics.Key words: Factorization of polynomial transformation method and its application.在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.1.定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.2.基本方法2.1提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1 分解因式 bm-am+cm分析在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解 bm-am+cm=m(b-a+c)例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)分析通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1 a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2 a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.例3 分解因式 4a2-9b2分析①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.解 4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4 分解因式(1)x(x2-1)-x2+1(2)(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6分析 (1)可看成二项式：将-x 2+1变形为-(x 2-1)则可提取公因式(x 2-1)再将公因式用平方差公式分解.(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为292++x x ，故可用换元法解： 解 (1)x(x 2-1)-x 2+1 =x(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2(2)设y= 2)7()2(22+++++x x x x =292++x x则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)25)(25(-+-y y=64252--y =4492-y=)27)(27(-+y y=)2729)(2729(22-+++++x x x x=(x 2+x+8)(x 2+x+1)注 此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行.说明 此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1=65和26-1=63两个因式. 例5 分解因式(1)x 2+6ax+9a 2 (2)-x 2-4y 2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1分析这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式.(1)题的x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和3a就为公式中的a和b了.另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解.(2)题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+(2y)2]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式.注意提取负号时4xy要变号为-4xy.(3)题9(a-b)2+1可写成平方和[3(a-b)] 2+12，就找到公式中的a和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式.解 (1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2(x)(2y)+(2y)2]=-(x-2y)2(3)9(a-b)2+6(a-b)+1=[3(a-b)]2+2×3(a-b)×1+12=[3(a-b)+1]2=(3a-3b+1)2例6 分解因式 (m2+n2+1)2-4m2n2分析本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解后的两个多项式的因式后，都可分别先用完全平方公式再用平方差公式.解 (m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例7 把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3分析（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).解（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例8 把多项式ax+ay+bx+by分解因式分析通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配.解 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)同样，这道题也可以这样做.ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例9 把多项式x²-x-y²-y分解因式分析利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然后相合解决.解 x²-x-y²-y=(x²-y²)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)例10 把45am2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.分析这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解 45am2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9a2-4x2+4xy-y2)=5a[9a2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3a)2-(2x-y)2]=5a(3a-2x+y)(3a+2x-y).2.4十字相乘法十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1c1╳a2 c2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1×c2+a2×c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1×c2+a2×c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例11 把多项式x2+2x-15分解因式分析通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.解1 -3╳1 5 1×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例12 把2x²-7x+3分解因式.分析先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 3 1×3+2×1=51 3╳2 1 1×1+2×3 =71 -1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)例13 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-21 -2╳2 1 1×1+2×(-2)=－3原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).注把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.2.5 拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例14 分解因式 x³-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x³-9x-1+9=(x³-1)-9x+9=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x³-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．解法3 将三次项x³拆成9x³-8x³．原式=9x³-8x³-9x+8=(9x³9x)+(-8x³+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x²+x+1)=(x-1)(x²+x-8)．解法4 添加两项-x²+x²．原式=x³9x+8=x³-x²+x²-9x+8=x²(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种．这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例15 把m2-6m+8 分解因式用添项，拆项法做！解法一 m²-6m+8=m²-6m+9-1=(m-3)²-1²=(m-3+1)(m-3-1)=(m-2)(m-4)解法二 m²-6m+8=m²-2m-4m+8=m(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m-4)2.6 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例16 把多项式x²+6x-7分解因式解 x²+6x-7=x²+6x+9-16=(x+3)2-(4)2=(x+7)(x-1)．2.7 应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例17 分解因式：x²+5x+6分析令 f(x)=x²+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x2+5x+6的一个因式.解 x²+5x+6=(x+2)(x+3)注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数2.8 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例18 把x4+7x2-30分解因式分析这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y²+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法.解1 设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30y2+7y-30=(y+10)(y-3)∴x4+7x2-30=(x2+10)(x2-3)说明通过辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.解2 x4+7x2-30=(x2)2+7x2-30=(x2+10)(x2-3)例19 把(a2+a)2-14(a2+a)+24分解因式分析题目中的多项式有什么特点？含有字母的项可以作什么变换？解令a2+a=u则原式变为u2-14u+24因为u2-14u+24=(u-2)(u-12)所以(a2+a)2+14(a2+a)+14=(a2+a-2)(a2+a-12)=(a+2)(a-1)(a+4)(a-3)说明换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来.例20 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式分析这个多项式是两个因式之积与另一个因式之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再分解因式.两个乘积的因式有什么特点？用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y）[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-2=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1)说明把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这是运用了数学中的“整体”思想方法，当然也可以运用换元法，只是我们在熟悉后就直接把它当做一个整体.2.9 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3， (x)n，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．例21 把多项式2x4+7x3-2x2-13x+6分解因式解令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法或整除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．例22 分解因式 3x³－4x²－13x－6分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商．上例中常数项是6，则因数是±1，±2，±3，±6，最高次项系数是3,则因数是±1，±3，所以根可能是±1，±1/3，±2，±2/3，±3，±6，它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x ±1，3x±2．试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复．解 3x³－4x²－13x－6=(x+1)(x－3)(3x+2)．例23 把多项式2x³+3x²-8x+3分解因式.解 (有理根定理的使用)2x³+3x²-8x+3常数项3的因数：±1，±3首项系数2的因数：±1，±2可能的有理根就是常数项的因数除以首项系数的因数.23,23,21,21,3,3,1,1----由验算这些可能的根时，得知x=1就是其中的一个根. 2×1³+3×1²-8×1+3=2+3-8+3=0 现在由综合除法可得到下面的结果. 1 2 3 -8 3 2 5 -3 2 5 -3 0所以 (x-1)(2x ²+5x-3)= 2x ³+3x ²-8x+3 最后,因式分解(2x ²+5x-3)=(2x-1)(x+3) 故，可得2x ³+3x ²-8x+3=(x-1)(2x-1)(x+3). 我们也可以用带余除法的方法来解此题x-1(除式) 2x ³+3x ²-8x+3(被除式) 2x 2+5x-3(商式) 2x ³-2x ² 5x ²-8x+ 3 5x ²-5x -3x+3 -3x+3 0(余式)于是求得商为2x 2+5x-3，余式为0.所得结果可以写成 3x ³+4x ²-5x+6=(2x 2+5x-3)(x-1)再对多项式2x 2+5x-3进行分解为(2x-1)(x+3) 故3x ³+4x ²-5x+6=(x-1)(2x-1)(x+3).2.10 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X 轴的交点x 1,x 2,x 3,……x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n )．与方法9相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确.例24 分解因式：x³ +2x²-5x-6分析在分解x³ +2x²-5x-6时，可以令y=x³ +2x² -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x³+2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．解 x³+2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)2.11主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例25 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)例26 分解因式 x2-8xy-48y2分析这是多个字母的式子，关键是要确定其中的主要字母，而把其它字母看作这个字母的系数，题中的主要字母是x，它是关于x的二次三项式.解 x2-8xy-48y2=(x-12y)(x+4y)说明如果认定题中的y为主要字母，并把x看作这些字母的系数，用这种分解方法也可以得到同样的分解结果.2.12 特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例27 把x³+9x²+23x+15分解因式分析在分解x³+9x²+23x+15时，令x=2，则 x³ +9x+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x³+9x²+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此.2.13 待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例28 把 x4-x3-5x2-6x-4分解因式分析在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．2.14 双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法.双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用.例29 分解因式 x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.解图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2①②③x 3y 6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错.例30 求证2x-3y-1是多项式4x2-4xy-3y2+4x-10y-3的一个因式.分析先用十字相乘法分解关于x,y的二次齐次式4x2-4xy-3y2,,再把常数项-3分解为(+3)×(-1)，再利用十字相乘法，就可以得出最后结果.证明 4x2-4xy-3y2+4x-10y-3=(2x+y)(2x-3y)+4x-10y-3=(2x+y+3)(2x-3y-1)说明此题是运用双十字相乘，先把多项式前三项用十字相乘法分解，然后再次使用十字相乘法，将多项式分解，命题得证.2.15 综合法应用多种方法来因式分解.例31 分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例32 换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解解 (x2+x+1)(x2+x+2)-6=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解.例33 因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值解 (x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程.通过这个题，我们可以发现，二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.例34 先补项后用完全平方分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．解原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．例35 先分组在提公因式用平方差公式x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．解原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．3.多项式因式分解的一般步骤3.1步骤1.如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；2.如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；3.如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解4.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式.十字相乘试一试，分组分解要合适.”4.注意4.1 因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”.现举下例供参考例36 把-a2-b2+2ab+4分解因式.解 -a2-b2+2ab+4=-（a2－2ab+b2－4）=-（a－b+2）（a－b－2）这里的“负”，指“负号”.如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的.防止学生出现诸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的错误例37 把ｘ4+2x3+x分解因式.解ｘ4+2x3+x2=x2(x2+2x+1)=x2(x+1)2这里的“公”指“公因式”.如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.即分解到底，不能半途而废的意思.其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解.防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2=y2（4x4－5x2－9）=y2（x2+1）（4x2－9）的错误.4.2考试时应注意在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，王萼芳，石生明．高等代数.北京：高等教育出版社，2003(3)：8-12.[2] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中. 八年级上册.人民教育出版社，2008(2):41-176.。
初中数学《因式分解》单元教学设计以及思维导图
因式分解学习难点：让学生识别多项式的公因式。
准确找出公因式，并能正确进行分解因式。
教学方法：独立思考与合作交流单元与主题的关系：本单元是解决主题的一种方法三、运用公式法学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式使学生会用完全平方公式分解因式，让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法。
学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力，让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。
教学方法：练习法，课堂讨论启发法。
单元与主题的关系：本单元是解决主题的另一种方法，并且综合运用各种方法来解决主题。
主题单元规划思维导图第1课时活动一：算一算活动内容：计算：（1）学生回答：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？活动目的：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍．活动二：想一想活动内容：多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式x2+4x 呢？多项式mb2+nb–b呢？结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．活动目的：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．活动三：议一议活动内容：多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系.专题问题设计1. 平方差公式的特点。
2. 完全平方公式的特点。
3. 运用整体法，及两种公式综合运用解题。
所需教学环境和教学资源电子白板学习活动设计第1课时活动一：练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．活动二：想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a2–b2=（a+b）（a–b）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．活动三：做一做活动内容：把下列各式因式分解：（1）25–16x2 （2）9a2–活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力．注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动四：议一议活动内容：的完全平方公式．注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．活动三：试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2（3）m2–（4）活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动四：想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解. 活动五：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x2+y2=（x+y）2 ( )（2）x2–y2= (x–y)2 ( )（3）x2–2xy–y2= (x–y)2 ( )（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1（3）（4）3、把下列各式因式分解：（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4（3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．活动六：学生反思。
因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～.②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m<a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式地系数应取各项系数地最大公约数；字母取各项地相同地字母,而且各字母地指数取次数最低地. 如果多项式地第一项是负地,一般要提出“－”号,使括号内地第一项地系数是正地.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b>(a－b>②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b>^2※能运用完全平方公式分解因式地多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式>地平方和地形式,另一项是这两个数(或式>地积地2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b>(a^2-ab+b^2>.立方差公式：a^3-b^3＝(a-b>(a^2+ab+b^2>.④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b>^3⑤a^n-b^n=(a-b>[a^(n-1>+a^(n-2>b+……+b^(n-2>a+b^(n-1>]a^m+b^m=(a+b>[a^(m-1>-a^(m-2>b+……-b^(m-2>a+b^(m-1>](m为奇数>⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式地方法.分组分解法必须有明确目地,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式地某一项拆开或填补上互为相反数地两项<或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等地原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋<p q）x＋pq型地式子地因式分解这类二次三项式地特点是：二次项地系数是1；常数项是两个数地积；一次项系数是常数项地两个因数地和.因此,可以直接将某些二次项地系数是1地二次三项式因式分解：x^2＋<p q）x＋pq＝<x＋p）<x＋q）②kx^2＋mx＋n型地式子地因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝<ax b）<cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解地一般步骤：①如果多项式地各项有公因式,那么先提公因式；②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6>应用因式定理：如果f<a）=0,则f<x）必含有因式<x-a）.如f<x）=x^2+5x+6,f<-2）=0,则可确定<x+2）是x^2+5x+6地一个因式.经典例题：1.分解因式(1+y>^2-2x^2(1+y^2>+x^4(1-y>^2解：原式=(1+y>^2+2(1+y>x^2(1+y>+x^4(1-y>^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-(2x>^2=[(1+y>+x^2(1-y>+2x]·[(1+y>+x^2(1-y>-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1>(x^2-x^2y-2x+y+1>=[(x+1>^2-y(x^2-1>][(x-1>^2-y(x^2-1>]=(x+1>(x+1-xy+y>(x-1>(x-1-xy-y>2.证明：对于任何数x,y,下式地值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y>-(5x^3y^2+15x^2y^3>+(4xy^4+12y^5> =x^4(x+3y>-5x^2y^2(x+3y>+4y^4(x+3y>=(x+3y>(x^4-5x^2y^2+4y^4>=(x+3y>(x^2-4y^2>(x^2-y^2>=(x+3y>(x+y>(x-y>(x+2y>(x-2y>当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数地积,所以原命题成立因式分解地十二种方法把一个多项式化成几个整式地积地形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解地方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式地各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积地形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题> x -2x -x=x(x -2x-1> 2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆地关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式 a +4ab+4b (2003南通市中考题> 解： a +4ab+4b =<a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n>+b(m+n>,又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b>(m+n>例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m >+(-mn+5n> =m(m-5>-n(m-5>=(m-5>(m-n>4、十字相乘法对于mx +px+q形式地多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d>(bx+c>例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19解：7x -19x-6=<7x+2）(x-3> 5、配方法对于那些不能利用公式法地多项式,有地可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( > -( > -40 =(x+ > -( > =(x+ + >(x+ - > =(x+8>(x-5>6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b> 解：bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b>=bc(c-a+a+b>+ca(c-a>-ab(a+b> =bc(c-a>+ca(c-a>+bc(a+b>-ab(a+b>=c(c-a>(b+a>+b(a+b>(c-a>=(c+b>(c-a>(a+b>7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中地相同地部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1>-x(x +1>-6x =x [2(x + >-(x+ >-6 令y=x+ , x [2(x + >-(x+ >-6 = x [2(y -2>-y-6] = x (2y -y-10> =x (y+2>(2y-5> =x (x+ +2>(2x+ -5> = (x +2x+1> (2x -5x+2> =(x+1> (2x-1>(x-2> 8、求根法令多项式f(x>=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x>=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x>=0根为,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1>(x+3>(x+2>(x-1> 9、图象法令y=f(x>,做出函数y=f(x>地图象,找到函数图象与X轴地交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>= f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1>(x+3>(x-2> 10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式 a (b-c>+b (c-a>+c (a-b> 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解： a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>=a (b-c>-a(b -c >+(b c-c b> =(b-c> [a -a(b+c>+bc] =(b-c>(a-b>(a-c>11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当地组合,并将组合后地每一个因数写成2或10地和与差地形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数地积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项地系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时地值则x +9x +23x+15=<x+1）<x+3）<x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式地形式,然后设出相应整式地字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b>(x +cx+d> = x +(a+c>x +(ac+b+d>x +(ad+bc>x+bd 所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1>(x -2x-4>。
第9课 因式分解(2)
第9课 因式分解(2)【知识要点】因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、因式定理分解等有关内容和方法。
【例题选讲】1.添项.拆项分组法添项、拆项的目的是把某些在乘法过程中被合并的项复原，以便在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式。
十字相乘法其实是一种拆项法，配方法其实是一种添项法。
例1、分解因式(1) 4323-+x x (2) 444b a + (3)4224y y x x ++例2、分解因式(1)2426923+++x x x (2)abc c b a 3333-++例3、已知a 、b 、c 都是非零整数，且a 2+b 2+c 2=1,3)11()11()11(-=+++++ba c a cbc b a ,求a+b+c 的值。
2.待定系数法若两多项式f (x )=g (x )，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决.例4、分解因式3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4分析：观察该式子的前3项，发现3x 2+5xy -2y 2＝(x +2y )(3x -y ),因此想到设3x 2+5xy -2y 2+x +9y -4=( x +2y +a )( 3x-y+b ),两边算出来以后，比较两边的系数即可得到a 、b .例5、已知多项式x 3+bx 2+cx +d 的系数都是整数,若bd+cd 是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.3、换元法把式子中的某些比较复杂的部分看作一个整体，并用一个字母暂时代替，称为换元法，换元以后能使得整个式子得到简化，各项之间的关系更加清晰。
如何换元，则需要仔细观察。
例6、分解因式 (x 2+x +1)(x 2+x +2)-12例7、证明: 若a 为整数a (a +1)(a +2)(a +3)+1必为完全平方数。
初三奥数因式分解测试题及答案
【导语】把⼀个多项式在⼀个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为⼏个整式的积的形式，这种式⼦变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，在数学求根作图、解⼀元⼆次⽅程⽅⾯也有很⼴泛的应⽤。
是解决许多数学问题的有⼒⼯具。
下⾯是为⼤家带来的初三奥数因式分解测试题及答案，欢迎⼤家阅读。
⼀、选择题（共11题；每⼩题3分,共33分）1.代数式15ax2﹣15a与10x2+20x+10的公因式是（ ）A. 5（x+1）B. 5a（x+1）C. 5a（x﹣1）D. 5（x﹣1）2.下列因式分解完全正确的是（ ）A. ﹣2a2+4a=﹣2a（a+2）B. ﹣4x2﹣y2=﹣（2x+y）2C. a2﹣8ab+16b2=（a+4b）2D. 2x2+xy﹣y2=（2x﹣y）（x+y）3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A. (a＋1)(a－1)＝a2－1B. a2－6a＋9＝(a－3)2C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1D. -18x4y3=-6x2y2•3x2y4.下列各式能⽤完全平⽅公式进⾏分解因式的是（）A. x2+1B. x2+2x﹣1C. x2+x+1D. x2+4x+45.分解因式a2﹣9a的结果是（ ）A. a（a﹣9）B. （a﹣3）（a+3）C. （a﹣3a）（a+3a）D. （a﹣3）26.将x2﹣16分解因式正确的是（ ）A. （x﹣4）2B. （x﹣4）（x+4）C. （x+8）（x﹣8）D. （x﹣4）2+8x7.下列各组多项式没有公因式的是（）A. 2x﹣2y与y﹣xB. x2﹣xy与xy﹣x2C. 3x+y与x+3yD. 5x+10y与﹣2y﹣x8.已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（）A. -3B. 3C. -1D. 19.下列式⼦中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. （x﹣1）（x﹣1）=x2﹣2x+1B. 4x2﹣9y2=（2x﹣3y）（2x+3y）C. x2+4x+4=x（x﹣4）+4D. x2+y2=（x+y）（x﹣y）10.分解因式－2xy2+6x3y2－10xy时，合理地提取的公因式应为（）A. －2xy2B. 2xyC. －2xyD. 2x2y11.下列多项式在有理数范围内能⽤平⽅差公式进⾏因式分解的是（ ）A. x2+y2B. ﹣x2+y2C. ﹣x2﹣y2D. x2﹣3y⼆、填空题（共10题；共40分）12.若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z=________．13.多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是________．14.计算：（﹣2）100+（﹣2）99=________15.分解因式：18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3=________．16.如果x﹣3是多项式2x2﹣11x+m的⼀个因式，则m的值________17.多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是________．18.因式分解：xy3﹣x3y=________．19.9x3y2+12x2y3中各项的公因式是 ________ ．20.分解因式：9x3﹣18x2+9x=________．21.多项式12x3y2z3+18x2y4z2﹣30x4yz3各项的公因式是________．三、解答题（共3题；共27分）22.因式分解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）；（2）a2x2y﹣axy2 ．23.我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当⼀个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平⽅形式时，我们可以尝试⽤下⾯的办法来分解因式．a2+6a+8=a2+6a+9﹣1=（a+3）2﹣1=[（a+3）+1][（a+3）﹣1]=（a+4）（a+2）请仿照上⾯的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2 ．24.当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个⼀次因式的乘积．参考答案⼀、选择题A DB D A BCD B C B⼆、填空题12. 4 13. ﹣3x2yz 14. 299 15. 6（a﹣b）2（3﹣2a+2b）16. 15 17. 5mx 18. xy（x+y）（x﹣y）19. 3x2y2 20. 9x（x﹣1）2 21. 6x2yz2三、解答题22. 解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=x（x﹣y）+y（x﹣y）=（x+y）（x﹣y）；（2）a2x2y﹣axy2=axy（ax﹣y）23. 解：（1）原式=x2﹣6x+9﹣36=（x﹣3）2﹣36=（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）=（x+3）（x﹣9）；（2）原式=x2﹣2xy+y2﹣4y2=（x﹣y）2﹣4y2=（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）=（x+y）（x﹣3y）．24. 解：多项式的第⼀项是x2 ，因此原式可分解为：（x+ky+c）（x+ly+d），∵（x+ky+c）（x+ly+d）=x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，∴cd=﹣24，c+d=﹣5，∴c=3，d=﹣8，∵cl+dk=43，∴3l﹣8k=43，∵k+l=7，∴k=﹣2，l=9，∴a=kl=﹣18，．即当a=﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个⼀次因式的乘积．。
因式分解知识点
因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级(下)期中数学试卷
2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（）A．a﹣3＜b﹣3B．C．﹣a＞﹣b D．﹣2a＜﹣2b3．（4分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A．（2﹣x）（﹣2﹣x）＝x2﹣4B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2C．x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）D．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2﹣）4．（4分）点P（2，﹣3）向左平移3个单位，向上平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，﹣5）C．（5，﹣1）D．（5，﹣5）5．（4分）平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，则∠B的度数为（）A．45°B．55°C．135°D．270°6．（4分）下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．角平分线上的点到角的两边的距离相等C．两个全等的三角形，一定成中心对称D．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′，若BC＝5，S△PB′C＝4.5，则BB′＝（）A．B．2C．3D．4二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．（4分）分式有意义则x的取值范围是．10．（4分）化分式方程＝0为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为．11．（4分）关于x的二次三项式x2+mx+6因式分解的结果是（x+3）（x+2），则m＝．12．（4分）如图，在正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A′B′C′，则旋转中心是点（请从点O、Q、P、M中选择）．13．（4分）如图，在△ABC中，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE＝3m，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为cm．三、解答题（本大题共5小题，共48分，14题16分，15题6分，16题6分，17题8分，18题12分，解答过程写在答题卡上）14．（16分）（1）分解因式：3x2y﹣8zy+y；（2）分解因式：x2+4x+4；（3）解方程：；（4）求不等式组的解集．15．（6分）先化简，再求值：（）÷（x﹣4），其中．16．（6分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题；（1）请画出与△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2的坐标；（3）求△ABC绕点A逆时针旋转90°后，线段AB扫过的图形面积．17．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积．18．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将△ABO 绕点O顺时针旋转到△A′B′O，使得A′O⊥AB，垂足为D，此时D点坐标为（﹣，），动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒．（1）请求出A点的坐标；（2）如图2，当DE∥A′B′时，DE交y轴于点M，求出此时点M的坐标；（3）M为（2）中的点，当点E在运动过程中，直线A′B′上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．四、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)19．（4分）若关于x的方程有增根，则m的值是．20．（4分）已知▱ABCD中，AB＝8cm，BC＝5cm，过点B作BH⊥CD交CD所在的直线于H，若BH＝4cm，则DH＝cm．21．（4分）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式2x2y+4xy进行因式分解得到2xy（x+2），若取x＝12，y ＝7，则2→2，x→12，y→7，x+2→14，可得密码为212714，对于代数式3a3﹣12a2b+9ab2，若取a＝15，b＝4，可能得到的密码是．（写出满足条件的一个答案即可）22．（4分）已知直线l1：y＝k1x+b1经过点（0，﹣1），直线l2：y＝k2x+b2经过点（3，1），且直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是．23．（4分）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，使得CP＝1，点E在线段AB上，且AE，连接PE，以PE为边向右作等边△PEF，过点E作EM∥AP交F A的延长线于点M，点N 为MF的中点，则四边形AEPN的面积为．五、解答题（本大题共3小题，共30分。
因式分解的基本解题思路
因式分解的基本解题思路
因式分解和整式乘法互为逆运算，是初中数学里最重要的恒等式之一。
因式分解，是初中数学的重头大戏。
如果因式分解没有学好，那么后面分式，一元二次方程等内容就非常的艰难。
因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解。
因式分解的基本解题思路有以下几种：
1. 提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
2. 应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
3. 分组分解法：要把多项式分组，并提出各组的公因式或运用公式法来达到分解的目的。
4. 十字相乘法
5. 观察多项式的特点，看是否能运用公式法或提公因式法来进行分解。
6. 检验因式分解的结果是否正确，必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
在具体解题时，可以根据实际情况选择合适的解题思路。
2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级(下)期中数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年四川省成都七中育才学校八年级（下）期中数学试卷1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 如果，那么下列各式中正确的是( )A. B. C. D.3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A. B.C. D.4. 点向左平移3个单位，向上平移2个单位到点Q，则点Q的坐标为( )A. B. C. D.5. 平行四边形ABCD中，，则的度数为( )A. B. C. D.6. 下列说法错误的是( )A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 角平分线上的点到角的两边的距离相等C. 两个全等的三角形，一定成中心对称D. 等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴7. 不等式组的解集在数轴上表示为( )A. B.C. D.8.如图，在等腰直角三角形ABC中，，将沿BC方向平移得到，若，，则( )A. B. C. D.9. 分式有意义则x的取值范围是______ .10. 化分式方程为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为______ .11. 关于x的二次三项式因式分解的结果是，则______.12. 如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点______ 请从点O、Q、P、M中选择13. 如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为E，若半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、，的周长为13cm，则的周长为______14. 分解因式：；分解因式：；解方程：；求不等式组的解集.15. 先化简，再求值：，其中16. 正方形网格中网格中的每个小正方形边长是，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题；请画出与关于原点对称的；请画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标______ ；求绕点A逆时针旋转后，线段AB扫过的图形面积.17. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，，垂足分别为E、求证：四边形AECF是平行四边形；若，，求四边形AECF的面积.18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，现将绕点O顺时针旋转到，使得，垂足为D，此时D点坐标为，动点E从原点出发，以一个单位每秒的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒.请求出A点的坐标；如图2，当时，DE交y轴于点M，求出此时点M的坐标；为中的点，当点E在运动过程中，直线上有一点Q，是否存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.19. 若关于x的方程有增根，则m的值是______.20. 已知▱ABCD中，，，过点B作交CD所在的直线于H，若，则______21. 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，，则，，，，可得密码为212714，对于代数式，若取，，可能得到的密码是______写出满足条件的一个答案即可22. 已知直线：经过点，直线：经过点，且直线与关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式的解集是______ .23. 如图，是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，使得，点E在线段AB上，且，连接PE，以PE为边向右作等边，过点E作交FA的延长线于点M，点N为MF的中点，则四边形AEPN的面积为______ .24. 位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动，下面是两位同学对于出行方案的讨论：请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：方式一：每次均按照相同油量升加油；方式二：每次均按照相同金额元加油.若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升，请分别写出每种加油方式的平均单价用含x、y的代数式表示，并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算.25. 已知长为a、b、c、d的四条线段，以a、b为边构造，其中，；以c、d为边构造，其中，判断和的形状并证明；将和按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、若，请猜想与之间的数量关系，并证明；如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若，中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由.26.如图1，在中，，，将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，旋转角为，连接①若，则______ ；②若，求的度数.如图2，当时，过点B作于点E，CD与BE相交于点F，请探究线段CF与线段BE之间的数量关系；当时，作点A关于CD所在直线的对称点，当点在线段BC所在的直线上时，求的面积.答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故A不符合题意；B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故B不符合题意；C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故C不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．故选：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】D【解析】解：A、两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B错误；C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；D、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，故D正确；故选：根据不等式的性质，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变．3.【答案】C【解析】解：A、，是整式乘法，故此选项不合题意；B、，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；C、是分解因式，符合题意；D、，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意；故选：直接利用因式分解的定义得出答案．此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．4.【答案】A【解析】解：根据题意，点Q的横坐标为：；纵坐标为；即点Q的坐标是故选：让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标．本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．5.【答案】A【解析】解：在▱ABCD中，，若，则，故选：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解．本题考查平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．6.【答案】C【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，故A不符合题意；B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故B不符合题意；C、两个全等的三角形，不一定成中心对称，故C符合题意；D、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴，正确，故D不符合题意．故选：由平行四边形的判定，角平分线的性质，中心对称的定义，等边三角形的性质，即可判断．本题考查平行四边形的判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，中心对称，掌握以上知识点是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集是表示在数轴上，如图所示：故选：根据不等式解集的表示方法即可判断．本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；<，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．8.【答案】B【解析】解：是等腰直角三角形，，沿BC方向平移得到，，是等腰直角三角形，，的面积，，，故选：由等腰直角三角形的性质得到，由平移的性质，得到是等腰直角三角形，由三角形的面积公式求出PC长，即可求出的长，从而求出的长．本题考查平移的性质，等腰直角三角形，关键是掌握平移的性质，等腰直角三角形的性质．9.【答案】【解析】解：根据题意得，解得，即x的取值范围是根据分式有意义的条件得到，然后解不等式即可．本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．10.【答案】【解析】解：化分式方程为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母为故答案为：根据最简公分母的定义即可得出答案．本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键．11.【答案】5【解析】解：关于x的二次三项式因式分解的结果是，则，故故答案为：直接利用多项式乘法进而得出m的值．此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．12.【答案】P【解析】如图，连接，可得其垂直平分线相交于点P，故旋转中心是P点．故答案为：根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．13.【答案】19【解析】解：由作图得MN垂直平分AC，，，的周长为13cm，，，即，的周长故答案为：先利用基本作图得到MN垂直平分AC，，，然后利用等线段代换计算的周长．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．14.【答案】解：；；，方程两边都乘，得，解得：，检验：当时，，所以是增根，即分式方程无解；，解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式组的解集是【解析】根据提取公因式法分解因式即可；根据完全平方公式分解因式即可；方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；先根据不等式的性质求出不等式的解集，再关键求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．本题考查了分解因式，解分式方程和解一元一次不等式组等知识点，能选择适当的方法分解因式是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解的关键．15.【答案】解：原式，当时，原式【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．16.【答案】【解析】解：如图，即为所求.如图，即为所求．点的坐标为故答案为：由勾股定理得，，线段AB扫过的图形面积为根据中心对称的性质作图即可．根据旋转的性质作图，即可得出答案．利用勾股定理求出AB的长，再利用扇形面积公式计算即可．本题考查作图-旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握旋转和中心对称的性质、勾股定理、扇形面积公式是解答本题的关键．17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，，在和中，，≌，，四边形AECF是平行四边形；解：，，，，，，由可知，≌，，，四边形AECF是平行四边形，，【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证，然后证≌，得，即可得出结论；由含角的直角三角形的性质得，则，再由全等三角形的性质得，则，然后由平行四边形面积公式即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．18.【答案】解：把代入得：，解得，，在中，令得：，解得，点的坐标为；如图：在中，令得，，，，由旋转可得，，，，，，，，，，点M是OB中点，；存在以M、E、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：过作于K，如图：，，，，，，≌，，，，由知，，直线DM的函数解析式为，由设直线的解析式为，把代入得：，解得，直线的解析式为；设，，又，，①若QE，MB为对角线，则QE，MN的中点重合，，解得，的值为；②若QM，EB为对角线，则QM，EB的中点重合，，解得，的值为；③若QB，EM为对角线，则QB，EM的中点重合，，解得，的值为；综上所述，t的值为或或【解析】把代入得，即得，令可得A点的坐标为；在中，得，由和旋转可得，有，从而可得，，故点M是OB中点，得；过作于K，证明≌，可得，由，，可知直线DM的函数解析式为，从而可得直线的解析式为；设，，分三种情况：①若QE，MB为对角线，则QE，MN的中点重合，，②若QM，EB为对角线，则QM，EB的中点重合，，③若QB，EM为对角线，则QB，EM的中点重合，，分别解方程组可得答案．本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．19.【答案】2【解析】解：方程两边都乘，得，方程有增根，最简公分母，即增根是，把代入整式方程，得故答案为：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20.【答案】5或11【解析】解：如图1，，，，，，四边形ABCD是平行四边形，，；如图2，，，，，，四边形ABCD是平行四边形，，；综上所述，或11cm，故答案为：5或分两种情况：如图1，如图2，根据勾股定理和平行四边形的性质即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．21.【答案】315311【解析】解：当，时，即，，，，可得密码为本题通过对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码．本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果．22.【答案】【解析】解：直线与关于第一，三象限角平分线所在直线对称，点关于直线的对称点一定在直线上，点关于直线的对称点一定在直线上，把，两点代入中得，，，，直线：，把，两点代入中得，，，，直线：，由得，，故答案为：分别求出点和点关于直线的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线，直线的解析式，再解不等式即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，待定系数法求解析式，直线的对称变换等知识，掌握点的对称变换特征是解题关键．23.【答案】【解析】解：作交AB的延长线于点G，是边长为3的等边三角形，，，，，是等边三角形，点P在AC的延长线上，，，是等边三角形，，，，在和中，，≌，，，，，，，是等边三角形，，，，在和中，，≌，，点N为MF的中点，，，作于点H，于点D，则，，，，，，故答案为：作交AB的延长线于点G，则，，，，所以是等边三角形，，而是等边三角形，则，，所以，即可证明≌，得，所以，，再证明是等边三角形，则，，可证明≌，得，则，，作于点H，于点D，则，，由勾股定理得，所以，于是得到问题的答案．此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24.【答案】解：设每辆甲种大巴车的座位数为个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，根据题意可得：，解得：，经检验，为原方程的解，则，每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个；按照方式一加油的平均单价为元/升，按照方式一加油的平均单价为元/升，按方式二加油的平均单价-按方式二加油的平均单价得：元/升，，，且，，，即，选择方式二加油更合算．【解析】设每辆甲种大巴车的座位数为个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，求解即可；根据“加油费用=加油量加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解．本题主要考查分式方程的应用、列代数式．解题关键是：正确理解题意，找准等量关系列出方程，并进行正确的求解；利用“加油费用=加油量加油单价”列出代数式，熟练掌握用作差法比较代数式大小．25.【答案】解：结论：，都是等腰三角形；理由：，，，，，都是等腰三角形；猜想：理由：延长AM 到T ，使得，连接AD ，DT ，ET ，延长AC 交ET 的延长线于点，，，≌，，，，，，，，，，≌，，，，，猜想仍然成立．理由：延长AM 到Q ，使得，连接AD ，DQ ，EQ ，延长AC 交EQ 于点，，，≌，，，，，，，，，≌，，，，，【解析】利用非负数的性质证明，，可得结论；猜想：延长AM到T，使得，连接AD，DT，ET，延长AC 交ET的延长线于点证明≌，推出，，推出，推出，再证明≌，推出，可得结论；猜想仍然成立，证明方法类似本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．26.【答案】45【解析】解：①将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，，，是等边三角形，，，，，，故答案为：45；②将线段AB绕点B逆时针旋转得线段BD，，，，；，理由如下：如图2，过点C作直线BE于H，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，又，，≌，，；如图3，当点在点B的左侧时，，，，点A关于CD所在直线的对称点，，，，，，，，；如图4，当点在点B的右侧时，同理可求；综上所述：的面积为或①由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解；②由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解；由“AAS”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；分两种情况讨论，由勾股定理可求，即可求解．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
因式分解在初中数学中的重要作用
因式分解在初中数学中的重要作用作者：邵祝会来源：《教育界》2011年第14期初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。
学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。
所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。
一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等1．提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am+bm+cm=m(a+b+c) 。
例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)2．运用公式法（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1)=3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)3．分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4．十字相乘法二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。
因式分解在解方程中的应用
因式分解在解方程中的应用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用数学运算之中，在数学求根作图、一元二次方程方面也有很广泛的应用。
是解决许多数学问题的有力工具。
把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解。
因式分解方法灵活，技巧性强。
学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。
因式分解作为重要恒等变形方式，我们初中学生学习起来是很困难的，虽然初中所接触的只是因式分解很简单的一部分，确是中学生必须掌握的、熟练运用的重要知识点，只有掌握了它，才能在解决其他数学问题，特别是解方程这一知识环节上有长足的进步。
归纳起来因式分解的方法很多，我们初中经常用的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、拆项补项法、配方法等。
对于用因式分解的方法解一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。
现就我们在学习过程中所遇到的用因式分解解方程的具体问题做以阐述，以便同学在今后的学习过程中借鉴。
一、用提取公因式法解方程如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。
我们在解题过程中不仅应该尽量运用相对简单的解题方法还应该注意不可马虎大意，不能养成不细心的习惯，不能因为一次没有找到最简单的方法，就产生了不想继续下去的念头。
还有，在去括号，移项过程中一定要注意每一项，和每一项系数的符号的变化，只有这样才能形成良好的做题习惯，在以后的解题过程中少出现过失。
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。
是解决许多数学问题的有力工具。
把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解，即所有项均为有理数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解的方法与技巧1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
竞赛专题-因式分解
初中数学竞赛辅导 专题一：因式分解 班级 姓名因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，可以化和为积，因式分解的基本方法有： (1)提公因式法；(2)公式法；(3)分组分解法；即“一提，二套，三分组”因式分解的技巧包括：十字相乘法、双十字相乘法、换元法、添项（拆项）法、待定系数法、利用因式定理分解等．乘法公式: 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 33322222213()()()[()()()]2a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=++++---=++-+-+-一、基本方法：1．220091(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++2．分解因式：66a b - 3．分解因式： 326116x x x +++4．分解因式：632827x x -+ 5. (252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+6． 444444(34)(74)(394)(54)(94)(414)++++++=类似4444444444(10324)(22324)(34324)(46324)(58324)(4324)(16324)(28324)(40324)(52324)++++++++++=444441111144444444441111144444(2)(4)(6)(8)(10)(1)(3)(5)(7)(9)++++++++++=7. (1)已知3330,0a b c a b c ++=++=,求151515a b c ++的值.(2)33332009200920092009,,a b c d a b c d a b c d +=++=++=+已知求证8.求证：在,m n 都是大于1的整数时，444m n +是合数。
七年级数学下《因式分解》提升试题
七年级数学下《因式分解》提升试题湘教版七年级数学下《因式分解》提升试题因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。
是解决许多数学问题的有力工具。
下面是应届毕业生店铺为大家搜索整理的湘教版七年级数学下《因式分解》提升试题，希望对大家有所帮助。
一、选择题(30分)1、下列从左边到右边的变形，属因式分解的是( )A. 2(a-b)=2a-2b;B. m2-1=(m+1)(m-1);C. x2-2x+1=x(x-2)+1;D. a(a-b)(b+1)=(a-ab)(b+1);2、下列因式分解正确的是( )A. 2x2-xy-x=2x(x-y-1);B. –xy2+2xy-3y=-y(xy-2x-3);C. x(x-y)-y(x-y)=(x-y) 2;D. x2-x-3=x(x-1)-3;3、因式分解2x2-4x+2的最终结果是( )A. 2x(x-2);B. 2(x2-2x+1);C. 2(x-1)2;D. (2x-2) 2;4、把多项式p2 (a-1)+p(1-a)因式分解的结果是( )A. (a-1)( p2+p);B. (a-1)( p2-p);C. p(a-1)( p-1);D. p(a-1)( p+1);5、如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的字是( )A. ±30;B. ±5;C.30;D. 15;6、用简便方法计算：的值是( )A. 1;B. ;C. ;D. 2;7、若a+b=-3，ab=1，则a+b等于( )A. -11;B. 11;C. 7;D. -7;8、已知a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为( )A. 0;B. 1;C. 2;D. 3;9、若三角形的三边分别是a、b、c，且满足a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形是( )A. 等腰三角形;B. 直角三角形;C. 等边三角形;D. 三角形的形状不确定;10、两个连续奇数的平方差总可以被k整除，则k等于( )A. 4;B. 8;C. 4或-4;D. 8的倍数;二、填空题(24分)11、多项式9a2x2-18a3x3-36a4x4各项的公因式是。
因式分解一般方法
因式分解一般方法因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式。
它在解决实际数学问题中起着十分重要的作用，是重要的数学解题工具。
因式分解较为灵活，也具有一定的技巧性，所以要求学生要灵活掌握并运用因式分解的方法。
因式分解的主要方法有：提公因式法、完全平方法、平方差公式法、十字相乘法。
1.提公因式法：这个是最基本的，就是有公因式就提出来。
（相同取出来剩下的相加或相减）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
2.全然平方法：看见式字内有两个数平方就要特别注意下了,找找是不是两数内积的两倍,存有的话就按照公式展开。
对于那些无法利用公式法的多项式,有的可以利用将其硝酸锶一个全然平方式,然后再利用平方差公式,就能够将其因式分解.3.平方差公式这个要熟记,因为在配完全平方时有可能会拆添项,如果前面是完全平方,后面又减一个数的话,就可以用平方差公式再进行分解.由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.4.十字相加首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法.（十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
）对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)。
这里了解的只是最基本、最常用的几种水解因式的方法，我们在日常的解题过程中可以回去有效率地展开挑选出和采用。
当然，除了更多其它的数学分析等候我们回去辨认出、认知并掌控运用。
因式分解并不难，掌控方法并多加练习才就是提升解题效率和准确率的最佳方式。
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因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等．⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～.②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m<a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时,公因式地系数应取各项系数地最大公约数；字母取各项地相同地字母,而且各字母地指数取次数最低地. 如果多项式地第一项是负地,一般要提出“－”号,使括号内地第一项地系数是正地.⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b>(a－b>②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b>^2※能运用完全平方公式分解因式地多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式>地平方和地形式,另一项是这两个数(或式>地积地2倍.③立方和公式：a^3+b^3＝(a+b>(a^2-ab+b^2>.立方差公式：a^3-b^3＝(a-b>(a^2+ab+b^2>.④完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b>^3⑤a^n-b^n=(a-b>[a^(n-1>+a^(n-2>b+……+b^(n-2>a+b^(n-1>]a^m+b^m=(a+b>[a^(m-1>-a^(m-2>b+……-b^(m-2>a+b^(m-1>](m为奇数>⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后,再进行分解因式地方法.分组分解法必须有明确目地,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式地某一项拆开或填补上互为相反数地两项<或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意,必须在与原多项式相等地原则进行变形.⑸十字相乘法①x^2＋<p q）x＋pq型地式子地因式分解这类二次三项式地特点是：二次项地系数是1；常数项是两个数地积；一次项系数是常数项地两个因数地和.因此,可以直接将某些二次项地系数是1地二次三项式因式分解：x^2＋<p q）x＋pq＝<x＋p）<x＋q）②kx^2＋mx＋n型地式子地因式分解如果能够分解成k＝ac,n＝bd,且有ad＋bc＝m 时,那么kx^2＋mx＋n＝<ax b）<cx d）a \-----/b ac＝k bd＝nc /-----\d ad＋bc＝m※多项式因式分解地一般步骤：①如果多项式地各项有公因式,那么先提公因式；②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.(6>应用因式定理：如果f<a）=0,则f<x）必含有因式<x-a）.如f<x）=x^2+5x+6,f<-2）=0,则可确定<x+2）是x^2+5x+6地一个因式.经典例题：1.分解因式(1+y>^2-2x^2(1+y^2>+x^4(1-y>^2解：原式=(1+y>^2+2(1+y>x^2(1+y>+x^4(1-y>^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-2(1+y>x^2(1-y>-2x^2(1+y^2>=[(1+y>+x^2(1-y>]^2-(2x>^2=[(1+y>+x^2(1-y>+2x]·[(1+y>+x^2(1-y>-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1>(x^2-x^2y-2x+y+1>=[(x+1>^2-y(x^2-1>][(x-1>^2-y(x^2-1>]=(x+1>(x+1-xy+y>(x-1>(x-1-xy-y>2.证明：对于任何数x,y,下式地值都不会为33 x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5解：原式=(x^5+3x^4y>-(5x^3y^2+15x^2y^3>+(4xy^4+12y^5> =x^4(x+3y>-5x^2y^2(x+3y>+4y^4(x+3y>=(x+3y>(x^4-5x^2y^2+4y^4>=(x+3y>(x^2-4y^2>(x^2-y^2>=(x+3y>(x+y>(x-y>(x+2y>(x-2y>当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数地积,所以原命题成立因式分解地十二种方法把一个多项式化成几个整式地积地形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解地方法多种多样,现总结如下：1、提公因法如果一个多项式地各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积地形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题> x -2x -x=x(x -2x-1> 2、应用公式法因为分解因式与整式乘法有着互逆地关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式 a +4ab+4b (2003南通市中考题> 解： a +4ab+4b =<a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n>+b(m+n>,又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b>(m+n>例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m >+(-mn+5n> =m(m-5>-n(m-5>=(m-5>(m-n>4、十字相乘法对于mx +px+q形式地多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d>(bx+c>例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19解：7x -19x-6=<7x+2）(x-3> 5、配方法对于那些不能利用公式法地多项式,有地可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( > -( > -40 =(x+ > -( > =(x+ + >(x+ - > =(x+8>(x-5>6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b> 解：bc(b+c>+ca(c-a>-ab(a+b>=bc(c-a+a+b>+ca(c-a>-ab(a+b> =bc(c-a>+ca(c-a>+bc(a+b>-ab(a+b>=c(c-a>(b+a>+b(a+b>(c-a>=(c+b>(c-a>(a+b>7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中地相同地部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来. 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1>-x(x +1>-6x =x [2(x + >-(x+ >-6 令y=x+ , x [2(x + >-(x+ >-6 = x [2(y -2>-y-6] = x (2y -y-10> =x (y+2>(2y-5> =x (x+ +2>(2x+ -5> = (x +2x+1> (2x -5x+2> =(x+1> (2x-1>(x-2> 8、求根法令多项式f(x>=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x>=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x>=0根为,-3,-2,1 则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1>(x+3>(x+2>(x-1> 9、图象法令y=f(x>,做出函数y=f(x>地图象,找到函数图象与X轴地交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x>= f(x>=(x-x >(x-x >(x-x >……(x-x > 例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2 则x +2x -5x-6=(x+1>(x+3>(x-2> 10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例10、分解因式 a (b-c>+b (c-a>+c (a-b> 分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解： a (b-c>+b (c-a>+c (a-b>=a (b-c>-a(b -c >+(b c-c b> =(b-c> [a -a(b+c>+bc] =(b-c>(a-b>(a-c>11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当地组合,并将组合后地每一个因数写成2或10地和与差地形式,将2或10还原成x,即得因式分解式. 例11、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数地积,即105=3×5×7 注意到多项式中最高项地系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时地值则x +9x +23x+15=<x+1）<x+3）<x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式地形式,然后设出相应整式地字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解. 例12、分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 解：设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b>(x +cx+d> = x +(a+c>x +(ac+b+d>x +(ad+bc>x+bd 所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1>(x -2x-4>。