误差分析优秀课件
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误差分析—误差的来源及分类(试验设计与数据处理课件)
随机误差
试验数据误差的来源及分类
按性 质及 产生 的原 因分
1 随机误差 （ystematic error） 3 过失误差 （Mistake ）
随机误差（Random error）
（1）定义：以不可预知的规律变化的误差。绝对误差时正时负，时大时小。 （2）产生的原因： 偶然因素（气温的微小变动，仪器的轻微振动，电压的微小波动等） （3）特点：具有统计规律
过失误差
试验数据误差的来源及分类
按性 质及 产生 的原 因分
1 随机误差 （Random error ） 2 系统误差（Systematic error） 3 过失误差 （Mistake ）
过失误差
（1）定义：一种与事实不符的误差。 （2）产生的原因：失误， 实验人员粗心大意造成。 （3）特点：可以避免 ，没有一定的规律 。
系统误差
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按某些确定的规律起作用而产生的误差。 （2）产生的原因：多方面（仪器、操作步骤、操作者等） （3）特点：
① 系统误差大小及其符号在同一试验中恒定 ; ② 不能通过多次试验被发现； ③ 不能通过取多次试验值的平均值而减小； ④ 只有对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。
① 小误差比大误差出现机会多(呈正态分布)； ② 正、负误差出现的次数近似相等； ③ 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 ； ④ 可通过增加试验次数减小随机误差； ⑤ 随机误差不可完全避免
系统误差
试验数据误差的来源及分类
按性 质及 产生 的原 因分
1 随机误差 （Random error ） 2 系统误差（Systematic error） 3 过失误差 （Mistake ）
测量误差分析与处理措施ppt课件
测量误差的分类
01
02
03
系统误差
在一定条件下，测量误差 具有确定的规律性。
随机误差
由于偶然因素引起的测量 误差，无规律可循。
粗大误差
明显超出正常范围，与实 际情况明显不符的测量误 差。
测量误差的来源
测量设备误差
设备本身精度不足或老 化等引起的误差。
环境因素
温度、湿度、气压等环 境条件变化引起的误差
函数建模法
函数建模法是一种基于数学模型的误差分析方法，通过建立 测量值与真实值之间的数学模型，分析误差产生的原因和规 律。
函数建模法适用于需要对误差进行深入分析和预测的情况。 通过建立测量值与真实值之间的函数关系，可以分析误差产 生的原因和规律，进而对测量过程进行优化和改进。这种方 法精度较高，但需要较深的数学基础和建模技巧。
统计分析法
统计分析法是一种基于数学统计原理的误差分析方法，通过对大量测量数据进行统计分析，计算误差 的分布和规律。
统计分析法适用于需要对大量测量数据进行误差分析的情况。通过统计学的手段，如平均值、方差、 置信区间等，可以全面了解误差的分布和规律，进而对测量过程进行优化和控制。这种方法精度较高 ，但需要较复杂的数学处理和较多的数据支持。
04
误差控制与预防
误差控制策略
制定测量标准
建立完善的测量标准体系 ，确保测量数据的准确性 和可靠性。
定期校准设备
对测量设备进行定期校准 ，确保设备性能稳定，减 少误差产生。
培训测量人员
提高测量人员的技能水平 ，确保他们能够正确、规 范地进行测量操作。
误差预防措施
优化测量方法
采用先进的测量方法和技术，提高测 量精度和准确性。
测量数据的准确性和可靠性。
误差分析课件线性回归及应用
表示，记为
N
S yi y2
（1-14）
i 1
N
yi yˆi yˆi y2
i 1
N
N
N
yi yˆi 2 2 yi yˆi yˆi y yˆi y2
i 1
i 1
i 1
NO.V1.0
1.回归方程的方差分析
•
把yˆi b0 bxi; yi b0 bx N
代入中间项，
可推出
2yi yˆiyˆi y 0
i 1
则令
N
N
U yˆi y2,Q yi yˆi2
有
i 1
i 1
S U Q
其中，U 称为回归平方和，反映回归直线 yˆ b0 bxi 对均值 y 的偏离情况，即 y 随 x 变化
NO.V1.0
一元线性回归方程的求法（Ⅱ）
• 示
某一观测y值i 与回归yˆi 值 之vi差用 表
vi yi yˆi yi b0 bxi i 1,2,, N
它表示某一点xi, yi 与回归直线的偏离程度。
记
N
N
2N
2
Q vi2 yi yˆi yi b0 bxi
y2 yN
0 x2
0 xN
2 N
设测量误差 1,2,, N 服从同一正态分布
N0, ，且相互独立，则用最小二乘法估计参
数0, ，设估计量分别为 b0 , b ，那么可得一元 线性回归方程
yˆ b0 bx
（1-2）
式中，b0,b 为常数和回归系数。
高中化学实验误差分析(课件)
滴定到溶液颜色刚发生变化时，立即读数，V标↓， C待↓， 误差偏低
锥形瓶待测液中有与标准液不反应的杂质时，V标↓，C待↓， 误差偏低
锥形瓶用待测液润洗，V标↑，C待↑， 误差偏高
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待测液实际体积V的计算： V=V末—V初
放液前平视，放液晶体时，出现黑色粉末， m（结晶水）↑， w（结晶水） ↑ ， 误差偏高
加热完毕，将坩埚放在空气中冷却， m（结晶水）↓， w（结晶水） ↓ ， 误差偏低
（一）分析依据：
△H=
0.418(t2 t1) 0.025
（二）分析结果：
kJ/mol
实验时，混合液未达到最高温度，就读取温度，t2↓, △H ↓， 误差偏小
返回
待测液实际体积V的计算： V=V末—V初
放液前俯视，放液后仰视 V=V末（偏大）—V初（偏小） 待测液实际体积V偏大， V标↑
返回
待测液实际体积V的计算： V=V末—V初
放液前俯视，放液后平视 V=V末—V初（偏小）
待测液实际体积V偏大， V标↑
返回
滴定管引起的误差
装标准液前，滴定管未用标准液润洗，V标↑， C待↑ ， 误差偏高
（一）分析依据： C待= C标×V标
V待
其中， C标、V待都是固定值，只有V标会引起误差。
（二）分析结果：
锥形瓶中 引起的误差
用滴定管量取待测液时，放液前平视，放液后俯视，V标↓， C待↓，误差偏低
用滴定管量取待测液时，放液前俯视，放液后仰视， V标↑， C待↑，误差偏高
用滴定管量取待测液时，放液前俯视，放液后平视，V标↑ ， C待↑，误差偏高
滴定时，液体流速太快，V标↑， C待↑ 误差偏高
滴定前平视，滴定后俯视，V标↓， C待↓， 误差偏低
锥形瓶待测液中有与标准液不反应的杂质时，V标↓，C待↓， 误差偏低
锥形瓶用待测液润洗，V标↑，C待↑， 误差偏高
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待测液实际体积V的计算： V=V末—V初
放液前平视，放液晶体时，出现黑色粉末， m（结晶水）↑， w（结晶水） ↑ ， 误差偏高
加热完毕，将坩埚放在空气中冷却， m（结晶水）↓， w（结晶水） ↓ ， 误差偏低
（一）分析依据：
△H=
0.418(t2 t1) 0.025
（二）分析结果：
kJ/mol
实验时，混合液未达到最高温度，就读取温度，t2↓, △H ↓， 误差偏小
返回
待测液实际体积V的计算： V=V末—V初
放液前俯视，放液后仰视 V=V末（偏大）—V初（偏小） 待测液实际体积V偏大， V标↑
返回
待测液实际体积V的计算： V=V末—V初
放液前俯视，放液后平视 V=V末—V初（偏小）
待测液实际体积V偏大， V标↑
返回
滴定管引起的误差
装标准液前，滴定管未用标准液润洗，V标↑， C待↑ ， 误差偏高
（一）分析依据： C待= C标×V标
V待
其中， C标、V待都是固定值，只有V标会引起误差。
（二）分析结果：
锥形瓶中 引起的误差
用滴定管量取待测液时，放液前平视，放液后俯视，V标↓， C待↓，误差偏低
用滴定管量取待测液时，放液前俯视，放液后仰视， V标↑， C待↑，误差偏高
用滴定管量取待测液时，放液前俯视，放液后平视，V标↑ ， C待↑，误差偏高
滴定时，液体流速太快，V标↑， C待↑ 误差偏高
滴定前平视，滴定后俯视，V标↓， C待↓， 误差偏低
误差分析ppt课件
对于15V、±2.5级电压表
x
x x
100%
xm x
s
100%
15 2.5% 100% 3.75% 10
从结果可以看出，用15V、±2.5级的电压表测量较为合适。
17
结论：在进行仪表选择时，我们应注意， 同样量程的仪表，仪表等级数越小，测量 越准确；而对于不同量程、不同等级的仪 表，我们应该根据被测量的大小，兼顾仪 表级别和量程上限，合理选择仪表。
2
2
d 2 2
1
随机误差在－δ至＋δ范围内概率为：
P( ) 1
2
2
e d 2 2
2
2
2
e d 2 2
0
经变换，(1.3.22）式为
P( )
2
t
t2
e 2 dt 2(t)
2 0
若某随机误差在±t 范围内出现的概率为2Φ(ｔ), 则超出该误差范围的概率为
x
1 n
n i 1
xi
x1
x2
4
x3
x6
8.00mm
1 2
3
4
5
6
xi / mm 8.04 8.02 7.96 5.99 9.33 7.9827
2、随机误差的计算方法
1）算术平均值
x
1 n
n i 1
xi
x1
x2
x3 n
...
xn
28
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(２) 标准差
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
（4）缓变误差： 是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
物理实验绪论测量与误差分析公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
20.0 mm
第4页
测量与误差分析
试验误差分析 误差 误差 ＝ 测量值 － 真值
相对真值
x x x0 不可知
理论真值：理论值、公理值 计量商定值：基本单位、基本常数 原则器件值：高级别仪器测量值 算术平均值：多次测量算术平均值
第5页
误差起源 ➢ 测量仪器及原则量问题 ➢ 测量办法问题 ➢ 测量者问题
测量与误差分析
测量与误差分析
测量分类
测量办法
直接测量读数规则
试验误差分析
第1页
测量分类
以测量方式分
真接测量 间接测量
测量与误差分析
单次测量 多次测量
等精度测量 以测量条件分
不等精度测量
测量值＝ 数值＋单位
第2页
测量办法
测量与误差分析
比较法 ➢ 真接比较、间接比较
平衡法 补偿法
放大法 ➢ 机械放大、电学放大、光学放大、累积放大
转换法 ➢ 能量转换、光电转换、磁电转换等
模拟法 ➢ 稳恒电流场模拟静电场
第3页
测量与误差分析
直接测量有效数字读取普通规则
如实统计仪器上显示数值作为原始数据
普通读数读到最小分度下列再估一位
0
5 10 15
16.6 mm
游标类量具，只读到游标分度值，不估读 数字式仪表不需估读 测量值恰为整数时必须补 0，补到可疑位
误差分类 ➢ 系统误差 ➢ 随机误差 ➢ 粗大误差
测量与误差分析
第6页
《稳定误差分析》课件
总结
1 稳定误差分析的重
要性
通过稳定误差分析可以 评估测量数据的可靠性 和准确性。
2 实际应用的方法
根据不同的情况选择合 适的稳定误差计算方法 和解决方法。
3 未来的发展趋势
随着仪器技术的进步和 数据处理方法的不断发 展，稳定误差分析将变 得更加精确和行校准，以 减少测量误差。
运行环境改善
改善测量环境，降低外部 干扰因素对测量结果的影 响。
数据处理技巧
采用合适的数据处理技巧， 提高测量精度。
稳定误差的影响因素
1
仪器本身的性能
仪器的精度、稳定性等性能指标对误差有重要影响。
2
测量环境的因素
温度、湿度、震动等环境因素对测量结果的稳定性产生影响。
《稳定误差分析》PPT课 件
稳定误差分析是关于测量误差的研究，本课件将介绍稳定误差的定义、常见 的测量误差类型、误差分析的作用等内容。
稳定误差的计算方法
1 平均值法
通过计算一系列测量结果的平均值来确定稳定误差。
2 最大偏差法
通过找到一系列测量结果中的最大偏差来确定稳定误差。
3 误差极差法
通过计算一系列测量结果的误差极差来确定稳定误差。
3
操作过程中的因素
操作者技能、操作方法等因素也对测量误差产生影响。
误差分析的应用场景
工业控制
稳定误差分析在工业控制中起 到优化生产过程、提高产品质 量的作用。
实验研究
稳定误差分析在科学实验和研 究中有助于获得可靠的实验结 果。
质量控制
稳定误差分析在质量控制中可 以帮助减少生产过程中的测量 误差，提高产品质量。
检验结果误差原因分析课件
考核制度
建立考核制度，对操作人员进行定期考核，确保他们具备足够的技 能和知识。
持续学习
鼓励操作人员参加学术会议、研讨会等活动，了解最新的检验技术和 方法。
规范试剂的采购和使用流程
1 2
试剂质量评估
对试剂的质量进行评估，选择质量可靠、性能稳 定的试剂品牌和型号。
试剂验收
对采购的试剂进行验收，确保符合质量要求和实 验室标准。
确保仪器设备在规定的时间间隔内进行校准，并定期进行维护， 以保持其准确性和稳定性。
选择高精度仪器
选择具有高精度和低误差的仪器设备，能够提高检验结果的准确性。
仪器设备的质控
通过参与实验室间的比对、质控样品的检测等方式，评估仪器设备 的准确性和稳定性。
加强操作人员的培训和考核
培训计划
制定详细的培训计划，包括理论知识和实践操作方面的培训，提高 操作人员的技能水平。
误差对临床诊断的影响
误诊风险
01
由于检验结果的误差，可能导致医生对病情的误判，从而影响
诊断的准确性。
诊断延误
02
如果医生过于依赖不准确的检验结果，可能导致诊断延误，从
而影响患者的及时治疗。
患者安全
03
不准确的检验结果可能导致医生选择错误的治疗方案，从而影
响患者的治疗效果和生命安全。
误差对治疗策略的影响
02
检验结果误差原因分析
仪器误差
仪器校准不当
未定期对仪器进行校准， 导致测量结果偏离真实值。
仪器故障
仪器部件老化、损坏或内 部传感器失灵，导致测量 结果不准确。
仪器性能不稳定
仪器性能波动，影响测量 结果的重复性和准确性。
操作误差
操作不规范
实验员在操作过程中未严格遵守 操作规程，导致测量结果偏离真
建立考核制度，对操作人员进行定期考核，确保他们具备足够的技 能和知识。
持续学习
鼓励操作人员参加学术会议、研讨会等活动，了解最新的检验技术和 方法。
规范试剂的采购和使用流程
1 2
试剂质量评估
对试剂的质量进行评估，选择质量可靠、性能稳 定的试剂品牌和型号。
试剂验收
对采购的试剂进行验收，确保符合质量要求和实 验室标准。
确保仪器设备在规定的时间间隔内进行校准，并定期进行维护， 以保持其准确性和稳定性。
选择高精度仪器
选择具有高精度和低误差的仪器设备，能够提高检验结果的准确性。
仪器设备的质控
通过参与实验室间的比对、质控样品的检测等方式，评估仪器设备 的准确性和稳定性。
加强操作人员的培训和考核
培训计划
制定详细的培训计划，包括理论知识和实践操作方面的培训，提高 操作人员的技能水平。
误差对临床诊断的影响
误诊风险
01
由于检验结果的误差，可能导致医生对病情的误判，从而影响
诊断的准确性。
诊断延误
02
如果医生过于依赖不准确的检验结果，可能导致诊断延误，从
而影响患者的及时治疗。
患者安全
03
不准确的检验结果可能导致医生选择错误的治疗方案，从而影
响患者的治疗效果和生命安全。
误差对治疗策略的影响
02
检验结果误差原因分析
仪器误差
仪器校准不当
未定期对仪器进行校准， 导致测量结果偏离真实值。
仪器故障
仪器部件老化、损坏或内 部传感器失灵，导致测量 结果不准确。
仪器性能不稳定
仪器性能波动，影响测量 结果的重复性和准确性。
操作误差
操作不规范
实验员在操作过程中未严格遵守 操作规程，导致测量结果偏离真
溶液的配制及误差分析课件
04
仪器误差
由于仪器本身的缺陷或使用不 当而引起的误差，如量筒、容 量瓶刻度不准确，滴定管壁上 的附着物等。
操作误差
由于实验人员操作不当而引起 的误差，如称量时误读、量取 时误读、滴定管读数时未进行 半滴操作等。
环境误差
由于环境条件的改变而引起的 误差，如温度、湿度、压力、 空气流动等。
试剂误差
由于试剂不纯或试剂的用量不 当而引起的误差，如试剂中含 有杂质、称量时误读、滴定管 读数时未进行半滴操作等。
06
总结与展望
总结
01
02
03
04
05
掌握溶液配制的基本步骤 了解误差分析的方法和意 理解溶液配制误差对实验 学会如何降低误差，提高 了解溶液配制在科学研究
和注意事项
义
结果的影响
实验数据的准确性
和生活中的应用
展望
95% 85% 75% 50% 45%
0 10 20 30 40 5
进一步研究溶液配制的原理和技术 探讨误差分析的新方法和新技术
溶液的配制及误差分析课件
目
CONTENCT
录
• 溶液的配制 • 误差分析 • 溶液配制中的误差分析 • 误差分析在溶液配制中的应用 • 溶液配制及误差分析实验 • 总结与展望
01
溶液的配制
溶解原理
02
01
03
溶解是溶质与溶剂相互作用的过程 溶解度是溶质在溶剂中溶解的上限值 溶解度与温度、压力、溶剂的性质有关
实验三：不同浓度测量方法的比较实验
总结词
本实验旨在比较不同浓度测量方法对溶 液配制误差的影响。
VS
详细描述
实验采用三种不同的浓度测量方法，分别 是滴定法、分光光度法和重量法。通过分 析每种方法的误差范围和重复性，评估其 在不同浓度范围和精度要求下的适用性。 实验结果表明，滴定法和分光光度法在大 部分情况下具有较好的准确度和重复性。
《误差统计分析》课件
《误差统计分析》PPT课 件
在本课程中，将介绍误差统计分析的基本概念和方法，并探讨其在工程领域 和科学研究中的应用。我们将通过实际案例分析，帮助大家更好地理解和应 用误差统计分析。
课程介绍
课程目标
了解误差统计分析的重要性和应用场景。
课程内容
包括误差的定义、统计分析的意义、误差类型 和方法、误差统计分析的应用、案例分析以及 总结和回顾。
2
误差评估
对误差进行定量和定性的评估，以确定其对结果的影响。
3
误差控制
采取措施减少误差，提高测量或估计的准确性。
误差统计分析的应用
工程领域
在工程设计和制造过程中，通过误差统计分析可以 提高产品质量和性能。
科学研究领域
在科学研究中，误差统计分析析
实际案例展示
通过一个实际案例，演示如何应用误差统计分析来 识别和解决问题。
数据分析和结论引导
展示如何利用误差统计分析的结果进行数据分析， 并得出有效的结论。
总结和回顾
1 重点总结
回顾课程的主要内容和关键概念。
2 给出参考资料和进一步
提供相关的参考资料和进一步深入学习的资 源。
误差统计分析的概念
1 误差的定义
误差是预测值和真实值之间的差异。
2 统计分析的意义
通过统计分析误差，可以评估测量或估计的准确性和可靠性。
误差类型
系统误差
由于测量或估计的方法或系统本身的原因而引起的 误差。
随机误差
由于随机因素或不可控制的因素而引起的误差。
误差分析方法
1
误差检测
识别和测量误差的存在和程度。
在本课程中，将介绍误差统计分析的基本概念和方法，并探讨其在工程领域 和科学研究中的应用。我们将通过实际案例分析，帮助大家更好地理解和应 用误差统计分析。
课程介绍
课程目标
了解误差统计分析的重要性和应用场景。
课程内容
包括误差的定义、统计分析的意义、误差类型 和方法、误差统计分析的应用、案例分析以及 总结和回顾。
2
误差评估
对误差进行定量和定性的评估，以确定其对结果的影响。
3
误差控制
采取措施减少误差，提高测量或估计的准确性。
误差统计分析的应用
工程领域
在工程设计和制造过程中，通过误差统计分析可以 提高产品质量和性能。
科学研究领域
在科学研究中，误差统计分析析
实际案例展示
通过一个实际案例，演示如何应用误差统计分析来 识别和解决问题。
数据分析和结论引导
展示如何利用误差统计分析的结果进行数据分析， 并得出有效的结论。
总结和回顾
1 重点总结
回顾课程的主要内容和关键概念。
2 给出参考资料和进一步
提供相关的参考资料和进一步深入学习的资 源。
误差统计分析的概念
1 误差的定义
误差是预测值和真实值之间的差异。
2 统计分析的意义
通过统计分析误差，可以评估测量或估计的准确性和可靠性。
误差类型
系统误差
由于测量或估计的方法或系统本身的原因而引起的 误差。
随机误差
由于随机因素或不可控制的因素而引起的误差。
误差分析方法
1
误差检测
识别和测量误差的存在和程度。
误差分析—真值与平均值(试验设计与数据处理课件)
n
x
x1 x2 ... xn
xi
i 1
n
n
➢ 等精度试验值 ➢ 试验值服从正态分布
（2）加权平均值
n
xW
w1x1 w2 x2 ... wn xn w1 w2 ... wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
wi——权重
加权和 权重和
➢ 适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
（3）对数平均值
H
n
n
➢ 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 ➢ 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用 eg.1-1
1、算术平均和加权平均值平均值：在统计学应用比较广泛； 2、算术平均值：适用于普通简单的较直观的表现中心位置； 3、几何平均数：当数据呈倍数关系或不对称分布时（增长率或生长率、动态发展 速度）,通常运用几何平均数； 4、调和平均数：适用于观测值是阶段性变异的资料。
1
xG n x1x2...xn (x1x2...xn ) n
➢ 当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时， 宜采用几何平均值。
➢ 几何平均值≤算术平均值
（5）调和平均值
又称倒数平均值, 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
平均值
平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean） （2）加权平均值 (weighted mean) （3）对数平均值 （logarithmic mean） （4）几何平均值 （geometric mean） （5）调和平均值 （harmonic mean）
（1）算术平均值
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误差分析
第一章 绪论与误差分析
§1 计算数学研究的对象和内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
2021/3/
第一章 绪论与
8
误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识
2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则
出的新问题需要设计新的高性能算法。
各应用领域对科学计算的需求越来越多，要求越来越
高，计算机也在不断发展、更新换代，这些都要求不断地
发展计算方法。
计算方法是科学和工程计算的核心，构造好的计算方
法与研制高性能计算机及高效率软件同等重要，计算的功
效是2计02算1机/工3/具的能力第与一计章算方绪法论的与效率之乘积。
直接计算需要6次乘法，3次加法。如果作如下改变：
p3( x) a3 x3 a2 x2 a1x a0 ((a3 x a2 ) x a1) x a0
2只0有231次/乘3/法，3次第加法一。章这绪个论算与法称作：秦九绍算法。
8
误差分析
9
对于给定的数学问题，常常可以提出各种各样的数值
计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说，一个
研究科学计算中各种数学问题数值计算方法的基础。科
学计算的兴起是二十世纪后半叶最重要的科技进步之一，
是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用
的新型交叉学科，是数学及计算机实现其在高科技领域
应用的必不可少的纽带和工具。
许多重大的科学技术问题根本无法求得理论解，也
难以应用实验手段解决，但却可以借助于计算机进行计
好的方法应具有如下的特点：
(1).结构简单，易于计算机实现；
(2).有可靠的理论分析，理论上可保证方法的收敛性
和数值稳定性；
(3).计算效率高，时间效率高是指计算速度快，节省
时间，空间效率高是指节省存储量；
(4).经过数值试验检验，即一个算法除了理论上要满
足上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。
计算问题的需要。计算数学的发展离不开计算机，计算方
法的改进将能使计算机的作用得到充分的发展，而计算数
学提出的要求也将对计算机的发展与更新换代提供新的推
动力。科学和工程计算的能力与发展水平是一个国家综合国
力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域，
并以大量资金投入加以支持。美国在此领域长期处于领先
算。科学计算与理论研究、科学实验并列，已成为当今
世2界0科21学/活3/动的第三第种一手章段。绪论与
8
误差分析
4
计算克服了理论分析及实验手段的局限，这是自伽利 略、牛顿以来科学方法论的最伟大的进步，推动着科学实 践中一场深刻的不可逆转的变革。
在科学和工程的许多领域有了计算才能获得重大的研 究成果和完成高度复杂的工程设计。科学计算的方法和理 论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础， 正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。
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误差分析
6
计算数学一方面是数学，其研究手段包括数学推导、
分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。但另
一方面，计算数学又有广泛的应用背景，其研究对象往往
涉及许多其它学科，其研究成果则可以应用于实际计算并
通常带有数值实验的结果。
推动纯粹数学发展的动力主要来自自身提出的问题，
而计算数学发展的主要动力则来自于解决科学和工程中的
地位2，02目1前/3有/每秒万亿第次一的章计算绪机论用与于科学计算。
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误差分析
7
二、计算数学研究的对象和任务
根据数学模型提出的问题，建立求解问题的数值计算 方法并进行方法的理论分析，再编制出算法程序上机计算 并对计算结果进行分析，这一过程就是计算数学研究的对 象和任务。因此，计算数学就是研究用计算机解决数学问 题的数值计算方法及其理论。
在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原
理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，
要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外，还
要通2过02应1用/数3/值方法编第程一计章算具绪体论例与子，以提高使用各种
数值8方法解决实际问题的误能差力分。 析
10
三、数值分析的学习内容
1 . 数值逼近 (1). 代数插值：Lagrange、Newton、Spline插值 (2). 最佳逼近： 最佳一致逼近、最佳平方逼近(最小二乘法) (3). 数值微积分：等距节点求积公式、Gauss型求积公式
5
今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在，计算
数学正是这许多交叉学科的纽带和共同基础。不同的学科、
不同的工程应用会提出不同的实际问题，但他们往往又是
归结为若干类典型的数学问题。 不同的计算方法可能是用于解决不同类型的科学问题。
一方面要寻找更加有效更能发挥计算机功能的新型算法解
决老问题，另一方面，针对科学研究的和工程技术不断提
当前科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到
“全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟，
发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。
数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算
物理、计算力学、计算化学、计算生物、计算经济学等一
系列20计2算1/性3的/分支学第科。一章 绪论与
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误差分析
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3.分析方法的效率。分析比较求解同一问题的各种方 法的计算速度和存储量，以便使用者根据各自的情况采用 高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数 值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分 析是密切相关不可分割的。
例如：计算3次多项式 的函数值
p3 ( x) a3 x3 a2 x2 a1 x a0
计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那 样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合， 着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及 其理论,具体地说，数值分析研究的内容包括：
1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法
2.分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否
可靠2，02与1精/确3/解之差是第否一很章小，绪以论确与保计算解的有效性。
3.难 点：有效数字
4.内容分配：
第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容
§2 误差的来源和分类
第 2 次：§3 误差的表示
§4 误差的传播
2021/3/ §5第算一法章设绪计论的若与干原则
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误差分析
3
§1 计算数学研究的对象和内容
一、计算数学的产生与发展
数值分析是科学计算研究领域的一门专业基础课，是
第一章 绪论与误差分析
§1 计算数学研究的对象和内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
2021/3/
第一章 绪论与
8
误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识
2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则
出的新问题需要设计新的高性能算法。
各应用领域对科学计算的需求越来越多，要求越来越
高，计算机也在不断发展、更新换代，这些都要求不断地
发展计算方法。
计算方法是科学和工程计算的核心，构造好的计算方
法与研制高性能计算机及高效率软件同等重要，计算的功
效是2计02算1机/工3/具的能力第与一计章算方绪法论的与效率之乘积。
直接计算需要6次乘法，3次加法。如果作如下改变：
p3( x) a3 x3 a2 x2 a1x a0 ((a3 x a2 ) x a1) x a0
2只0有231次/乘3/法，3次第加法一。章这绪个论算与法称作：秦九绍算法。
8
误差分析
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对于给定的数学问题，常常可以提出各种各样的数值
计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说，一个
研究科学计算中各种数学问题数值计算方法的基础。科
学计算的兴起是二十世纪后半叶最重要的科技进步之一，
是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用
的新型交叉学科，是数学及计算机实现其在高科技领域
应用的必不可少的纽带和工具。
许多重大的科学技术问题根本无法求得理论解，也
难以应用实验手段解决，但却可以借助于计算机进行计
好的方法应具有如下的特点：
(1).结构简单，易于计算机实现；
(2).有可靠的理论分析，理论上可保证方法的收敛性
和数值稳定性；
(3).计算效率高，时间效率高是指计算速度快，节省
时间，空间效率高是指节省存储量；
(4).经过数值试验检验，即一个算法除了理论上要满
足上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。
计算问题的需要。计算数学的发展离不开计算机，计算方
法的改进将能使计算机的作用得到充分的发展，而计算数
学提出的要求也将对计算机的发展与更新换代提供新的推
动力。科学和工程计算的能力与发展水平是一个国家综合国
力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域，
并以大量资金投入加以支持。美国在此领域长期处于领先
算。科学计算与理论研究、科学实验并列，已成为当今
世2界0科21学/活3/动的第三第种一手章段。绪论与
8
误差分析
4
计算克服了理论分析及实验手段的局限，这是自伽利 略、牛顿以来科学方法论的最伟大的进步，推动着科学实 践中一场深刻的不可逆转的变革。
在科学和工程的许多领域有了计算才能获得重大的研 究成果和完成高度复杂的工程设计。科学计算的方法和理 论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础， 正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。
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误差分析
6
计算数学一方面是数学，其研究手段包括数学推导、
分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。但另
一方面，计算数学又有广泛的应用背景，其研究对象往往
涉及许多其它学科，其研究成果则可以应用于实际计算并
通常带有数值实验的结果。
推动纯粹数学发展的动力主要来自自身提出的问题，
而计算数学发展的主要动力则来自于解决科学和工程中的
地位2，02目1前/3有/每秒万亿第次一的章计算绪机论用与于科学计算。
8
误差分析
7
二、计算数学研究的对象和任务
根据数学模型提出的问题，建立求解问题的数值计算 方法并进行方法的理论分析，再编制出算法程序上机计算 并对计算结果进行分析，这一过程就是计算数学研究的对 象和任务。因此，计算数学就是研究用计算机解决数学问 题的数值计算方法及其理论。
在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原
理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，
要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外，还
要通2过02应1用/数3/值方法编第程一计章算具绪体论例与子，以提高使用各种
数值8方法解决实际问题的误能差力分。 析
10
三、数值分析的学习内容
1 . 数值逼近 (1). 代数插值：Lagrange、Newton、Spline插值 (2). 最佳逼近： 最佳一致逼近、最佳平方逼近(最小二乘法) (3). 数值微积分：等距节点求积公式、Gauss型求积公式
5
今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在，计算
数学正是这许多交叉学科的纽带和共同基础。不同的学科、
不同的工程应用会提出不同的实际问题，但他们往往又是
归结为若干类典型的数学问题。 不同的计算方法可能是用于解决不同类型的科学问题。
一方面要寻找更加有效更能发挥计算机功能的新型算法解
决老问题，另一方面，针对科学研究的和工程技术不断提
当前科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到
“全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟，
发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。
数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算
物理、计算力学、计算化学、计算生物、计算经济学等一
系列20计2算1/性3的/分支学第科。一章 绪论与
8
误差分析
8
误差分析
8
3.分析方法的效率。分析比较求解同一问题的各种方 法的计算速度和存储量，以便使用者根据各自的情况采用 高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数 值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分 析是密切相关不可分割的。
例如：计算3次多项式 的函数值
p3 ( x) a3 x3 a2 x2 a1 x a0
计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那 样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合， 着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及 其理论,具体地说，数值分析研究的内容包括：
1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法
2.分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否
可靠2，02与1精/确3/解之差是第否一很章小，绪以论确与保计算解的有效性。
3.难 点：有效数字
4.内容分配：
第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容
§2 误差的来源和分类
第 2 次：§3 误差的表示
§4 误差的传播
2021/3/ §5第算一法章设绪计论的若与干原则
8
误差分析
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§1 计算数学研究的对象和内容
一、计算数学的产生与发展
数值分析是科学计算研究领域的一门专业基础课，是