第二讲几种重要的维数及其性质
向量空间的基底与维数
向量空间的基底与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定运算规则的集合。
在向量空间中，基底是一组线性无关的向量，它们可以生成该向量空间中的任意向量。
维数则是指向量空间中基底的个数。
本文将介绍向量空间的基底与维数的概念及其相关性质。
一、基底的定义与性质基底是向量空间中的一组线性无关的向量。
具体来说，如果向量空间V中的向量集合B={b1, b2, ..., bn}满足以下两个条件：1. B中的向量相互独立，即对于任意不全为0的标量c1, c2, ..., cn，有c1b1 + c2b2 + ... + cnbn ≠ 0；2. B中的向量可以生成向量空间V中的任意向量，即对于向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1b1 + c2b2 + ... + cnbn。
根据基底的定义，我们可以得出一些基本性质：1. 基底中的向量个数是唯一的。
换言之，一个向量空间只有一个维数。
2. 基底中的向量个数与向量空间中的任意一组基底的向量个数相等。
3. 如果一个向量空间有有限维，则其基底中的向量个数也是有限的。
二、维数的定义与性质维数是指向量空间中基底的个数。
记作dim(V)。
如果向量空间V中存在一组基底包含m个向量，那么V的维数就是m。
维数具有以下性质：1. 维数是向量空间的基本属性，不依赖于具体的表示方式。
2. 同一个向量空间中的不同基底具有相同的维数。
3. 对于向量空间R^n，其维数为n。
三、基底和维数的关系与应用基底和维数在线性代数中具有重要的应用价值。
首先，基底的存在性保证了向量空间中的向量可以用基底中的向量线性表示出来，这对于求解线性方程组、解决线性相关与线性无关的问题非常有帮助。
其次，维数在研究向量空间的结构和性质时起到了关键作用。
例如，两个向量空间V和W的维数相等，则它们同构；若维数不相等，则它们不同构。
此外，在计算机科学、信号处理以及物理学等领域中，基底和维数的概念也被广泛应用，如图像压缩、数据降维等。
第七章线性空间(第二讲)
2°若向量β可被一组线性无关的向量α1,α2，·,αr线性 · · 表示,则表示方法唯一. 3°若α1，α2，·,αr线性无关，而α1,α2,·,αr,β线性相 · · · · 关，则β必可由α1,α2,·,αr（唯一地）线性表示. · ·
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4°线性相关向量组任意增加一些向量所成的向量组仍 然线性相关. 5°线性无关向量组的任一部分向量组仍是线性无关组.
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例2.6 复数域C作为集合，对于通常的数的加法与数 的乘法运算所成的实数域上的线性空间，它的维数为2， 一个基为
1, i (i 1).
此时，由于构成线性空间的所涉数域是实数域，它 限定了线性空间C的元素做线性组合时，系数只能是实数. 因此， C中元素1，i便是线性无关的了. 把例2.5与例2.6对照起来，可以看出：尽管两例中线 性空间的集合是同样的，运算规则也相同，但由于涉及的 数域不同，它们的维数竟然不同.这再一次使我们体察到， 线性空间是所涉及的集合、数域、运算的一个统一整体.
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我们已经知道，线性空间的基只要存在，就不唯一.作 为这样结果的延续，对于维数确定的有限维线性空间，有 下面的定理. 定理2.1 n维线性空间中的任意n个线性无关的向量均 可构成基.
证明 设V 是n 维线性空间. ε1，ε2，·，εn是V 的一个 · · 基.α1,α2,·,αn是V中一个线性无关的向量组.为证 · · α1,α2,·，αn是基，只需证明V中任一向量α可由 · · α1,α2 ,·, αn线性表示.此时，向量组α1,α2,·,αn, α中每 · · · · 个向量都可由基ε1,ε2,·, εn线性表示.这是n +1个向量被n · · 个向量线性表示的情况.由本节前面的结论6°,即知 α1,α2,· αn, α线性相关.再由结论3°便知α可由 · · α1,α2,·,αn线性表示.定理得证. · ·机动目录ຫໍສະໝຸດ 上页下页返回
第二章3基与维数
1
例：设
1
1
,
0
2
2
1
,
3
3
3
1
,
2
5
0 7
,
验证1,2 ,3 是R3的基，并求向量 在基1,2 ,3
下的坐标。
3
2.3.2、 坐标变换公式
设V是n维线性空间.给了V的两组基
B (v1,…,vn )和B' (v1 ',…,vn ')
则有
p1 j
v
j
'
v1
p1
j
1
0
0
1'= 1，2'=
1
，
，
n
'=
0
1
1
1
构成Rn的另一组基B' (1 ',2 ', ,n ').
5ห้องสมุดไป่ตู้
从E到B的过渡矩阵为
1 0
0
1 1
0
1 1
1
6
命题:设矩阵P是基B到B’的过渡矩阵，则P可逆.
证明:P是基B到B’的过渡矩阵，故B’=BP. 又B’也是线性空间V的基，故有基B’到基B的过 渡矩阵Q，满足B=B’Q. 于是B=B’Q=BPQ.即
1
,
1 ;
0 0 1
都是向量空间R3的基。
1 1 1
2
,
1
,
0
;
3 0 1
2
定义：设V是Rn 中的r 维子空间，1,2 , ,r 是V 的一个基，对任意的 V , 有
x1 1 x2 2 xr r
称 x1, x2 , , xr T 是向量 在基 1,2, ,r 下的坐标。
集合的维数与维数公式
集合的维数与维数公式前言在数学中，集合的维数是用来衡量集合中元素的数目。
一个集合的维数可以是有限的，也可以是无限的。
有限维度的集合称为有限集合，无限维度的集合称为无限集合。
集合的维数一个集合的维数可以通过集合中元素的个数来确定。
如果一个集合中元素的个数是有限的，那么这个集合是有限集合，它的维数等于集合中元素的个数。
如果一个集合中元素的个数是无限的，那么这个集合是无限集合，它的维数是无限的。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}是一个有限集合，它的维数是5。
集合{1, 2, 3, …}是一个无限集合，它的维数是无限的。
维数公式一个集合的维数可以通过以下公式来计算：dim (X )=sup{n ∈ℕ∣∃x 1,…,x n ∈X such that X =⋃ni=1x i } 其中，X 是集合，dim (X )是集合的维数，ℕ是自然数集，n 是一个自然数，x 1,…,x n 是集合X 中的元素。
维数公式的证明维数公式的证明可以通过数学归纳法来完成。
基本情况：当n =1时，集合X 中只有一个元素，那么dim (X )=1。
归纳步骤：假设对于某个自然数k ≥1，维数公式对于所有维数小于或等于k 的集合都是成立的。
现在考虑一个维数为k +1的集合X 。
根据集合的维数的定义，存在元素x 1,…,x k+1∈X 使得X =⋃i=1k+1x i 。
由于X 的维数为k +1，所以根据归纳假设，集合x 1,…,x k 和x k+1的维数都小于或等于k 。
因此，根据维数公式，集合x 1,…,x k 和x k+1的维数分别为dim (x 1,…,x k )≤k 和dim (x k+1)≤k 。
由于X =⋃i=1k+1x i ，所以dim (X )≤max{dim (x 1,…,x k ),dim (x k+1)}≤k 。
另一方面，根据集合的维数的定义，存在元素y 1,…,y k ∈X 使得X =⋃i=1k y i 。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。
在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。
一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。
换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。
线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。
2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。
3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。
二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。
维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。
线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。
2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。
维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。
在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。
2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。
3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。
4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。
总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。
基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。
02 第二节 维数、基与坐标
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
多项式空间的基和维数
多项式空间的基和维数多项式空间的基和维数是高等数学中一个非常重要的概念，也是一种重要的数学工具，它在解决许多数学问题中起到了至关重要的作用。
在本文中，我们将详细讨论多项式空间的基和维数。
第一步：定义多项式空间多项式空间是指由多项式构成的向量空间，其中每一个多项式是由实数系数和有限多个变量构成，它们可以进行加法和数乘运算，并且满足向量空间的基本条件。
多项式空间是数学中常用的一个概念，它在许多领域中都得到了广泛的应用。
第二步：理解基的概念在数学中，基是指一个向量空间中的一组线性无关向量组成的集合，通过这些向量可以表示出向量空间中的任何向量。
在多项式空间中，基由一组多项式构成，可以表示出多项式空间中的任何多项式。
第三步：定义维数维数是指一个向量空间中所需要的最小基的个数，从而能够表示出该向量空间中的所有向量。
在多项式空间中，维数即为一组多项式的个数。
第四步：如何求多项式空间的基和维数在许多情况下，我们需要求出多项式空间的基和维数。
这可以通过以下步骤进行：1. 首先，我们需要确定多项式的最高次数，设其为n。
2. 接着，我们需要构造n+1个多项式，它们依次具有0次，1次，2次，……，n次的项，形式类似于1，x，x^2，……，x^n。
3. 我们需要检验这n+1个多项式是否构成了多项式空间的一组基。
为此，可以通过证明这n+1个多项式线性无关，即其中任意一组多项式不能表示成其他多项式的线性组合来实现。
4. 如果n+1个多项式确实构成了多项式空间的一组基，则该空间的维数为n+1，基即为这n+1个多项式。
第五步：多项式空间的应用多项式空间在数学中有着广泛的应用，比如在插值问题中，使用多项式空间可以通过已知的一些点来计算出未知的函数值。
另外，在数值计算及科学计算中，多项式空间也得到了广泛的应用。
总结多项式空间的基和维数是高等数学中非常重要的概念，它在解决许多数学问题中起到了至关重要的作用。
通过本文的阐述，我们能够更好地理解多项式空间的基和维数的定义及应用。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。
维度空间1到10维讲解
维度空间1到10维讲解维度空间是指一个具有多个维度的数学模型。
在二维平面上，我们可以用x和y轴来表示两个维度。
而在三维空间中，我们可以使用x、y和z轴来表示三个维度。
维度空间可以帮助我们更好地理解和描述事物的特征和属性。
在维度空间中，每个维度都代表了一种特征或属性。
例如，在一个2维空间中，可以用x轴表示身高，y轴表示体重。
这样，每个人可以被表示为一个点，其在x轴上的值代表身高，y轴上的值代表体重。
通过将这些点连接起来，我们可以得到一个散点图，从而更好地了解人们身高和体重之间的关系。
当我们进入更高维的空间时，例如4维或10维空间，我们可以使用更多的坐标轴来表示更多的特征或属性。
在4维空间中，我们可以用w、x、y和z轴来代表四个不同的特征。
同样的，我们可以用一个点在这个多维空间中的位置来表示一个物体的属性。
在现实生活中，维度空间可以应用于各种领域。
例如，在数据分析中，我们经常使用多维空间来理解和分析数据集。
通过将各个数据点在多维空间中的位置相对关系进行可视化，我们可以发现数据之间的模式和趋势。
此外，维度空间还可以用于机器学习和模式识别中。
在这些领域，我们通常将每个样本表示为一个向量，其中每个维度代表一个特征。
通过在多维空间中计算样本之间的距离或相似度，我们可以进行分类、聚类和预测等任务。
维度空间的概念不仅限于数学和科学领域，它在艺术、设计和哲学中也有着广泛的应用。
维度空间可以帮助我们更好地理解和描述世界的复杂性，以及事物之间的关系和相互作用。
无论是在研究自然现象、构建模型还是探索人类思维的奥秘，维度空间都扮演着重要的角色。
线性代数中的基与维数
线性代数中的基与维数线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射的性质。
而在线性代数中，基与维数是两个重要的概念，它们扮演着关键的角色。
本文将详细讨论线性代数中的基与维数，并探讨它们的应用。
一、基与线性无关性在线性代数中，我们将向量空间中的一组向量称为基（basis），它们具有以下两个性质：1. 生成性：基中的向量可以通过线性组合生成向量空间中的任意向量。
2. 线性无关性：基中的向量不能通过线性组合得到零向量。
具体来说，设V是一个向量空间，若存在向量组B={v₁, v₂, ..., vₙ}满足以下两个条件，则称该向量组为V的基：1. 所有的向量v∈V都可以由B中的向量线性表出。
2. 如果B中的向量进行线性组合时等于零向量，那么必须其中的所有系数都等于零。
基的一个重要性质是线性无关性。
线性无关的向量组意味着每个向量都是独立的，不能由其他向量线性表示出来。
当一组向量线性无关时，它们的个数称为向量空间的维数。
二、维数的概念及性质在线性代数中，维数（dimension）是向量空间中独立向量的最大个数，记作dim(V)。
维数是衡量向量空间复杂程度的一个指标，它具有以下性质：1. 如果向量空间V中存在有限个向量使得它们线性无关，那么V的维数是有限的。
2. 如果在V中存在无穷多个向量，且它们线性无关，那么V的维数是无穷大。
3. 如果V的维数为n，那么V的任意一个基都包含n个向量。
4. 如果V的维数为n，那么V中的任意n+1个向量必然线性相关。
维数的计算方法也有一些常见的技巧。
对于有限维向量空间V而言，可以通过求解线性方程组的方法来求解维数。
另外，对于一些特殊的向量空间，也可以直接通过观察其内部的向量性质来确定维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 基变换与坐标系：在向量空间中，不同的基可以产生不同的坐标系，基变换就是在不同的基之间进行坐标的转换。
矩阵论-第二讲
2、维数公式
定理（维数公式）：设W1和W2是有限维线性空间V的两 个子空间，则 dimW 1 dimW 2 dim(W 1 W 2) dim(W 1 W 2)
x x x 例：对二阶矩阵所构成的线性空间M （ 2 R），令A ，B x y 0 L（A），L（B），L（A） L（B）和 M （ 2 R）的关系。 y ， z
T { A | S1 A A, A M 22 (R)} 2 { A | S2 A A, A M 22 (R)}
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
W 1 W 2 { | W 1, W 2}
称为子空间W1和W2的交。
W 1 W 2 { 1 2 | 1 W 1, 2 W 2}
(1) ( ) ( ) ( ), , W 1 (2) (k ) k ( ), W 1 , k F
则称 是同构映射，线性空间W1和W2同构。
同构映射的性质：
(1) (0) 0, ( ) ( ). (2) ( k i i )
生成子空间：
给定线性空间V的一组元素 1， ， 2， m, L( 1 , 2 ,, m) { k i i | k i F , i 1,2,, m)
i 1 m
定理：设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的 子空间的充要条件是： W对V的加法和数乘运算是封 闭的。
称为子空间W1和W2的和。
定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它 们的交以及它们的和仍然是V的子空间。
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，如果
W 1 W 2 {0}
则称W1+W2为子空间W1和W2的直和，记为 W 1 W 2 。
向量空间的基与维数
向量空间的基与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定性质的数学结构，它由一组向量组成，并满足一些线性运算规则。
在向量空间中，我们经常讨论两个重要的概念，即基和维数。
一、基的定义和性质向量空间的基是指一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量。
具体而言，设V是一个向量空间，S={v1,v2,...,vn}为V 中的向量组，如果满足以下两个条件：1. 向量组S中的向量线性无关；2. 向量空间V中的每一个向量都可以由向量组S线性表示，则称S 为向量空间V的基。
基的性质包括：1. 基的向量个数是确定的。
如果两个基包含的向量个数不同，那么它们所在的向量空间也是不同的。
2. 基的向量组中的向量个数是向量空间的维数。
二、维数的定义和性质在向量空间中，维数是指该向量空间的基中所含向量的个数。
通常用符号dim(V)表示，其中V是一个向量空间。
维数的性质包括：1. 如果V是一个向量空间，那么V的两个基所含向量的个数相同。
也就是说，向量空间的维数是唯一确定的。
2. 一个向量空间的维数是非负整数。
3. 如果向量空间的维数是有限的，则称该向量空间为有限维向量空间。
否则，称该向量空间为无限维向量空间。
三、例子和应用1. 二维平面上的向量空间R^2，其基可以选择为{(1,0),(0,1)}，其中(1,0)和(0,1)分别是R^2的两个标准单位向量。
因此，R^2的维数为2。
2. 三维空间中的向量空间R^3，其基可以选择为{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，其中(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)分别是R^3的三个标准单位向量。
因此，R^3的维数为3。
基和维数的概念不仅在线性代数中有着重要的应用，也在其他数学领域和物理学、工程学等各个领域得到广泛应用。
它们帮助我们更好地理解和描述向量空间的结构和性质，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
总结起来，向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能够生成该向量空间中的所有向量；维数是该向量空间基所含向量的个数。
有关维数公式大全
有关维数公式大全
维数在不同的领域中有不同的概念和公式。
下面是几个常见的维数概念及其相关的公式：
1.几何学中的维数：
●点的维数：0维
●线的维数：1维
●平面的维数：2维
●立体的维数：3维
●n维空间：由n个独立的坐标轴组成
2.线性代数中的维数：
●向量空间的维数：如果一个向量空间中的一组向量是线性无关的，那么这组
向量构成的子空间的维数是这些向量的个数。
3.拓扑学中的维数：
●拓扑维数：指拓扑空间中的某些特性，比如曲线、表面或高维结构。
●欧几里得空间中的维数：是指空间的维数，通常表示为n，表示该空间可以
由n个坐标轴表示。
4.流形的维数：
●流形维数：指曲线、曲面、高维曲面等特殊的几何对象的维数。
●切空间的维数：某一点上的流形局部类似于欧几里得空间，切空间的维数是
这种类似的度量。
5.信息论中的维数：
●香农熵：在信息论中，表示信息的平均度量。
对于离散型随机变量，香农熵
被定义为：H(X)=−∑p(x)logp(x)。
6.物理学中的维数：
●时空维数：通常指宇宙的四维时空，三维空间加上时间维。
不同领域的维数概念和相关公式有很多，以上只是其中的一部分。
基与维数
1 (1,0,L ,0),2 (0,1,L ,0),L ,n (0,L ,0,1)
就是 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
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注意： ① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个
向量组 1,2,L ,r 线性相关
1,2 ,L ,r 中有一个向量可经其余向量线性表出．
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（2）若向量组 1,2,L ,r 线性无关，且可被
向量组 1, 2,L , s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L ,r 与 1, 2,L , s 为两线性无关的
解：设 x11 x22 x33 x44 ，则有线性方程组
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
解之得，x1
5 4
,
x2
1 4
,
x3
又对 f (x) P[x]n，按泰勒展开公式有 f (x) f (a) f (a)(x a) L f (n1) (a) (x a)n1
(n 1)! 即, f (x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
∴ 1，x，x2，…，xn－1 为P[x]n的一组基， 从而，P[x]n 是n维的. 注： 此时， f (x) a0 a1x L an1xn1 在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
线性空间的维数
线性空间的维数
线性空间是一种很重要的数学概念，它是一个由线性关系组成的抽象空间。
它被广泛应用于科学和工程技术，可以在此基础上开发出许多有用的算法和方法。
线性空间的维数是它的主要特征，它提供了一种图示空间的方法，并且可以用它来建立各种对象之间的关系。
维数是定义线性空间的关键概念。
它代表了一个空间中变量的数量。
一个线性空间可以由几个变量组成，比如x，y，z。
这些变量定义了空间中的任何一个点，并且它们可以被用来衡量空间中物体之间的距离。
维数越高，表示空间中距离越远，物体之间的关系也越复杂。
维数对于线性空间模型的应用也很重要。
一个低维的空间模型可以用于表示某种物理系统的简单性质，而一个高维的空间模型可以用于表示更复杂的物理系统。
此外，不同的维数会影响空间模型的精度和可靠性。
因此，在实际应用中，科学家和工程师必须测试不同维数的空间模型，以便选择最合适的模型。
此外，维数也可以用于衡量多维空间中数据之间的联系。
多维空间是具有多个变量的空间，可以用来描述复杂的系统，比如消费者行为或信息处理系统。
维数可以度量多维空间中不同变量之间的相关性，从而更好地理解系统的结构。
总之，维数是线性空间的一个重要概念。
它可以用来衡量空间的大小，也可以用来描述多维空间的结构。
科学家和工程师可以利用维数来构建更高精度的空间模型，从而更好地将复杂的系统描述出来，并且提供有效的解决方案。
第二讲几种重要的维数及其性质
dimB F dim
B1 ,..., Bk
k
__
B
F
__
dim B F dim B F
k
_________ __
_________
是半径为 的闭球族,如果闭
F i 1 Bi
,则
F i 1 Bi
• 因此覆盖F的半径为 的最少闭球也足够覆盖稍 大的集F.
这个命题的一个直接推论是:
_____
k
k
k
lim
log2 log 2 k 1 log 3 log3
2.盒维数的性质与问题
• (1)R n 上光滑的m维子流形F, dim B F m ________ • (2) dim B 与 dim B 都是单调的 • (3)上盒维数有限稳定性,即:
_____
__________
三分康托集维数的计算
k • 另一方面，如果 3 k 1 3，任一长度为 k 的 的区间最多与构造F中的一个长度为 3 基本区间相交，这样的区间有 2 k 个，所以 为覆盖F，至少需要长度为 的区间 2 k个， 因此
N (F) 2
dimB F
________
Fi
例: F={0,1,1/2,1/3,…}
dim B F 1 / 2
k k -1 k(k 1)
• 计算:如果U 1 / 2 • 注意到 1 1 ,所以 最多能覆盖 1 Ui • {1,1/2,…,1/k}中的一个点,因此覆盖F至少需 要直径为 的集k个,故 log N ( F ) log k
分形布朗模型计算分形维数
关联维数计算
总结优点
• • • • • • 通过比较发现盒维数就有： 1.求解方便. 2.与H维数近似相等,或相等. 3.试验中好求. 还有许多定义的维数,意义相近,各有优劣 .
矩阵论维数
矩阵论维数
矩阵论中的维数是指矩阵的行数和列数。
对于一个矩阵，其维数通常以“m×n”的形式表示，其中m是行数，n是列数。
这个表示方法中m和n均为非负整数，分别代表矩阵的行数和列数。
一些常见的矩阵维数概念包括：
行矩阵和列矩阵：如果一个矩阵只有一行，那么它被称为行矩阵。
同样，如果一个矩阵只有一列，那么它被称为列矩阵。
行矩阵的维数表示为1×n，列矩阵的维数表示为m×1。
方阵：方阵是行数等于列数的矩阵。
一个n×n的方阵有n行和n列，其维数表示为n×n。
零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。
一个m×n的零矩阵的维数就是m×n。
单位矩阵：单位矩阵是一种特殊的方阵，其主对角线上的元素都是1，其余元素都是零。
一个n×n的单位矩阵的维数为n×n。
矩阵的维数在矩阵运算、线性代数等领域中具有重要的意义，它决定了矩阵的形状和尺寸，影响了矩阵的性质和可行的操作。
维数——精选推荐
维数维度，⼜称维数，是数学中独⽴参数的数⽬。
在物理学和哲学的领域内，指独⽴的时空坐标的数⽬。
0维是⼀个⽆限⼩的点，没有长度。
1维是⼀条⽆限长的线，只有长度。
2维是⼀个平⾯，是由长度和宽度(或部分曲线)组成⾯积。
3维是2维加上⾼度组成体积。
4维分为时间上和空间上的4维，⼈们说的4维经常是指关于物体在时间线上的转移。
（4维准确来说有两种。
1..四维时空，是指三维空间加⼀维时间。
2.四维空间，只指四个维度的空间。
）四维运动产⽣了五维。
第六维是指思想，独⽴于常识中的时间与空间之外，第六维与时间性质相似，同是超出物理范畴，但⼜⾼于时间的维度。
我们这个所处的宇宙⽆法超脱第六维，只在其中运⾏。
正如计算机的程序⼀样，虽然程序的执⾏结果可能会产⽣对时空的影响，但程序本⾝只能在计算机中运⾏。
中⽂名维度⼜称维数学科⼴义哲学外⽂名 dimensionality 释义数学中独⽴参数的数⽬⼴义事物“有联系”的抽象概念的数量哲学维度从哲学⾓度看，⼈们观察、思考与表述某事物的“思维⾓度”，简称“维度”。
例如，⼈们观察与思考“⽉亮”这个事物，可以从⽉亮的“内容、时间、空间”三个思维⾓度去描述；也可以从⽉亮的“载体、能量、信息”三个思维⾓度去描述。
从⼏个思维⾓度去观察与思考问题，称作⼏维。
例如，失去知觉的⼈，没有明显的思维活动，称作“零思维”，即“零维”；头脑单纯，⼀条道跑到⿊，其思维⽅式称作“⼀维”；善于“⼀分为⼆”，从正反两个⽅⾯去观察与思考问题，其思维⽅式称作“⼆维”；习惯于“⼀分为三”，遇事能从三个主要⽅⾯去考察分析的思维⽅式，称作“三维”。
同⼀个问题，同⼀个事物，⼈们观察与思考的维度不同，或有四维、五维、六维、...。
⼀般情况，能说出“⼀、⼆、三”，即具备“三维认识”，就⾜够了。
关于⾼维度⽬前已知（我们认识的物理世界）的最⾼维度为：三维空间加时间，即四维时空。
其他五维、六维·······都属于猜测推演，并没有实际论证，各⽅说法也不统⼀。
浅谈高等代数中的维数
浅谈高等代数中的维数200609222 郑黎颖从大一接触高等代数到现在，越来越多体会到其作为数学专业的一门基础学科的重要性，作为一名数学系的学生，学好高代是十分重要的必要的。
特别是在爱大四，认真听了刘法贵教授主讲的高代选讲后，我对这门学科有了更新的认识。
下面就高代中的维数定理浅谈一下我的认识。
在高等代数中，基的扩充定理和维数定理是两个非常重要的定理，在一般的教学参考书中，都是用数学归纳法来证明基的扩充定理的，在有了基的扩充定理后，维数定理的证明就有了理论依据.在证明基的扩充定理之前，引人了替换定理，并用数学归纳法进行了证明，有了替换定理，使基的扩充定理的证明变的简单易行.基的扩充定理的证明通常也都是用数学归纳法来完成的.本文旨在做两方面的工作，一是用一种新的方法证明替换定理，该方法在证明定理的同时，也给出了一种实用的替换方法.二是给出一种求两个子空间的交的基和维数的实用方法，并在理论上证明了其可行性. 1 替换定理的证明定理1 （替换定理）设向量组12r {,,,}ααα 线性无关，并且每一个i α都可有向量组1,2{,}s βββ 线性表示，那么r s ≤， 并且必要时对（2）中的向量重新编号，使得用12r r+1s {,,,,,}αααββ 与（2）等价证明 首先证明r s ≤，由条件，12r (,,,)ααα =1,2(,)s βββ A ，其中A 是一个11211220(,,,,,)(,,,)ir is i i is s r A B A E ααβββββ+-⎛⎫=⎪⎝⎭s r ⨯矩阵，对任意数12,,n k k k ，若12(,,)0Tt A k k k = ，则11220r r k k k ααα++= ，由于12r ,,,ααα 线性无关，得120r k k k ==== 即线性方程组0A X =只有零解，所以秩A r =，A 是一个s r ⨯矩阵，得r s ≤，再证明可替换性。
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分形布朗模型计算分形维数
关联维数计算
总结优点
• • • • • • 通过比较发现盒维数就有： 1.求解方便. 2.与H维数近似相等,或相等. 3.试验中好求. 还有许多定义的维数,意义相近,各有优劣 .
例题分析
的区间,总长大于1/k ,把它们连 • (k+1)个长度为 1 1 结起来,可以覆盖[0, 1/k],余下的 1 , ,... k 1 k 2 1 • 共有k-1个点总可以用另外k-1个区间覆盖,则 ________ log N ( F ) log 2k F 1/ 2 dim B log 1 / log k (k 1) • 这个集几乎每一点都是互相分离的,没有人会把 它看成是分形集,但却具有分形的盒维数.
_____
__________
三分康托集维数的计算
k • 另一方面，如果 3 k 1 3，任一长度为 k 的 的区间最多与构造F中的一个长度为 3 基本区间相交，这样的区间有 2 k 个，所以 为覆盖F，至少需要长度为 的区间 2 k个， 因此
N (F) 2
dimB F
_____
• 然而下盒维数都没有这个性质 • (4)上,下盒维数是李朴希兹不变的
dim B(E F )
max{ dim B E , dim B F }
______
______
但是盒维数不具可数稳定性
• 命题:用 • 则 • 证明:设
• 集
F
__
表示F的闭包,(即包含F的R n的最小闭集)
_____
第二讲几种重要的维数及其性质
• 一.自相似维数 • 二.Hausforff维数的性质（集F和F的两个可 能 －覆盖） • 1.开集 若F Rn 为开集 dim H F n • 2 光滑集 m维流形dim H F m • 3.单调性 E F dim H E dim H F • 4.可数稳定性,若F 为一可数集序 , F , 1 2 列, Fi sup {dim H Fj } 则 dim H i , 下面证明 : 1
盒维数计算的计算机实现源自n图象or图形的盒维数计算算法
• (1)读入图象文件，得图象的宽W和高H,均以象素 为单位 • (2)比较W和H，得出 Tn ＝ min(W,H) • (3)取分形盒子边长1/ n • (4)按照所选取的盒子边长分割图象为IxJ个子图； • (5)统计整个图中含有图象边缘的盒子数Nn; • (6)保存Nn和Tn
log 1 /
1 1 ,k是满足 k(k -1) k(k 1)
log k (k 1)
• 令 0(k ) ,得 dim F 1 / 2 B 1 1 • 另一方面,如果 , 取 k 满足 1/ 2 0 k(k 1) k (k 1)
例:三分康托集维数的计算
• 设F是三分康托集,则:
log 3 －k 的区 • 计算，显然F是由 Ek 的2 k 个长度为 3 k k k 1 间覆盖，如果 N (F) 2 3 3
_____
dimB F dim
__________
B
log 2 F
logN (F) _____ log2 k log 2 lim dim B F lim k 1 log 3 0 log3 log
dim H f ( F ) dim H F
1 dim H F
dim H F 1
• 例2.7:三分康托集.
3.盒维数
• 设F是 R n 上任意非空的有界子集,N ( F ) 是直 径最大为 可以覆盖F的集的最少个数,则F 的上下计盒维数分别定义为:
log N ( F ) F B dim lim log 0
豪斯道夫维数计算的例子
• 8.如果dim H F 1 ,则是全不连通的 三.豪斯道夫维数计算的例子 例 2.6 第k步, 4 k 个直径为4 k 2
U
1 k
4 4
k
k
2 2
14k 2 ( F ) 2
1 ( F ) 2
dim H F 1
豪斯道夫维数性质
• 下界估计: proj ( x) proj ( y) x y • 李朴希兹
________
Fi
例: F={0,1,1/2,1/3,…}
dim B F 1 / 2
k k -1 k(k 1)
• 计算:如果U 1 / 2 • 注意到 1 1 ,所以 最多能覆盖 1 Ui • {1,1/2,…,1/k}中的一个点,因此覆盖F至少需 要直径为 的集k个,故 log N ( F ) log k
log N ( F ) lim F dim B 0 log
• 如果这2个值相等,则称这共同的值为F的计 盒维数.
三.盒维数
1.定义见前页 盒维数有一些等价定义,有时候这些定义更适合 应用.考虑R n中的 -坐标网立方体,即下列形式的 立方体: m , (m 1) m , (m 1)
1 1 n n
其中 m1 ,..., mn 都是整数.
1.盒维数的等价定义（见图）
• • • • • (1) 覆盖F的半径为 的最少闭球数 (2) 覆盖F的边长为 的最少的立方体数 (3)与F相交的 -网立方体个数 (4)覆盖F的直径最大为 的集的最少个数. (5)球心在F上,半径为 的相互不交的球的最 多个数.
• 如果F是
_____
dimB F dim
R
n
上开区域的稠子集,则
________
• F={(0,1)之间的有理数集(可数集)} __ • 则 =[0,1]
B
F n
F
• • • •
dimB F dim F 1 因此_____ B 有理数是可数的,每个单点集的盒维数是零. 对这种维数: dim ( F ) sup dim B i i B i 1 一般不真.
Tn
T
• (7)如果
ln( N n ( F ) ln N n1 ( F )) ln Tn ln Tn1
(阀值)，
• 进入下一步，否则增加Tn，返回步骤(3)；
ln( N n ( F ) ln N n 1 ( F )) • (8)根据 D= 式计算维数D ln Tn ln Tn1
i 1 1i
证明
• 则存在 ,使s> >t ,
i 1 矛盾 从s a看 , ( Fi ) i 1
从a t看 , ( Fi ) 0
Hausforff维数的几条性质
• 5.F是可数集,则dim F 0 H m • 6. 满足如下条件 : n F R f :F R
1i
证明:
• 由单调性,对每一j,都有 F j
s dim H Fi dim H Fj
i 1
F
i 1
i
,
• 另一方面,若 s dim H Fi
s
s
,对所有i成立,则
i 1
( Fi ) 0, i ( Fi ) 0
设s dim H Fi sup dim H Fi t
_____
k
k
k
lim
log2 log 2 k 1 log 3 log3
2.盒维数的性质与问题
• (1)R n 上光滑的m维子流形F, dim B F m ________ • (2) dim B 与 dim B 都是单调的 • (3)上盒维数有限稳定性,即:
dimB F dim
B1 ,..., Bk
k
__
B
F
__
dim B F dim B F
k
_________ __
_________
是半径为 的闭球族,如果闭
F i 1 Bi
,则
F i 1 Bi
• 因此覆盖F的半径为 的最少闭球也足够覆盖稍 大的集F.
这个命题的一个直接推论是:
f ( x) f ( y ) c x y 1 • 则dim H f ( F ) dim H F a
a
• 7.李朴希兹:若 f : F R m 为李朴希兹关系, f即 ( x) f ( y ) c x y 则 dim H f ( F ) dim H F • 双李朴希兹不变量