空间向量与空间角练习题
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课时作业(二十)
[学业水平层次]
一、选择题
1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( )
A ．30°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．以上均不对
【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且
异面直线所成角的围为⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2.应选A. 【答案】 A
2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266
B ．－52266 C.52222
D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)，
∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为52266
. 【答案】 A
3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD →
＝(0,1,0)．
取PD 中点为E ，
则E ⎝
⎛⎭⎪⎫0，12，12， ∴AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴
cos AD →，AE →＝22
， ∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°.
【答案】 B
4．(2014·师大附中高二检测)如图3229，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1A 1B E 的余弦值为( )
图3229
A ．－33
B ．－32 C.33 D.32
【解析】 设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则
⎩⎪⎨⎪⎧ A 1E →·m ＝0，A 1B →·m ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝
m ·DA →|m ||DA →|
＝13＝33，又二面角B 1A 1B E 为锐二面角，所以二面角B 1A 1B E 的余弦值为33
，故选C. 【答案】 C
二、填空题
5．棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是________．
【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A (1,0,0)，
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，C (0,1,0)，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，1，12， ∴AM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，CN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12， ∴cos 〈AM →，CN →〉＝1252·52
＝25， 故异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为25
. 【答案】 25
6．(2014·高二检测)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)、B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．
【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →＝(1,3，
6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →
|n |·|AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB →〉∈[0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t |2＝74. 【答案】
74 7．已知点E ，F 分别在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，
且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，E
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1，1，
1
3
，F
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，1，
2
3
，
所以AE
→
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，1，
1
3
，EF
→
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－1，0，
1
3
，
则
⎩⎪
⎨
⎪⎧n2·AE→＝0，
n2·EF
→
＝0，
即
⎩⎪
⎨
⎪⎧y＋13z＝0，
－x＋
1
3
z＝0.
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．
所以cos〈n1，n2〉＝
n1·n2
|n1||n2|＝
311
11
.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α
＝
311
11
，sin α＝
22
11
，所以tan α＝
2
3
.
【答案】
2
3
三、解答题