初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数概念，在初中阶段也有着广泛的应用。
下面是关于初中数学二次函数最全的知识点总结，供你参考。
一、基本形式二次函数的基本形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二、图像特征1.抛物线：二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。
2.拉伸：a确定了抛物线的开口方向和形状，绝对值越大，抛物线越“瘦长”，绝对值越小，抛物线越“圆胖”。
3.对称性：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
4.顶点坐标：直线x=-b/2a与抛物线的交点即为抛物线的顶点坐标。
5. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即解方程ax² + bx + c = 0。
三、顶点坐标的确定1.顶点坐标的横坐标x=-b/2a。
2.代入x值可以得到顶点坐标的纵坐标y=f(-b/2a)。
四、二次函数的方程及解法1. 二次函数方程一般形式：ax² + bx + c = 0。
2.解法一：使用因式分解法，将方程化为(x-m)(x-n)=0的形式，其中m和n为实数。
3. 解法二：使用配方法，对方程ax² + bx + c = 0进行化简，得到(ax + p)² + q = 0的形式，其中p和q为实数。
4. 解法三：使用求根公式，根据公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a求得方程的根。
五、二次函数的特殊情况1.完全平方式：当二次函数的方程形式为(x+m)²=0时，说明抛物线的顶点坐标为(-m,0)，且抛物线开口向上。
2.切线与二次函数的关系：二次函数的切线与函数图像的交点为切点，其斜率等于函数的导数值，切线的方程可以通过点斜式得到。
3. 线性函数与二次函数的关系：当二次函数的系数a = 0时，二次函数化为线性函数，即y = bx + c。
六、二次函数的应用1.模型拟合：二次函数可以用来拟合一些实际问题的数学模型，如抛物线运动问题、图像反演等。
初中数学二次函数知识点总结归纳
初中数学二次函数知识点总结归纳一、二次函数的定义及表示法：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a, b, c为常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像成为抛物线，该抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中(-b/2a)为抛物线的对称轴。
若a>0，则顶点为最小值点；若a<0，则顶点为最大值点。
3.轴对称性：二次函数的图像关于x=-b/2a对称。
3. 平移：二次函数的图像可以通过平移进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，平移后的二次函数为f(x) = a(x - h)^2 + k。
若h>0，则向右平移h个单位；若h<0，则向左平移，h，个单位。
若k>0，则向上平移k个单位；若k<0，则向下平移，k，个单位。
4. 变伸缩：二次函数的图像也可以通过变伸缩进行变换。
对f(x) = ax^2 + bx + c，缩放后的二次函数为f(x) = a(cx)^2 + b(cx) + c。
若c>1，则在x轴方向上缩小，纵轴方向上拉长；若0<c<1，则在x轴方向上拉长，纵轴方向上缩小。
若b>0，则抛物线的顶点向左移动；若b<0，则抛物线的顶点向右移动。
二次函数的图像通过平移和变伸缩可以得到不同的形状，从而对应不同的函数。
三、二次函数的性质：1.零点：即二次函数的解，即f(x)=0的解。
根据二次函数的特点，f(x)=0有两个解、一个解或者无解。
2.零点坐标的关系：对于f(x) = ax^2 + bx + c：若b^2 - 4ac = 0，则有且只有一个零点，即二次函数与x轴交于一点；若b^2 - 4ac > 0，则有两个不相等的零点，即二次函数与x轴交于两点；若b^2 - 4ac < 0，则没有实数解，即二次函数与x轴不交。
初中数学二次函数知识点归纳
初中数学二次函数知识点整理1.定义：一般地，假如 y ax 2bx c(a,b,c 是常数，a0)，那么y 叫做x 的二次函数.二次函数yax 2的性质（1 ）抛物线yax 2的极点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2 ）函数y ax 2的图像与a 的符号关系.①当②当a 0时抛物线张口向上 极点为其最低点； a0时 抛物线张口向下极点为其最高点.（ 3）极点是坐标原点，对称轴是 y轴的抛物线的分析式形式为y（a 0）ax 2.3.二次函数y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包含重合）y 轴的抛物线.4. 二次函数yax 2 bxc 用配方法可化成：yaxh 2k 的形式，此中hb，k4acb 2 .2a4a5. 二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：①yax 2 ；②yax 2k ；③yaxh 2；④yaxh 2 k ；⑤yax 2bxc .6. 抛物线的三因素：张口方向、对称轴、极点.①a 的符号决定抛物线的张口方向：当 a0时，张口向上；当 a0时，张口向下；a 相等，抛物线的张口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作 xh .特别地，y 轴记作直线x0.7. 极点决定抛物线的地点.几个不一样的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线的张口方向、张口大小完整相同，不过极点的地点不一样.b 24ac b28. 求抛物线的极点、对称轴的方法（1）公式法： yax2bxcax2a 4a，∴极点是（b 4ac b 2），对称轴是直线 xb .2a，4a2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的分析式化为y axh 2k 的形式，获得极点为(h ,k )，对称轴是直线x h .（3）运用抛物线的对称性：因为抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直均分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方法求得的极点，再用公式法或对称性进行考据，才能做到万无一失.9.抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用（1）a决定张口方向及张口大小，这与y ax2中的a完整相同.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的地点.因为抛物线y ax2bx c的对称轴是直线x b，故：①b0时，对称轴为y轴；②b0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左边；③2a ab0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右边.a（3）c的大小决定抛物线y ax2bx c与y轴交点的地点.当x0时，y c，∴抛物线y ax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍建立.如抛物线的对称轴在y轴右边，则b.a几种特别的二次函数的图像特色以下：函数分析式张口方向对称轴极点坐标y ax2x0（y轴）（0,0）y ax2k x0（y轴）(0,k) y ax h2当a0时x h(h,0)y ax h2k张口向上x h(h,k)yax2bxc 当a0时b b4acb2张口向下x2a(，)2a4a用待定系数法求二次函数的分析式（1）一般式：y ax2bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，平时选择一般式.（2）极点式：y ax h2k.已知图像的极点或对称轴，平时选择极点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x，平时采纳交点式：yaxx1xx2.212.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线yax 2bxc 得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线xh 与抛物线yax 2bxc 有且只有一个交点(h ,ah 2bhc ).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数yax 2 bx c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax 2bxc0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的鉴别式判定：①有两个交点 0 抛物线与x 轴订交；②有一个交点（极点在 x 轴上）0抛物线与x 轴相切；③没有交点抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）相同可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2bx c k 的两个实数根.（5）一次函数y kx nk 0 的图像l 与二次函数 yax 2 bxca0的图像G 的交点，由方程ykx nl 与G 有两个交点;②方程组ax 2的解的数量来确立：①方程组有两组不一样的解时ybxc组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点.（6）抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c与 x12轴两交点为Ax ，，Bx，，由于x 1、x 2是方程ax 2bx c0的两个根，故x 1x 2b,x 1x 2ca ab 24c b24ac ABx 1x 2x 1 x 22 x 1x 22 4x 1x 2aaaa一次函数与反比率函数考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就构成了平面直角坐标系。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量，a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
另外，二次函数的图像还有一个顶点，可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。
3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。
具体来说，可以通过求出二次函数的导数，然后令导数等于0来求得函数的极值点。
另外，二次函数还有一个重要的特点，就是它的图像是对称的。
具体来说，二次函数的图像关于顶点对称。
4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c，也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
通过解析式，可以方便地求得二次函数的相关性质，比如顶点坐标、根的个数和方向等。
5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。
事实上，二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。
二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。
而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。
6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如，物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。
另外，二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律，比如描绘人口增长、销售额变化等。
以上就是初中数学二次函数的知识点总结，希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结二次函数是初中阶段数学中重要的一个章节，掌握好二次函数的知识点对学习整个数学学科都非常重要。
下面是二次函数的完整版知识点总结。
一、二次函数的定义与图像特征1. 二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。
2.二次函数的图像特征：a)抛物线开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
b)对称轴：对称轴的方程为x=-b/(2a)。
c)最值点：a>0时，最小值点是对称轴上的点；a<0时，最大值点是对称轴上的点。
d) 零点：抛物线与x轴相交的点称为零点，解二次方程ax²+bx+c=0可以求出。
e)单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
二、二次函数的基本公式1. 平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²3.差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)三、一元二次方程1.一元二次方程的定义：只含一个未知数的二次方程称为一元二次方程。
2.一元二次方程的解法：a)完全平方公式法：对一元二次方程进行配方，化成完全平方的形式，从而求出解。
b)因式分解法：将一元二次方程化简为(a-b)(a+b)=0的形式，然后利用乘法原理。
c)直接求解法：对一元二次方程直接利用二次根公式求解。
四、二次函数的变形及其性质1.平移变形：把二次函数图像上的每一个点(x,y)移动到(x-h,y-k)的位置，得到二次函数y=a(x-h)²+k。
2.压缩与伸缩：y=a(x-h)²+k中，a的变化会导致图像纵向的压缩和伸缩。
a)a>1时，图像纵向压缩；b)0<a<1时，图像纵向伸缩；c)a<0时，图像纵向伸缩并翻转。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 $y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a≠0$。
2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的中心线，一定经过抛物线的顶点。
对称轴的方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。
4. 二次函数的顶点（最值点）：当 $a>0$ 时，抛物线的顶点是最小值点；当$a<0$ 时，抛物线的顶点是最大值点。
顶点的坐标为$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标。
可以通过求根公式来求得二次函数的零点。
求根公式为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
6. 二次函数的判别式：判别式是指 $b^2-4ac$ 的值，用于判断二次函数的零点个数及其性质。
当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，函数有两个不相等的实数根；当判别式$b^2-4ac=0$ 时，函数有两个相等的实数根；当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，函数没有实数根。
7. 二次函数的增减性：当 $a>0$ 时，二次函数是增函数；当 $a<0$ 时，二次函数是减函数。
10. 二次函数在平面直角坐标系中的表示：二次函数在平面直角坐标系中的图像，以抛物线的形式展现。
其中，参数 $a$ 决定了抛物线的开口方向和大小，参数 $b$ 决定了抛物线在 $x$ 轴上的位置，参数 $c$ 决定了抛物线在 $y$ 轴上的位置。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。
4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。
三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。
2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。
四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。
2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。
3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。
五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。
2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。
3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。
六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。
2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。
初中数学《二次函数》知识点 总结
二次函数考点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
考点二、二次函数的解析式 1、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 2、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2） 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4） 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 考点三、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像a>0a<0性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（ab2-，a b ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab 2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2-时， y 有最小值，ab ac y 442-=最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是（ab2-，a b ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2-时， y 有最大值，ab ac y 442-=最大值2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上；a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y 轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结二次函数是一类形式为y=ax^2+bx+c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c为常数。
二次函数的图象是抛物线。
一、二次函数的图象特点及分类1. 根据二次项系数a的正负情况，二次函数的图象可分为开口向上和开口向下两种情况。
当a>0时，二次函数的图象开口向上，抛物线的顶点在图象的下方。
当a<0时，二次函数的图象开口向下，抛物线的顶点在图象的上方。
2. 二次函数的图象关于纵轴对称，也称二次函数的图象有对称轴。
3. 二次函数的图象与x轴相交的点称为二次函数的零点，即方程ax^2+bx+c=0的解。
4. 若二次函数的图象与x轴有且仅有一个公共点，则二次函数的图象在x轴上有且仅有一个切点；若与x轴没有公共点，则二次函数的图象在x轴上无切点。
二、二次函数的性质和定理1. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
2. 二次函数的最值：若a>0，二次函数的最小值为f(-b/2a)；若a<0，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
4. 二次函数的对称轴方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的单调性：若a>0，则二次函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减；若a<0，则二次函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。
6. 零点判别式：设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c，其判别式为Δ=b^2-4ac。
若Δ>0，则方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实数解；若Δ=0，则方程ax^2+bx+c=0有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程ax^2+bx+c=0无实数解。
7. 与坐标轴的交点：与x轴的交点即为二次函数的零点；与y轴的交点为(0, c)。
2. 确定顶点：顶点的横坐标为对称轴的x坐标，即x=-b/2a；顶点的纵坐标为代入顶点横坐标所得的函数值，即f(-b/2a)=a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c。
初中数学-初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
初中数学知识点总结二次函数
初中数学知识点总结二次函数
一、二次函数的定义
二次函数是最基本的二次多项式函数，它属于多项式函数的一种，它
的定义为：
二次函数：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。
二、二次函数的一般式
二次函数的一般式为：ax2+bx+c（a≠0），从而可以知道，它由三个
系数a，b，c组成，它由于保持不变的性质，所以对于它的参数，a，b，
c都是可以任意取值的，即a，b，c都可以取任意实数。
三、二次函数的图像
根据上述一般式，二次函数一般都会把它的图像想象成一个平滑的抛
物线图形，又称双曲线，这样的抛物线有三个特殊点：拐点，根点，中点。
1.拐点
对于图形来说，拐点就是一个折点，而二次函数中的拐点则是指函数
图像在特定点的一次导数变种符号，这就是二次函数很重要的特征，即函
数图像的拐点。
2.根点
根点是一种更特殊的拐点，即二次函数的一般式中当x=κ时，函数
值y=0，这时，它成为了一个函数的根点，即出现了函数的等式，它的特
殊性体现在它刚好相等。
3.中点
在二次函数中，中点指的是拐点和根点的中点，这一点其实十分重要，在不同的情况下，中点的位置会发生变化，有时候也会出现二次函数的准
确位置，这就需要我们根据情况来判断了。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
2. 二次函数的顶点二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，抛物线的对称轴与x轴的交点称为顶点。
顶点的横坐标为：-b/2a; 纵坐标为：f(-b/2a)。
3. 二次函数的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 二次函数的轴线二次函数y=ax^2+bx+c的图象的对称轴，称为轴线，其方程为：x=-b/2a。
5. 二次函数的零点二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点，称为零点。
二次函数的零点可以用求根公式或配方法求得。
6. 二次函数的图象二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，其形状由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；顶点坐标由b，c的值决定。
二、二次函数的性质1. 判断二次函数图象开口方向的方法当二次函数为y=ax^2+bx+c时，通过判断a的正负来判断开口方向。
如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。
2. 二次函数的最值二次函数的最大值或最小值为y的极值，可以通过求导数或直接利用顶点的纵坐标得出。
最值的性质有：当a>0时，最值为最小值；当a<0时，最值为最大值。
3. 二次函数的零点二次函数的零点即二次方程ax^2+bx+c=0的实根。
根据求根公式或配方法可以求得二次函数的零点。
4. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴即为x=-b/2a，顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
5. 二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线，通过对称轴和顶点坐标可以直接绘制出抛物线的图象。
三、二次函数的应用1. 求二次函数的最值通过求导数或者用顶点坐标的纵坐标来求得二次函数的最值。
2. 判断二次函数的零点和对称轴通过求根公式可以求得二次方程的零点，通过a、b的值求得对称轴。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。
以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。
2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。
3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。
5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。
6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。
三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。
2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。
四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。
2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。
4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。
五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。
2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。
3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。
数学二次函数知识点总结【通用6篇】
数学二次函数知识点总结【通用6篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数知识点总结初中数学
二次函数知识点总结初中数学二次函数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中常见的一种函数形式。
下面将对初中数学中关于二次函数的知识点进行总结。
一、二次函数的定义和性质1. 二次函数的定义：二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的正负性决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
顶点是抛物线的最低点（当a>0）或最高点（当a<0）。
4.二次函数的对称轴：二次函数的图像的对称轴是与x轴平行的一条直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是使得 f(x) = 0 的 x 值。
可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根来求得零点。
二、二次函数的图像特点1.二次函数的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
3.二次函数的单调性：当a>0时，函数在顶点左右两侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左右两侧单调递减。
三、二次函数的表示方式和基本性质1.二次函数的顶点式：二次函数可以表示为f(x)=a(x-h)^2+k的形式，其中(h,k)是顶点的坐标。
2. 二次函数的一般式：二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c 的形式。
3. 二次函数的零点：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，零点可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 而得到。
4. 二次函数的轴对称性：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其图像关于直线 x = -b/2a 对称。
初中二次函数最全知识点总结
初中二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。
下面是对二次函数的最全知识点总结：一、二次函数的定义和表示：1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。
2. 一般式：二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
3.顶点式：二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。
4.描述：二次函数的图像为抛物线，开口向上或向下，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))。
二、二次函数的图像：1.开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
2.对称轴：对称轴是垂直于x轴的抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
3. 零点：即二次函数与 x 轴的交点，由二次方程 ax^2 + bx + c =0 求得。
a) 判别式：Δ = b^2 - 4ac，当Δ 大于 0 时，有两个不同实根；当Δ等于 0 时，有一个重根；当Δ 小于 0 时，无实数根。
b)零点公式：x=(-b±√Δ)/(2a)。
4.最值：当a大于0时，抛物线开口向上，最小值为顶点的纵坐标；当a小于0时，抛物线开口向下，最大值为顶点的纵坐标。
5.对称性：二次函数关于顶点对称，即f(x)=f(2h-x)。
6.平移：通过改变顶点坐标可以实现二次函数的平移，顶点坐标为(h,k)，则平移后的顶点坐标为(h+p,k+q)。
三、常用二次函数的性质和应用：1.单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数单调递增；当a小于0时，抛物线开口向下，函数单调递减。
2.单调区间：根据二次函数的开口方向和最值确定函数的单调区间。
3.奇偶性：二次函数一般是奇函数，即f(-x)=-f(x)，因为二次项的系数是奇数。
4.零点个数和位置：根据二次函数的开口方向和零点的位置确定零点的个数和位置。
初中数学二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.y=ax2 +c的性质：（上加下减）向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2y=a (x-h )2+k3. y = a (x - h )2的性质：（左加右减）a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴 性质a > 0向上(h ，0)X=h x > h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=h x > h 时，y 随 x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4. y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴 性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值k ．a < 0向下(h ，k )X=h x > h 时，y 随 x 的增大而减小；x < h 时，y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法 1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )； ⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减， 上加下减”．2a 方法 2：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2+ bx + c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y = ax 2+ bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2前者，即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭4a ，其中h = - ，k = ． 2a 4a五、二次函数 y = ax2+ bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点(0，c )、以及(0，c )关于对称轴对称的点(2h ，c )、与 x 轴的交点(x 1 ，0)， (x 2 ，0)（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax2+ bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎫1. 当a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值4ac - b 2． 4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b2. 当a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - 2a 时，y ⎝ ⎭b b 4ac - b 2随 x 的增大而增大；当 x > - 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 时， y 有最大值．2a 2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2 +bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a > 0 的前提下，当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a < 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；> 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a > 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；< 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x =-b 2a是“左同右异”总结：3.常数项c在y 轴左边则ab > 0，在y 轴的右侧则ab < 0，概括的说就⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x 轴对称y =ax2 +bx +c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y =-ax2 -bx -c ；y=a(x-h)2 +k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2 -k；2.关于y 轴对称y =ax2 +bx +c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y =ax2 -bx +c ；y=a(x-h)2 +k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2 +k；3.关于原点对称y =ax2 +bx +c 关于原点对称后，得到的解析式是y =-ax2 +bx -c ；y=a(x-h)2 +k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)2 -k；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y =ax2+bx +c 关于顶点对称后，得到的解析式是y =-ax2b2-bx +c -；2ay=a(x-h)2 +k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)2 +k．5.关于点(m ，n)对称y=a(x-h)2 +k关于点(m，n)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)2 +2n-k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x ，0)，B (x ，0 ) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二121212次方程ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1 =.② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中a ， b ， c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y = (m - 2)x 2 +m 2 -m - 2 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y =kx 2 +bx - 1的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x =5，求这条抛物线的解析式。