2008年华中科技大学高等代数考研试题
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x1 x 2 X = x3 M x ' n. （2）方程组 AX = 0 只有零解，这里 （1） A A 是正定矩阵；
8 设 α1 为线性变换 T 的特征向量， (T − λ E )α1 = 0 ，这里 E 为恒等变换， 且 向 量 组 α1 , α 2 ,L , α r 满 足 (T − λ E )α i +1 = α i , i = 1, 2,L , r − 1. 证 明 ： 向 量
3
−1 −1 假设 n × n 实对称矩阵 A, B 以及 A − B 均是正定矩阵,证明: B − A
也是正定矩阵 4 证明：向量 α1 = (1,1, Λ 1), α 2 = (1,1, Λ 1,0), Λ α n = (1,0, Λ 0) 是 n 维向量空间 的一组基。 5 设 A,B 分别为 n 阶正定和半正定矩阵，证明： A + B ≤ A + B , 且仅 当 B=0 时取等号 6 设 A 与 B 是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相同的特征值。 7 设 A 为 m × n 实矩阵，秩 ( A) = n ，证明：
−1 10 设 A, B 都是 n 阶矩阵，且 ABA = B .
百度文库
证明：
秩 ( E − AB) + 秩 ( E + AB ) = n.
华中科技大学 08 硕士研究生考试高等代数试题
1 1 1 0 1 1 * * 1 若矩阵 A 的伴随矩阵 A = 0 0 1 ,求 A 的逆
2 2 2 假设 A, B 都是 2 × 2 的实矩阵,并且 A = B = E , AB + BA = O ,证明:存在可
1 0 −1 0 1 P −1 AP = , P BP = 0 −1 1 0 . 逆矩阵 P ,使得
α1 , α 2 ,L , α r 线性无关.
9 设 V 和 W 都是数域 F 上向量空间， L(V ) 和 L(W ) 分别是 V 和 W 的线性 变换组成的向量空间， f 是 V 到 W 的同构映射。
−1 1． 证明： ∀σ ∈ L(W ) ，有 f σ f ∈ L(V ) ；
2． 证明： L(W ) ≅ L(V ) ，这里 ≅ 表示同构。
8 设 α1 为线性变换 T 的特征向量， (T − λ E )α1 = 0 ，这里 E 为恒等变换， 且 向 量 组 α1 , α 2 ,L , α r 满 足 (T − λ E )α i +1 = α i , i = 1, 2,L , r − 1. 证 明 ： 向 量
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−1 −1 假设 n × n 实对称矩阵 A, B 以及 A − B 均是正定矩阵,证明: B − A
也是正定矩阵 4 证明：向量 α1 = (1,1, Λ 1), α 2 = (1,1, Λ 1,0), Λ α n = (1,0, Λ 0) 是 n 维向量空间 的一组基。 5 设 A,B 分别为 n 阶正定和半正定矩阵，证明： A + B ≤ A + B , 且仅 当 B=0 时取等号 6 设 A 与 B 是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相同的特征值。 7 设 A 为 m × n 实矩阵，秩 ( A) = n ，证明：
−1 10 设 A, B 都是 n 阶矩阵，且 ABA = B .
百度文库
证明：
秩 ( E − AB) + 秩 ( E + AB ) = n.
华中科技大学 08 硕士研究生考试高等代数试题
1 1 1 0 1 1 * * 1 若矩阵 A 的伴随矩阵 A = 0 0 1 ,求 A 的逆
2 2 2 假设 A, B 都是 2 × 2 的实矩阵,并且 A = B = E , AB + BA = O ,证明:存在可
1 0 −1 0 1 P −1 AP = , P BP = 0 −1 1 0 . 逆矩阵 P ,使得
α1 , α 2 ,L , α r 线性无关.
9 设 V 和 W 都是数域 F 上向量空间， L(V ) 和 L(W ) 分别是 V 和 W 的线性 变换组成的向量空间， f 是 V 到 W 的同构映射。
−1 1． 证明： ∀σ ∈ L(W ) ，有 f σ f ∈ L(V ) ；
2． 证明： L(W ) ≅ L(V ) ，这里 ≅ 表示同构。