2020-2021北京市初三数学上期末试题(附答案)

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2020-2021学年北京市大兴区九年级上学期期末数学试卷解析版

2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．2．若，则的值是（）A．B．2C．D．13．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（）A．4B．4.5C．5D．5.54．将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+35．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（）A．3B．6C．12D．246．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（）A．4B．C．2D．7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）8．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得P A＞AB；②若，则PB＝2P A；③∠P AB不是直角；④∠POB＝2∠OP A．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．②③④D．①②④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是．10．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC∠BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．11．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣4的顶点坐标是．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是．13．若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是（结果保留π）．14．请你写出一个函数，使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，这个函数的解析式可以是．15．如图，在△ABC中，AB＞AC，将△ABC以点A为中心顺时针旋转，得到△AED，点D 在BC上，DE交AB于点F．如下结论中，①DA平分∠EDC；②△AEF∽△DBF；③∠BDF＝∠CAD；④EF＝BD．所有正确结论的序号是．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q （m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．18．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标．19．（5分）下面是小青设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：∠APB，使得∠APB＝30°．作法：①分别以点A，B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；②以点C为圆心，CA的长为半径作⊙C；③在优弧AB上任意取一点P（点P不与点A，B重合），连接P A，PB．则∠APB就是所求作的角．根据小青设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，BC．∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形．∴∠ACB＝°．∵P是优弧AB上一点，∴∠APB＝∠ACB（）（填写推理依据）．∴∠APB＝30°．20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．（1）求k，m的值；（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线P A交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．22．（6分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AC，CD分别交于点E，F，且∠DAF＝∠BAC．（1）求证：直线AF与⊙O相切；（2）若tan∠DAF＝，AB＝4，求⊙O的半径．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．24．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D是射线CA上一点，连接BD，以点B为中心，将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，连接AE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，连接DE，若DE⊥AB，则线段AE，BE的数量关系是；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2．①探究线段AE，BE的数量关系，并证明；②直接写出线段CD，AB，AE之间的数量关系．25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和点P，给出如下定义：若P A＝PB且点P不在线段AB上，则称点P是线段AB的等腰顶点．特别地，当∠APB≥90°时，称点P是线段AB的非锐角等腰顶点．（1）已知A（2，0），B（4，2）①在点C（4，0），D（3，1），E（﹣1，5），F（0，5）中，是线段AB的等腰顶点的是；②若点P在直线y＝kx+3（k≠0）上，且点P是线段AB的非锐角等腰顶点，求k的取值范围；（2）直线y＝﹣x+与x轴交于点M，与y轴交于点N．⊙P的圆心为P（0，t），半径为，若⊙P上存在线段MN的等腰顶点，请直接写出t的取值范围．2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据正弦的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝＝，故选：A．2．若，则的值是（）A．B．2C．D．1【分析】直接利用已知得出x＝y，进而代入化简得出答案．【解答】解：∵，∴x＝y，则＝＝．故选：A．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，∴，∴EF＝4.5，故选：B．4．将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．可设新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．故选：D．5．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（）A．3B．6C．12D．24【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．【解答】解：矩形OABC的面积＝|k|＝6．故选：B．6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（）A．4B．C．2D．【分析】利用垂径定理得到CE＝DE，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出CE，从而得到CD的长．【解答】解：∵AB⊥CD，∴CE＝DE，在Rt△ACE中，∵∠A＝30°，∴CE＝AC＝×2＝1，∴CD＝2CE＝2．故选：C．7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则根据判别式的意义可对B选项进行判断；由于x＝﹣3时，y＝0，则可对C选项错误；根据二次函数的最值问题可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，所以A选项错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴△＝b2﹣4ac＞0，所以B选项错误；∵x＝﹣3时，y＝0，∴9a﹣3b+c＝0，所以C选项错误；∵x＝﹣1时，y有最大值，∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm＜a﹣b，所以D选项正确．故选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得P A＞AB；②若，则PB＝2P A；③∠P AB不是直角；④∠POB＝2∠OP A．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．②③④D．①②④【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．【解答】解：①至少存在一点P，使得P A＞AB，错误．不存在．②若，则PB＝2P A，错误，应该是PB＜2P A．③∠P AB不是直角，正确．④∠POB＝2∠OP A．正确．故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是m＜0．【分析】根据反比例函数的性质，结合图像所在的象限，求出m的取值范围．【解答】∵反比例函数图像在第二、四象限，∴m＜010．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC＝∠BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．【解答】解：连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BCD＝45°．故答案为：＝．11．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣4的顶点坐标是（2，﹣4）．【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是2．【分析】根据中线的性质和AB＝AC，可得到AD与AB间关系，利用直角三角形的边角间关系可直接得结论．【解答】解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝AC．∵AB＝AC，∴AD＝AB．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝2．故答案为：2．13．若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是（结果保留π）．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵n＝120°，R＝2，∴S＝＝．故答案为π．14．请你写出一个函数，使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，这个函数的解析式可以是（答案不唯一）．【分析】直接利用反比例函数的性质得出答案【解答】解：∵当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，∴只要反比例函数比例系数k＜0就符合题意，∴（答案不唯一）．故答案为：．15．如图，在△ABC中，AB＞AC，将△ABC以点A为中心顺时针旋转，得到△AED，点D 在BC上，DE交AB于点F．如下结论中，①DA平分∠EDC；②△AEF∽△DBF；③∠BDF＝∠CAD；④EF＝BD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】根据旋转的性质对①进行判断；利用“两角法”对②中的相似三角形进行判断；利用三角形的外角性质对③进行判断；利用全等三角形判定的条件对④进行判断．【解答】解：①由旋转的性质知：AD＝AC，∠ADE＝∠C．∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C．∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC．故①符合题意；②∵∠E＝∠B，∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△DBF．故②符合题意；③∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠C+∠CAD，∠ADE＝∠C，∴∠BDF＝∠CAD．故③符合题意；④∵∠F AD不一定等于∠CAD，AD＝AD，∠ADC＝∠ADE，∴不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF．∴DE﹣DF＝BC﹣CD不一定成立，即无法证明EF＝BD．故④不符合题意．故答案是：①②③．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q （m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是1＜m＜5．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向上，∴点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），∵y1＞y2，∴1＜m＜5，故答案为1＜m＜5．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣+1＝＝．18．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标．【分析】（1）把两已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组；（2）通过解方程x2﹣2x﹣3＝0可得到抛物线与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3），∴，解得，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0）．19．（5分）下面是小青设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：∠APB，使得∠APB＝30°．作法：①分别以点A，B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；②以点C为圆心，CA的长为半径作⊙C；③在优弧AB上任意取一点P（点P不与点A，B重合），连接P A，PB．则∠APB就是所求作的角．根据小青设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，BC．∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形．∴∠ACB＝60°．∵P是优弧AB上一点，∴∠APB＝∠ACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理依据）．∴∠APB＝30°．【分析】（1）根据小青设计的尺规作图过程，即可补全图形；（2）根据作图过程可得△ABC是等边三角形，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即可完成证明．【解答】解：（1）补全的图形如图所示：（2）证明：如图，连接AC，BC．∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形．∴∠ACB＝60°．∵P是优弧AB上一点，∴∠APB＝∠ACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．∴∠APB＝30°．故答案为：60；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．【分析】作DE⊥AC，垂足为E，根据特殊角三角函数即可求出结果．【解答】解：如图，作DE⊥AC，垂足为E，在Rt△CED中，∵sin C＝，∠C＝30°，CD＝20m，∴DE＝10m．∵cos C＝，∴．∴CE＝10（m）．∵∠ADB是△ACD的外角，∠ADB＝75°，∠C＝30°，∴∠CAD＝45°．在Rt△ADE中，∵tan∠EAD＝，∴AE＝10m．∴AC＝AE+CE＝（10+10）m．在Rt△ABC中，∵sin∠C＝，∴AB＝（5+5）m．答：这棵树AB的高度是（5+5）m．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．（1）求k，m的值；（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线P A交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）分两种情况讨论，通过证得△APQ∽△ACB，从而得到，即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝kx+1（k≠0）中，得k+1＝2，∴k＝1，将点A（1，2）代入y＝（x＞0）中得m＝2；（2）①当点P在点A下方时，过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H，∵PQ平行于x轴，∴△APQ∽△ACB，∴＝，∴，∵点A（1，2），∴点P纵坐标为1．∵m＝2，∴．∴P点坐标为（2，1）．②当点P在点A上方时，过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H．∵PQ平行于x轴，∴△APQ∽△ACB．∴（）2＝，∴，∵点A（1，2），∴P点纵坐标为3．代入得，，∴P点坐标为，∴P点坐标为（2，1）或（，3）．22．（6分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AC，CD分别交于点E，F，且∠DAF＝∠BAC．（1）求证：直线AF与⊙O相切；（2）若tan∠DAF＝，AB＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OF．由等腰三角形的性质得出∠OCF＝∠OFC．由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠DCB＝90°．证得∠AFO＝90°．则可得出结论；（2）由勾股定理求出AC＝2，求出AF的长，设⊙O的半径为r，由勾股定理得出（2﹣r）2＝r2+12，解方程可得出答案．【解答】（1）证明：连接OF．∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠DCB＝90°．又∵∠DAF＝∠BAC，∴∠AFD＝∠ACB，∵∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠AFD+∠OFC＝90°．∴∠AFO＝90°．∴OF⊥AF于F．∴直线AF与⊙O相切；（2）解：∵tan∠DAF＝，∠DAF＝∠BAC，∴tan∠BAC＝．∵∠B＝90°，∴tan∠BAC＝＝．∵AB＝4，∴BC＝2，∴．又∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2．又∵∠D＝90°，tan∠DAF＝，∴DF＝AD•tan∠DAF＝2×＝2．∴AF＝2．设⊙O的半径为r，在Rt△AFO中，∠AFO＝90°．∴OA2＝OF2+AF2．即（2﹣r）2＝r2+12．解得r＝．∴⊙O的半径为．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据对称轴公式即可求得；（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1．把解析式化成顶点式即可求得；（3）①当a＝﹣1时，抛物线经过原点，此点关于对称轴的对称点为（2，0），画出图象，根据图象，即可求得；②分两种情况，当抛物线过（﹣1，0）时和当抛物线过（0，﹣2）时，画出函数的图象，结合图象确定有3个整数点时a的值，进而确定a的范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．∴，∴b＝﹣2a；（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1，配方得：y＝a（x﹣1）2+1．∴顶点M（1，1）；（3）①当a＝﹣1时，a+1＝0，∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣0），此点关于对称轴的对称点为（2，0），如图1，由图象可知，区域W内整点有（1，0）1个；②由①得，a＝﹣1时，区域W内有1个整点．（Ⅰ）当抛物线过（﹣1，0）时，区域W内恰有3个整点．如图2，将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，得，结合图象可得，；（Ⅱ）当抛物线过（0，﹣2）时，区域W内恰有3个整点．如图3，将（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，得a＝﹣3．综上所述，a的值范围是或a＝﹣3．24．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D是射线CA上一点，连接BD，以点B为中心，将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，连接AE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，连接DE，若DE⊥AB，则线段AE，BE的数量关系是AE＝BE；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2．①探究线段AE，BE的数量关系，并证明；②直接写出线段CD，AB，AE之间的数量关系．【分析】（1）由旋转的性质得出BD＝BE，∠DBE＝60°，由等腰三角形的性质得出∠DBA＝∠DAB，得出DE是AB的垂直平分线，则可得出结论；（2）由题意补全图形，①过点E作EM⊥AB于M．证明△DBC≌△EBM（AAS）．由全等三角形的性质得出BC ＝BM，由直角三角形的性质得出BM＝AB，可得出ME是AB的垂直平分线，则可得出结论；②由①得出AE＝BD，根据勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）AE＝BE．∵将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE为等边三角形，∵DE⊥AB，∴∠DBA＝∠DBE＝30°，∵∠BAC＝30°，∴∠DBA＝∠DAB，∴DA＝DB，∴DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE；故答案为：AE＝BE．（2）依题意补全图形：①AE＝BE．如图3，过点E作EM⊥AB于M．∵将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，∴∠EBD＝60°，BD＝BE，∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝60°+∠ABD，∠EBM＝∠EBD+∠ABD＝60°+∠ABD，∴∠DBC＝∠EBM．在△DBC与△EBM中，，∴△DBC≌△EBM（AAS）．∴BC＝BM．在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB．∴BM＝AB．∴EM垂直平分AB．∴AE＝BE．②CD2+．∵△DBC≌△EBM，∴BD＝BE，∵AE＝BE，∴AE＝BD，∵∠DCB＝90°，∴CD2+BC2＝BD2，∵BC＝AB，∴CD2+＝AE2．25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和点P，给出如下定义：若P A＝PB且点P不在线段AB上，则称点P是线段AB的等腰顶点．特别地，当∠APB≥90°时，称点P是线段AB的非锐角等腰顶点．（1）已知A（2，0），B（4，2）①在点C（4，0），D（3，1），E（﹣1，5），F（0，5）中，是线段AB的等腰顶点的是C，E；②若点P在直线y＝kx+3（k≠0）上，且点P是线段AB的非锐角等腰顶点，求k的取值范围；（2）直线y＝﹣x+与x轴交于点M，与y轴交于点N．⊙P的圆心为P（0，t），半径为，若⊙P上存在线段MN的等腰顶点，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）①根据点P是线段AB的等腰顶点的定义判断即可．②根据点P是线段AB的非锐角等腰顶点的定义，求出三种特殊情形的k的值，利用图象法判断即可．（2）如图3中，作线段MN的垂直平分线，当⊙P与线段MN的垂直平分线有交点（线段MN的中点除外）时，满足条件．求出相切时，点P是的坐标，即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，根据图象结合点P是线段AB的等腰顶点的定义可知，点C，E是线段AB的等腰顶点．故答案为：C，E．②（Ⅰ）当点（4，0）在直线y＝kx+3上时，4k+3＝0，k＝．（Ⅱ）当点（3，1）在直线y＝kx+3上时，3k+3＝1，k＝．（Ⅲ）当点（2，2）在直线y＝kx+3上时，2k+3＝2，k＝．结合图象可知满足条件的k的值为：且．（2）如图3中，作线段MN的垂直平分线，当⊙P与线段MN的垂直平分线有交点（线段MN的中点除外）时，满足条件．当⊙P与线段MN的垂直平分线相切时，P（0，）和P′（0，﹣3），观察图像可知，满足条件的t的值为：﹣3≤t＜．。

2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为( ) A ．(0,4)-B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(1,0)-2．（3分）在半径为6cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是( ) A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π3．（3分）将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是( )A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ''''的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为1:2 C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的周长比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为4:15．（3分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于( )A ．68︒B ．64︒C ．58︒D ．32︒6．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A ，(3,0)B 两点，则抛物线的对称轴为( ) A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为( ) A ．2.44(1) 6.72x += B ．2.44(12) 6.72x +=C ．22.44(1) 6.72x +=D ．22.44(1) 6.72x -=8．（3分）现有函数24()2()x x a y x x x a +<⎧=⎨-⎩如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，y n =，那么实数a 的取值范围是( ) A ．54a -B ．14a -C ．41a -D ．45a -二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是．10．（3分）若抛物线2(0)y ax a =≠经过(1,3)A ，则该抛物线的解析式为． 11．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则sin B = ．12．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“>”，“ =”或“<” )．13．（3分）如图，AB 为O 的直径，10AB =，CD 是弦，AB CD ⊥于点E ，若6CD =，则EB = ．14．（3分）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，若2OA=，60APB∠=︒，则PB=．15．（3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD DA CB==，DC AB BE==，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①ODA∆和OCE∆为等腰三角形，则1(180)2DOA ODA∠=︒-∠，1(1802COE∠=︒-∠)；②四边形ABCD为平行四边形（理由是)；③DOA COE∠=∠，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当35DCCB=时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(4,3)P，O经过点P．点A，点B在y轴上，PA PB=，延长PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）O的半径为；（2）tan α= ．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．（5分）计算：22sin60tan 45cos 30︒-︒+︒． 18．（5分）已知关于x 的方程2240x x k ++-=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若1k =，求该方程的根． 19．（6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆的三个顶点是网格线的交点，点A 在BC 边的上方，AD BC ⊥于点D ，4BD =，2CD =，3AD =．以BC 为直径作O ，射线DA 交O 于点E ，连接BE ，CE ．（1）补全图形；（2）填空：BEC ∠= ︒，理由是；（3）判断点A 与O 的位置关系并说明理由；（4）BAC ∠ BEC ∠（填“>”，“ =”或“<” )．20．（5分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．21．（5分）如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点D 在O 外，BCD A ∠=∠，OD 交O 于点E ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若4CD =， 2.7AC =，9cos 20BCD ∠=，求DE 的长．22．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM = （用含x 的式子表示），x 的取值范围是；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．23．（7分）已知抛物线212y x x =-+．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过1(34,)A n y +，2(21,)B n y -两点． ①若5n <-，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．24．（7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3BC =ABC ∆绕点B 顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ；（2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．25．（7分）对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，(0B ，23)．（1）在(3,0)R ，(2,0)S ，3)T 三点中，点A 和点B 的等距点是；（2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为； ②若直线y a =上存在点A 和直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围；（3）记直线AB 为直线1l ，直线23:l y =，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点(0,0)m n ≠≠，当m n ≠时，求r 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：当0x =时，5y =-，因此(0,4)-不在抛物线245y x x =--，当2x =时，4859y =--=-，因此(2,0)不在抛物线245y x x =--上，当1x =时，1458y =--=-，因此(1,0)不在抛物线245y x x =--上，当1x =-时，1450y =+-=，因此(1,0)-在抛物线245y x x =--上，故选：D ．2．【解答】解：弧长为：6062()180cm ππ⨯=．故选：B ．3．【解答】解：将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，得：2(3)y x =-；再向上平移5个单位长度，得：2(3)5y x =-+，故选：B ．4．【解答】解：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，:1:2OA OA ∴'=， :1:2A B AB ∴''=，∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．故选：D ． 5．【解答】解：AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 90ADC CDB ∴∠+∠=︒，90903258ADC CDB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， ABC ADC ∠=∠， 58ABC ∴∠=︒，故选：C ．6．【解答】解：抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A 、(3,0)B 两点，∴抛物线对称轴为直线1322x +==，故选：B ．7．【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为22.44(1) 6.72x +=，故选：C ． 8．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，∴函数22y x x =-的最小值为1-，把1y =-代入4y x =+得，14x -=+，解得5x =-，由图象可知，当54a -时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，函数y n =，故选：A ．二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：如图所示，连接OB 、OC ；此六边形是正六边形， 360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆是等边三角形， 2OB OC BC ∴===．故答案为：2．10．【解答】解：把(1,3)A 代入2(0)y ax a =≠中，得231a =⨯，解得3a =，所以该抛物线的解析式为23y x =．故答案为：23y x =．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则62sin 93AC B AB ===，故答案为：23． 12．【解答】解：抛物线开口方向向上， 0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<．故答案为>，<，<．13．【解答】解：连接OC ，如图所示：弦CD AB ⊥于点E ，6CD =， 132CE ED CD ∴===，在Rt OEC ∆中，90OEC ∠=︒，3CE =，152OC AB ==， 22534OE ∴=-=， 15412BE OB OE AB OE ∴=-=-=-=，故答案为：1．14．【解答】解：PA 、PB 是O 的两条切线，60APB ∠=︒，2OA OB ==， 1302BPO APB ∴∠=∠=︒，BO PB ⊥．24PO AO ∴==，22224223PB PO OB ∴=-=-=．故答案是：23．15．【解答】解：①ODA ∆和OCE ∆为等腰三角形， 1(180)2DOA ODA ∴∠=︒-∠，1(180)2COE OCE ∠=︒-∠；②AD BC =，DC AB =，∴四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA ，AE ，DOA COE ∠=∠，O ∴，A ，E 三点在一条直线上；④35DC BC =，∴设3CD AB BE x ===，5OD AD BC x ===，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AOD EOC ∴∆∆∽，∴35855OC x x OD x +==， ∴图形N 是以点O 为位似中心，把图形M 放大为原来的85，故答案为：OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；85．16．【解答】解：（1）连接OP ． (4,3)P ，5OP ∴==，故答案为：5．（2）设CD 交x 轴于J ，过点P 作PT AB ⊥交O 于T ，交AB 于E ，连接CT ，DT ，OT ． (4,3)P ，4PE ∴=，3OE =，在Rt OPE ∆中，4tan 3PE POE OE ∠==， OE PT ⊥，OP OT =， POE TOE ∴∠=∠，12PDT POT POE ∴∠=∠=∠，PA PB =．PE AB ⊥， APT DPT ∴∠=∠，∴TC DT =，TDC TCD ∴∠=∠， //PT x 轴， CJO CKP ∴∠=∠，CKP TCK CTK ∠=∠+∠，CTP CDP ∠=∠，PDT TDC CDP ∠=∠+∠， TDP CJO ∴∠=∠， CJO POE ∴∠=∠，4tan tan 3CJO POE ∴∠=∠=．补充方法：证明CJO EOP ∠=∠时，可以这样证明：90CJO TOJ ∠+∠=︒，90TOJ EOT ∠+∠=︒， CJO EOT ∴∠=∠， EOT EOB ∠=∠，CJO EOP ∴∠=∠，可得结论．故答案为：43．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．【解答】解：原式23321(=-+ 3314+ 134=． 18．【解答】解：（1）△2241(4)204k k =-⨯⨯-=-．方程有两个不相等的实数根，∴△0>．2040k ∴->，解得5k <；k ∴的取值范围为5k <．（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=， (1)(3)0x x -+=， 10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-．19．【解答】解：（1）补全图形见图1．（2）BC 是直径，90BEC ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．（3）点A 在O 外．理由如下：连接OA ．4BD =，2CD =，6BC BD CD ∴=+=，32BCr ==． AD BC ⊥， 90ODA ∴∠=︒，在Rt AOD ∆中，3AD =，1OD BD OB =-=，∴22221310OA OD AD =++103>，OA r ∴>，∴点A 在O 外．（4）观察图象可知：BAC BEC ∠<∠．故答案为：<．20．【解答】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=．解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）由图象可得0m <或3m >． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC ．AB 为O 的直径，AC 为弦，90ACB ∴∠=︒，90OCB ACO ∠+∠=︒． OA OC =， ACO A ∴∠=∠． BCD A ∠=∠， ACO BCD ∴∠=∠． 90OCB BCD ∴∠+∠=︒． 90OCD ∴∠=︒． CD OC ∴⊥． OC 为O 的半径， CD ∴是O 的切线；（2）解：BCD A ∠=∠，9cos 20BCD ∠=， 9cos cos 20A BCD ∴=∠=．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 2.7AC =，9cos 20A =． 2.769cos 20AC AB A∴===． 32ABOC OE ∴===．在Rt OCD ∆中，90OCD ∠=︒，3OC =，4CD =，∴5OD =．532DE OD OE ∴=-=-=．22．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为4，CM x =，1BE =， 4DM DC CM x ∴=-=-，其中01x ．故答案是：4x -，01x ；（2）如图，延长MP 交AB 于G ，正方形ABCD 的边长为4，F 为BC 边的中点，四边形PMDN 是矩形，CM x =，1BE =， //PM BC ∴，122BF FC BC ===，BG MC x ==，4GM BC ==， EGP EBF ∴∆∆∽，1EG x =-，∴EG PG EB BF =，即112x PG-=． 22PG x ∴=-，4(22)22DN PM GM PG x x ∴==-=--=+，2(4)(22)268S DM DN x x x x ∴=⋅=-+=-++，其中01x ．（3）由（2）知，2268S x x =-++， 20a =-<，∴此抛物线开口向下，对称轴为322b x a =-=，即32x =，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大． x 的取值范围为01x ，∴当1x =时，矩形PMDN 的面积最大，此时点P 与点E 重合，此时最大面积为12．23．【解答】解：（1）212y x x =-+，∴对称轴为直线1112()2x =-=⨯-，令0x =，则0y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0)，（2）(34)(21)5A B x x n n n -=+--=+，1(34)1333(1)A x n n n -=+-=+=+，1(21)1222(1)B x n n n -=--=-=-．①当5n <-时，10A x -<，10B x -<，0A B x x -<．A ∴，B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <，抛物线212y x x =-+开口向下，∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 的增大而增大．12y y ∴<；②若点A 在对称轴直线1x =的左侧，点B 在对称轴直线1x =的右侧时，由题意可得3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪->⎨⎪-+<--⎩，∴不等式组无解，若点B 在对称轴直线1x =的左侧，点A 在对称轴直线1x =的右侧时，由题意可得：3412111(21)341n n n n +>⎧⎪-<⎨⎪-->+-⎩，115n ∴-<<-，综上所述：115n -<<-．24．【解答】解：（1）90C ∠=︒，3BC =，30ABC ∠=︒， tan301AC BC ∴=⋅︒=， 22AB AC ∴==， BA BA ='，AC AC '=''， 30ABC A BC ∴∠'=∠''=︒，ABA ∴∆'是等边三角形，60α∴=︒，2AA AB '==．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD A D '=．理由：如图2，过点A 作A C ''的平行线，交CC '于点E ，记1β∠=．将Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转α得到Rt △A BC ''， 90A C B ACB ''∴∠=∠=︒，A C AC ''=，BC BC '=．21β∴∠=∠=．3190ACB β∴∠=∠-∠=︒-，290A C D A C B β''''∠=∠+∠=︒+． //AE A C ''90AED A C D β''∴∠=∠=︒+．4180180(90)90AED ββ∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-． 34∴∠=∠． AE AC ∴=． AE A C ''∴=．在ADE ∆和△A DC ''中， ADE A DC AED A C D AE A C ∠=∠''⎧⎪∠=∠''⎨⎪=''⎩， ADE ∴∆≅△()A DC AAS ''，AD A D '∴=．②如图1中，当60α=︒时，BD 的值最大，最大值为3．当120α=︒时，BD 的值最小，最小值1sin30212BD AB =⋅︒=⨯=， 13BD ∴．25．【解答】解：（1）点(6,0)A ，(0B ，23)，(3,0)R ，(2,0)S ，(1,3)T ， 3AR ∴=，21BR =，4AS =，4BS =，27AT =，2BT =， AS BS ∴=，∴点A 和点B 的等距点是(2,0)S ，故答案为：(2,0)S ；（2）①设等距点的坐标为(,0)x ， 2|6|x ∴=-， 4x ∴=或8，∴等距点的坐标为(4,0)或(8,0)，故答案为：(4,0)或(8,0)；②如图1，设直线y a =上的点Q 为点A 相直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ，点Q 为点A 和直线2y =-的等距点， QA QC ∴=，22QA QC ∴=点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为(,)Q x a222(6)[(2)]x a a ∴-+=--．整理得2123240x x a -+-=，由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．∴△2(12)41(324)16(1)0a a =--⨯⨯-=+．解得1a -；（3）如图2，直线1l 和直线2l 的等距点在直线33:3l y = 直线1l 和y 轴的等距点在直线4:323l y x =-+或53:23l y =+ 由题意得3r 或3r ．。

2020~2021北京市昌平区九年级初三上学期期末数学试卷及答案

北京市昌平区2020-2021学年第一学期初三年级期末水平测试数学试卷2021．1本试卷共5页，共100分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如图，以点P 为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l 相切的是（A ）P A （B ）PB （C ）PC （D ）PD2. 已知3x =4y （y ≠0），那么下列比例式中成立的是（A ）34=x y （B ）43=x y （C ）34=x y （D ） 43=x y3.抛物线2(3)+1=-y x 的顶点坐标是（A ）（3,1）（B ）(3,1)- （C ）(3,1)- （D ）(3,1)-- 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =36°，那么∠BAD 等于（A ） 36° （B ） 44° （C ） 54° （D ） 56°5．已知二次函数221（）=-+y x ，若点A 1(0)y ，和B 2(3)，y 在此函数图象上，则1y 与2y 的大小关系是（A ）12y y > （B ）12y y < （C ）12y y ＝（D ）无法确定 6.小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是（A ）南偏东40度（B ）南偏西40度（C ）北偏东50度（D ）北偏西50度7.如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ∠ACB 的值为（A ）13（B ） 35 （C ）23 （D ）12B C DP lABACBA8.如图，点M 坐标为（0,2），点A 坐标为（2,0），以点M 为圆心，MA 为半径作⊙M ，与x 轴的另一个交点为B ，点C 是⊙M 上的一个动点，连接BC ，AC ，点D 是 AC 的中点，连接OD ，当线段OD 取得最大值时，点D 的坐标为（A ）（0，1+2）（B ）（1，1+2）（C ）（2，2）（D ）（2，4）二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）9.请写出一个开口向上且过点(0,2)-的抛物线表达式为______________________． 10.点1(2,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6=-y x图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是1y ______2y ．（填“＞”，“＜”或“=”）11.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则AB 的长为__________． 12.如图，ABCD 中，延长AD 至点E ，使DE =12AD ，连接BE ，交CD 于点F ，若⊙DEF 的面积为2，则⊙CBF 的面积为__________．13. 如图，AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD =16，BE =4，则CE =____，⊙O 的半径为_____. 14．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，已知∠A =40°，连接OB ，OC ，DE ，EF ，则 ∠BOC =__________°，∠DEF =__________°.15. 二次函数y =ax ²+bx +c 图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y…0 4664…﹣6…则这个二次函数的对称轴为直线x =________，m =________（m ＞0）.16.抛物线22y x x m =-++交x 轴于点A (a ，0)和B (b ，0)（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①抛物线过点（2，m ）； ②当m =0时，△ABD 是等腰直角三角形；③a +b ＝4； ④抛物线上有两点P (1x ，1y )和Q (2x ，2y )，若1x ＜2x ，且1x ＋2x ＞2，则1y ＞2y ．OABCDEFA BOD EC AB C D EFO 第11题第12题第13题第14题 xyCBAODM其中结论正确的序号是______________________．三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）17. 计算：3tan 60°+cos 245°-sin 30°．18．如图，AC 平分⊙BAD ，⊙B =∠ACD . （1）求证：△ABC ∽△ACD ；（2）若AB =2，AC =3，求AD 的长.19．已知二次函数223=--y x x ．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）结合函数图象，直接写出0<y 时x 的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线P A 和直线PB ，使P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①作射线PO ，与⊙O 交于点M 和点N ； ②以点P 为圆心，以PO 为半径作⊙P ;③以点O 为圆心,以⊙O 的直径MN 为半径作圆，与⊙P 交于点E 和点F ，连接OE 和OF ，分别与 ⊙O 交于点A 和点B ； ④作直线P A 和直线PB .所以直线P A 和PB 就是所求作的直线.（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）O-4-3-2-1-1-2-3-4xy 12344321DABC（2）完成下面的证明。

2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷及答案解析

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2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与
CD 的延长线交于点F ，∠DCE ＝85°，∠F ＝28°，则∠E 的度数为（）
A ．38°
B ．48°
C ．58°
D ．68°
2．（2分）将抛物线y ＝x 2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛
物线的解析式为（）
A ．y ＝（x +3）2
B ．y ＝（x ﹣3）2
C ．y ＝（x +2）2+1
D ．y ＝（x ﹣2）2+1
3．（2分）圆心角为60°，半径为1的弧长为（）
A ．π2
B ．π
C ．π6
D ．π3 4．（2分）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边
AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，其中有：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝DE ；④∠A ＝∠EBC ，四个结论，则结论一定正确的有（）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．（2分）如图，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果∠BAC ＝60°，OD ＝1，则
BC 为（）。

北京市丰台区2020-2021学年数学九年级上学期期末试卷答案

丰台区2020—2021学年第一学期期末练习初三数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADB ACCD二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.y =x 2-210.1∶911.0.88112.4b =±13.△BDA ，△BCE14.815.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等16.1；3.23三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题6分，23-25题每小题7分）17. 解：（1）∵2243(2)1y x x x =−+=−−，∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1). ··············································· 2分（2）如图：··············································· 4分（3）-1≤y <3. ··························· 5分18.（1）证明：∵AD AB AE AC ⋅=⋅，∴AD AEAC AB=. 又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB . ······················ 2分（2）解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE =∠ACB . ······················· 3分 ∵∠ADE =75°，∴∠ACB =75°. 又∵∠B =55°，∴∠A =180°-∠ACB -∠B =50°. ·····5分 19.解：（1）如图：················································2分（2）如图：················································5分20. 解：（1）∵点D 是矩形OABC 的对角线交点， ∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，又∵A (4，0)，C (0，2)，∴点D 的坐标为(2，1). ················ 1分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点D ， ∴12k=，解得：k =2. ··················· 2分（2）由题意可得：点M 的纵坐标为2，点N 的横坐标为4. ∵点M 在反比例函数2y x=的图象上， ∴点M 的坐标为(1，2)， ··············· 3分 ∴14x ≤≤. ······························· 5分 21. （1）证明：连接OD .∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ， ∵DE ∥OA ，∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ， ∴∠AOC =∠AOD . 在△AOD 和△AOC 中，AO AOAOD AOC OD OC =∠=∠ =∴ △AOD ≌△AOC ， ·················· 1分 ∴ ∠ADO =∠ACO . ∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO =∠ACO =90°, ·············· 2分又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线. ···················· 3分（2）解：∵CE =6，∴OE =OD =OC =3. 在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∴222BD OD BO +=， ∴BO =5，∴BC =BO +OC =8. ························4分 ∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD =AC .在Rt △ACB 中，222AC BC AB +=，即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6. ······························5分 22. 解：（1）3，0.75； ····························4分（2）16. ·····································6分23. 解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx 过点(4，0)，∴0164a b =+， ∴4b a =−. ··································2分（2）∵点A (0，a )绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，∴点B 的坐标为(a ，0)， ················3分 ∵点B 向右平移2个单位长度得到点C ， ∴点C 的坐标为(a +2，0). ··············4分（3）（i ）当a >0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向上，与x轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图1），只需满足：24a a >+≥，解得：2a ≥. ··············5分图1（ii ）当a <0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向下，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图2），只需满足：20a a <+≤，解得：2a −≤. ············ 6分图2综上所述，a 的取值范围为2a ≥或2a −≤. ··············································· 7分24.（1）证明：∵CF ⊥AE ，∴EFC ∠=90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴ABC ∠=90°， ∴ABE ∠=90°， ∴EFC ∠=ABE ∠，又∵AEB CEF ∠=∠，∴FAB BCF ∠=∠. ························ 2分（2）①如图：··············································· 3分② AF +BM = CF . ························4分证明：在CF 上截取点N ，使得CN =AF ，连接BN .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =CB .在△AFB 和△CNB 中，AF CNFAB NCB AB CB =∠=∠ =∴ △AFB ≌△CNB ， ···················5分∴ ∠ABF =∠CBN ，FB =NB ， ∴∠FBN =∠ABC =90°， ∴△FBN 是等腰直角三角形， ∴∠BFN =45°.∵点B 关于直线AE 的对称点是点M ， ∴FM =FB ，∵CF ⊥AE ，∠BFN =45°， ∴∠BFE =45°， ∴∠BFM =90°， ∴∠BFM =∠FBN ， ∴FM //NB .∵FM =FB ，FB =NB ， ∴FM =NB ，∴四边形FMBN 为平行四边形， ······6分 ∴BM =NF ，∴AF +BM = CF . ···························7分（其它方法酌情给分）25. 解：（1）点C和点E； ······················ 2分（2）线段AB的所有2倍等距点形成的图形为以点O为圆心，以1为半径的圆围成的区域（包括边界），如图所示：··············································· 4分该区域的面积为：221S=π×−π×=π.··············································· 5分（3）21≤≤. ········ 7分bb≤≤或12−−。

2020-2021学年北师大版九年级上册数学期末复习试卷(有答案)

2020-2021学年北师大新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（）A．3B．2C．1D．22．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 6．若，则的值为（）A．1B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB ＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．88．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD ＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝1610．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为米．12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是．13．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，则两次摸出的球都是红球的概率是．14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为．15．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，过点B、C分别作AB、BC的垂线相交于点D，延长AC、BD相交于点E，若tan∠BDC＝2，则DE＝．三．解答题（共3小题，满分22分）17．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．18．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．（1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是．（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE ∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？六．解答题（共3小题，满分34分）22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．23．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．小明在分析解题思路时想到了两种平移法：方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；【尝试应用】（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC 的值；（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连结AC交DE于点H，求的值．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p＝1，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q＝1，则p+q＝2，故选：B．2．解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选：A．3．解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝＝0.5，符合这一结果，故此选项正确；C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；故选：B．4．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．6．解：∵，∴＝2＝2﹣＝；故选：B．7．解：作CE⊥x轴于E，∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵点D是AB的中点，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．解：∵中线AD，BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF，∴＝＝2，∴BD＝2GE，①正确；∵AF＝2FD，∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，∵EG∥BC，AE＝CE，∴△AGE∽△ADC，＝，∴＝（）2＝，∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；∵BD＝CD，AE＝CE，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积﹣△BDF的面积，即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；故选：D．9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a＝﹣，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．10．解：∵BF∥AD∴△BNF∽△DNA∴，而BF＝BC＝1，AF＝，∴AN＝，又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠AED＝∠BFA∴△AME∽△ABF∴，即：，∴AM＝，∴MN＝AN﹣AM＝．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴＝，即＝，解得：AE＝3m，∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．故答案为：4.2．12．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）．13．解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，则两次摸出的球都是红球的概率为；故答案为：．14．解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．15．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD，∵EF＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，故答案为：40．16．解：作CF⊥BD于F，作AG⊥BC于G，如图所示：∵AB＝AC＝9，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵BE⊥AB，CD⊥BC，∴∠ABG+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ABG＝∠BDC，∴tan∠ABG＝＝tan∠BDC＝＝2，∴AG＝2BG，BC＝2CD，设BG＝x，则AG＝2x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝92，解得：x＝，∴BC＝2BG＝，CD＝BC＝，∴BD＝＝＝9，∵CF⊥BD，∴△BCD的面积＝BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，∴DF＝＝＝，∵AB⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AB，∴△CFE∽△ABE，∴＝，即＝，解得：DE＝3；故答案为：3．三．解答题（共3小题，满分22分）17．解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．18．解：（1）∵每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有2个数，∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有4种，∴小亮获胜的概率是．19．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝2，∴OD＝OB＝，在Rt△AOD中，AO＝＝＝3∴OC＝OA＝3，∵四边形OBEC是矩形，∴BE＝OC＝3．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan37°＝≈0.75．∴AE＝40，∵AB＝57，∴BE＝17∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝17．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝17，∴BC＝EF＝30﹣17＝13．答：教学楼BC高约13米．五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），，得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；（2）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值∴当x＜16时，w随x的增大而增大，∵12≤x≤15，x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．六．解答题（共3小题，满分34分）22．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝，解得，，，∴B（2，1）；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），∵A（1，2），∴AC＝＝2，过A作AD⊥x轴于D，∴OD＝1，CD＝AD＝2，当AP＝AC时，PD＝CD＝2，∴P（﹣1，0），当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，∴P（1，0），综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．23．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．。

北京市朝阳区2020—2021年九年级上期末检测数学试卷含答案

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1 （1 分）； n （2 分）
56
n 1
三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 小题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 解：2 cos45 tan 60 sin 30 1 2
2 2 3 1 1 ……………………………………………………………4 分
20.党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平
等、公平、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培养和践
行社会主义核心价值观，这 24 个字是社会主义核心价值观的差
不多内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国．家．层面的价值目标；
“自由、平等、公平、法治”是社．会．层面的价值取向；
旧成立，即_______的面积=_______的面积，此面积的值为____．
小高说：我还发觉，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与 AD 和 BC 都
相等，这条线段是
．
y
B 6
5
C
4F
3
2G
D
1 H
I
A
x
O 123456
y
B
6
C
5F
4
3
2
1G H
D I Ax
O 123456
图②
图①
（1）请完成以上填空；（2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情形下，证明 AD=BC；小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们能够明白当直线与双
， 3 1.732 ）．
24. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 边于点 D，交 AC 边于点

2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷(附解析)

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k=()A. 2B. 3C. −6D. 62.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是()A. B.C. D.3.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 14.如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC.若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为()A. 9B. 6C. 3D. 325.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是()A. x−1=0B. x2+x=0C. x2−1=0D. x2+1=06.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC⏜的长为()A. 14πB. 13ππC. 23D. π7.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是()A. −4B. −2C. 0D. 28.下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是()A. 长度为√5线段B. 斜边为3的直角三角形C. 面积为4的菱形D. 半径为√2，圆心角为90°的扇形二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是______ ．10.若点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，则a，b的大小关系是：a______xb(填“>”、“=”或“<”)．11.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为______ (填“相交”、“相切”或“相离”)．12.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，则m的值为______．13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是______ (结果保留小数点后一位)．14.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部.若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC= 2m，CD=12m，则旗杆高度DE=______ m.15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为______ ，CE的长为______ ．与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).16.已知双曲线y=−3x(1)若x1+x2=0，则y1+y2=______ ；(2)若x1+x2>0时，y1+y2>0，则k______ 0，b______ 0(填“>”，“=”或“<”)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：x2−4x+3=0．四、解答题（本大题共8小题，共47.0分）18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．(1)证明：△ABC∽△ACD；(2)若AB=4，AC=5，求BC和CD的长．19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼⋅考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理依据是：______ ．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=______ cm；用含r的代数式表示OD，OD=______ cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=______ ，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔.店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：(1)用等式写出m，n所满足的数量关系______ ；(2)从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是______ 事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)；②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为1，求m和n的值．421.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)，B(4,2)，以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD.已知点(x>0)的图象上．B在反比例函数y=kx(1)求反比例函数的解析式，并画出图象；(2)判断点C是否在此函数图象上；(3)点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N.若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．(1)求证：OA=OB；(2)连接AD，若AD=√7，求⊙O的半径．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(m,y1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+4的图象上．(1)若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断m<0时，y1与y2的大小关系；(2)若只有当m≥1时，满足y1⋅y2≤0，求此时二次函数的解析式．24.已知∠MAN=45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点(不与点A重合)，点D在线段BC的延长线上，且CD=CB，过点D作DE⊥AM于点E．(1)当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是______ ；(2)当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE；(3)在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：(1)如图2，已知点A(7,0)，点B在直线y=x+1上．①若点B(3,4)，点C(3,0)，则在点O，C，A中，点______ 是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；(2)已知点D(2,0)，点E(4,2)，将点D绕原点O旋转得到点F.若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．答案和解析1.【答案】D的图象经过点(2,3)，【解析】解：∵反比例函数y=kx∴k=2×3=6．故选：D．直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．(k为常数，k≠0)的图本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是1，3故选：A．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m．n4.【答案】B【解析】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC，∴AEAC =ADAB，即24=3AB，解得AB=6，故选：B．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，据此可得结论．本题主要考查了平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．5.【答案】C【解析】解：A、x−1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵△=0−4×1×(−1)=4>0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D、∵△=0−4×1×1=−4<0，故此选项不合题意．故选：C．根据题意一次项系数为0且△>0．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的根的判别式．6.【答案】B【解析】解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB=360°×16=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=1，弧BC的长为60π×1180=13π.故选：B．连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为x=−1.5，∴点(0,2)关于直线x=−1.5的对称点为(−3,2)，当−3<x<0时，y>2，即当函数值y>2时，自变量x的取值范围是−3<x<0．故选：B．利用抛物线的对称性确定抛物线与(0,2)的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：半径为1的圆的直径为2，A、∵√5>2，∴长度为√5线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；B、∵3>2，∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；C、∵面积为4的菱形的长的对角线>2，∴面积为4的菱形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；D、∵半径为√2，圆心角为90°的扇形的弦为2，∴半径为√2，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；故选：D．根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．9.【答案】y=x2【解析】解：∵二次函数有最小值，∴a>0，∴这个二次函数的解析式可以是y=x2，故答案为y=x2．根据二次函数有最小值，即可得出a>0，据此写出一个二次函数即可．本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的10.【答案】>【解析】解：∵反比例函数y=4中，k=4>0，x∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，且2>1，x∴a>b，故答案为：>．直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．11.【答案】相切【解析】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OF，∵腰AB与⊙O相切，∴OE为⊙O的半径，∴OF为⊙O的半径，而OF⊥AC，∴AC与⊙O相切．故答案为相切．连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE=OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．12.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，∴x=1满足一元二次方程x2−3x+m=0，∴1−3+m=0，解得，m=2．故答案是：2．根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13.【答案】0.9【解析】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故答案为：0.9．根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．14.【答案】9【解析】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠EDC=90°，∵∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴ABDE =BCCD，∴1.5DE =212，∴DE=9(m)，故答案为：9．根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15.【答案】45°√10【解析】解：如图，连接CE，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAC=45°，∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，∴旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，∴BE=1，∴CE=√BE2+CB2=√1+9=√10，故答案为：45°，√10．由旋转的性质可得旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16.【答案】0 <>【解析】解：(1)∵双曲线y=−3x与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).∴y1=−3x1，y2=−3x2，∵x1+x2=0，∴x2=−x1，∴y2=−3x2=−3−x1=−y1，∴y1+y2=0，故答案为0；(2)∵双曲线y=−3x在二、四象限，∴设A(x1,y1)在第二象限，B(x2,y2)在第四象限．则x1<0，y1>0，x2>0，y2<0，∵x1+x2>0，y1+y2>0，∴|x2|>|x1|，|y1|>|y2|，如图，∴直线y=kx+b经过一、二、四象限，故答案为<，>．(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；(2)根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．17.【答案】解：x2−4x+3=0(x−1)(x−3)=0x−1=0，x−3=0x1=1，x2=3．【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．属于基础题．利用因式分解法解出方程．18.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△ACD；(2)解：∵∠B=90°，AB=4，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−42=3，由(1)得：△ABC∽△ACD，∴BCCD =ABAC，即3CD =45，解得：CD=154．【解析】(1)由角平分线定义得∠BAC=∠CAD，再由∠B=∠ACD=90°，即可得出结论；(2)先由勾股定理求出BC=3，再由相似三角形的性质求出CD即可．本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】垂直弦的直径平分弦45 (r−15)452+(r−15)2【解析】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；用含r的代数式表示OD，OD=(r−15)cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=452+(r−15)2，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，(r−15)，452+(r−15)2．根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】m+n=14随机【解析】解：(1)观察表格发现：6+m+n=20，∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n=14，故答案为：m+n=14；(2)①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，故答案为：随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为14，∴m20=14，∴m=5，n=9．(1)根据表格确定m，n满足的数量关系即可；(2)①根据事件的性质进行解答即可；②利用概率公式列式计算即可．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．21.【答案】解：(1)将点B(4,2)代入反比例函数y=k中，得k=2，∴反比例函数的解析式为y=8，x图象如图1所示，(2)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A(1,2)，∴C(1×2,2×2)，即C(2,4)，，由(1)知，反比例函数解析式为y=8x=4，当x=2时，y=82∴点C在反比例函数图象上；(3)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B(4,2)，∴D(4×2,2×2)，即D(8,4)，由(2)知，C(2,4)，∴直线CD的解析式为y=4，)，∵点M的横坐标为m，则M(m,4)，N(m,8m|，∴MN=|4−8m∴AB=3，∵MN≥AB，|≥3，∴|4−8m∴m≥8或m≤8，7或m≥8．即0<m≤87【解析】(1)将点B代入反比例函数解析式中，解方程求解，即可得出结论；(2)先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；(3)先表示出点M，N的坐标，进而利用MN≥AB，建立不等式，解不等式，即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．22.【答案】(1)证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA=OB；(2)解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE=OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC=∠OAB，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAC=∠B=∠OAB=30°，在Rt△OAC中，AC=√3OC=√3r，在Rt△ACD中，(√3r)2+(2r)2=(√7)2，解得r=1，即⊙O的半径为1．【解析】(1)连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分AB，(2)设⊙O 的半径为r ，先证明AO 平分∠BAC ，再证明∠OAC =∠B =∠OAB =30°，所以AC =√3OC =√3r ，利用勾股定理得到(√3r)2+(2r)2=(√7)2，然后解方程即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质． 23.【答案】解：(1)①∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(0,4)，(4,4)， ∴{c =416+4b +c =4，解得{b =−4c =4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−4x +4，∵y =x 2−4x +4=(x −2)2，∴图象的顶点坐标为(2,0)；②画出函数的图像如图：由图像可知，m <0时，y 1>y 2；(2)由题意可知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，把(1,0)和点(4,0)代入得{1+b +c =016+4b +c =0，解得{b =−5c =4， ∴此时二次函数的解析式为y =x 2−5x +4．【解析】(1)①待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数y =−x +4的图像，根据图像即可得到结论；(2)由题意可知，只有二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，才能满足m ≥1时，y 1⋅y 2≤0，然后根据待定系数法求得即可．本题考查了二次函数的图像预下载，待定系数法求二次函数的解析式，明确题意是解题24.【答案】AC=DE【解析】(1)解：∵CD=CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD，在△ABC和△ADC中，{AB=AD CB=CD AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠CAD=∠BAC=45°，∴∠BAD=45°+45°=90°，∴AC=CD=CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC=DE，故答案为：AC=DE；(2)证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴AE+DE=AF+CF+CE+DE=AC+ CF+AF=AC+AC=2AC，∴2AC=AE+DE；(3)解：能，2AC+AE=DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴2AC+AE=AC+CE=AC+CF=AF=DE．(1)易证△ABD是等腰三角形，得AB=AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD=∠BAC=45°，则∠BAD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；(2)依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC=∠DEC=90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF=DE，CF=CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF=AF，推出AF=DE，即可得出结论；(3)过点B作BF⊥AM于F，同(2)△BFC≌△DEC(AAS)，得出BF=DE，CF=CE，证得AF=DE，即可得出结果．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25.【答案】O，C【解析】解：(1)①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B 的内联点，观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．∵E(4,2)，∴OH =4，EH =2，∴OE =√OH 2+EH 2=2√5，当OF ⊥OE 时，点O 是△OEF 关于点E 的内联点， ∵∠EOF =∠NOH =90°，∴∠FON =∠EOH ，∵∠FNO =∠OHE =90°，∴△FNO∽△EHO ，∴OF OE =FN EH =ON OE ， ∴22√5=FN 2=ON 4，∴FN =2√55，ON =4√55， ∴F(−2√55,4√55)，观察图像可知当−2√55≤m ≤0时，满足条件．作点F 关于点O 的对称点F′(2√55,−4√55)，当OF″⊥EF″时，设OH 交F″E 于P ，∵∠EF″O =∠EHO =90°，OE =EO ，EH =OF″，∴Rt △OHE≌△EF″O(HL)，∴∠EOH =∠OEF″，∴PE =OP ，s3PE =OP =t ，在Rt △PEH 中，则有t 2=22+(4−t)2，解得t =52，∴OP =52，PH =PF″=32，可得F″(85,−65)，观察图像可知，当2√55≤m≤85．综上所述，满足条件的m的值为−2√55≤m≤0或2√55≤m≤85．(1)①分别以B为圆心，BO，BC BA为半径作圆，观察图像根据线段OA与圆的交点的位置，可得结论．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图像法即可解决问题．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N.利用相似三角形的性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图像法可得结论．本题属于圆综合题，考查了点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（3分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．（3分）正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．（3分）若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75．（3分）下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是( )A ．指针指向黄色的概率为23B ．指针不指向红色的概率为34C ．指针指向红色或绿色的概率为12D ．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率 7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点P 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），OC AP ⊥，OD BP ⊥，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为( )A ．12B ．22C ．32D ．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx =交于M ，N 两点，则二次函数2()y ax b k x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm ．10．（3分）如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为（用含α的式子表示）．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根为．12．（3分）下列事件：①通常加热到100C ︒，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180︒．其中是随机事件的是（只填写序号即可）． 13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为．14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC ∆的顶点A 在y 轴的正半轴上，(5,0)B -，(5,0)C ，点(11,0)D ，将ACD ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE ∆，则BC 的长度为，线段AE 的长为，图中阴影部分面积为．16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分） 17．（5分）关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，写出一个符合条件的m 的值并求出此时方程的根．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了ABC ∆和点(D A ，B ，C ，D 是网格线交点）．（1）画出一个DEF ∆，使它与ABC ∆全等，且点D 与点A 是对应点，点E 与点B 是对应点，点F 与点C 是对应点（要求：DEF ∆是由ABC ∆经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C 和点F 的坐标．19．（5分）已知：如图，ABC ∆中，90C ∠=︒．求作：CPB A ∠=∠，使得顶点P 在AB 的垂直平分线上．作法：①作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点O ；②以O 为圆心，OA 为半径画圆，O 与直线l 的一个交点为P （点P 与点C 在AB 的两侧）； ③连接BP ，CP ，CPB ∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC ， l 为AB 的垂直平分线， OA ∴= ． 90ACB ∠=︒， OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．又点P 在O 上，(CPB A ∴∠=∠ )（填推理依据）． 20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：成绩x 人数班级 7075x < 7580x < 8085x < 8590x < 9095x < 95100x一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 01 4 7 7 1 四班m3752（1）频数分布表中，m = ；（2）从7075x <中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？ 21．（6分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=︒，2AC =，求CE 的长．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-与直线1y x =--交于点(1,0)A -，(,3)B m -，点P 是线段AB 上的动点．（1）①m = ； ②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．（7分）在等腰直角ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90︒交直线l 于点D ．（1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形． ①求证：BDP PCB ∠=∠；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．（7分）已知抛物线22234y ax ax a =++-．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点1(,)M m y ，2(2,)N y 在该抛物线上，若12y y >，求m 的取值范围．25．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在O上，其他部分不在O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到O的“极大距离”，记为(,)d AB O．（1）若点(4,0)A-．①当点B为(3,0)-，如图所示，平移线段AB，在点1(2,0)P-，2(1,0)P-，3(1,0)P，4(2,0)P中，连接点A 与点的线段的长度就是(,)d AB O；②当点B为(4,1)-，求线段AB到O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．（2）若点(4,4)A-，(,)d AB O的取值范围是．参考答案与试题解析一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试带答案

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试带答案班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．3-的倒数是（）A ．3B ．13C ．13-D ．3-2．若实数m 、n 满足 02m =-，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（）A ．12B ．10C ．8或10D ．63有意义，则实数m 的取值范围是（） A ．m 2>- B ．m 2>-且m 1≠C ．m 2≥-D ．m 2≥-且m 1≠ 4．已知关于x 的不等式3x ﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是（）A ．4≤m ＜7B ．4＜m ＜7C ．4≤m ≤7D ．4＜m ≤75．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（）A ．54573x x -=-B ．54573x x +=+C ．45357x x ++=D ．45357x x --= 6．用配方法解方程2x 2x 10--=时，配方后所得的方程为（）A ．2x 10+=（）B ．2x 10-=（）C ．2x 12+=（）D ．2x 12-=（）7．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°8．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（）A．485B．325C．245D．125二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．化简：4=____________.2．因式分解：3x3﹣12x=_______．3．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于______．5．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．6．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：3213x x x --=-2．已知关于x 的一元二次方程(3)(2)(1)x x p p --=+.（1）试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值.3．如图，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF ．4．在平面直角坐标系中，直线1y 22x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数21y bx 2x c =++的图象经过点B,C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD 的面积为S,求S 的最大值；（3）如图2，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由.5．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？6．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、B3、D4、A5、B6、D7、C8、A9、A10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、２2、3x（x+2）（x﹣2）3、84、40°．5、406、5三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、95 x=2、（1）证明见解析；（2）-2.3、略.4、（1）二次函数的表达式为：213222y x x=--；（2）4；（3）2或2911.5、（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．6、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．。

北师大版2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)

北师大版2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)一、选择题1．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（） A ．平均数 B ．方差C ．中位数D ．极差 2．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在（）A ．⊙O 上B ．⊙O 外C ．⊙O 内3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m 4．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（） A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π5．将一副学生常用的三角板如下图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为（）A ．3B ．31+C ．31-D ．236．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC = 40°，则∠OBC 的度数是（） A ．80° B ．40° C ．50° D ．20° 7．关于x 的一元二次方程x 2+bx-6=0的一个根为2，则b 的值为( )A ．-2B ．2C ．-1D ．18．将二次函数22y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2241y x =-- B ．()2241y x =+- C ．()2241y x =-+D ．()2241y x =++9．下列方程是一元二次方程的是（） A ．2321x x =+B ．3230x x --C ．221x y -=D ．20x y +=10．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（）A ．2225y x = B ．2425y x = C ．225y x = D ．245y x =11．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（） A ．摸出黑球的可能性最小 B ．不可能摸出白球 C ．一定能摸出红球D ．摸出红球的可能性最大12．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn +1有（） A ．最小值―3 B ．最小值3 C ．最大值―3 D ．最大值313．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．16k ≤B ．116k ≤C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 14．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度15．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（） A ．23(1)3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-D ．23(1)3y x =-++二、填空题16．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ．17．如图，△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为______．18．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．19．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 上一点，CD ＝2，过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ，则DP ＝________．20．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为____．21．已知扇形的圆心角为90°，弧长等于一个半径为5cm 的圆的周长，用这个扇形恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．则该圆锥的高为__________cm ． 22．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.23．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．24．两个相似三角形的面积比为9:16，其中较大的三角形的周长为64cm ，则较小的三角形的周长为__________cm ． 25．如图，O 的弦8AB =，半径ON 交AB 于点M ，M 是AB 的中点，且3OM =，则MN 的长为__________．26．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．27．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____． 28．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.29．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．30．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.三、解答题31．从甲、乙两台包装机包装的质量为300g 的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g ）甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299 乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305 （1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差；（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性．32．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP ⊥AD ，OP 与AB 的延长线交于点P ，点C 在OP 上，满足∠CBP ＝∠ADB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若OA ＝2，AB ＝1，求线段BP 的长．33．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为A （6,4），B （4,0），C （2,0）.（1）在y 轴左侧，以O 为位似中心，画出111A B C ∆，使它与ABC ∆的相似比为1:2；（2）根据（1）的作图，111tan A B C ∠= .34．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m －1（m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）将该二次函数的图像向下平移k （k ＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k 的取值范围是．35．一只不透明的袋子中装有1个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．（1）用树状图列出所有可能出现的结果；（2）求3次摸到的球颜色相同的概率．四、压轴题36．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）37．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ．（1）求证：四边形AGDH 为菱形；（2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）连结OF ，CG ．①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；②若BC ＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．38．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）；（3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 39．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形．作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值． 40．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．（1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：C ．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键．2．B【解析】【分析】根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C 在圆上，由由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质可知点C 在圆外. 【详解】解：∵以AB 为直径作⊙O ，当点C 在圆上时,则∠C=90°而由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质 ∴点C 在圆外．故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.3．A解析：A 【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13，∴BC AC 3， ∵BC=50，∴3，∴()2222AC +BC 503+50100==（m ）．故选A4．B解析：B 【解析】【分析】先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案. 【详解】解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.解析：B 【解析】【分析】设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形，设AB =2，则易求出CF CEF ∽△AEB ，可得2EF CF BE AB ==，于是设EF ，则2BE x =，然后利用等腰直角三角形的性质可依次用x 的代数式表示出CF 、CD 、DE 、DG 、EG 的长，进而可得CG 的长，然后利用正切的定义计算即得答案. 【详解】解：设AC 、BD 交于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则CF ∥AB ，△CDF 和△DEG 都是等腰直角三角形， ∴△CEF ∽△AEB ，设AB =2，∵∠ADB =30°，∴BD =∵∠BDC =∠CBD =45°，CF ⊥BD ，∴CF=DF=BF =12BD =，∴EF CF BE AB ==，设EF ，则2BE x =，∴(2BF CF DF x ===+，∴(2CD x x ===，((22DE DF EF x x =+=+=+，∴(222EG DG DE x x ===+=，∴(CG CD DG x x =-=-=，∴tan 1x EG ACD CG ∠==.故选：B.【点睛】本题以学生常见的三角板为载体，考查了锐角三角函数和特殊角的三角函数值、30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，构图简洁，但有相当的难度，正确添加辅助线、熟练掌握等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.6．C解析：C【解析】∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=40°∴∠BOC=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°-80°）÷2=50°故选C．7．D解析：D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=2代入程x2+bx-6=0得4+2b-6=0，解得b=1．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.8．B解析：B【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数平移规律进而判断得出选项．【详解】解：22y x =的图象向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：()2241y x =+-．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 9．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【详解】解：A ． 2321x x =+是一元二次方程，故本选项符合题意；B ． 3230x x --是一元三次方程，故本选项不符合题意；C ． 221x y -=是二元二次方程，故本选项不符合题意；D ． 20x y +=是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选A ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】四边形ABCD 图形不规则，根据已知条件，将△ABC 绕A 点逆时针旋转90°到△ADE 的位置，求四边形ABCD 的面积问题转化为求梯形ACDE 的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE ，下底AC ，高DF 分别用含x 的式子表示，可表示四边形ABCD 的面积．【详解】作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，两线交于E 点，作DF ⊥AC 垂足为F 点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC-AF=AC-DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=5x，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=12×（DE+AC）×DF=12×（a+4a）×4a=10a2=25x2．故选C．【点睛】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．11．D解析：D【解析】【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，∴摸出黑球的概率是2 23，摸出白球的概率是1 23，摸出红球的概率是20 23，∵123＜223＜2023，∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D．【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．解析：A【解析】【分析】把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.【详解】∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n，∴n=-4+m，代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn+1有最小值-3.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．13．C解析：C【解析】【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式∆≥0，且k≠0，据此列不等式求解．【详解】根据题意，得：∆=1-16k≥0且k≠0，解得：116k≤且k≠0．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意k≠0．14．D解析：D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．15．D解析：D【分析】先根据抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．【详解】∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-∵顶点坐标为(1,3)-∴抛物线的表达式为23(1)3y x =-++故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键．二、填空题16．6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：=5π，解得：x=6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．解析：6；【解析】解：设圆的半径为x ，由题意得：150180x π =5π，解得：x =6，故答案为6．点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =180n R π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 17．1：9．【解析】试题分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S △ADE ：S △ABC=（AD ：AB ）2=1：9.考点：相似三角形的性质.解析：1：9．【解析】试题分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S △ADE ：S △ABC =（AD ：AB ）2=1：9.考点：相似三角形的性质.18．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.19．1，，【解析】【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC＝6,CD=2，∴BD=4,①如图解析：1，83，32【解析】【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC＝6,CD=2，∴BD=4,①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，∴PD CDAB BC=,∴236DP=,∴DP=1;②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．∴PD BDAC BC=,∴446DP=,∴DP=83;③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，∴DP DCAB AC=,∴234DP=,∴DP=32;④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。

2020-2021学年度北京市房山区初三上学期数学期末试卷及参考答案

房山区2020-2021学年度第一学期期末检测试卷九年级数学本试卷共6页，共100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ）2．sin30︒的值等于（A ）12（B ）2（C ）2（D ）13．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若2AD =，3AB =，则AEAC 等于（A ）14（B ）13（C ）12 （D ）234．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，若50AOB ∠=︒，则ACB ∠的度数是（A ）25︒ （B ）50︒ （C ）75︒ （D ）100︒5.在半径为2的圆中，90︒的圆心角所对的弧长为（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2（D ）π 6．若点1(1)A x -，，2()B x ，2，3(3)C x ，都在反比例函数6y x=的图象上，则123x x x ，， E D CBA的大小关系是（A ）123x x x << （B ）132x x x << （C ）231x x x << （D ）312x x x <<7.在△ABC 中，2BC =，AC =30A ∠=︒ ，则AB 的长为（A （B ）2（C 4 （D ）2或48.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(01)A ，，(2)B ，-1，(45)C ，三点，下面四个结论中正确的是（A ）抛物线开口向下；（B ）当2x =时，y 取最小值1-；（C ）当1m >-时，一元二次方程2ax bx c m ++=必有两个不相等实根；（D ）直线(0)y kx c k =+≠经过点A ，C ，当2kx c ax bx c +<++时，x 的取值范围是04x <<.二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9.已知13x y =，则x yx+=__________． 10.请写出一个过点(11)，的函数表达式：__________．11.四边形ABCD 内接于⊙O ，若70B ∠=︒，则D ∠的度数为__________︒． 12.函数2y x =的图象向下平移3个单位，得到函数图象的表达式是__________．13.如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上. 只需添加一个条件即可证明△ADE ∽△ACB ，这个条件可以是__________．(写出一个即可)14.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长为 .E DC BA学校________________ 班级________________ 姓名_________________密封线内不能答题第14题图第15题图15．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，A ，B ，C 是网格线交点，则cos ABC ∠=__________．16．我们将满足等式221x y x y +=+的每组x ，y 的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形.下面四个结论中， ①“心形”图形是轴对称图形； ②“心形”图形所围成的面积小于3 ；③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过2；④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 所有正确结论的序号是 .三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．如图，已知AB ∥CD ，AB ADDC DE=. 求证：B C ∠=∠.18．已知二次函数223y x x =--. （1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出它的图象.并结合图象，当0x >时，则y 的取值范围是__________．CB AEDC BA OHDCBA–4–3–2–11234–4–3–2–11234Oxy19.已知: 线段a c ，.求作: Rt △ABC ，使其斜边AB c =，一条直角边BC a =．作法: ① 作线段AB c =；② 分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于D ，E 两点，作直线DE 交AB 于点O ； ③ 以O为圆心，OA 长为半径作⊙O ；④ 以点B 为圆心，线段a 的长为半径作弧交⊙O 于点C ，连接CA CB ，．△ABC 就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明.证明: ∵点O 在线段AB 的垂直平分线上，∴点O 为线段AB 的中点，OA 为⊙O 的半径.∴AB 为⊙O 的直径. ∵点C 在⊙O 上，∴ACB ∠=__________︒，（__________）（填推理的依据）. ∴△ABC 为直角三角形 .20.在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB 的上方90m 的点C 处悬停，此时测得桥两端A ，B 两点的俯角分别为30︒和45︒，求桥AB 的长度．（结果精确到1m . 1.41≈ 1.73≈）ca BA CBA学校________________ 班级________________ 姓名_________________密封线内不能答题21.如图，一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(20)B -，，与反比例函数2(0)my x x=>的图象交于点(1)A a ，．（1）求m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点．若△ABC 的面积是6，请直接写出点C 的坐标．22．如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE BC ⊥，垂足为点E . （1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若3tan =4A ，=5BC . 求DE 的长 .23. 已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过点()44A ，．（1）当抛物线与x 轴交于点()20B ，时，求抛物线的表达式；（2）设抛物线与x 轴两交点之间的距离为d ．当2d >时，求a 的取值范围． 24.如图，已知BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E 在BA 的延长线上，且AE AD =.连接EC ，与AD 相交于点F ，与BD 相交于点G . （1）依题意补全图形；（2）若AF AB =，解答下列问题：① 判断EC 与BD 的位置关系，并说明理由； ② 连接AG ,用等式表示线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系，并证明.25.定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 为图形M 上一点，点Q 为图形N 上一点.若存在OP OQ =，则称图形M 与图形N 关于原点O “平衡”.（1）如图，已知⊙A 是以()01，为圆心，2为半径的圆，点()0C -1，，()1D -2，，()2E 3，.① 在点C ，D ，E 中，与⊙A 关于原点O “平衡”的点是__________；BAOxyCAD B② 点H 为直线y x =-上一点，若点H 与⊙A 关于原点O “平衡”，求点H 的横坐标的取值范围；（2）如图，已知图形G 是以原点O 为中心，边长为2的正方形．⊙K 的圆心在x 轴上，半径为2.若⊙K 与图形G 关于原点O “平衡”，请直接写出圆心K 的横坐标的取值范围．房山区2020—2021学年度第一学期期末检测试卷答案九年级数学2021.1.21 一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9.410.y x =或2y x =或1y x=（答案不唯一） 11.110 12.23y x =-13.ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AEAC AB=（答案不唯一） 14.3 15.4516.①③④注：16题写对一个给1分.三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．证明： ∵AB ∥CD ，∴A CDE ∠=∠. ………….………..……….2分 ∵AB ADDC DE=， ∴△ABD ∽△DCE . ………….………..……….4分 ∴B C ∠=∠. ………….………..……….5分18. 解:（1）223y x x =--2(1)4x =--∴二次函数223y x x =--的图象的顶点坐标为(14)-，. …….2分对称轴为:直线1x =. ………….………..……….3分（2）二次函数图象如下图 ………….………..……….4分当0x >时，则y 的取值范围是1y≥. ………….………..……….5分19．解：（1）补全的图形如图所示： ………….………..……….2分（2）90；………….………..……….3分直径所对的圆周角是直角. ………….………..……….5分20. 解：过C 点作CD AB ⊥，垂足为D . ………….………..……….1分 ∴90ADC BDC ∠=∠=︒. 在Rt △BDC 中∵45B ∠=︒，90CD =，BACBA30°45°D∴90BD CD ==. ………….………..……….3分在Rt △ADC 中 ∵30A ∠=︒，90CD = ∴60ACD ∠=︒.∴tan 60AD CD =⋅︒= ………….………..……….4分 ∴90246AB AD BD =+=≈m .答：桥AB 的长度约为246m . ………….………..……….5分21. 解：（1）∵一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(20)B -，， ∴220k -+=.∴1k =. ………….………..……….1分 ∴12y x =+.∵一次函数12y kx =+的图象与反比例函数2(0)my x x=>的图象交于点(1)A a ，， ∴123a =+=. ………….………..……….2分把(13)A ，代入2my x=，得3m =. ………….………..……….3分（2）(60)C -，或(20)C ，. ………….………..……….5分 22.（1）证明：连接OD .∵O 为AB 中点，D 是AC 的中点， ∴OD 是△ABC 的中位线.∴OD //BC . …..……….1分 ∴ODE DEC ∠=∠. ∵DE ⊥BC ，∴90DEC ∠=︒. ∴90ODE ∠=︒∴OD ⊥DE . ………….………..……….2分 ∵⊙O 过AC 的中点D ，A∴DE 与⊙O 相切. ………….………..……….3分（2）连接BD .∵AB 是⊙O 的直径，∴BD AC ⊥.∵D 是AC 的中点， ∴AB BC =.∴A C ∠=∠. ………………..……….4分 ∴tan tan A C = 在Rt △BDC 中 ∵3tan tan 4C A ==，=5BC ， ∴=3DB ，=4CD . ………….………..……….5分∵11=22BC DE BD DC ⋅⋅ ∴12=5DE . ………….………..……….6分23.（1）解：由题意得，1644420.a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴ 112a b ==-，. ………….………..……….2分∴抛物线的表达式为212y x x =-. ………….………..……….3分（2）解: ∵抛物线()20y ax bx a =+≠经过点()44A ，，∴ 1644a b +=.∴ 14b a =-. ………….………..……….4分令22(14)0y ax bx ax a x =+=+-=.∴2(14)0ax a x +-=. ∴[(41)]0x ax a --=. ∵0a ≠，CA∴10x =，214x a =-. ∵2d >， ∴142a ->或142a -<-. 即12a <或16a >. ①当0a >时，106a <<或12a >. ………….………..……….6分 ②当0a <时，12a <恒成立.∴0a <. ∴综上所述，0a <，106a <<或12a >. ………….………..……….7分 24.（1）补全的图形如图所示： ………….………..……….2分（2）① 解：EC BD ⊥. ………….………..……….3分理由如下：由矩形性质知90DAB ∠=︒， ∴90EAF ∠=︒.在△AEF 与△ADB 中，.AE AD E ADB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∴△AEF ≌△ADB . ………….………..……….4分G F E D C B A∴E ADB ∠=∠. ∵AFE DFG ∠=∠.∴90DGF EAF ∠=∠=︒.∴ EC BD ⊥………….………..……….5分② 线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系：EG DG -=. 证法一：如图，在线段EG 上取点P ，使得EP DG =，连接AP . 在△AEP 与△ADG 中， .AE AD E ADG EP DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ∴△AEP ≌△ADG . ∴AP AG =，EAP DAG ∠=∠. ………….………..……….6分 ∴90PAG PAD DAG PAD EAP DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒. ∴△PAG 为等腰直角三角形. ∴PG =. ∴EG DG EG EP PG -=-==. ………….………..……….7分证法二：如图，过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q ，连接AQ ，BQ . 在△AEG 与△ADQ 中， 90.E ADQ AE AD EAG DAG DAQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=︒+∠=∠⎩，， ∴△AEG ≌△ADQ ∴EG DQ =，AG AQ =. ………….………..……….6分 ∴△GAQ 为等腰直角三角形. P G F E D C B A Q G F E C A D B∴GQ =. ∴EG DG DQ DG GQ-=-==. ………….………..……….7分25．（1）①点C，D ； ………….………..……….2分② 解：若点H 可以与⊙A 关于原点O “平衡”，则13OH ≤≤. ∴点H 横坐标的取值范围是H x ≤H x ； …….5分（2）圆心K 的横坐标的取值范围x ≤2x .…….7分。

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试及答案【完美版】

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试及答案【完美版】班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．3-的倒数是（）A ．3B ．13C ．13-D ．3-2．某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（）A ．160元B ．180元C ．200元D ．220元3．如果a 与1互为相反数，则|a+2|等于（）A ．2B ．-2C ．1D ．-14．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（）A ．13或119B ．13或15C ．13D ．155．已知2,1=⎧⎨=⎩x y 是二元一次方程组7,{1ax by ax by +=-=的解，则a b -的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．36．若关于x 的一元一次方程x −m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是（）A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤27．如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于A(m ，3),则不等式2x ax+4<的解集为（）A ．3x 2> B ．x 3> C ．3x 2< D ．x 3<8．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算：22﹣|1﹣8|＋（﹣12）﹣3＝_____． 2．因式分解：2()4()a a b a b ---＝_______.3．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．4．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__________．5．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是__________．6．如图,菱形ABCD 顶点A 在例函数y =3x (x >0)的图象上，函数 y =k x(k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB ＝2，∠DAB ＝30°，则k 的值为______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：214111x x x ++=--2．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．3．如图，直线y1=﹣x+4，y2=34x+b都与双曲线y=kx交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式34x+b＞kx的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标．4．如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．5．为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．6．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本⨯每天的销售量)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、C3、C4、C5、A6、C7、C8、A9、C10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、-72、()()()22 a b a a-+-3、84、3 2；5、.6、3三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x=﹣3．2、(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．3、（1）3yx=；（2）x＞1；（3）P（﹣54，0）或（94，0）4、（1）2（2）略5、（1）2、45、20；（2）72；（3）1 66、()()21y5x800x2750050x100=-+-≤≤；（2）当x80=时，y4500=最大值；（3）销售单价应该控制在82元至90元之间．。

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试及答案【真题】

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试及答案【真题】班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A ．224a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．3412()a a =D ．22()ab ab =2．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（）A ．47B ．37C ．34D ．133．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直4．下列选项中，矩形具有的性质是（）A ．四边相等B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．每条对角线平分一组对角5．已知a m =3，a n =4，则a m+n 的值为（）A ．7B ．12C ．D ．6．已知1x =是一元二次方程22(2)40m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（）A ．-1或2B ．-1C ．2D ．07．如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（）A ．15B ．18C ．21D ．248．正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k 的图象大致是（）A． B．C． D．9．如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC 于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE 10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算：23a a⋅=______________．2．因式分解：a3－ab2＝____________．3．若a，b都是实数，b＝12a-+21a-﹣2，则a b的值为__________．4．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E ，则△BCE的周长为__________．5．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为__________．6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．（1）解方程：31122xx x--=-+（2）解不等式组：()3241213x xxx⎧--<⎪⎨+≥-⎪⎩2．已知关于x的方程220x ax a++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数152y x=+和2y x=-的图象相交于点A，反比例函数kyx=的图象经过点A.（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x=+的图象与反比例函数kyx=的图象的另一个交点为B，连接OB，求ABO∆的面积.4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．5．胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人”选拔赛，现将36名参赛选手的成绩(单位：分)统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数；(2)成绩在D区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．6．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、B3、C4、C5、B6、B7、A8、A9、C10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、a52、a（a+b）（a﹣b）3、44、135、x＜1或x＞36、12三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）x=0；（2）1＜x≤42、（1）12，32-；（2）证明见解析.3、（1）反比例函数的表达式为8yx-=；（2）ABO∆的面积为15.4、（1）略；（2）四边形BECD是菱形，理由略；（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由略5、(1)补图见解析；50°；(2)3 5 .6、（1）10%；（2）26620个。

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试及答案【学生专用】

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试及答案【学生专用】班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．13-的绝对值是（） A ．3 B ．3- C ．13 D ．13- 2．已知两个有理数a ，b ，如果ab ＜0且a+b ＞0，那么（）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 同号D ．a 、b 异号，且正数的绝对值较大3．已知m=4+3，则以下对m 的估算正确的（）A ．2＜m ＜3B ．3＜m ＜4C ．4＜m ＜5D ．5＜m ＜64．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2311546a b b c -=⎧⎨-=⎩C ．292x y x ⎧=⎨=⎩D ．284x y x y +=⎧⎨-=⎩ 5．如果分式||11x x -+的值为0，那么x 的值为（） A ．-1 B ．1 C ．-1或1 D ．1或06．正十边形的外角和为（）A ．180°B ．360°C ．720°D ．1440°7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．8．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°9．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（）A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠10．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则CPD ∠的度数为（）A ．30B ．36︒C ．60︒D ．72︒二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算：23a a ⋅=______________．2．因式分解：3269a a a -+=_________.3．已知关于x 的分式方程233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________.4．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D在同一直线上．若AB=2，则CD=__________．5．如图所示，一次函数y=ax+b 的图象与x 轴相交于点（2，0），与y 轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x 的方程ax+b=0的解是__________．6．现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：1x x -﹣1=233x x -2．先化简，再求值：222221412()x x x x x x x x -+-+÷-+，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数．3．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°,D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．4．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE ⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．5．我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对A 《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了_________名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.6．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、D3、B4、A5、B6、B7、D8、B9、A10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、a 52、2(3)a a -3、k<6且k ≠3415、x=26、49三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、分式方程的解为x=1.5．2、-53、（1）略；（2）略；（3）10．4、（1）DE 与⊙O 相切，理由略；（2）阴影部分的面积为25、（1）50；（2）见解析；（3）16．6、（1）购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；（2）购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．。

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试卷(参考答案)

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试卷（参考答案)班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2019-=（） A ．2019 B ．-2019C ．12019D ．12019-2．已知x+1x =6，则x 2+21x=（） A ．38B ．36C ．34D ．323．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A ．()3,6--B ．()3,0-C ．()3,5--D ．()3,1--4．把函数y x =向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( ) A ．()2,2B ．()2,3C ．()2,4D ．(2,5)5．已知关于x 的分式方程+=1的解是非负数，则m 的取值范围是（） A ．m ＞2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m ＞2且m ≠36．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A ．()11362x x -=B ．()11362x x +=C ．()136x x -=D ．()136x x +=7．如图，直线y=kx+b （k ≠0）经过点A （﹣2，4），则不等式kx+b ＞4的解集为（）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞4D ．x ＜48．如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（）A ．8B ．10C ．11D ．139．图甲和图乙中所有的正方形都全等，将图甲的正方形放在图乙中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A ．①B ．②C ．③D ．④10．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（）A．485B．325C．245D．125二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．364的平方根为__________．2．分解因式：34x x-=________．3．函数132y xx=--+中自变量x的取值范围是__________．4．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝__________度．5．现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回．．，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．6．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：3213 xx x--=-2．已知A-B=7a2-7ab，且B=-4a2+6ab+7．（1）求A等于多少？（2）若|a+1|+（b-2）2=0，求A的值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B （3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB 上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=23，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．5．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球 B：乒乓球C：羽毛球 D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）甲乙丙丁甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣6．某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．经招投标，购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．（1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、A2、C3、B4、D5、C6、A7、A8、A9、A 10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、±22、x （x +2）（x ﹣2）．3、23x -<≤4、805、3166、2三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、95x =2、（1）3a 2-ab +7；（2）12.3、（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139），4、（1）直线BC 与⊙O 相切，略；（2）23π 5、解：（1）200．（2）补全图形，如图所示：（3）列表如下：∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为21P126==．6、（1）购买一台电子白板需9000元，一台台式电脑需3000元；（2）购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．。